Modelli di simulazione dei sistemi di trasporto collettivo

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA Dpartmento d Ingegnera Cvle Corso d Trasport Urban e Metropoltan Docente: Ing. Perlug Coppola Modell d smulazone de sstem d trasporto collettvo (Bozza n corso d revsone) ANNO ACCADEMICO

2 SOMMARIO 1. INTRODUZIONE I MODELLI D OFFERTA DEI SISTEMI DI TRASPORTO COLLETTIVO Modell d offerta a lnee Modell d offerta a corse Le funzon d costo I MODELLI DI SCELTA DEL PERCORSO PER LE RETI DI TRASPORTO COLLETTIVO LA DETERMINAZIONE DEGLI IPERCAMMINI DI MINIMO COSTO La defnzone formale d percammno Un algortmo per l calcolo dell percammno d mnmo costo Un algortmo per l calcolo de fluss BIBLIOGRAFIA APPENDICE A : RICHIAMI DI TEORIA DEI GRAFI E DELLE RETI

3 1. INTRODUZIONE La caratterstca strutturale del trasporto collettvo è quella d offrre un servzo funzonante n modo dscontnuo (coè fra punt dscret nello spazo) e non contemporaneo (coè dsponble solo n alcun stant d tempo corrspondent orse). Esemp tpc sono servz d lnea (autobus, tren, aere) che possono essere utlzzat solo fra termnal (fermate, stazon, aeroport) e sono dsponbl solo ad alcun stant (gl orar d partenza delle corse). Queste caratterstche fanno sì che modell d offerta che s utlzzano nella pratca per la smulazone d tal sstem sano dfferent da modell utlzzat per le ret stradal (sstem d trasporto contnu e smultane). Inoltre meccansm comportamental sulla base de qual sono specfcat modell d domanda, utlzzat per smulare le scelte d percorso (modell a scelta msta adattva-preventva) sono sostanzalmente dvers da quell utlzzat per l trasporto ndvduale (modell a scelta completamente preventva). Da tal dfferenze derva l esgenza d una sostanzale rformulazone de modell d nterazone domanda/offerta (assegnazone), per la stma de fluss sugl arch s una rete d trasporto collettvo. In questa dspensa vengono rchamat concett e le potes fondamental per la smulazone de sstem d trasporto collettvo: nel captolo 2 vengono descrtt modell d offerta a lnee e a corse, nonché vengono presentate le funzon d costo che tpcamente s utlzzano ne sstem ad alta frequenza; nel captolo 3 vengono rchamate le potes alla base de modell d scelta del percorso per sstem d trasporto collettvo ad alta frequenza, secondo lo schema comportamentale delle stratege d vaggo (o dell percammno) proposto da Spess e Floran (1988) e Nguyen e Pallottno (1986) e vene rportata una specfcazone d modello d scelta del percorso agl percammn; nel captolo 4 vene descrtto nfne un algortmo per l ndvduazone dell percammno d mnmo costo e per l calcolo de fluss sulle lnee utlzzando un modello determnstco su rete non congestonata (AoN). 2. I MODELLI D OFFERTA DEI SISTEMI DI TRASPORTO COLLETTIVO In generale, modell matematc dell offerta d trasporto utlzzano la teora de graf e delle ret per rappresentare la struttura topologca e funzonale del sstema (s veda l appendce A). I servz d trasporto collettvo possono essere rappresentat con de graf d tpo dverso a secondo delle caratterstche del servzo offerto e delle potes che s fanno su comportament d scelta del percorso. Se s tratta d servz a frequenza elevata (ad esempo con passagg ogn 5-15 mnut) e bassa regolartà è d solto accettable l potes che gl utent non scelgano la sngola corsa, ma puttosto la lnea, ovvero l nseme d corse che hanno gl stess capolnea, le stesse fermate ntermede e le 3

4 stesse prestazon come nel caso d una lnea urbana d autobus o d metropoltana. In questo caso s può utlzzare un grafo a lnee. Se la frequenza de servz è bassa e/o s rtene accettable l potes che gl utent scelgano le sngole corse de servz offert è necessaro rappresentare l servzo con un grafo dverso noto come grafo a corse. Questo caso s verfca d solto per servz d trasporto extraurbano (aereo, treno, bus d lnea) che d solto offrono frequenze d servzo basse e puntualtà suffcentemente elevata, tal da ndurre gl utent a sceglere le sngole corse de servz. Il grafo a corse è anche detto dacronco, perché, come vedremo, a dvers nod rappresentat sono assocate anche delle coordnate temporal. 2.1 Modell d offerta a lnee Un grafo a lnee è costtuto dal sottografo de servz d trasporto collettvo che s voglono modellzzare esplctamente e dal sottografo d accesso/egresso (A/E) a tal servz. Il sottografo d accesso/egresso è formato da un nseme d nod ed arch che consentono d connettere centrod spazal (orgne e/o destnazone degl spostament) alle fermate e/o termnal d accesso al servzo. In ambto urbano ad esempo l sottografo d A/E è costtuto dalla rete delle strade pedonal che consentono d raggungere le fermate a partre da centrod d zona. I servz d trasporto collettvo sono rappresentat medante l sottografo delle lnee. I nod d tale sottografo corrspondono a dvers stant sgnfcatv che s verfcano alle fermate (ved fgura 1).: l nodo fermata (o nodo d dversone) rappresenta l avvenuta decsone dell utente d utlzzare l trasporto collettvo; nod d lnea rappresentano passagg de vecol d una certa lnea alla fermata. Gl arch del sottografo delle lnee sono classfcabl n: Ram d salta: collegano l nodo fermata a nod lnea e rappresentano l avvenuta decsone d salre sulla generca lnea a servzo della fermata; Ram d lnea (o ram a bordo): collegano nod lnea relatv a due fermate successve e rappresentano lo spostamento a bordo de vecol della lnea d trasporto pubblco che collega le due fermate. Ram d dscesa: collegano nod lnea a nod d dversone rappresentano l avvenuta decsone da parte dell utente d scendere dal mezzo. 4

5 Fgura 1 - Schematzzazone della fermata nel sottografo delle lnee Il grafo globale del trasporto collettvo (ved fgura 2) s ottene dall unone de due sottograf tramte gl element d connessone da ntrodurre alle fermate rappresentat da Ram d dversone (o d attesa), che collegano un generco nodo della rete pedonale al nodo fermata e rappresentano l avvenuta decsone degl utent d salre da una delle lnee che servono la fermata. [12,8] [6,8] [12,8] E [5,15] [6,9] LEGENDA [4,15] centrode r A B [6,6] C [4,4] [4,5] [4,6] [4,5] D [10,6] [5,6] [10,8] [5,8] F G [10,5] [5,5] s [ φ,t] nodo pedonale nodo pedonale fermata nodo fermata nodo lnea ramo connettore/pedonale ramo attesa-dscesa ramo lnea φ=frequenza (bus/h), t=tempo (mn) Fgura 2 Grafo globale del trasporto collettvo per lnee 5

