Reti di Telecomunicazione

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1 Unverstà d Bergamo Dpartmento d Ingegnera dell Informazone e Metod Matematc Ret d Telecomuncazone Prof. Fabo Martgnon F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone

2 Unverstà d Bergamo Dpartmento d Ingegnera dell Informazone e Metod Matematc Ret d Code Ret d Telecomuncazone F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 2

3 Ret d Code Def.: Sstem con rsorse multple n cu ogn stazone opera n modo asncrono e concorrente. Esemp Calcolator n cu CPU operano n parallelo. Ret d comuncazone. I centr d smstamento operano n parallelo. Una rete è composta da M stazon d servzo (non servent) ognuna con la propra coda. Rete d code Aperta Topologa della rete generale. 2 λ 2 λ s q s6 q s q 2 q 2 q 2 q 2 λ q q 2 q 65 q 5 q q λ q 5 Rete d code Chusa F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 5 q d λ d

4 Modello del sngolo sstema q s λ λ q λ λ q j λ Estraggo dalla rete l canale -esmo µ q d λ q k λ k Fluss n ngresso al sstema: q s λ traffco entrante dall esterno q k λ k traffco entrante dal nodo k-esmo Rpartzone del traffco uscente q d λ traffco verso la destnazone q j λ traffco verso l nodo j Se var traffc entrant sono d Posson anche l traffco rsultante è d Posson con valor medo par alla somma de valor med. F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone

5 Modello del sngolo sstema q s λ λ q λ λ q j λ Estraggo dalla rete l canale -esmo µ q d λ Traffco uscente: Nota: q k λ k se le rpartzon d traffco sono fatte n modo casuale (q j = prob. d andare al nodo j), allora traffc uscent sono pure d Posson con valor medo q j λ Se le rpartzon fossero fatte n modo determnstco ad esempo ruotando cclcamente fra tutte le possbl u uscte l traffco n ognuna avrebbe dstrbuzone degl nterarrv erlangana d ordne u con valor medo F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone u λ λ 2... u 5

6 Processo n uscta da un sstema d code Teorema d Burke: Dato un sstema M M, M M m o M M, con qualunque dscplna d coda, n regme permanente, con tasso medo degl arrv par a λ, rsulta: Il processo n uscta è Possonano con valor medo λ Esempo: cascata d code: In base al teorema, studo sstem come code M M Osservazone: L ngresso n ogn coda concde con l uscta della precedente. I temp d attraversamento non sono, a rgore, ndpendent da nodo a nodo (messaggo lungo, lungo tempo d trasmssone). F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 6

7 Ret d Jackson Una rete con M nod (o canal ) è defnta rete d Jackson se: l servente al nodo ha veloctà d sevzo µ (n) quando sono present n utent completato l servzo ad un nodo l utente scegle a caso e ndpendentemente dal passato la sua destnazone (uscre dalla rete o andare n un altro nodo) la rete è aperta e ogn arrvo esterno avvene secondo un processo d Posson F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 7

8 Teorema d Jackson In una rete d Jackson n stato stazonaro e con arrv λ al nodo :. l numero d utent n ogn nodo è ndpendente dal numero d utent n ogn altro nodo 2. l nodo s comporta statstcamente come se fosse carcato da traffco d Posson con valor medo λ. la dstrbuzone della probabltà congunta n stato stazonaro è n forma d prodotto ove F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone p M ( n ) = Π p ( n ) ( ) = ( ) p n ρ = n λ = < µ ρ ρ 8

9 Ret d Jackson: : Comment Le dverse code, benché nterconnesse e legate dalle espresson d contnutà de fluss, s comportano come se fossero ndpendent. Ogn coda è un sstema M M ndpendente. L nterconnessone ( effetto rete ) ha solo nfluenza su valor ρ Stess rsultat s ottengono con:. M M m (sstema con tempo d servzo dpendente dallo stato della coda), per l teorema d Burke. 2. Qualunque rete aperta con arrv d Posson (qu s è consderata una sola coppa sorgente-destnazone) F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 9

10 Ret d Jackson: : Comment Osservazone mportante: I temp d servzo s sono consderat ndpendent da nodo a nodo. Questa potes può lascare perpless: un pacchetto lungo n uscta da una coda genererà un servzo lungo nella coda successva. Tuttava se tant fluss s mescolano all ngresso della coda, la somma d tal traffc torna ad essere suffcentemente casuale, e l potes fatta è soddsfatta S parla d Klenrock ndependence approxmaton q λ q s λ λ λ q j λ F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone q k λ k µ q d λ 0

