L arcobaleno. Giovanni Mancarella. n = n = n = α( o )

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1 Govann Mancarella L arcobaleno I(α) (a.u.) n =.3338 n = α( o ) In questa nota utlzzeremo l termne dstrbuzone per ndcare la denstà d probabltà d una varable casuale.

2 Il fenomeno dell arcobaleno può essere osservato quando s ha l sole alle spalle e una nuvola d fronte. Esso è dunque prodotto da ragg solar che vengono dffus all ndetro dalle gocce d acqua che formano la nuvola. Detto α l angolo formato tra l raggo solare entrante e quello uscente (dffuso) dalla nuvola, mostreremo, utlzzando la legge d Snell, che tale fenomeno è causato dall esstenza d un valore massmo per α, dfferente per ogn lunghezza d onda presente nella luce solare. - Il modello Tratteremo l nterazone della luce solare con una gocca d pogga consderando sngol ragg d luce dstrbut casualmente ed unformemente, tutt ovvamente parallel tra d loro, che ncdono su gocce d acqua sferche ed utlzzeremo le legg dell ottca geometrca per studare la propagazone d tal ragg. Tutt ragg rfless e rfratt dalla gocca gaccono nel pano che contene l raggo ncdente ed l centro dellla gocca; tale pano s chama pano d dffusone o pano d scatterng. Il sstema è ovvamente a smmetra clndrca attorno all asse parallelo a ragg ncdent che passa per l centro della gocca, c lmteremo qund a consderare un solo pano d scatterng e solo ragg contenut n tale pano. Indchamo con b la dstanza tra la retta seguta dal raggo ncdente ed l centro della gocca; ovvamente l nterazone avvene quando b è mnore d R. b è detto parametro d mpatto ed è una quanttà fondamentale nella descrzone dell nterazone sa tra corp macroscopc che fra partcelle elementar. Se l ntenstà della luce solare è unforme nel fronte d onda che nveste la gocca, tutt valor possbl d b nel pano d scatterng sono equprobabl. Eserczo : calcolare la dstrbuzone d b Invece d usare drettamente b, useremo l parametro d mpatto normalzzato admensonale x: L angolo d ncdenza sarà dato da: sn = b R = x () x è una varable casuale dstrbuta unformemente tra 0 e ; la sua dstrbuzone è dunque data da: f(x) = Se I o è l flusso d energa per untà d tempo, che assumamo costante, che ncde sulla gocca,l flusso medo per untà d tempo e per untà d pararametro d mpatto normalzzato sarà: I(x) = I o f(x) = I o La seconda fgura seguente mostra uno de possbl percors del raggo all nterno della gocca; è quello che c nteressa, perchè è quello che produce l prmo arco dell arcobaleno: r R b O π r r r A r α

3 Consderando la smmetra della fgura attorno all asse OA è abbastanza agevole dmostrare che [Eserczo]: α = 4r = 4 arcsn x arcsn x () n n è l ndce d rfrazone relatvo acqua-ara ed abbamo utlzzato la legge d Snell per scrvere la seconda uguaglanza. La dervata d α rspetto ad x è data da: dα dx = 4 ( x n e s annulla per [Eserczo: dmostrare che è un massmo]: x max = ) n x 4 n Questo massmo dpende da n, qund dalla lunghezza d onda della luce ncdente; ogn colore ha dunque un dverso angolo d devazone massmo. α(x) 3 α(x), α max = n =.3338, α max = n =.336, α max = α x Consderamo ora l ntervallo d x con estremo n ndcato n fgura; tutt ragg che ncdono con parametro x n quest ntervallo, verranno devat ad un angolo compreso nel corrspondente ntervallo d α. Traccamo ora un ntervallo d ampezza uguale (nel quale ncde la stessa quanttà d luce, perchè tutt valor d x sono equprobabl) ntorno al massmo: l corrspondente ntervallo n α è notevolmente pù stretto. S ha qund un effetto d concentrazone della luce al dsotto del massmo, e pochè tale massmo è dverso per ogn lunghezza d onda, ogn colore s concentrerà ad un dverso angolo. Questa è la spegazone qualtatva dell arcobaleno; per renderla quanttatva dobbamo calcolare la dstrbuzone d α. - Dstrbuzone d funzon d varabl casual Data una varable casuale x con dstrbuzone f(x) voglamo calcolare la dstrbuzone h(α) d una varable α(x) che dpende da essa. A questo scopo osservamo che la probabltà per x d trovars nell ntervallo [, + x] deve essere uguale alla probabltà per α d trovars nel corrspondente ntervallo [α( ), α( + x)] [, + α]; nfatt tutt ragg che ncdono nell ntervallo x vengono devat nell ntervallo α. Qund: xo+ x αo+ α f(x) dx = h(α) dα (3) 3