6 2.2 Modell d offerta a corse I graf a corse vengono utlzzat quando è necessaro consderare esplctamente la dpendenza temporale del servzo. Ess sono tpcamente compost da tre dvers sottograf n cu cascun nodo ha una esplcta coordnata temporale: l sottografo del servzo Ω g ; l sottografo della domanda Ω d ; un sottografo d accesso/egresso Ω ae. Dato un oraro d servzo, nell approcco per corse cascuna corsa vene esplctamente presa n consderazone. Questa può essere descrtta con un sottografo Ω g,r n cu nod rappresentano gl stant d arrvo e d partenza alle stazon e gl arch rappresentano l trasfermento da una stazone ad un altra oppure la sosta del vecolo (treno, aereo, bus) ad una data stazone. Altr nod rappresentano l arrvo dell utente alla stazone per salre o scendere da cascuna corsa; quest nod sono collegat, medante arch d salta e dscesa, con nod rappresentatv dell arrvo e della partenza d quella corsa. L nseme d quest nod ed arch è d solto defnto come sottografo delle corse. Il sottografo Ω g è ottenuto connettendo tutt sottograf Ω g,r attraverso ram che rappresentano lo spostamento dell utente da una corsa alla successve nella stessa fermata (asse fermata o asse stazone). Per smulare le scelte tra le dverse corse o sequenze d corse è necessaro effettuare una segmentazone temporale della domanda n funzone dell stante desderato d partenza (o d arrvo a destnazone) degl utent. Tal stant possono essere rappresentat medante nod cu corrsponde una partcolare coordnata temporale (o centrod temporale). Il sottografo d domanda Ω d è costtuto, a sua volta, da un numero d sottograf Ω d,c quant sono centrod d zona. Per cascun centrode spazale c, l sottografo Ω d,c è composto: da tant centrod temporal, tutt stuat nella stessa poszone del relatvo centrode spazale c, quant sono gl stant desderat d partenza dall orgne degl utent; da nod rappresentatv della partenza effettva dall orgne per raggungere cascuna stazone; da nod rappresentatv dell arrvo effettvo alla destnazone partendo da cascuna stazone. 6

7 Ogn centrode temporale è collegato con nod rappresentatv degl stant d partenza/arrvo effettvo dall orgne/destnazone da arch che rappresentano la durata del perodo d antcpo o rtardo con cu s parte dall orgne rspetto all stante desderato d partenza o s arrva n destnazone rspetto all oraro desderato d arrvo. In fgura 3 è rappresentato un grafo dacronco relatvo ad un stante d partenza desderato; graf analogh possono essere costrut per un stante desderato d arrvo. Arco d attesa Arco d salta Partenza dall' orgne Arco d accesso alla stazone A Corsa r Arco d dscesa Arch d egresso Centrode temporale (oraro desderato d partenza) Partenza dall' orgne Corsa r-1 Asse temporale stazone B Arrvo a destnazone Arco d accesso alla stazone A Asse temporale stazone A Fgura 3 La rappresentazone dacronca per corse ne servz d trasporto collettvo Il sottografo d accesso/egresso Ω ae è formato da: ram che connettono nod d partenza dall orgne a nod sul prmo asse d fermata a bordo, per rappresentare l accesso a servz; ram che connettono nod d dscesa dell asse fermata a nod d arrvo a destnazone, per rappresentare l egresso dal sstema d trasporto collettvo; ram che connettono le fermate, per rappresentare anche possbl nterscamb tra dverse fermate. Infne, l grafo dacronco globale Ω è ottenuto attraverso l unone de tre sottograf suddett: Ω = Ω s Ω ae Ω d 7

8 2.3 Le funzon d costo Cascun arco del grafo utlzzato per rappresentare un sstema d trasporto corrsponde ad una fase dello spostamento, coè la percorrenza d un elemento fsco (ad esempo un tronco stradale) e/o una attvtà connessa allo spostamento (ad esempo l attesa d un treno ad una stazone); n entramb cas l attraversamento dell arco è caratterzzato da un tempo d trasfermento e/o da altr oner sopportat dall utente. Il costo generalzzato medo d trasporto, o pù sntetcamente l costo d trasporto d un arco, è una varable che sntetzza l valore medo delle dverse voc d costo sopportate dagl utent così come da loro percepte nella effettuazone delle scelte d trasporto e, pù n partcolare, nella scelta del percorso. In altr termn l costo d trasporto d un arco rflette la dsutltà degl utent a percorrere l arco stesso (attraversare l elemento fsco e/o svolgere l attvtà rappresentata dall arco). Gl element che compongono l costo d trasporto sono n generale grandezze non omogenee, per esempo tempo d percorrenza, costo monetaro, dscomfort. Per rdurre l costo ad un unca grandezza scalare, a seconda de cas s può prendere n esame la componente pù rlevante per gl utent, d solto l tempo d trasfermento, oppure omogenezzare le dverse component n un costo generalzzato attraverso l applcazone d coeffcent d omogenezzazone β l cu valore può essere stmato con un modello d scelta del percorso d cu s drà al captolo 3. Ad esempo l costo generalzzato d trasporto c relatvo all arco -smo può essere formulato n modo elementare come: c = β 1 t +β 2 cm dove t è l tempo d attraversamento e cm è l costo monetaro (ad esempo l pedaggo) connesso all attraversamento dell arco. In generale l costo, c è una funzone (tpcamente lneare) degl attrbut d prestazone del ramo x k al d sotto delle scelte d percorso (per esempo costo monetaro, tempo d accesso, tempo d vaggo a bordo, numero d trasbord, tempo d egresso, e così va): c = β x k k k A causa della congestone, alcun attrbut d prestazone, e qund l costo medo del ramo, possono dpendere dal numero d utent sul ramo e, possblmente, dagl altr ram del grafo. In partcolare, rferendos alla tradzonale rappresentazone delle fermate llustrate n fgura 2, per ram d corsa e dscesa, possono essere usate le funzon d costo separabl come 8

