Lezione 37 - La teoria di Timoshenko per le travi alte

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1 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per le travi alte [Ultima revisione: 4 maggio ] Quali sono i limiti della teoria di Eulero-Bernoulli? Come e possibile migliorare la teoria, senza rinunciare alla semplicita analitica ed alla rapidita computazionale? Per rispondere alla prima domanda, conviene ripensare alla incongruenza di base della teoria di Eulero-Bernoulli, gia evidenziata nella ezione : la impossibilita di definire lo sforzo di taglio come risultante delle azioni elementari s, nulle per ipotesi, e la conseguente necessita di definire il taglio tramite considerazioni di equilibrio. Affrontando il problema da unaltra ottica, puo partirsi dalla definizione del taglio come derivata del momento flettente, e poi applicare la definizione di taglio come risultante delle azioni elementari (cfr. eqn. della ezione ): T = σ da Σ Ipotizzando una distribuzione costante di tensione, ed introducendo un coefficiente correttivo k, si ha: () T = κ σ A () e quindi la tensione tangenziale e: σ = T κa A questo punto non puo pero evitarsi la contraddizione insita nella legge tensioni-deformazioni, che porterebbe alla deformazione tagliante: () e = σ G che invece e nulla per costruzione. Se pero il modulo G assume valori molto elevati (materiale poco deformabile a taglio), allora si puo ragionevolmente trascurare la deformazione tagliante e anche in presenza di un valore finito della tensione e del taglio. [Nota]. Inoltre, una distribuzione costante di tensioni contraddice lipotesi di mantello laterale scarico. Un miglioramento della teoria di Eulero-Bernoulli e stato proposto da Timoshenko, e coniuga semplicita e vantaggi analitici in modo talmente soddisfacente da essere ormai utilizzato in quasi tutti i codici di calcolo agli elementi finiti. (4)

2 8 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb Figura - S.P. Timoshenko e ipotesi di base per la trave di Timoshenko Si consideri un solido del tipo trave, di lunghezza, con una sezione retta caratterizzata da un asse di simmetria rispetto allasse x, soggetto ai carichi distribuiti phx diretti trasversalmente allasse della trave, ai carichi distribuiti thx diretti lungo lasse, ed alle coppie distribuite mhx. In generale, seguendo la teoria di De Saint-Venant, si puo dire che, per problemi di simmetria e di carico, gli spostamenti u Hx, x, x secondo lasse x sono nulli. Per quanto riguarda le altre due componenti u Hx, x, x e u Hx, x, x, conviene introdurre ipotesi ad hoc, che caratterizzano la particolare teoria utilizzata. e ipotesi a base della teoria di Timoshenko sono:. gli spostamenti verticali ed assiali dei punti dellasse dipendono solo dalla variabile x : u a = u a Hx, u a = u a Hx.segmenti normali allasse si conservano segmenti a seguito della deformazione. segmenti normali allasse non si conservano normali allasse deformato, ma ruotano rispetto ad esso di un angolo addizionale y, come illustrato in Figura Segue dalle tre ipotesi appena formulate, che una sezione retta a distanza x dalla base di sinistra subisce un abbassamento u (x ) = u a Hx, uguale per tutti i punti della sezione, uno spostamento assiale u Hx, x, ed una rotazione f(x ) fornita da: φ Hx = u Hx + ψ (5) Ne segue che lo spostamento assiale u Hx, x di un punto generico della sezione retta, situato a distanza x dal baricentro, e pari a: u Hx, x = u Hx + φ Hx x (6)

3 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb 9 A x A P x yhx -u Hx u a Hx A P A -u Hx Figura - e ipotesi di Timoshenko: fhx = -u Hx + y Il vettore u della terna di spostamenti e fornito pertanto da: u a Hx fhx x u = 8u, u, u < = 8, u Hx, u a Hx + φ Hx x < e corrispondenti deformazioni sono deducibili a partire dalle ben note leggi che legano le deformazioni alle derivate prime degli spostamenti: (7) e = u = x e = J u + u N = x x e = J u + u N = x x e = u = x e = J u + u N = x x Hu Hx + φ Hx = ψ Hx a e = u = du dφ a +x x dx = u dx Hx +x φ Hx e componenti di tensione s e s, in ipotesi di validita della legge di Hooke, sono fornite da: σ = E Hu a Hx +x φ Hx (8) (9) σ = G Hu Hx + φ Hx () Ne segue che le caratteristiche sforzo normale N(x ), momento flettente M (x ) e taglio T (x ) possono calcolarsi come: a N = E Hu Hx +x φ a Hx da = EAu Hx Σ ()