4 Eserczo : perchè ho messo l valore assoluto? Se x, e d conseguenza α, sono suffcentemente pccol possamo approssmare gl ntegral con: xo+ x f(x) dx f( ) x ; αo+ α h(α) dα h( ) α qund: h( ) f() α se ora faccamo tendere x a 0 l rapporto ncrementale tenderà alla dervata ed n defntva avremo, per un generco punto x: x h(α) = f(x) Eserczo : se questa dmostrazone non v sodsfa, rfatela eseguendo un cambamento d varable d ntegrazone n (3) Questa espressone è semplcssma, ma spesso, come nel nostro caso, la complcazone sta nel fatto che per ottenere esplctamente h(α) bsogna sostturv x(α) nvertendo α(x). Eserczo : rcavate, utlzzando la (), la dstrbuzone dell angolo d ncdenza ; scoprrete che gl angol d ncdenza non sono equprobabl Osservamo ora che ne punt d stazonaretà della funzone α(x) (punt n cu la dervata prma s annulla) la dstrbuzone h(α) tende ad nfnto; questa è la spegazone quanttatva dell arcobaleno. 3 - La formazone dell arcobaleno Nel nostro caso (f(x) = ) abbamo qund: dα dx h(α) = dα per ottenere esplctamente la dpendenza da α dobbamo rcavare x(α) dalla (), prestando attenzone al fatto (ved grafc precedent) che per alcun valor d α abbamo due possbl valor d x; la () va dunque nvertta separatamente a destra e a snstra del massmo e due contrbut ad h(α) vanno sommat. Non è possble scrvere x(α) n termn d funzon elementar, qund l nversone va fatta numercamente [come?] ; l rsultato per l flusso d energa per untà d tempo e per untà d angolo d devazone è mostrato nella fgura seguente per tre lunghezze d onda nelle regon del blu, del verde e del rosso: I(α) (a.u.) dx n =.3338 n = α( o ) 4

5 Come vedamo, la meravgla dell arcobaleno s produce nell ntervallo d crca o che contene massm per dvers color: ogn colore s concentra e predomna sugl altr n uno stretto ntervallo al dsotto del suo angolo massmo; fuor dall ntervallo che contene massm color s rmescolano con all ncrca la stessa ntenstà. 4 - Comment ed esercz a) Il valore d α max dpende solo da x max e da n e non da R, qund è ndpendente dal raggo delle gocce. Tuttava per gocce troppo pccole... contnuate vo. b) Il rsultato del paragrafo s applca a qualunque denstà, e n effett tutto l ragonamento d può rfare utlzzando la denstà d energa al posto della denstà d probabltà. c) Rconsderamo l problema nello spazo: la fgura rappresenta la sezone della gocca passante per l centro e perpendcolare alla drezone de ragg; l punto è l ntersezone d un raggo con tale sezone ed l pano d scatterng è perpendcolare al pano della fgura. Dmostrare che la dstrbuzone congunta delle varabl b e θ è data da: f(b, θ) = πr e quella d b da: g(b) = R b come v spegate la dpendenza da b? è n contradzone con l potes che abbamo fatto d dstrbuzone unforme nel pano d scatterng? d)v sembra semplce? Leggete questo: O b θ 5