9 k 3 f c( f ) = k1 t + k2 cap r n cu f è l flusso sul ramo, t è l suo stesso tempo d vaggo, cap r è la capactà della corsa r, rappresentata dal ramo, e k 1 >0, k 2 >0, k 3 >1, mentre, per ram salta, è possble usare funzon d costo non separabl come c ( f, f j k 6 f + f j ) = k4 f + k5 cap r n cu f è l flusso sul ramo salta, f j è l flusso sul ramo dscesa j, cap r è la capactà della corsa r, rappresentata dal ramo, e k 4 >0, k 5 >0, k 6 >1. In alcun cas s assume che non v sano sgnfcatv fenomen d congestone, ovvero che l costo d trasporto sa costante, coè ndpendente dal flusso d utent che utlzza quello e/o altr arch della rete. Il costo d trasporto può essere espresso da una combnazone lneare delle dverse grandezze (attrbut) che lo determnano, ad esempo l tempo ed l costo monetaro come nella espressone oppure da un unco attrbuto che s rtene prevalente. Un caso tpco è quello degl arch pedonal l cu costo d solto concde con l solo tempo d spostamento; d solto s assume che l tempo a ped sa ndpendente dal flusso che utlzza l arco pedonale1 per cu la funzone d costo dpende solo dalle caratterstche fsche e funzonal dell arco ma non dal flusso che lo utlzza. Ad esempo l tempo può essere calcolato dvdendo la lunghezza del segmento (L l ) per la veloctà del pedone medo (V p ): c P l L = V l P e la veloctà può a sua volta dpendere dalle caratterstche fsche dell arco, ad esempo la pendenza. Espresson analoghe possono essere utlzzate per cost relatv ad arch a bordo d lnee d trasporto collettvo o arch stradal non congestonat. In quest cas le veloctà mede possono essere espresse n funzone delle caratterstche de vecol (peso, potenza, ecc.), della nfrastruttura (pendenza, ragg d curvatura, ecc.) e delle regole d crcolazone per l tronco d nfrastruttura e l tpo d servzo rappresentato. Relazon d questo tpo sono rcavabl sulla base della meccanca della locomozone e per esse s rnva a test specalzzat. Talvolta l calcolo delle component del 1 Anche per sstem pedonal è possble ntrodurre fenomen d congestone e correlare l costo generalzzato d trasporto alla denstà pedonale presente su cascun tronco utlzzando alcune espresson emprche rportate n letteratura. 9

10 costo d trasporto rchede delle potes pù sntetche sul funzonamento del sstema che s ntende smulare. Cò accade, ad esempo, per gl arch d attesa d un sstema d trasporto collettvo rappresentato per lnee. In questo caso d solto l costo s assume par al tempo medo d attesa ovvero al tempo medo che l utente spende fra l stante d arrvo alla fermata/stazone e l stante d arrvo della lnea (o delle lnee) che ntende utlzzare. Nel caso d un unca lnea dsponble con frequenza ϕ l (numero passagg/untà d tempo) l tempo medo d attesa tw l, dpenderà dalla regolartà de passagg della lnea. S può nfatt dmostrare che nell potes d arrv con tasso medo costante2 degl utent (coerente con l potes d stazonaretà ntraperodale) l tempo medo d attesa vale: tw l = θ ϕ l dove θ è par a 0,5 se la lnea è perfettamente regolare, (ntervall fra passagg successv costant e par a 1/ϕ l ) a 1 se la lnea è completamente casuale (gl ntervall fra passagg successv sono varabl aleatore esponenzal negatve), ved fgura LINEA CON ARRIVI REGOLARI t w t 7:00 7:10 7:20 E[t w ]= t w =10 /2=5 1/ϕ=10 LINEA CON ARRIVI CASUALI t 7:00 7:03 7:20 1/ϕ=10 E[t w ]= t w =10 Istante d arrvo d un autobus alla fermata Istante d arrvo d un utente alla fermata Fgura 3 Tempo medo d attesa alla fermata. 2 Pù n partcolare s assume che l arrvo degl utent sa un processo d Posson, ovvero gl ntervall fra due arrv successv sono dstrbut secondo una varable esponenzale negatva. (v. appendce B). 10

11 Nel caso pù complesso d dverse lnee attrattve, ovvero n cu l utente attende l prmo vecolo che transta appartenente ad un nseme d lnee L, l tempo medo d attesa può ancora essere calcolato tramte la (2.3.1) utlzzando la frequenza cumulata ϕ L dell nseme d lnee: tw l θ = con ϕl = ϕ L l L ϕ l 3 I MODELLI DI SCELTA DEL PERCORSO PER LE RETI DI TRASPORTO COLLETTIVO Il modello d scelta del percorso fornsce l alquota p [k/odm] degl spostament effettuat da utent d categora, che utlzzano cascun percorso k relatvo al modo m per recars da o a d. I modell d scelta del percorso utlzzat nella prass sono tutt d tpo comportamentale n quanto meccansm d scelta sono suffcentemente elementar e le varabl (attrbut) n goco sono prevalentemente rferte al lvello d servzo offerto dalle dverse ret modal. I comportament d scelta del percorso, ed modell che l rappresentano, dpendono dalle dverse caratterstche del servzo offerto dal modo d trasporto n esame. In partcolare s può dstnguere l caso n cu la scelta sa effettuata nteramente prma d nzare lo spostamento (scelta preventva), da quello n cu la scelta del percorso avvenga n due fas e sa completamente defnta solo durante lo spostamento a seguto d adattament alle crcostanze non prevedbl prma d ntraprendere lo spostamento ncontrate durante lo spostamento stesso (scelta msta preventva/adattva). Il prmo caso è d solto assunto per la scelta del percorso per sstem che offrono un servzo d trasporto contnuo (l esempo tpco è la rete stradale per le modaltà ndvdual qual auto, ped, ecc.), ovvero un servzo d trasporto dscontnuo (ad oraro) con frequenze suffcentemente basse ed elevata regolartà per l quale s può assumere che l utente conosca l offerta (oraro de servz) e scelga la corsa prma d nzare lo spostamento. Il comportamento msto preventvo/adattvo è nvece d solto consderato per sstem che offrono un servzo d trasporto dscontnuo (d lnea) con frequenza d servzo elevata e/o bassa regolartà qual servz d autobus urban. In questo captolo sono descrtte le potes comportamental ed modell d scelta del percorso utlzzat nel caso d servz d trasporto dscontnu (comportamento msto adattvo-preventvo) 11

12 facendo prevalentemente rfermento alle ret d trasporto collettvo ad elevata frequenza e bassa regolartà tal da gustfcare la rappresentazone per lnee 3 descrtta nel captolo precedente. Come per tutt modell comportamental la specfcazone completa d un modello d scelta del percorso s artcola n tre fas: la defnzone delle alternatve d scelta; l ndvduazone dell nseme delle possbl alternatve (nseme d scelta) e la defnzone del modello d scelta fra le alternatve possbl che, a sua volta, mplca la defnzone degl attrbut e della utltà sstematca delle alternatve oltre alla forma funzonale del modello d scelta. 3.1 La defnzone delle alternatve d scelta In una rete d servz d trasporto collettvo a frequenza elevata, le alternatve d scelta non possono essere ottenute per analoga con l caso de servz contnu e sono rcheste potes esplcte e pù artcolate su comportament degl utent. In molt cas nfatt non è realstco assumere che l utente consder come alternatve soltanto sngol percors sulla rete rappresentatva de servz per lnee. Se così fosse un utente potrebbe consderare come alternatve dfferent e mutuamente escludentes percors ndvduat da cascuna delle lnee che effettuano servzo fra una stessa coppa d fermate anche nel caso che v sano pù lnee perfettamente equvalent. Ad esempo un utente che s spostasse sulla rete d fgura 4 e sceglesse l percorso b rportato n fgura 5 e la lnea 7 che v appartene, una volta arrvato alla fermata D dovrebbe rfutare un vecolo della lnea 8 che passasse prma d uno della lnea 7 (pur essendo questa equvalente), perché due percors apparterrebbero a due alternatve d scelta dverse. Per superare queste lmtazon bsogna prevedere la possbltà che le alternatve d scelta consderate da un utente prma d nzare lo spostamento comprendano pù lnee equvalent, ovvero pù percors sul grafo che le rappresenta. L potes d partenza per la defnzone delle alternatve d scelta è che l utente che ntraprende uno spostamento n un sstema d trasporto collettvo ad elevata frequenza, non possede all nzo dello spostamento tutte le nformazon necessare per poter decdere completamente l suo spostamento. Ad esempo non è n grado d prevedere con esattezza l suo stante d arrvo alle vare fermate e/o 3 La scelta del percorso n sstem rappresentat per corse è d solto assunta come completamente preventva e modell che la smulano sono analogh a quell delle ret stradal; n questo caso, tuttava, le alternatve d scelta sono le sngole corse o sequenze d corse rappresentabl come percors sulla rete dacronca delle corse. 12

