MODELLI DI UTILITÀ ALEATORIA

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1 corso d Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro a.a MODELLI DI UTILITÀ ALEATORIA PROF. ING. UMBERTO CRISALLI Dpartmento d Ingegnera dell Impresa crsall@ng.unroma2.t

2 Modell d utltà aleatora Sstema d modell per la smulazone de sstem d trasporto OFFERTA DI INFRASTRUTTURE E SERVIZI DI TRASPORTO MODELLO DI LOCALIZZAZIONE E LIVELLO DELLE ATTIVITÀ SISTEMI DELLE ATTIVITÀ MODELLO DI OFFERTA Ret d trasporto Attrbut d lvello d servzo (temp, cost) MODELLO DI DOMANDA Fluss MODELLI DI ASSEGNAZIONE MATRICI O/D Funzon d prestazone MODELLO DEL SISTEMA DI TRASPORTO Valutazone effett Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 2

3 Modell d utltà aleatora Modell d utltà aleatora (1/2) Ipotes general I modell d utltà aleatora (o casuale) s basano sulla potes che ogn utente sa un decsore razonale ovvero un massmzzatore dell utltà relatva alle propre scelte: a) Il generco decsore nell effettuare la scelta consdera tutte le m alternatve dsponbl che costtuscono l suo nseme d scelta I. L nseme d scelta può essere dfferente per utent dvers. b) Il decsore assoca a cascuna alternatva del suo nseme d scelta una utltà o attrattvtà percepta U e scegle l alternatva che massmzza tale utltà. Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 3

4 Modell d utltà aleatora (2/2) Ipotes general c) L utltà assocata a cascuna alternatva d scelta dpende da una sere d caratterstche msurabl o attrbut propr dell alternatva stessa e del decsore U = U (X ) Modell d utltà aleatora dove X è l vettore degl attrbut relatv all alternatva e al decsore. d) L utltà assocata dal generco decsore all alternatva non è nota con certezza all osservatore esterno (analsta), e pertanto è rappresentata come una varable aleatora. Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 4

5 Modello probablstco d scelta p I = Pr U > U k k,k I Modell d utltà aleatora posto: Utltà sstematca U = V +ε I [ ] [ ] 2 σ Var U V = E U =, Resduo aleatoro s ha: ( ) = 0 ( ) EU = V ( ) 0 Var U = E ε Var 2 ( ε ) = σ, p /I = Pr V V >ε ε k, k I k k Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 5

6 Esempo Scelta del percorso Modell d utltà aleatora Insemedellealternatve = I = A, B v A = 30 km/h v B = 15 km/h d = 10 km O { } A U A = U (X A ) D decsore B U B = U (X B ) p [ I ] = Pr U > U k,k I k Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 6

7 Espressone dell utltà sstematca L utltà sstematca rappresenta la meda dell utltà percepta fra tutt gl ndvdu che hanno gl stess valor degl attrbut. È espressa come funzone d attrbut relatv alle alternatve e al decsore: V con k ndce del generco attrbuto. ( X ) k In genere per ragon d convenenza analtca s assume che la utltà sstematca V sa una funzone lneare ne coeffcent β k degl attrbut o d loro trasformazon funzonal: V ( ) X = β X = β X T k k k Modell d utltà aleatora Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 7

8 Esempo Scelta del percorso Modell d utltà aleatora Attrbut ü Attrbut lvello d servzo Ø tempo d vaggo Ø costo d vaggo Ø ü Attrattvtà del percorso Ø comfort Ø pacevolezza Ø ü.. Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 8

9 Esempo Scelta del percorso Modell d utltà aleatora Utltà percepta e sstematca 2 UA = VA +ε V A A = E U A σ,a = Var U A UB = VB +ε 2 B VB = E U B σ,b = Var U B Tempo d vaggo V = β X =β T +β C A k ka 1 A 2 A k B = β k kb =β 1 B +β2 B k V X T C Costo d vaggo Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 9

10 Modell d utltà aleatora Classfcazone degl attrbut (1/3) Attrbut d lvello d servzo: attrbut propr del sstema d trasporto (es. temp, cost, frequenza de servz, comfort etc.). Attrbut del sstema d attvtà: attrbut dpendent dall uso del terrtoro dell area d studo (es. numero d negoz o numero d scuole d una zona). Attrbut soco-economc: attrbut propr dell utente o del suo nucleo famlare (es. possesso d patente, numero d autovetture possedute n famgla etc.). Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 10

11 Modell d utltà aleatora Classfcazone degl attrbut (2/3) Attrbut generc: attrbut che compaono con stessa forma funzonale e stesso coeffcente n pù d una alternatva. Attrbut specfc: attrbut che compaono con forme funzonal e/o coeffcent dvers n dverse alternatve. Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 11