11 Valutazone Prestazon d una Rete d Code Consderamo un esempo ntroduttvo. Ipotes: pacchett d lunghezza esponenzale Capactà de collegament: pck/s Calcolare l rtardo medo end-to-end per cammn (path): (,2,), (,5,), (,5,2,) γ 2 =2 γ =2 / (/2) / (/2) /2 γ 5 = 2 5 /2 2 / 2/ (7/2) (7/) (7/6) (7/) 7/2 55/2 Traffco totale offerto= 6 pck/s Le quanttà ( ) rappresentano l traffco n pck/s presente sul collegamento F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone

12 [ ] E T µ = ρ = µ λ Esempo Rtardo medo sul generco lato: λ ρ = µ Qund: [ 2 ] ET [ 5 ] ET [ 52 ] ET = 2 = = F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 7 6 Il rtardo lungo un generco cammno (sequenza d lat modellzzat cascuno come M M ) è par alla somma de rtard su sngol lat 2

13 Grado d Servzo d una Rete G.o.S (detta anche Qualty of Servce, QoS) Tempo medo T* mpegato per andare dal nodo sorgente al nodo destnazone = meda pesata de rtard fra tutte le coppe d nod. j T T * = γ γ j j γ j = Frequenza meda pacchett con sorgente e destnazone j γ = γ j j = Totale traffco medo entrante nella rete T j = Rtardo medo tra sorgente e destnazone j Nota: G.o.S rappresenta un ndcatore unco delle prestazon della rete. Utlzzando questa defnzone, tuttava, è necessaro esegure O(M 2 ) operazon, tante quante sono le coppe sorgente-destnazone nel grafo F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone

14 Grado d Servzo d una Rete γ T* γ γ T [ ] E n [ ] = En [ ] En * = M = LITTLE s RESULT M = numero lat/arch del grafo En [ ] = numero medo d messagg n coda o n servzo sul lato = λ T = λ µ λ LITTLE s RESULT da cu T * = γ M = λ µ λ dpende da λ traffco offerto al lato (s consderano solo le code ne lat). Nota: n tal modo l calcolo del G.o.S ha complesstà O(M), ove M è l numero d lat del grafo F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone

15 Grado d Servzo: estenson E possble estendere la defnzone data precedentemente d G.o.S. d una rete tenendo conto d: Rtard d propagazone fra nod Tempo d processng all nterno d ogn nodo Tuttava, no utlzzeremo la defnzone data, che caratterzza con suffcente precsone le prestazon della rete F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 5

16 Esempo A B E 50 C F 0 0 D Rete con 6 nod ed 8 lnk Tutt lnk sono full-duplex (bdrezonal) Capactà espresse n kbt/s A B C D E F Matrce de Traffc (offert alla rete) smmetrca Traffco totale offerto alla rete: γ = 2 pck/s = 800 bt (serve per convertre µ le capactà de lnk da bt/s a pck/s) F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone A B C D E F - 9 BA CBA DFBA 7 EA FEA 9 AB - 8 CB DFB 2 EFB FB Esempo: ABC 8 BC - DC EC 2 FEC ABFD BFD CD - ECD FD 7 AE 2 BFE CE DCE 5 FE 5 EF γ j pck/s CAMMINO λ FD = γ AD + γ BD + γ FD = 8 pck/s = λ DF - AEF BF 2 CEF DF - 6

17 Esempo Utlzzando formula M M Lnk λ pck/s C kbt/s µ C pkts/s T ms AB 25 9 n BC CD AE EF FD BF EC E un numero > 2, ma è corretto. Infatt un pacchetto, nella rete, percorre pù tratte, e genera traffco su pù lnk n 6 = =.2 2 Numero medo lnk attraversat da un pacchetto (ovvero: da un cammno) F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone T * M = λt = ms γ = 7

18 Esempo Adesso valutamo la sensbltà della rete al carco offerto Per far questo supponamo d moltplcare la matrce del traffco offerto per un coeffcente η, e valutamone l G.o.S. 000 T(ms) /µ=0 500 /µ = F. Martgnon: Ret d Telecomuncazone 57 A rete scarca (η tende a 0) T λ = 57ms γ µ C T 0 = µ C Valore d saturazone dato dal lato che satura prma, ovvero l lato FD µ λ C 2. 5 = = Basta guardare la tabella e fare l rapporto Tra la colonna λ e quella µc 8