13 l effettvo oraro d passaggo de vecol (tren, autobus, ecc.) delle dverse lnee che effettuano servzo a cascuna fermata. In queste condzon l utente non scegle un predetermnato percorso ma puttosto una stratega d vaggo che gl consente d ottenere l costo medo dello spostamento che egl gudca mnore. Una stratega è defnta da un nseme d scelte predefnte e d regole d comportamento da segure durante l vaggo, adattandos ad event casual o comunque non not a pror. Nell esempo d fgura 4 una stratega d vaggo potrebbe essere quella d recars alla fermata B e salre sul prmo vecolo che passa fra quell appartenent alle lnee 5 e 6, ovveroquella d aspettare, alla fermata D, l prmo vecolo che passa tra quell appartenent alle lnee 7 e 8. S confgurano dunque due tpologe d comportamento d scelta: comportamento d scelta preventvo e adattvo. lnea 1 ϕ=12 bus /h A C lnea 2 ϕ=6 bus /h E lnea 3 ϕ=5 bus /h lnea 4 ϕ=4 bus /h F r B lnea 5 ϕ=4 bus /h lnea 6 ϕ=6 bus /h lnea 7 ϕ=10 bus /h D lnea 8 ϕ=5 bus /h Fgura 4 - Esempo d una rete d lnee d trasporto collettvo. G s Il comportamento d scelta preventvo è quello che l utente adotta prma d nzare l vaggo confrontando le possbl stratege alternatve e sceglendone una sulla base delle caratterstche, o attrbut, attes. In defntva le scelte preventve sono analoghe a quelle potzzate nel modello d scelta del percorso su ret a servz contnu e, pù n generale, per le scelte sulle altre dmenson. Il comportamento d scelta adattvo è quello che l utente segue durante l vaggo adattandos, come s è detto, ad event casual o non prevedbl. Il tpo d comportamento d scelta adattvo e l nseme delle alternatve a cu s applca defnscono una stratega d vaggo. 13

14 w=15 percammno semplce a (1) W=15 q=1 a percammn semplc: a,b,c,d,e,f,g percammn compost: a+b,b+c,a+c,a+b+c, e+f,f+g,e+g,e+f+g W= tempo medo d attesa totale w= tempo medo d attesa alla fermata η= probabltà d dversone q k= probabltà d scelta del percorso k w=10 percammno semplce b (2) W=16 w=6 q=1 b w=5 w=10 percammno semplce e (5) W=15 q=1 e percammno semplce c (3) W=22 w=10 q=1 c w=12 w=5 w=12 percammno semplce f (6) W=17 q=1 f percammno semplce d (4) W=15 percammno semplce g (7) w=5 w=10 q=1 d w=5 w=15 W=20 q=1 g percammno composto e+f (12) W=10.45 w=6 η=0.4 percammno composto a+b (8) W=12 q=0.4 a q=0.6 b w=5 w=5.45 η=0.54 η=0.46 q e=0.54 q=0.46 f η=0.6 w=6 w=6 η=0.6 η=0.4 percammno composto a+c (9) w=12 W=18 q=0.4 a q=0.6 c w=5 w=6.66 percammno composto f+g (13) W=11.66 η=0.56 q f=0.56 q g=0.44 η=0.44 w=10 percammno composto b+c (10) η=0.67 w=4 η=0.33 W=14 q =0.67 b q =0.33 c w=5 w=6 percammno composto e+g (14) W=11 η=0.6 q=0.6 e η=0.4 q=0.4 g η=0.4 percammno composto a+b+c (11) W=10 q=0.4 a w=6 η=0.67 q=0.4 b w=4 η=0.6 q=0.2 c η=0.33 w=5 w=4 Ipercammno composto e+f+g (15) W=9 η=0.4 η=0.33 q=0.4 e q=0.33 f η=0.27 q =0.27 g Fgura 5 - Enumerazone degl percammn (semplc e compost) per la rete d servz d fgura 4. La determnazone delle alternatve d scelta (stratege) rchede qund l esplctazone del modello d comportamento adattvo. La scelta adattva della lnea alla fermata può essere: 14

15 ndfferente: coè l utente sale sul prmo vecolo che arrva d una lnea compresa nell nseme d lnee appartenente alla stratega scelta (n manera preventva); ntellgente: coè all arrvo d un autobus d una lnea compresa nell nseme d lnee attrattve scelto, l utente sale sul vecolo se la dsutltà meda (percepta) del vaggo (dalla fermata consderata alla destnazone fnale dello spostamento) connessa all utlzzazone d quella lnea è nferore alla dsutltà del vaggo, comprensvo dell attesa, conseguente all uso delle lnee non ancora arrvate. Nel caso d sstem d trasporto collettvo tradzonal s assume che ad una fermata l utente segua la regola d salre sul prmo vecolo che passa fra quell che appartengono ad alcune lnee (una o pù), detto nseme delle lnee attrattve L defnto prma d nzare lo spostamento (comportamento d scelta adattvo ndfferente). D altra parte, nel caso d sstem pù modern (per esempo que sstem n cu alle fermate sono present pannell che fornscono nformazon n tempo reale su temp d attesa delle corse n arrvo) è preferble assumere un comportamento adattvo ntellgente. Le scelte d tpo adattvo-ndfferente, comunemente potzzate, avvengono alle fermate e sono relatve alla decsone d salre su un vecolo d una lnea ovvero d attendere un vecolo d un altra lnea. Non sono nvece consderate scelte adattve quelle della fermata d salta e d dscesa. Proseguendo nell esempo relatvo alla fgura 4 sotto questa potes, una stratega non può prevedere d scendere alla fermata C o alla fermata E della lnea 1 (fgura 6) perché s è assunto che queste sano scelte d tpo preventvo, ossa che non v sano event non conoscut dall utente adattandos a qual prendere questa decsone. Per ragon analoghe una stratega non può prevedere d recars alla fermata A per prendere la lnea 1 oppure alla fermata B per la lnea 6 o la lnea 5 (fgura 7). lnea 1 ϕ=12 bus /h A C lnea 3 ϕ=5 bus /h E lnea 2 ϕ=6 bus /h lnea 4 ϕ=4 bus /h F r s Fgura 6- Esempo d sottografo della rete d fgura 4 che rappresenta una scelta adattva della fermata d dscesa (tpcamente non ammessa per potes). 15

