Fisica dei semiconduttori: prova del

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1 6114.nb 1 Fsca de semconduttor: prova del ü Un elettrone è descrtto da una funone d onda (n 1 dmensone) u(x) = a u 1 (x) + b u (x) dove u 1 (x) ed u (x) sono autofunon dell Hamltonana del sstema ed a e b sono numer compless. a. Esprmere b n funone d a b. Calcolare l espressone generale de valor d aspettaone del momento e dell energa c. Specfcare l conto n b. nel caso d una buca nfnta d larghea l n cu con autovalore e con autovalore, con l = 1 nm, m = m= kg, h = J s, a =.-.3 a. la condone d normalaone: porta a ovvero a u HxL u HxL x = 1» a» +» b» = 1 u HxL = au 1 HxL ± è!!!!!!!!!!!!!!!! 1» a»!!!! u HxL b. Per defnone è < p >= u HxL x u HxL x = Ha au 1 x u 1 + a bu 1 x u + b au x u 1 + b bu x u L dx dove x u rappresenta la dervata d u rspetto ad x. Analogamente : < E > = u HxL H u HxL x = u HxL Ha E 1 u 1 HxL + be u HxLL dx HE 1» a» u 1 + E» b» u + E 1 b au u 1 + E a bu 1 u L dx che per l'ortogonaltà delle autofunon del problema dvene: < E > = E 1» a» +E» b» = E +» a» H E 1 E L S not la dfferena tra le due espresson general: l valore d aspettaone del l'energa è la combnaone lneare, con gl stess coeffcent assegnat alle autofunon, de corrspondent autovalor. In generale, cò non accade per l valore d aspettaone del momento. c. Ponendo:

2 6114.nb u := è!!!!!!!!! ê l Sn@π x ê ld; E 1 = 1 8m k j h ; l := è!!!!!!!!! ê l Sn@4 π x ê ld; E = m k j h ;u@x_d := au + l deru@x_d = x u@xd; p ave = l u@xd deru@xd x Il valore d aspettaone del momento è nullo, come appare ovvo. Per l'energa s può rcorrere alla hamltonana +l E ave = u@xd j k m D@ u@xd, 8x, <D x Ha + 16 b L π l m oppure sostture drettamente gl autovalor +l E1 ave = u@xd Ha E 1 u + be x Ha + 16 b L h 8l m ottenendo lo stesso rsultato. Ora per la sosttuone numerca occorre sostture a quadrat modul al quadrato, vsto che a e b sono compless. dat = 8a >. I.3, l 1 9,h , m , êhpl^<; a = è!!!!!!!!!!!!!!!! Abs@aD!!!!!!!!!!!!!!!! ^ ê. dat!!!!!! b = è!!!!!!!!!!!!!!!! 1 a^ E ave ê. dat E 1 ê. dat E ê. dat E ave,e 1,E <êh Lê. dat , , <

3 6114.nb 3 ü. 1. a. Dmostrare che l energa d Ferm per un gas d elettron n equlbro alla temperatura T rsulta proporonale a n /3, essendo n la denstà d elettron, quando T ->. b. Calcolare esplctamente E F n questo caso quando n = 1 19 cm -3. a. da cu b. n Joule E F n = 4 π j m k 3ê F 8 è!!! π è!!! u H m L 3ê u 1 + u F E F LmtA 4 π j m k è!!! u 1 + Exp@ u E F D u 3ê 16 è!!! π I m 3 M3ê 3ê F ne F n ê3 ne F F è!!!! 8 π è!!!! u I j m M3ê k 1+ u F u ê3 n =.; E F = 3 j k 8 π j k 1 8 J 3 Nê3 π j J 3ê m N k m è!!! u 1 + Exp@ u E F D u, T E = 4 π j m k 3ê ê3 n n % ê êh πl, n 1 5, m < % êh L.4596 ê3 3ê 3 E F 3ê n ev

4 6114.nb 4 ü 3. Una gunone p-n s trova ad una temperatura T tale per cu E d - E F >> ed E F -E a >>, essendo E d l energa del lvello de donator, E a l energa del lvello degl accettor ed E F l energa del lvello d Ferm. a. Calcolare l espressone della dfferena d potenale che s genera agl estrem della struttura nell potes d parale onaone de lvell d donator ed accettor e confrontarla con quella ottenuta nel caso d onaone completa. b. Dscutere l rsultato ottenuto ed ndvduare le crcostane n cu ha senso una sua applcaone. a. se cade l'potes d onaone completa de lvell d mpurea, allora la popolaone d elettron ne lvell d mpurea non è nulla ma: n d = N d e E d E F N d e HE d E FL << N d Ora, stante le potes, la popolaone d elettron n banda d conduone n c è data esclusvamente dagl elettron onat da lvell d mpurea, qund: n c = N d n d = N d I1 e HE d E FL M questa stessa quanttà vale anche n c = U e HTL e E c e Φ HL E F e s ottene qund N d U e HTL I1 e HEd EFL M = e E c e Φ HL E F n modo analogo, per lvell d accettore: N a U h HTL moltplcando le due equaon: I1 e HEF EaL M = e E F E v+e Φ HL N d N a I1 e HEd EFL M I1 e HE F EaL M = e U e HTL U h HTL e passando a logartm Ec Ev+e Φ HL e Φ HL LogA N d N a I1 e HEd EFL M I1 e HE F E al ME = E g + e Φ Il prmo membro, tenendo conto delle potes, rsulta approssmable da S ottene qund: LogA N d N a E Ae HE d EFL + e HE F EaL E Φ Φ Ae HE d E F L + e HE F E al E

5 6114.nb 5 con Φ = E g + LogA N d N a E che è l'espressone per la dfferena d potenale agl estrem della ona d svuotamento nel caso d completa onaone. b. I termn agguntv sono n genere molto pccol, propro n graa delle potes d partena. Un qualche peso potranno averlo quando è massmo compatblmente con le potes fatte, E d - E F >> ed E F -E a >> n modo che l fattore moltplcatvo sa massmo. Pochè Φ è dell'ordne d qualche eve, se ad es. E d - E F = 1, s ha che l'esponenale vale crca ed l termne correttvo sarà dell'ordne d 1-4 che è pccolssmo rspetto a Φ anche a temperature puttusto alte. L'approssmaone sarà sgnfcatva n sostana solo n un rstretto ntervallo d temperatura per sstem d mpuree a dstana abbastana prossma al centro della banda probta.