6.1- Sistemi punti, forze interne ed esterne

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1 1 CAP 6 - SISTEMI DI PUNTI MATERIALI Parte I 1 Cap 6 - Sstem d punt materal Cap 6 - Sstem d punt materal Il punto materale è un astrazone alla quale poch cas s possono assmlare. La maggor parte degl oggett real sono nvece costtut da un nseme d punt materal o da un contnuo d punt materal. Nonostante questa sa n genere una notevole complcazone, vedremo come un sstema d punt materal (almeno ne mot d traslazone) s muove come se tutta la sua massa fosse concentrata n un solo punto partcolare detto centro d massa. Questa propretà permetterà d rcondurre la descrzone del moto d un sstema d punt al moto d un punto materale Sstem punt, forze nterne ed esterne 6.1- Sstem punt, forze nterne ed esterne Consderamo n punt materal nteragento tra loro e con l resto dell unverso. Se F è la rsultante delle forze agent sull -smo punto possamo dstnguere per ognuno de punt l contrbuto delle forze esterne ed nterne: F = F ext + F nt Ma per quanto rguarda le forze nterne s può applcare l prncpo d azone e reazone che stablsce che le forze nterne sono drette lungo la congungente punt e ugual e opposte (a 2 a 2) Per cu la rsultante d tutte le forze nterne agent sul sstema: R nt = R nt = 0 Per l sstema d punt allora defnamo le grandezze meccanche total del sstema: quantta d moto totale P = p = m v momento angolare totale L = L = r m v energa cnetca totale E k = E k, = 1 2 m v Il centro d Massa 6.2- Il centro d Massa 6.2 Centro d Massa Dnamca sstem punt materal 1

2 1 CAP 6 - SISTEMI DI PUNTI MATERIALI Defnamo l Centro d Massa (CM) quel punto la cu poszone è defnta da una meda pesata delle poszon d cascun punto materale del sstema; ad esempo nel caso d N punt materal defnamo la coordnata x del C.M. come r cm = x CM = m r m Che proettando sugl ass dventano: m x m = m 1 r 1 +m 2 r m N r N (1) m 1 +m m N y CM = m y m z CM = m z Come s nterpreta l C.M.? Supponamo d avere solo 2 masse e sceglamo un rfermento concdente con una delle due masse (ad es. m 1 x 1 = 0). In questo caso x cm = m 2 m 1 +m 2 x 2 0 x cm x 2 Pertanto s possono avere seguent cas: se m 1 m 2 ( oppure m 1 ) x cm x 1 = 0 se m 1 m 2 ( oppure m 1 0) x cm x 2 se m 1 = m 2 x cm x 2 2 In defntva l centro d massa tende a dspors dove v è pù concentrazone d massa nel sstema d punt materal. m Seconda legge dnamca per sstem d punt materal Seconda legge dnamca per sstem d punt materal Se punt del sstema sono n movmento possamo verfcare qual è la veloctà del CM: v CM = dr CM = m d r m = m v M = P (2) M La quanttà d moto totale del sstema è data dalla quanttà d moto del CM P = M v CM analogamente per l accelerazone s ha: a CM = dv CM = m d v m = m a M Per cu nel caso d sstem d rfermento nerzal: m a = f = f (E) + f (I) Dnamca sstem punt materal 2

3 1 CAP 6 - SISTEMI DI PUNTI MATERIALI Seconda Legge della dnamca per sstem d punt (teorema del moto del centro d massa) Seconda Legge della dnamca per sstem d punt (teorema del moto del centro d massa) e sosttuendo s ottene: Seconda Legge d Newton per sstem d punt (teorema del moto del centro d massa) M a CM = m a = ( f (E) + f (I) ) = R (E) + R (I) e dal momento che la rsultante delle forze nterne R nt = 0 s ottene R (E) = M a CM = d P n defntva s ha che l CM s muove come un punto materale n cu sa concentrata tutta la massa del sstema e v sa applcata la rsultante delle forze esterne al sstema Esemp d calcolo d CM Esemp d calcolo d CM Esempo 1: Tre partcelle sono collegate a vertc d un trangolo equlatero ed hanno masse m 1 =1.2Kg, m 2 =2.5Kg e m 3 =3.4Kg. Se l lato (3) m 2 del trangolo è a=1.4m dove s trova l C.M.? Usando un sst. d rf. centrato sulla partcella n basso a snstra (m 1 ) abbamo che le coordnate de punt sono: m 1 (0,0) m 2 ( a 2, a 3 m 3 2 ) (a,0) m 1 m 3 Dnamca sstem punt materal 3