16 lnea 1 ϕ=12 bus /h A lnea 2 ϕ=6 bus /h C lnea 4 ϕ=4 bus /h F r B lnea 5 ϕ=4 bus /h G s Fgura 7- Esempo d sottografo della rete d fgura 4 che rappresenta una scelta adattva della fermata d salta (tpcamente non ammessa per potes). Se s potzza che l arrvo degl utent e de vecol alle fermate sano completamente casual (ovvero che sano process d Posson con probabltà unforme d arrvare n qualunque stante) e che passagg delle vare lnee appartenent a L sa equdstanzato nel tempo, la probabltà d salre sulla lnea l appartenente all nseme delle lnee attrattve alla fermata, L, può essere espressa con: Pr [ l /,L ] = ϕ l / dove ϕ l rappresenta la frequenza (numero d passagg /untà d tempo) della lnea 1. Sotto le potes d comportamento adattvo descrtte, una stratega d vaggo, ovvero un alternatva d scelta preventva, può essere rappresentata sul grafo della rete de servz d trasporto collettvo come un sottografo detto percammno. 4 Per quanto detto n precedenza percors elementar sulla rete delle lnee, ovvero le sequenze d arch consecutv che collegano una orgne con la destnazone senza ccl, sono n lnea teorca delle stratege possbl, n partcolare stratege che escludono scelte adattve. I percors sono defnt percammn semplc. Stratege che ncludono scelte adattve ad una o pù fermate possono essere rappresentate come l unone d pù percammn semplc che, per quanto detto n precedenza, devono essere tal che solo da nod fermata ( o nod d n L ϕ n 4 Coerentemente con la termnologa adottata l sottografo rappresentatvo dovrebbe chamars perpercorso, s è tuttava preferto utlzzare la dzone utlzzata n letteratura. 16

17 dversone) 5 possono uscre pù arch. Tal sottograf prendono l nome d percammn compost; nella fgura 5 sono enumerat tutt gl percammn della rete d lnee d fgura 4. Ad ogn nodo d dversone d un percammno h qund corrsponderà un nseme L h d lnee attrattve appartenent all percammno consderato. Agl arch d salta l=(,j) che collegano l nodo d dversone con nod j delle lnee che appartengono ad L h è possble assocare una probabltà d dversone, η lh, ovvero la probabltà d utlzzare la lnea corrspondente al nodo j all nterno dell percammno h, per gl event casual che determnano la scelta adattva: η l,h = 0 [ l = (, j) /,L ] = p h = ϕ l / ϕ n n L h se l h,l altrment arco d salta Così ad esempo l nseme d dversone L D,10 n corrspondenza del nodo d dversone D nell percammno composto 10 d fgura 5 è costtuto dalle lnee 7 e 8: L D,10 = {7,8} e la probabltà d dversone dell arco d salta sulla lnea 7, l 7, può essere calcolata come: η l7,10 = ϕ 7 /(ϕ 7 +ϕ 8 ) = 10/(10+5)= 0.66 Convenzonalmente s assegna una probabltà d dversone uguale a uno agl arch non d salta appartenent all percammno: η l,h = 1 se l h e non è d salta e una probabltà nulla agl arch non appartenent all percammno: η l,h = 0 se l h Sulla base delle probabltà d dversone η l,h è possble calcolare la probabltà q kh d segure l percorso k all nterno dell percammno h durante un certo vaggo. Infatt assumendo la ndpendenza statstca degl event aleator che determnano comportament adattv, la probabltà d segure un certo percorso k all nterno dell percammno h è par al prodotto delle probabltà d dversone per tutt gl arch l che appartengono al percorso k, ovvero: qkh = Π l k η l,h da cu rsulta: q kh = 0 se k h 5 I nod fermata (o d dversone) sono quell da qual s dpartono gl arch rappresentatv de collegament della fermata con le dverse lnee che v fanno servzo come defnt nel captolo 2 e rappresentat grafcamente n Fgura 1. Per una defnzone formale dell percammno n termn d varabl d grafo s rnva al captolo 4. 17

18 Tale probabltà vale ovvamente uno se l percorso k concde con l percammno (semplce) h. Procedendo nell esempo precedente la probabltà q b,10 d segure l percorso b all nterno dell percammno composto 10 è par a 0,67; la probabltà d segure lo stesso percorso n un altro percammno è dversa, ad esempo q b,2 =1, q b,1 = 0, q b,11 = 0,40 e così va. S not che un percorso può appartenere a pù d un percammno. È noltre possble calcolare le probabltà b lh d attraversare un sngolo arco l dell percammno h come la somma delle probabltà d segure uno de percors k appartenent all percammno h e che comprendono l arco l: b lh = k:l k q kh = k a lk q kh da cu rsulta: b lh = 0 se l h dove a lk è l generco elemento della matrce d ncdenza arch percors che vale uno se l arco l appartene al percorso k e zero altrment. In defntva l utente che scegle una certa stratega (ovvero un percammno che la rappresenta) non conosce n generale prma d nzare lo spostamento quale percorso e qund qual lnee e qual arch utlzzerà, n quanto questo dpende da event aleator qual la successone d arrv de vecol alle fermate. In vagg dvers lo stesso utente che scegle lo stesso percammno potrebbe usare lnee, percors ed arch dvers con probabltà che sono fornte dalle precedent equazon. Inoltre n cascun vaggo spermenterà temp e, n generale, cost dello spostamento dvers l cu valore medo può essere espresso n funzone delle probabltà q kh come s vedrà tra breve. 3.2 L nseme delle alternatve d scelta. Una volta defnte le alternatve d scelta (stratege o percammn), è possble trattare l problema dell nseme d tal alternatve (nseme d scelta) che l utente prende n consderazone. La defnzone dell nseme de percors ammssbl, ovvero delle alternatve d scelta, è partcolarmente rlevante per la dmensone d scelta del percorso dove la complesstà topologca della rete può dar luogo a decne, o centnaa d percors che collegano una coppa O-D. L nseme de percors ammssbl I odm che collegano la coppa d centrod (o,d) sulla rete del modo m, andrebbe defnto secondo un modello comportamentale che rappresent la percezone degl utent fornendo la probabltà d cascun percorso d appartenere all nseme delle alternatve percepte da un generco utente d categora. Nella prass, tuttava, s rcorre ad approcc eurstc che possono essere classfcat n due tpologe. 18