4 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb M = E Hx u Hx +x φ Hx da = EI φ Hx Σ () T = G Hu Hx + φ Hx da Σ () Nota - o sforzo normale non e influenzato dalla ipotesi di Timoshenko, e la sua trattazione resta disaccoppiata da quella dello sforzo di taglio - momento flettente. Nota - a () indica che la tensione tangenziale non dipende dalla variabile x, e quindi e in contraddizione con l ipotesi di De Saint-Venant sulla superficie laterale scarica. Per tener conto della effettiva distribuzione delle tensioni tangenziali lungo x, si introduce, secondo Timoshenko, un fattore correttivo k, detto fattore di taglio, scrivendo, al posto della (): T = G Hu Hx + φ Hx da = GA κ ψ Hx Σ (4) Si puo dimostrare che k e minore di uno, e spesso si introduce larea ridotta della sezione retta A s = k A, detta area efficace a taglio. Nota - incongruenza della teoria di Eulero-Bernoulli e stata superata, e la condizione di equilibrio: T Hx = dm Hx dx non deve piu essere utilizzata come definizione, ma si traduce nella relazione: (5) GA κ Hu Hx + φ Hx = EI φ Hx (6) o studio della linea elastica Si parte dalla definizione dellenergia potenziale totale, somma dellenergia elastica e dellenergia potenziale dei carichi: E t = dv + BEe Ge dv B4 l l t Hx u Hx dx m Hx φ Hx dx l p Hx u Hx dx ed utilizzando le ultime due delle (8), si puo scrivere lenergia elastica come: (7) E t = EAu Hx dx + EIφ Hx dx + GA s Hu Hx + φ Hx dv p Hx u Hx dx t Hx u Hx dx m Hx φ Hx dx (8) A questo punto, si puo scrivere la variazione di E t rispetto alle variabili u, u, u, u, f e f, ottenendo: δe t = E t Hu + δu, u + δu, u + δu, u + δu, φ + δφ, φ + δφ E t Hu, u, u, u, φ, φ = EA Hu + δu dx +

5 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb EI Hφ + δφ dx + GA s Hu + δu + φ + δφ dx p Hu + δu dx t Hu + δu dx m Hφ + δ φ dx EAu dx EI φ dx GA s Hu + φ dx + pu dx + tu dx + m φdx Svolgendo i quadrati e semplificando si ottiene: δe t = EAu δu dx + EI φ δφ dx + GA s Hu + φ δu dx + GA s Hu + φ δφdx p δu dx t δu dx m δφdx + EAδu dx + EI δφ dx + GA s Hδu + δφ dx () Ne segue che la variazione dellenergia potenziale totale si esaurisce in due aliquote: la prima, lineare, e la seconda quadratica: δ E t = EAu δu dx + EI φ δφ dx + GA s Hu + φ δu dx + GA s Hu + φ δφdx p δu dx t δu dx m δφdx δ E t = EAδu dx + Per il principio di stazionarieta, dovra essere: EI δφ dx + GA s Hδu + δφ dx δ E t = EAu δw dx + EI φ δφ dx + GA s Hu + φ δu dx + GA s Hu + φ δφdx p δu dx t δu dx m δφdx = I primi tre integrali della () possono integrarsi per parti una volta, ottenendo: u δu dx δu D u δu dx φ δφ dx δφd φ δφdx Hu + φ δu dx + φ δu D Hu + φ δu dx Inserendo le (4-6) nella () si giunge a scrivere: () () () (4) (5) (6)