4 percux cm = 0+m 2 a/2+m 3 a m 1 +m 2 +m 3 = = = 0.92 mey cm = = 0.43 m Parte II 6.3-Conservazone della quanttà d moto 6.3-Conservazone della quanttà d moto Come caso partcolare se la rsultante delle forze esterne è nulla allora s ha: F ext = 0 d P = 0 P = cost Qund se un sstema è chuso (le partcelle non possono uscre o entrare dal sstema) ed solato ( F ext = 0) allora la quanttà d moto del sstema s conserva n altre parole possamo scrvere che se sono verfcate queste condzon allora la quanttà d moto nzale e fnale sono le stesse P = P f e d conseguenza l CM s muove d moto rettlneo ed unforme Problema 9.5 Problema 9.5 Una scatola d massa M=6 Kg scvola lungo un pavmento orzzontale e prvo d attrto alla veloctà v =4m/s lungo l verso postvo dell asse x. Improvvsamente la scatola s rompe n 2 pezz, uno de due d massa m 1 = 2 Kg s muove lungo x e nel verso postvo, con veloctà v 1 = 8m/s. Qual è la veloctà del secondo frammento? Il sstema è solato (ntervengono solo forze nterne) per cu s conserva la q.d moto. In questo caso l moto (fne-nzo) s svolge sull asse x per cu P = P f dventa M v = m 1 v 1 + m 2 v 2 da cu v 2 = Mv m 1v 1 M m 1 = = 2 m/s (n generale una equazone per ogn componente) Problema 9.7 Un fuoco artfcale d massa M e posto sul pavmento lsco, s spacca n 3 pezz A,B,C che s allontanano come n fgura. Sapendo che m c = 0.3M ha v c = 5m/s, qual è la veloctà del frammento B, d massa m b = 0.2M? (L angolo tra l framm A e C è 100, l angolo tra C e B è 130 Nella scelta del sst. d rfermento (arbtraro) convene far concdere una delle veloctà de framment con un asse. Sceglamo ad esempo l asse x Dnamca sstem punt materal 4

5 nella drezone d A. Avremo allora che v A = v A î mentre la veloctà d B è 50 sotto l asse x e la drezone d C è con angolo 80 sopra l asse x. Il sstema è solato qund la q.d moto s conserva e avremo: da cu x : 0 = m a v a +m c v c cos80 +m b v b cos50 y : 0 = +m c v c sn80 m b v b sn Mv a = 0.3M 5cos Mv b cos50 0.3Mv c sn80 = 0.2Mv b sn50 v b = 9.64m/s 6.4-Teorema del momento angolare 6.4-Teorema del momento angolare Rcavamo l teorema del momento angolare (ved 4.7) anche per un sstema d punt. Consderamo L = L = r m v A dfferenza del par.4.7 l polo del calcolo può non essere fsso e non concde con l orgne. Per cu dervando rspetto al tempo d L = d r m v + r m d v Il prmo termne è quello che abbamo trattato ne mot relatv ed è d r v v O mentre d v = m a = F (E) + F (I) ne segue che: d L = ( v v O ) m v + v m v v O ) m v + v O r F (E) r ( F (E) + + F (I) ) = r F (I) = m v + M (E) + M (I) = v O M v CM + M (E) + M (I) = Dnamca sstem punt materal 5

6 con M (E) = r F (E) ovvero l momento delle forze esterne e M (I) = r F (I) l momento delle forze nterne ma guardamo cosa succede al momento delle forze nterne andando ad esamnare le forze su O F j r r j r j j F j due generc punt e j: le forze nterne sono d azone-reazone e drette lungo la congungente, noltre M,j = r F,j + r j F j, con F,j = F j, per cu M,j = r F,j r j F,j = ( r r j ) F,j = r,j F,j ma dalla regola del parallelogramma r j è anch esso lungo la congungente per cu s ottene che ogn momento delle forze nterne è a coppe d punt nullo. Pertanto M (I) = 0 D conseguenza d L = M (E) v O M v CM Teorema del Momento angolare Se l termne v O M v CM = 0 s ottene l Teorema del Momento angolare: Il termne v O M v CM = 0 quando: v 0 = 0 l polo è fsso d L = M (E) (4) v CM = 0 l CM è n quete nel sstema d rfermento O O CM v CM parallelo a v O Per cu possamo dre che se l polo O è fsso oppure concde con l CM, anche se quest ultmo è n generale un punto moble e accelerato, l cambamento del momento angolare dpende solo dal momento delle forze esterne Parte III 6.5 Conservazone del momento angolare Dnamca sstem punt materal 6

