Modelli di utilità aleatoria

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1 corso d Teora de Sstem d Trasporto Modell d utltà aleatora PROF. ING. UMBERTO CRISALLI Dpartmento d Ingegnera dell Impresa crsall@ng.unroma.t

2 Iscrzone al corso Modell d offerta ü Da effettuars anche on lne

3 Struttura del sstema d modell per la smulazone de sstem d trasporto Modell d offerta OFFERTA DI INFRASTRUTTURE E SERVIZI DI TRASPORTO MODELLO DI LOCALIZZAZIONE E LIVELLO DELLE ATTIVITÀ SISTEMI DELLE ATTIVITÀ MODELLO DI OFFERTA Ret d trasporto Attrbut d lvello d servzo (temp, cost MODELLO DI DOMANDA Fluss MODELLI DI ASSEGNAZIONE MATRICI OD Funzon d prestazone Valutazone effett MODELLO DEL SISTEMA DI TRASPORTO 3

4 Modell d utltà aleatora ( Ipotes general Modell d utltà aleatora I modell d utltà aleatora (o casuale s basano sulla potes che ogn utente sa un decsore razonale ovvero un massmzzatore dell utltà relatva alle propre scelte: a Il generco decsore nell effettuare la scelta consdera tutte le m alternatve dsponbl che costtuscono l suo nseme d scelta I. L nseme d scelta può essere dfferente per utent dvers. b Il decsore assoca a cascuna alternatva del suo nseme d scelta una utltà o attrattvtà percepta U e scegle l alternatva che massmzza tale utltà. 4

5 Modell d utltà aleatora ( Ipotes general Modell d utltà aleatora c L utltà assocata a cascuna alternatva d scelta dpende da una sere d caratterstche msurabl o attrbut propr dell alternatva stessa e del decsore U U (X con: X vettore degl attrbut relatv all alternatva e al decsore. d L utltà assocata dal generco decsore all alternatva non è nota con certezza all osservatore esterno (analsta, e pertanto è rappresentata come una varable aleatora. 5

6 Modello probablstco d scelta Modell d utltà aleatora p I Pr U > U, I posto: Utltà sstematca U V + I [ ] [ ] σ Var U V E U, Resduo aleatoro s ha: ( EU V ( Var U ( E Var ( σ, p I Pr V V >, I 6

7 Esempo Scelta del percorso Modell d utltà aleatora Insemedellealternatve I A, B v A 3 mh v B 5 mh d m O { } A U A U (X A D decsore B U B U (X B p [ I ] Pr U > U, I 7

8 Espressone dell utltà sstematca L utltà sstematca rappresenta la meda dell utltà percepta fra tutt gl ndvdu che hanno gl stess valor degl attrbut. È espressa come funzone d attrbut relatv alle alternatve e al decsore: V con ndce del generco attrbuto. ( X Modell d utltà aleatora In genere per ragon d convenenza analtca s assume che la utltà sstematca V sa una funzone lneare ne coeffcent β degl attrbut o d loro trasformazon funzonal: V ( X β X β X T 8

9 Esempo Scelta del percorso Modell d utltà aleatora Attrbut ü Attrbut lvello d servzo Ø tempo d vaggo Ø costo d vaggo Ø ü Attrattvtà del percorso Ø comfort Ø pacevolezza Ø ü.. 9

10 Esempo Scelta del percorso Modell d utltà aleatora Utltà percepta e sstematca UA VA + V A A E U A σ,a Var U A UB VB + B VB E U B σ,b Var U B Tempo d vaggo V β X β T +β C A A A A B β B β B +β B V X T C Costo d vaggo

11 Modell d utltà aleatora Classfcazone degl attrbut (3 Attrbut d lvello d servzo: attrbut propr del sstema d trasporto (es. temp, cost, frequenza de servz, comfort etc.. Attrbut del sstema d attvtà: attrbut dpendent dall uso del terrtoro dell area d studo (es. numero d negoz o numero d scuole d una zona. Attrbut soco-economc: attrbut propr dell utente o del suo nucleo famlare (es. possesso d patente, numero d autovetture possedute n famgla etc..

12 Modell d utltà aleatora Classfcazone degl attrbut (3 Attrbut generc: attrbut che compaono con stessa forma funzonale e stesso coeffcente n pù d una alternatva. Attrbut specfc: attrbut che compaono con forme funzonal eo coeffcent dvers n dverse alternatve.