19 L approcco esaustvo consdera ammssbl tutte le stratege (ovvero gl percammn che le rappresentano) esstent sulla rete n esame. Questo approcco può generare percors con un elevato grado d sovrapposzone, e qund d correlazone nella percezone delle (ds)utltà, possbltà che va tenuta n conto nel modello d scelta del percorso. Inoltre, data la complesstà computazonale d enumerare esplctamente tutt percors d una rete, questa operazone d solto vene fatta n modo mplcto (enumerazone mplcta de percors) utlzzando appunto algortm mplct d calcolo delle probabltà d scelta del percorso e d assegnazone de fluss, come s vedrà nel captolo 4. L approcco selettvo consdera ammssbl solo gl percammn fra quell topologcamente ammssbl sulla base del soddsfacmento d alcune regole eurstche. Ad esempo all nterno dell percammno, l generco percorso non contene pù d un trasbordo, non può allontanars dalla destnazone, non può avere un costo medo percepto maggore d una prefssata percentuale rspetto al costo mnmo e così va. In generale, può drs che l approcco esaustvo è tpcamente assocato ad una enumerazone mplcta degl percammn. l approcco selettvo d solto prevede la enumerazone esplcta d percors fra cascuna coppa O-D. Per quanto rguarda l campo d applcazone ed vantagg recproc de due approcc s può dre che l approcco selettvo consente un controllo mglore sulla ammssbltà de percors generat; tuttava quest vantagg sono ottenut a fronte d un maggor onere computazonale. Nelle applcazon l approcco prevalentemente utlzzato è quello esaustvo con enumerazone mplcta, data la complesstà d calcolo connessa alla enumerazone esplcta degl percammn. 3.3 La specfcazone del modello d scelta Specfcare l modello d scelta fra le alternatve rchede, come detto, la defnzone degl attrbut e della forma funzonale del modello d utltà aleatora. Anche nel caso d ret d servz dscontnu s assume che per cascun percammno h, appartenente all nseme I odm degl percammn che collegano la coppa (o,d) sulla rete del modo (o de mod) collettvo m, la utltà percepta dell percammno U h abba una meda (utltà sstematca) V h negatva par al costo medo G h U h = V h + ε h = -G + ε h h h I odm ADD Il costo medo dell percammno G h può essere espresso come la somma d una parte addtva G h e d una non addtva G NA h che n questo caso, a dfferenza de cost d percorso è sempre presente: G = G + G h ADD h NA h 19

20 Il costo addtvo G ADD h è la meda pesata de cost generalzzat (temp) d attraversamento degl arch non d attesa appartenent all percammno, qual tempo a bordo, d salta, d dscesa e tempo a ped: G ADD h = β b T bh + β s T sh + β d T dh + β p T p dove β sono rspettv coeffcent. Il costo non addtvo è esprmble come somma de cost (temp) d attesa W h, meda pesata de cost w h assocat agl arch d attesa, nonché degl eventual ulteror cost non addtv ovvero non assocabl a sngol arch (ad esempo tarffe costant e numero d trasbord) N h : G NA h = β w W h +β N N h dove β w e β N sono coeffcent d recproca sosttuzone fra le dverse voc d costo non addtvo. In partcolare l costo addtvo d spostamento G ADD h può essere ottenuto a partre da cost d spostamento de sngol arch c l e dalle probabltà d utlzzo de sngol percors k appartenent ad h (q kh ) ovvero delle probabltà d attraversamento de sngol arch (b lh ). G ( l k cl ) = l blh l ADD ADD h = k qkhck = k qkh c Il costo (tempo) medo d attesa W h connesso all percammno h può essere calcolato a partre da temp d attesa w lh assocat a cascun arco d attesa che possono essere espress come: w lh θ = 0 n Lh ϕ n se l è arco d dversone altrment dove è l nodo d dversone da cu parte l arco l, L h l nseme delle lnee attrattve appartenent all percammno h, n l generco arco d dversone che esce da ovvero la generca lnea nell percammno h e θ è un parametro che assume valor compres nell ntervallo (0,5-1) n funzone della potes sulla legge degl arrv degl utent e de vecol (v. captolo 2). Il costo medo d attesa W h assocato all percammno h s può esprmere come: W h = l h w lh da cu rsulta mmedatamente che l tempo d attesa w lh dpende, per lo stesso arco d dversone l, dall percammno a cu s fa rfermento e pertanto l tempo totale d attesa W h non è ottenble come combnazone lneare d cost d arco ndpendent dall percammno; n altr termn esso non è addtvo su cost d arco. 20

21 Per quanto rguarda nfne l modello d scelta fra le alternatve (percammn) dsponbl, questo può essere espresso n forma generale come la probabltà p H [h] che l percammno h sa quello d massma utltà percepta: p H [ h] = Pr[ Gh + ε h Gh' + ε h' ] h',h I odm Anche nel caso del modello d scelta degl percammn s possono segure due approcc. Quello d utltà determnstca (Var[ε h ]=0) che assegna tutta la domanda all percammno d mnmo costo generalzzato e modell d utltà casuale, tpcamente Logt e Probt. Tabella 1 Costo determnstco degl percammn d fgura 5. Ipercammno lnee component T bordo (mn) W h G h (mn) (mn) a b c d e f g a+b a+c b+c a+b+c e+f f+g e+g e+f+g (*) (*) percammno d mnmo costo determnstco. Dfferent modell possono essere specfcat n funzone delle potes sulla dstrbuzone de resdu aleator. S possono avere qund modell d utltà determnstca (ε h =0) che assegnano tutta la domanda all percammno d mnmo costo generalzzato e modell d utltà casuale (ε h 0) d tpo probt con una struttura della matrce varanze-covaranze de resdu smle a quella descrtta per percors su ret d trasporto prvato su autovettura. Nel caso d ret d trasporto collettvo, l uso d 21

22 modell d utltà casuale d tpo logt è poco accettable nel caso d percammn che possono comprendere una gran quanttà d lnee n comune (come d solto avvene per le ret tradzonal d trasporto collettvo d cttà d mede dmenson), poché non è ammssble l potes d ndpendenza delle alternatve rrlevant (IIA) che è alla base de modell logt. Infne una volta calcolate le probabltà d scelta degl percammn è possble ottenere quelle d utlzzare un determnato percorso k come: p [ k / odm] q p [ h] = h kh H In tabella 1 vengono rportat cost G h de possbl percammn rportat n fgura 5, da cu s evnce che l percammno d mnmo costo determnstco è l n.15 (e+f+g), per cu utlzzando un modello determnstco la probabltà d scelta p(h) d tale percammno vale 1, mentre per gl altr vale 0 e qund le probabltà d scelta de percors valgono rspettvamente q e,15 =0.4, q f,15 =0.33 e q g,15 = LA DETERMINAZIONE DEGLI IPERCAMMINI DI MINIMO COSTO Nel seguto vene trattato l problema della determnazone dell percammno d mnmo costo su una rete d trasporto collettvo schematzzata con un modello d offerta del tpo descrtto nel par. 2 nelle potes d scelta determnstca fra possbl percammn, ndvduat secondo crter descrtt nel par La defnzone formale d percammno Nel seguto vene rportata la defnzone formale d percammno, necessara per l mplementazone degl algortm per l calcolo degl percammn d mnmo costo e, successvamente, per l calcolo de fluss sulle lnee d una rete d trasporto collettvo. Sa G=(N,R) l grafo che schematzza la rete d trasporto, con N nseme de nod ed R nseme de ram; cascuna lnea abba una frequenza fssa assocata all arco d salta e a cascun arco sa assocato un costo generalzzato connesso all uso dell arco stesso che nel seguto s assume non dpendere dal flusso. Data una coppa d centrod r ed s, è possble assocare all nseme d percors attrattv, all nterno de qual l utente s comporta n modo adattvo, un sottografo con delle partcolar propretà che dpendono dalla regola adattva e dal funzonamento del sstema. Dato un sottografo H(X,E) con X N e E R, s ndch con: E B l nseme degl arch d salta con E B E 22