7 6.5 Conservazone del momento angolare Se c trovamo nella stuazone n cu vale la eq.4 d L = M (E) nel caso n cu M (E) = 0 d L = 0 L = costante che costtusce l Prncpo d conservazone del momento angolare La condzone s verfca quando l sstema è solato (rsultante forze esterne e moment null); n questo caso qualunque polo s scelga s ha R (E) = 0 P CM = cost e L = costante oppure quando l momento è nullo rspetto ad un polo O; la conservazone del momento angolare n tal caso vale solo rspetto al polo consderato Parte IV 6.6 Sstema d rfermento CM 6.6 Sstema d rfermento CM Sstema d rfermento CM Il sstema d rfermento connesso al CM pur essendo moble e qund non nerzale n genere, n base alle relazon che abbamo trovato, rsulta godere d propretà partcolar. Se sceglamo un sstema la cu orgne è l CM e gl ass sono parallel a quell d un sstema nerzale e vedamo le relazon che ottenamo: r = r + r CM v = v + v CM Ma essendo lsstema moble centrato sul CM r CM = 0 v CM = 0 m r = 0 e m v = 0 Pertanto la quanttà d moto totale del sstema calcolata nel sstema CM è P = m v = 0 Tuttava per descrvere la dnamca relatva al CM, dobbamo tener conto che l sstema è comunque non nerzale perchè accelerato qund Dnamca sstem punt materal 7

8 dobbamo aggungere le forze apparent m a t = m a CM Qund per ognuno de punt del sstema avremo che: F (E) + F (I) m a CM = m a Qund sommando su tutt punt s ha: R (E) m a CM = m a ma abbamo anche vsto che R (E) = M a CM per cu nel suo sstema m a = M a CM = 0 Infne s dmostra anche che M (E) = r F (E) senza contrbut d forze apparent ed noltre se defnamo l momento angolare rspetto al CM L = r m v s ottene: d L = M (E) Qund l teorema del momento angolare vale anche nel caso n cu s scelga come polo l CM. Parte V Teorema d KÖNIG Teorema d KÖNIG Vedamo che relazon c sono qund tra le quanttà calcolate nel sstema nerzale e quelle calcolate nel CM. Assumamo d calcolare le quanttà nel sstema nerzale usando come polo l orgne del sstema. L = r m v L = ( r + r CM ) m ( v + v CM ) = r m v + r m v CM + r CM m v + r CM m v CM Il prmo d quest 4 termn è l L, mentre l secondo e terzo sono null perchè r m v CM = m r v CM e m r = Mr CM = 0 Mentre r CM m v = r CM m v = r CM Mv CM = 0 Prmo teorema d Köng L = L + r CM M v CM Secondo teorema d Köng Dnamca sstem punt materal 8

9 Secondo teorema d Köng Il secondo teorema rguarda l energa cnetca. E k = 1 2 m (v ) 2 + = 1 2 m v 2 = 1 2 m v + v CM 2 = 1 2 m ( v + v CM ) ( v + v CM ) = 1 2 m (v CM ) m 2( v v CM ) Il prmo d quest termn è l energa cnetca calcolata rspetto al CM, l ultmo è nullo perchè rappresenta P = 0 Secondo teorema d Köng E k = E k Mv2 CM = E k +E k,cm L energa cnetca è par alla somma dell energa cnetca calcolata nel sstema CM sommata all energa cnetca del CM Parte VI Consderazon su teorem d Köng Consderazon su teorem d Köng Dal punto d vsta delle veloctà e delle forze agent sul sstema, teorem vststablsconochelmotodelsstemaèrassuntodalcm: F (E) = M a CM, P = M v CM e P = 0 se calcolato nel CM. Ma per quanto rguarda l momento angolare e l energa cnetca questo non è suffcente. Infatt due teorem stablscono che bsogna aggungere la descrzone del moto del sstema attorno al CM 6.8 Teorema Lavoro-energa cnetca (sstem pt) Dnamca sstem punt materal 9