13 Modell d utltà aleatora Classfcazone degl attrbut (33 Attrbuto Specfco dell Alternatva (ASA: rappresenta attrbut non esplctamente consderat nella funzone d utltà (dfferenza fra l utltà meda e quella spegata dagl altr attrbut utlzzat. 3

14 Esempo Scelta modale Modell d utltà aleatora Insemedellealternatve I ped,auto, bus { } V ped β t p V auto β t pa + β t ba + β 3 c a + β 4 DISP + β 5 REDD + β 6 AUTO V bus β t pb + β t bb + β 3 c b + β 7 t wb + β 8 BUS Attrbut Specfc della Alternatva AUTO BUS Attrbut d Lvello d Servzo t b tempo a bordo (generco t w tempo d attesa alla fermata (specfco t p tempo a ped (generco c costo monetaro (generco Attrbut Soco-Economc DISP n auton patentat REDD se reddto> 3. ; altrment 4

15 Dspersone dell utltà percepta Modell d utltà aleatora Bassa varanza della dstrbuzone del resduo aleatoro è trascurable rspetto all utltà sstematca V è scelta B molto pù probable Alta varanza della dstrbuzone del resduo aleatoro è dello stesso ordne d grandezza d V è scelta quas equprobable Utltà percepta Dstrbuzone del resduo aleatoro Utltà percepta Utltà sstmatca Utltà sstmatca Utltà sstmatca Utltà sstmatca Alternatva A Alternatva B Alternatva A Alternatva B 5

16 Modell d utltà aleatora Cause d aleatoretà dell utltà percepta ( Error dell analsta ü Approssmazon nella msura degl attrbut consderat nella funzone d utltà sstematca (es. attrbut d lvello d servzo rcavat con un modello d rete ü Attrbut omess: varabl non osservabl drettamente, d dffcle valutazone o comunque non ncluse nel vettore d attrbut (es. comfort d marca, affdabltà del tempo totale d vaggo 6

17 Modell d utltà aleatora Cause d aleatoretà dell utltà percepta ( Error d ch scegle ü Varazon d gust o d preferenze fra decsor (es. dstanza da percorrere a ped e, per lo stesso decsore, nel tempo a causa del verfcars d dverse condzon fsche o pscologche. ü Error nelle valutazone degl attrbut da parte del decsore (es. valutazon errate del tempo d vaggo. 7

18 Il modello Logt ( Ipotes: resdu aleator Indpendentemente ed Identcamente Dstrbut (I.I.D secondo una varable aleatora (v.a. d Gumbel con meda nulla e parametro : F [ exp( x ] ( x Prob( x exp Φ Modell d utltà aleatora con φ : costante d Eulero (φ.577. E ( Var ( σ π 6 Cov(,, h I h F U [ V + U ] Pr[ U V ] exp[ exp( ( U V ] ( U Pr Φ E( U V Var( U π 6 8

19 Modell d utltà aleatora Il modello Logt ( A B C D o π 6 A B C D A B C D p( m exp ( V h exp ( V h 9

20 Modell d utltà aleatora Esemp d funzon d denstà d probabltà d Gumbel

21 Esempo Scelta del percorso Modello Logt Multnomale A, B.. d. G ( θ E ( A Var ( A σ π 6 E ( B Var ( B σ π 6 Cov(, Cov(, A B B A Modell d utltà aleatora ( p A ( p B exp ( VA ( A ( B exp ( VA ( ( exp V + exp V exp V + exp V A B V β T +β C V β T +β C A A A B B B

22 Esempo Scelta del percorso O B A I temp espress n mnut e cost n Euro. D I A,B { } exp ( VA ( ( v A 3 mh v B 5 mh d m V. T.93 C V. T.93 C A A A B B B p(a p(b p(a exp V + exp V A B T A C A.86 V A -5.6 T B 4 C B.3 V B p A p B Modell d utltà aleatora

23 Esempo Scelta del percorso Indagne su utent: A 7 utent B 73 utent Modell d utltà aleatora. Aumento del costo del percorso A del 5% T A C A.4 V A -6. T B 4 C B.3 V B -4.6 p A.8 p B.8 Δ A -34% Δ B 3% 3

24 corso d Teora de Sstem d Trasporto Appendce Modell d utltà aleatora PROF. ING. UMBERTO CRISALLI Dpartmento d Ingegnera dell Impresa crsall@ng.unroma.t

25 Modell addtv ( Modell d utltà aleatora Un modello d utltà aleatora è addtvo, se la funzone d denstà d probabltà de resdu aleator non dpende dal vettore dalle utltà sstematche: f ( ( m V f E I modell della famgla Logt (Multnomale, Gerarchzzato o Probt sono addtv se parametr della f( coè dvers o gl element della matrce varanza covaranza Σ, rspettvamente, non dpendono dal vettore V. 5