23 E L l nseme degl arch rappresentant le lnee, con E L E E P l nseme degl arch pedonal, con E P E X + l nseme de nod collegat al nodo -esmo da arch uscent dal nodo -esmo ed entrant nel nodo j-esmo (Forward Star[]): X + ={j/(,j) E} X - l nseme de nod collegat al nodo -esmo con arch entrant nel nodo -esmo ed uscent dal nodo j-esmo (Backward Star[]): X - ={j/(j,) E} ϕ j la frequenza della lnea assocata all arco d salta (,j) E B φ la frequenza assocata al nodo fermata B l nseme de nod fermata, B X L l nseme de nod d lnea, L X. Rcordando che un un grafo è detto acclco se è mpossble costrure n esso un percorso che abba nzo e fne nello stesso nodo, l sottografo H s defnsce percammno tra nod r ed s se: a) H è acclclo e nod r ed s appartengono ad X, ovvero: r X, s X; b) l nodo r non ha predecessor ed s non ha successor, ovvero: X r- = ; X s+ = c) per ogn nodo X-{r,s} esste un percorso da r ad s passante per, ovvero: X - ; X + X-{r,s} d) tutt percors hanno lo stesso prmo nodo fermata, che ha la propretà d essere raggungble dal centrode r esclusvamente tramte un percorso pedonale; e) non può esstere un nodo d lnea che abba n uscta contemporaneamente un arco d lnea e un arco d dscesa, ovvero X + è composto da un solo nodo per L ; f) non può esstere un nodo fermata che ha n uscta contemporaneamente un arco d salta ed un arco d acceso/egresso. Dalle condzon d), e) ed f) scatursce che, ad eccezone de nod fermata, ogn altro nodo dell percammno ha solo un arco n uscta. Le condzon d), e) ed f) dervano dalla caratterstca che l comportamento adattvo può rguardare solo scelte tra lnee e qund tra arch d salta; pertanto all nterno d un percammno non v sono percors alternatv con prmo nodo fermata non concdente, non s possono porre alternatve d scelta del tpo scendo dall autobus o contnuo a bordo e, alle fermate d trasbordo, alternatve d scelta del tpo attendo l autobus a questa fermata o m reco ad un altra fermata. 23

24 Rsulta qund che un percammno H è un sottografo parzale acclco, con l orgne come unca sorgente e la destnazone come unca foce, cu nod d dversone, se ve ne sono, sono nod fermata; la probabltà d uso d cascun percorso all nterno dell percammno è fssato a pror, da cu segue che un percorso appartenente all percammno è unvocamente defnto da una sequenza d arch d salta (,j). 4.2 Un algortmo per l calcolo dell percammno d mnmo costo S pone a questo punto l problema d defnre degl algortm che consentano d rcavare fluss dervant dal modello consderato. Il fondamento teorco dell algortmo d seguto utlzzato è l teorema d Bellmann generalzzato; n esso s dmostra che condzone necessara e suffcente affnché un percammno d destnazone s sa l percammno d mnmo costo, è che per ogn nodo dell percammno s abba: (,j) c c + c X + se B (4.1) c j j ' ϕ jcj + 1 / ϕj X + X se B (4.2) ' j X + ' j X + + dove c e c j sono cost necessar per raggungere la destnazone s da nod e j con l percammno da loro uscente, c j è l costo costante dell arco (,j) e ϕ j è la frequenza assocata all arco d attesa/salta (,j). La (4.1) è la relazone classca posta a base degl algortm d rcerca de cammn mnm, che va letta tenendo conto che, ragonando n termn d backward star, cost sono dal generco nodo alla destnazone. La (4.2) ndvdua l costo medo d percorrenza dell percammno corrente tra l nodo d dversone e la destnazone, calcolato come somma del tempo medo d attesa, dovuto a tutte le lnee nserte nell percammno corrente, par a: 1/ ϕ j = 1/ φ j X + e del tempo medo d percorrenza ottenuto come meda pesata de temp d percorrenza de var percors dalla fermata alla destnazone, n cu l peso è dato dalla frequenza delle lnee relatve a sngol percors rspetto alla frequenza cumulata, dato da: j c (4.3) ϕ / ϕ (4.4) j ( j j ) X + j X + 24

25 Per procedere alla descrzone degl algortm è necessaro ntrodurre la defnzone d albero d percammn o peralbero, nteso come nseme d percammn tale che v sa un solo percammno da cascun nodo del grafo alla destnazone comune. Con questa defnzone è facle vedere che gl algortm per la rcerca dell peralbero d mnmo costo partono da una rete nzale modfcata medante l ntroduzone d arch fttz d costo molto elevato che collegano la destnazone s con tutt nod. Ad ogn terazone vene esamnato un nodo j della rete e per tutt gl arch appartenent alla stella n entrata s esamna l appartenenza del prmo nodo all nseme de nod fermata B. Nel caso che non appartenga a B, se l arco (,j) non soddsfa la (4.1), coè s ha: c > c j + c j (4.5) l percammno sn qu seguto per raggungere vene sosttuto con quello formato dall percammno fno a j e dall arco (,j) ed l costo d vene aggornato ponendo: c = c j + c j. (4.6) Nel caso che appartenga a B s dstnguono due cas: è stato raggunto per la prma volta; è gà stato gà raggunto almeno una volta. Se vene raggunto per la prma volta s pone la frequenza cumulata del nodo φ = ϕ e j l percammno costruto sno a j vene connesso con l arco (,j), nserendo l nodo j n aggornando l costo secondo la: Nel caso n cu sa stato gà raggunto s pone c j ' X + ed 1 = c j +. (4.7) ϕ φ = φ + ϕ (4.8) 0 ' j { j} e s verfca se l arco (,j) non soddsf la (4.2), coè s abba: X + = X + (4.9) c > ϕjc j 1 / 0 j X + + φ (4.10) 25