12 Modell d utltà aleatora Classfcazone degl attrbut (3/3) Attrbuto Specfco dell Alternatva (ASA): rappresenta attrbut non esplctamente consderat nella funzone d utltà (dfferenza fra l utltà meda e quella spegata dagl altr attrbut utlzzat). Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 12

13 Esempo Scelta modale Modell d utltà aleatora Insemedellealternatve = I = ped,auto, bus { } V ped = β 1 t p V auto = β 1 t pa + β 2 t ba + β 3 c a + β 4 DISP + β 5 REDD + β 6 AUTO V bus = β 1 t pb + β 2 t bb + β 3 c b + β 7 t wb + β 8 BUS Attrbut Specfc della Alternatva AUTO BUS Attrbut d Lvello d Servzo t b = tempo a bordo (generco) t w = tempo d attesa alla fermata (specfco) t p = tempo a ped (generco) c = costo monetaro (generco) Attrbut Soco-Economc DISP = n auto/n patentat REDD =1 se reddto> ; 0 altrment Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 13

14 Modell d utltà aleatora Cause d aleatoretà dell utltà percepta (1/2) Error dell analsta ü Approssmazon nella msura degl attrbut consderat nella funzone d utltà sstematca (es. attrbut d lvello d servzo rcavat con un modello d rete) ü Attrbut omess: varabl non osservabl drettamente, d dffcle valutazone o comunque non ncluse nel vettore d attrbut (es. comfort d marca, affdabltà del tempo totale d vaggo) Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 14

15 Modell d utltà aleatora Cause d aleatoretà dell utltà percepta (2/2) Error d ch scegle ü Varazon d gust o d preferenze fra decsor (es. dstanza da percorrere a ped) e, per lo stesso decsore, nel tempo a causa del verfcars d dverse condzon fsche o pscologche. ü Error nelle valutazone degl attrbut da parte del decsore (es. valutazon errate del tempo d vaggo). Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 15

16 Il modello Logt (1/2) Ipotes: resdu aleator Indpendentemente ed Identcamente Dstrbut (I.I.D) secondo una varable aleatora (v.a.) d Gumbel con meda nulla e parametro α : F ε [ exp( αx )] ( x) = Prob( ε x) = exp Φ con φ : costante d Eulero (φ = 0.577). E ( ε ) = 0 Var ( ε ) = σ 2 ε = π 2 6α Cov( ε, ε ) = 0, h I h 2 Modell d utltà aleatora F U [ V + ε U ] = Pr[ ε U V ] = exp[ exp( α( U V ) )] ( U ) = Pr Φ E( U ) = V Var( U ) = Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 16 π 2 6α 2

17 Modell d utltà aleatora Il modello Logt (2/2) A B C D o = π ε 2 6α A B C D 0 A 0 B 0 C 1 D p( ) = m h= 1 exp exp ( ) αv ( αv ) h Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 17

18 Modell d utltà aleatora Esemp d funzon d denstà d probabltà d Gumbel Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 18

19 Esempo Scelta del percorso Modello Logt Multnomale ε A, ε B.. d. G ( θ) E ( εa) =0 Var ( εa) = σ =π 6α E ( εb) =0 Var ( εb) = σ =π 6α Cov( ε, ε ) = Cov( ε, ε ) = 0 A B B A Modell d utltà aleatora ε ε ( ) p A ( ) p B = = exp α ( VA ) ( A) ( B) exp α ( VA ) ( ) ( ) exp α V + exp α V exp α V + exp α V A B V =β T +β C V =β T +β C A 1 A 2 A B 1 B 2 B Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 19

20 Esempo Scelta del percorso O B A D { } I temp espress n mnut e cost n Euro. I = A,B exp α ( VA ) ( ) ( ) v A = 30 km/h v B = 15 km/h d = 10 km V = 0.1 T 1.93 C V = 0.1 T 1.93 C A A A B B B p(a) = exp α V + exp α V A B p(b) = 1 p(a) T A = 20 C A = 1.86 V A = -5.6 T B = 40 C B = 0.30 V B = -4.6 α = 0.1 α = 1.0 α = 2. 0 p A p B Modell d utltà aleatora Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 20

21 Esempo Scelta del percorso Indagne su 1000 utent: A 270 utent B 730 utent Modell d utltà aleatora α=1.0 Aumento del costo del percorso A del 15% T A = 20 C A = 2.14 V A = -6.1 T B = 40 C B = 0.30 V B = -4.6 p A 0.18 p B 0.82 Δ A -34% Δ B 13% Teora e Tecnca della Crcolazone + Trasport e Terrtoro 21