6 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave +t δu + HEI φ +m GA s Hu + φ δφ + HGA s Hu + φ +t δu D dx +@EAu δu D φ δφd s Hu + φ δu D = e variazioni du, df, e du sono arbitrarie, e quindi dovranno annullarsi le tre quantita in parentesi, conducendo alle tre equazioni differenziali in u, f ed in u : EAu = t EI φ GA s Hu + φ = m GA s Hu + φ = p (7) (8) e restanti quantita dovranno annullarsi ai due estremi della trave. Per lo spostamento u dovra quindi essere: EAu H δu H = EAu Hl δu Hl = mentre per lo spostamento u e la rotazione f sara necessariamente: EI φ H δφ H = EI φ H δφ H = GA s Hφ H +u H δu H = (9) () () () () GA s Hφ H +u H δu Hl = (4) Nota 4- o studio della funzione u degli spostamenti assiali e completamente separato dallo studio delle altre due funzioni, come gia detto. Invece le ultime due equazioni delle (8) rappresentano un sistema accoppiato di due equazioni differenziali del secondo ordine. Esercizio - Generalizzare le equazioni (8) al caso di trave a sezione variabile. Esercizio - Utilizzare il principio degli spostamenti virtuali per riottenere le equazioni della linea elastica e le corrispondenti condizioni ai limiti Esercizio - Utilizzare lapproccio geometrico per riottenere le equazioni della linea elastica à e condizioni di vincolo E inutile studiare il problema assiale, non modificato rispetto al caso di Eulero-Bernoulli. Per quanto riguarda il problema flessionale, invece, in base alla () ed alla (4) le condizioni () - (4) si possono scrivere: M H δφ H = M H δφ H = T H δu H = T H δu H = Agli estremi della trave, pertanto, si possono simulare queste condizioni di vincolo: (5) (6) (7) (8)

7 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb è Estremo incastrato ö u = e f = è Estremo appoggiato ö u = e M =, ossia f = è Estremo con bipendolo ö f = e T =, ossia u + f = è Estremo libero ö M =, ossia f = e T =, ossia u + f = a trave a mensola con forza allestremo libero e equazioni da risolvere per il caso illustrato nel titolo sono: EI φ GA s Hu + φ = GA s Hu + φ = con le condizioni ai limiti: u H = φ H = M H = EI φ H = T H = GA s Hφ H +u H = F dove F e il valore della forza applicata nellestremo libero. (cfr. Figura ) (9) (4) Per affrontare questo problema, si inizi ad integrare la seconda delle (9): GA s Hu + φ = C e per la quarta condizione ai limiti si ha subito C = F. Ne segue che la (4) diviene: GA s Hu + φ = F (4) (4) F A B X X Figura - Trave a mensola con forza allestremo Sostituendo questa relazione nella prima delle (9) si ha: e quindi subito: EI φ = F (4) φ = Fx EI + C (44)

8 4 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb φ = Fx EI +C x + C a seconda e terza condizione ai limiti permettono di calcolare le due costanti di integrazione: φ H = C = φ H = C = F EI e quindi la rotazione e data da: (45) (46) φ Hx = Fx EI I x M Infine, dalla (4) si puo scrivere: u = F GA s φ = e quindi labbassamento e dato da: F + Fx GA s EI I x M u = Fx + Fx GA s EI I x M + C 4 a costante di integrazione, comunque, si annulla per la prima condizione ai limiti, giungendo a: u Hx = Fx + Fx GA s EI I x M (47) (48) (49) (5) à Discussione dei risultati a rotazione allestremo libero e: φ H = F EI e quindi coincide con quanto predetto dalla teoria di Eulero-Bernoulli. (5) abbassamento nellestremo libero e invece fornito da: u H = F GA s + F EI (5) Si ha quindi una aliquota flessionale, uguale a quella predetta da Eulero-Bernoulli, ed una aliquota addizionale tagliante, che si viene a sommare alla aliquota classica. Si vede subito che allaumentare della luce, linfluenza del termine flessionale diviene dominante. Per evidenziare linfluenza del taglio, e opportuno riscrivere la (5) come: u H = F EI J + EI N = GA s F EI J + α N (5) con: α = GA s EI (54) parametro adimensionale che ben misura limportanza relativa delle deformazioni da taglio rispetto agli effetti flessionali. Per a Ø si ritrovano i risultati classici di Eulero-Bernoulli.