26 n questo caso l percammno da vene ntegrato tramte l arco (,j) con quello che s dparte da j, s pone ' 0 X X + + = ed l costo vene aggornato ponendo alla terazone IT: c ( IT ) ( IT 1 ) ϕj [ ] c j c ( IT ) = c + (4.11) φ che equvale alla (4.2) n forma d eguaglanza, rsolta utlzzando l valore d precedente terazone. (IT -1) c ottenuto alla E bene notare che nella (4.11) s sono ntrodott per comodtà gl apc (IT) e (IT-1) per ndcare l terazone (IT) corrente e la precedente (IT-1) e s sono ndcat con c j ed ϕ j l costo e la frequenza da nserre all terazone IT ; s ha nfatt dalla (4.2): c ( IT ) = = j j X + φ ϕ c j ( IT ) j X + ( IT ) φ ϕ c j φ ( φ j IT ) 1 + ( φ IT ) = ϕjc + ( IT φ j ) 1 + ( φ IT 1 ) φ ( φ IT ) ϕjc j j X = ϕ + j ϕjc j ϕ j 1 1 ( IT ) ( IT ) ( IT φ φ φ φ φ = ϕ c j j X + φ ed essendo c j + φ = 1 + c j j X + φ j ϕ c j + φ ϕ c j j X + φ 1 In partcolare s deve notare che se rsulta j = φ ) = 1 φ ϕj ( IT ) s ottene nfne la (4.11). > c j c bsogna connettere, senza fare alcuna verfca, l percammno che s dparte da j tramte l arco (,j), gacché dalla (4.11) s può rcavare che essendo l termne tra parentes mnore d zero ne segurà che sarà certamente ( IT ) c c. Alla fne d ogn terazone nod per qual è stato corretto l percorso ed l costo vengono post n una lsta, anche detta serbatoo, dalla quale vene estratto l nodo da esamnare nell terazone successva. 26

27 Come tutt gl algortm d rcerca de cammn mnm su rete basat sulla dsuguaglanza d Bellmann, anche gl algortm d rcerca degl percammn mnm s dfferenzano tra loro per l modo n cu vene gestta la lsta de nod da esamnare. Nel seguto vene proposta una generalzzazone dell algortmo d Djkstra. La mplementazone dell algortmo d rcerca dell percammno mnmo rchede quattro vettor d dmenson par al numero de nod. Il prmo ndvdua l costo c dell percammno dal nodo alla destnazone s; l secondo le etchette e caratterzzant lo stato del nodo (0=ma estratto; 1=gà estratto; 2=nodo n lsta); l terzo vettore ndca se l nodo è un nodo fermata o, se non lo è, l nodo successvo verso la destnazone; l ultmo vettore ndvdua la lsta de nod da esamnare. Per nod fermata sono noltre necessar tre vettor d cu prm due vengono gestt con struttura a stella n uscta: nel prmo è ndcato l numero corrente d arch d dversone appartenent all percammno n uscta dal generco nodo fermata e nel secondo per blocch successv nod fnal degl arch n uscta. Il prmo vettore ndcato con Q() ndvdua qund la numerostà dell nseme corrente ' X +. Il secondo vene ndcato con F e nel proseguo per comodtà s ndca con F() l blocco d nod degl arch n uscta da. Il terzo vettore φ() ndvdua la frequenza cumulata corrente assocata ad ogn nodo fermata. I pass dell algortmo sono rportat n fgura 8. step 0 [Inzalzzazone] e s = 2 c s = 0 p j = s c j = m (valore elevato) e j = 0 j j j s s p j = 888 (dentfcatvo nodo fermata) j B Q(j) = 0 F(j) = 0 φ(j) = 0 j B j B j B step 1 [Anals del prmo nodo della lsta] s estrae l nodo j = L(1) s pone e j = 1 e s scalano d una poszone tutt gl element della lsta. 27

28 X j (coè per ogn nodo appartenente alla backward-star del nodo j): step 1.1 se B e se c > c j + c j allora p = j c = c j + c j step 1.2 se B e se c > c j se Q() = 0 allora c = c j + 1 Q() = 1 φ()= ϕ j F() = j se Q() 0 allora ϕ j φ()= φ()+ ϕ j c = c + ( c c ) Q() = Q() + 1 j ϕj φ( ) F() = F() { j } step 2 [Rordno della lsta] I nod per qual non vengono verfcate le condzon (4.1) e (4.2) sono nsert nella lsta L nella poszone d ordne corrspondente al loro nuovo costo c, con etchetta e =2, nvece se erano gà present vengono rposzonat n modo da avere la lsta L ordnata n modo crescente rspetto a cost c. step 3 [Test d arresto] Se la lsta è vuota l algortmo s arresta, n caso contraro s torna allo step 1. Fgura 8 Algortmo d Djkstra generalzzato per la rcerca degl percammn d mnmo costo 28

29 4.3 Un algortmo per l calcolo de fluss Per quanto rguarda l calcolo de fluss, nel quadro de modell determnstc d assegnazone su rete non congestonata ne qual la domanda vene assegnata solo a percors d mnmo costo (All or Nothng), è necessaro scrvere de pass d calcolo adeguat per l fatto che nell percammno la domanda va dstrbuta sugl arch d dversone proporzonalmente alle frequenze delle lnee cu s accede. L algortmo d calcolo de fluss parte dalla costruzone d una lsta L con nod dell peralbero d destnazone s poszonat n ordne decrescente d costo; successvamente per ogn nodo j estratto dalla testa della lsta vene calcolato l flusso che lo attraversa (dato dalla somma de fluss present sugl arch entrant nel nodo j e dell eventuale alquota d domanda n orgne dal nodo stesso e dretta alla destnazone s); tale flusso vene dstrbuto sugl arch uscent dal nodo j tenendo conto che se l nodo j non è un nodo fermata (j B) s ha un solo arco (per la defnzone d percammno) e qund va assegnato tutto l flusso, mentre se l nodo j è un nodo fermata (j B) occorre rpartre l flusso sugl arch uscent da j n funzone delle frequenze delle lnee. L algortmo s arresta quando sono stat estratt tutt nod della lsta L, coè L=. L mplementazone dell algortmo s basa sulle strutture dat costrute per l ndvduazone dell percammno d mnmo costo, su un vettore D() d dmensone par al numero d nod, dove nella poszone -esma è presente la domanda d trasporto tra l nodo e la destnazone s, e su un vettore f composto da valor f j de fluss d utent sugl arch (,j). I pass dell algortmo d calcolo de fluss, da utlzzare a valle dell algortmo d ndvduazone dell percammno d mnmo costo precedentemente descrtto, sono rportat n fgura 7. 29

30 step 0 [Inzalzzazone] creazone lsta L d nod j ordnat n modo descrescente rspetto a cost c j step 1 [anals del prmo nodo della lsta] s estrae l nodo j = L(1) e s scalano d una poszone tutt gl element della lsta. step 1.1 [calcolo del flusso entrante nel nodo j] se D(j) 0 allora Z = D(j) altrment Z = 0 X j Z = Z + f j step 1.2 [calcolo del flusso sugl arch uscent dal nodo j] k X j+ se se j B allora f jk = f jk + Z j B allora k F(j) f jk = f jk ϕ jk + φ( j ) Z step 2 [Test d arresto] Se la lsta è vuota l algortmo s arresta, n caso contraro s torna allo step 1. Fgura 9 Algortmo d calcolo de fluss sugl percammn d mnmo costo 30