26 6 Modell addtv ( Propretà de modell addtv Invaranza rspetto all aggunta d costant [ ] [ ] I, V V Pr I p > V ' V + [ ] [ ] ( ( [ ] [ ] I, V prob V V V prob V' prob V' I p > > + + > Modell d utltà aleatora

27 Propretà del modello Logt Invaranza rspetto all aggunta d costant: Modell d utltà aleatora V' p( V m h + exp exp [ (V + ] [ (V + ] h exp exp ( exp( V m ( exp( V h h m h exp exp (propretà valda per tutt modell addtv ( V ( V h Attrbut Specfc dell Alternatva (ASA possono comparre n tutte le alternatve meno una: V V' + β β p( m exp exp [ ( β + V ' ] CSA [ ( β + V ' ] exp( V ' + exp[ (( β β +V' ] exp( V ' 7

28 Indpendenza delle Alternatve Irrlevant (I.I.A. Nel modello Logt l rapporto delle probabltà d scelta d due alternatve è costante ed ndpendente dal numero e dalla utltà sstematca delle altre, eventual, alternatve d scelta: p ( p( h exp exp ( V ( V Questa propretà può comportare de problem quando le alternatve sono sml. p( Auto VAuto V Bus blu p( Auto p( Bus blu.5 p( Busblu V V V Auto Bus blu Bus rosso h ( ( Modell d utltà aleatora p Auto p( Auto p( Bus blu p( Bus rosso.33 p Busblu 8

29 Il modello Logt Gerarchzzato a lvello U V + E V + η + τ I [ ] E[ η ] E[ τ ] Modell d utltà aleatora o, θ η θ τ con: ( ( ( p ( p( p( p probabltà d scelta dell alternatva p probabltà d scelta dell alternatva dato l gruppo probabltà d scelta del gruppo p 9

30 3 Probabltà d scelta dell alternatva dato l gruppo [p(] I V U +, τ, I V prob(v U prob(u p( > > τ τ Ipotes: resdu delle alternatve dsponbl ad ogn nodo d decsone sono I.I.D. Gumbel (, I π τ Var, I τ E, I G τ 6 ( (, I V V p exp( exp( ( Modell d utltà aleatora

31 3 Probabltà d scelta del gruppo [p(] ( ( ( I I * V max max U U +τ +η [ ] ( + I I Y ( V τ V E E U V exp log max * * * * * Y η τ θy U ( G τ *, h Y Y prob U U prob p h h h > > ( ( ( * * * * propretà d stablta rspetto alla massmzzazone della v.a. d Gumbel Modell d utltà aleatora

32 Probabltà d scelta del gruppo [p(] ( Ipotes: resdu delle alternatve dsponbl ad ogn nodo d decsone sono I.I.D. Gumbel * G E Var (, ( ( π 6 * o * Modell d utltà aleatora con: Var p( exp( Y h exp( Yho τ exp( δ Y h exp( δ Y ( ( * Var δ h 3

33 33 Probabltà totale d scelta dell alternatva [p(] ( ( ( h h I δy δy V V p p p exp( exp( exp( exp( ( ( π Var Var * 6 ( ( ( [ ] ( ( ( ( (, Var E E E E E, Cov η τ τ τ η η τ η τ η τ η ( ( ( π τ Var Var η Var 6 Modell d utltà aleatora

34 Matrce varanza-covaranza La matrce varanza-covaranza de resdu aleator del modello Logt Gerarchzzato ha una struttura dagonale a blocch. o, θ o Modell d utltà aleatora θ θ Auto Moto Ped Bus Metro π 6 Auto Moto Ped o o o o Bus o Metro o o o o Auto Moto Ped Bus Metro 34

35 Modello Probt Modell d utltà aleatora Ipotes: ( Σ MVN, E( Var( σ Cov( h h σ Σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ m m m σ m σ m σ m σ m p ( exp [ ] T ( U V Σ ( U V [ ] N ( π det Σ + U < U U U < U du m (..du m 35

36 Varable d soddsfazone U ( max { } U I Modell d utltà aleatora S ( [ ] [ { }] [ { }] V E U ( E max + ( U E max V max V + f ( d I Propretà della var. d soddsfazone per modell addtv: ( V max( V s s( V p( V se I.I.D Gumbel (,: A B ( log exp ( V s V V A 5 V B 7 S 7.7 A B C V A 5 V B 7 V C 4 S 7.7 exp( V log exp ( V exp( V p( V exp( V exp( V 36