9 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb 5 à Esempio numerico Si consideri una trave di luce = 5 metri, a sezione retta rettangolare di base b = 5 centimetri ed altezza h = 8 centimetri, e quindi con area A = bh ed inerzia I = bh ê. Inoltre, il modulo di Young sia pari a. Kgêcm, il coefficiente n di Poisson sia pari a.5, ed il fattore di taglio sia pari a k =.85. Per calcolare linfluenza relativa del taglio si calcola la parte flessionale dello spostamento allestremo libero, dovuto ad una forza unitaria: u f = EI =.654 cm ed analogamente la parte tagliante dello stesso spostamento: u t = κga = cm influenza relativa delle deformazioni taglianti e quindi calcolabile come circa.8 per cento. u t (55) (56) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, ed e in questo caso pari a u t +u f a trave a mensola con carico distribuito e equazioni da risolvere per il caso illustrato nel titolo sono: EI φ GA s Hu + φ = GA s Hu + φ = p con le condizioni ai limiti: u H = φ H = M H = EI φ H = T H = GA s Hφ H +u H = dove p e il valore del carico distribuito. (cfr. Figura 4) (57) (58) p A B X X Figura 4 - Trave a mensola soggetta a carico distribuito Per affrontare questo problema, si inizi ad integrare la seconda delle (57):

10 6 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb GA s Hu + φ = px + C e per la quarta condizione ai limiti si ha subito C = p. Ne segue che la (59) diviene: GA s Hu + φ = p H x Sostituendo questa relazione nella prima delle (57) si ha: e quindi subito: EI φ = p H x φ = px EI I x M + C φ = px EI I x M +C x + C a seconda e terza condizione ai limiti permettono di calcolare le due costanti di integrazione: φ H = C = φ H = C = p EI e quindi la rotazione e data da: φ Hx = px EI J x + x N Infine, dalla (6) si puo scrivere: u = p H x φ = p H x + px GA s GA s EI J x + x N e quindi labbassamento e dato da: u = px I x GA s M + px EI J 4 x 6 + x 4 N annullandosi anche in questo caso la costante di integrazione, per la prima condizione ai limiti. (59) (6) (6) (6) (6) (64) (65) (66) (67) à Discussione dei risultati a rotazione allestremo libero e: φ H = p 6 EI e quindi coincide con quanto predetto dalla teoria di Eulero-Bernoulli. (68) abbassamento nellestremo libero e invece fornito da: v H = p GA s + p4 8 EI = p4 8 EI J + 4 α N (69) a trave appoggiata con carico distribuito e equazioni da risolvere per il caso illustrato nel titolo sono (cfr. Figura 5):

11 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb 7 EI φ GA s Hu + φ = GA s Hu + φ = p con le condizioni ai limiti: u H = φ H = u H = φ H = (7) (7) p A B X X Figura 5 - Trave appoggiata soggetta a carico distribuito Per affrontare questo problema, si inizi ad integrare la seconda delle (7): GA s Hu + φ = px + C e la si sostituisca nella prima delle (7): e quindi subito: EI φ +px C = φ = px EI + C x EI + C (7) (7) (74) φ = px 6 EI + C x EI + C x + C (75) a seconda e quarta condizione ai limiti permettono di calcolare le due costanti di integrazione C e C : φ H = C = φ H = C = p e quindi la rotazione e data da: φ = px 6 EI + px 4 EI + C Infine, dalla (7) si puo scrivere: u = p H x φ = p H x + px GA s GA s 6 EI px 4 EI C e quindi labbassamento e dato da: (76) (77) (78) u = px GA s H x + px4 4 EI px EI C x + C 4 (79)

12 8 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb e condizioni ai limiti su u impongono che sia: C 4 = e quindi infine: p 4 4 EI p 4 EI C + C 4 = C = p 4 EI (8) u = px GA s H x + px4 4 EI px EI + p x 4EI (8) φ = px 6 EI + px 4 EI p 4 EI (8) à Discussione dei risultati a rotazione in corrispondenza degli appoggi e φ H = φ H = p 4 EI p 4 EI e quindi coincide con quanto predetto dalla teoria di Eulero-Bernoulli. (8) (84) abbassamento in mezzeria e invece fornito da: u J N = p + 8GA s 5 84 p 4 EI = 5 84 p 4 EI J α N (85) Il caso della cerniera interna a trattazione di vincoli intermedi, interni o esterni, o di forze intermedie, siano esse forze o coppie, non presenta particolari problemi concettuali, ma solo una maggiore complessita analitica. A scopo esemplificativo, si voglia calcolare gli spostamenti e le rotazioni per una trave incastrata a sinistra, appoggiata a destra, con una cerniera interna situata in mezzeria, e soggetta ad una coppia concentrata M agente sullappoggio di destra. (cfr. Figura 6). A X H C X H B M u H u H Figura 6 - Trave incastrata-appoggiata con cerniera in mezzeria Introdotti, al solito, due sistemi di riferimento con origine nellincastro e nella cerniera interna, rispettivamente, si hanno le quattro equazioni differenziali:

13 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb 9 EI φ H GA s Hu H + φ H = GA s Hu H + φ H = EI φ H GA s Hu H + φ H = GA s Hu H + φ H = con le condizioni ai limiti: u H H = φ H H = u H H = u H H M H H = M H H = T H H = T H H u H H = M H H = M In termini di spostamenti e rotazioni, si hanno quindi le otto condizioni ai limiti: u H H = φ H H = u H H = u H H φ H H = φ H H = φ H H +u H H = φ H H +u H H u H H = EIφ H H = M Dalla seconda della (86) si ha: GA s Hu H + φ H = C ed inserendo nella prima delle (86) si ha: da cui subito: EI φ H = C (86) (87) (88) (89) (9) (9) (9) (9) (94) (95) φ H = C EI x H + C (96) φ H = C EI Segue dalla (94): x H + C x H + C (97) u H = C C GA s EI x H C x H C (98) e quindi infine: u H = C H x C GA s EI x H 6 C x H C x H + C 4 (99)

14 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb Del tutto analogamente si ha anche, per il secondo tratto: φ H = C 5 EI x H + C 6 () φ H = C 5 EI x H + C 6 x H + C 7 () u H = C 5 C 5 GA s EI x H C 6 x H C 7 () u H = C H 5 x C 5 GA s EI x H 6 C 6 x H C 7 x H + C 8 () Valutando opportunamente queste funzioni, ed inserendo il risultato nelle condizioni ai limiti si giunge al seguente sistema di otto equazioni nelle otto incognite C, C,, C 8 : con soluzione: C = C 4 = C GAs C 6EI C C EI +C = C 6 = C C 5 = C 5 GAs C 5 6EI C 6 C 5 EI +C 6 = C +C 4 C 8 = C 7 +C 8 = (4) C = C 5 = M ; C = M EI ; C = C 4 = M ; C 6 = ;C 7 = M GA s + Spostamenti e rotazioni sono quindi forniti da: M 6EI ; C 8 = M GA s + M EI (5) u H Hx H = M x H GA s + M x H EI M x H 6EI (6) u H Hx H = M i GA s k j x H y z + M { EI M 6EI x H M x H 6EI φ H Hx H = M x H EI φ H Hx H = i k j x H y z { H M GA s + M 6EI + M x EI M H Hx H = M i k j + x H y z { M H Hx H = M x H T H Hx H = M (7) (8) (9) () () ()

15 ezione 7 - a teoria di Timoshenko per la trave tozza.nb T H Hx H = M () Esercizio - Risolvere lo stesso problema in ipotesi di trave di Eulero-Bernoulli, e verificare le differenze. Note [Nota]- In realta, G ha dimensioni fisiche di forza per unita di superficie, e quindi parlare di valori "elevati" non ha molto significato. Piu preciso risulta introdurre il fattore adimensionale: α = GA EI (4) e dire che la teoria di Eulero-Bernoulli e tanto piu affidabile quanto piu elevato risulta il valore di a. [Torna al testo] Grafici