10 6.8 Teorema Lavoro-energa cnetca (sstem pt) Calcolamo lavor nfntesm su ogn punto del sstema: dl = F ds = ( F (E) + F (I) ) ds = dl (E) +dl (I) Questa volta l lavoro delle forze nterne non s annulla nfatt sommamo due contrbut d coppe d punt -j: F,j d s j + F j, d s = F,j ( s j s ) = F,j s j e quest termn ndcano gl spostament relatv de punt -j e danno de termn n generale non null. Il lavoro allora delle forze nterne è legato all eventuale cambamento delle dstanze relatve tra punt del sstema. Se queste non cambano (come ne corp rgd) allora rsulterà L (I) = 0 Per cas general possamo solo dre Teorema dell energa cnetca L (E) +L (I) = E k Se tutte le forze (ncluse quelle nterne) sono conservatve avremo la conservazone dell energa meccanca L (E) +L (I) = E p = E k E = 0 mentre se agscono forze non conservatve s potrà dre che L nc = E 6.9 Sommaro Dnamca de sstem punt materal 6.9 Sommaro Dnamca de sstem punt materal Per sstem d punt materal qund le equazon che descrvolo la loro dnamca sono: R (E) = M a CM = d P M (E) = d L equazon che n genere sono ndpendent 6.10 Sstem d forze applcate n punt dfferent 6.10 Sstem d forze applcate n punt dfferent In generale l momento complessvo dpende dalla scelta del polo nfatt: M O = r F per cu se sceglamo un altro polo O s ha M O = Dnamca sstem punt materal 10

11 ( OO + r ) F = OO F + r F = OO R + M O essendo R la rsultante delle forze rspetto ad O Il momento dpende dalla scelta del polo a meno che non rsult R = 0 Una mportante applcazone rguarda la coppa d forze Coppa d forze S defnsce coppa d forze un nseme d due forze ugual e opposte ma F b F dversa retta d azone. La dstanza tra le due rette d azone delle forze è detta bracco della coppa,b. In questa stuazone la rsultante delle forze è nulla ed l momento della coppa è n modulo bf con drezone perpendcolare al pano ndvduato dalle due rette d azone. Sstema d forze parallele Sstema d forze parallele Nel caso n cu agsca un sstema d forze parallele (tpo la forza d gravtà ) potremo scrvere che ogn F = F û per l calcolo de moment allora rsulta: M O = r (F û) = ( r F ) û e rsulta ortogonale ad û e a R Possamo trovare l punto generco C nel quale applcare tutta la rsultante R affnchè l momento complessvo non camb coè M O = OC R = r c R = r c ( F )û Per cu confrontando le due espresson r F F s ha: ( r F ) û = r c ( F )û = F r c û da cu r c = Il punto così trovato vene detto centro delle forze parallele Come caso partcolare la forza peso costtusce un sstema d forze parallele. In questo r F F caso r c = m = g barcentro o centro d gravtà = r m g m r M e l punto trovato vene chamato Eserczo 9.3 In fgura sono mostrate le forze esterne agent su un sstema d 3 punt, con F 1 = 6 N F 2 = 12 N F 3 = 14 N,m 1 = 4 Kg m 2 = 8 Kg m 3 = 4 Kg. Dnamca sstem punt materal 11

12 F 1 F 2 Qual è l accelerazone del centro d massa? M a cm = F 1 + F 2 + F 3 scomponamo sugl ass: F 3 x : a x = 1 16 [F 1x +F 2x +F 3x ] = 6+12cos /2 16 = m/s 2 y : a y = 0+12sn = 0.53 m/s 2 a = a 2 x +a 2 y = 1.16 m/s 2 L angolo formato da a con l asse x è θ = arctan( ay a x ) = 27 problema 19P problema 19P Eserczo 19P -ved anche esempo 6.7 Uncanedmassa4.5,strovasuunazatteradmassa18kgnunaposzonedstante 6.1 m dalla rva. Il cane cammna verso rva per 2.4 m e po s ferma. Trascurando tuttglattrt, achedstanzadarvastrovalcane? Nel sstema non agscono forze esterne ed era nzalmente fermo per cu s ha x cm = M cx c +M b x b M c +M b x cm = cost = M cx c +M b x b M c +M b Dnamca sstem punt materal 12

13 M c (x c x c) = M b (x b x b) con (x c x c) = 2.4 m x b x b = = 0.6 m per cu 18 x c = x c d+(x b x b) = 4.2 m Problema 25E Un uomo d massa 75 kg sta su un carrello d massa 39 kg che vagga a 2.3 m/s. Ad un tratto salta gù con veloctà orzzontale zero rspetto al terreno. D quanto fa così varare la veloctà del carrello? Cons. q. d m. (m u +m c )v c = m u v u +m c v c v c = mc+mu m c v c = ( ) 2.3 = 6.72 m/s v c = 4.4 m/s Eserczo 30P Un pacco d massa 4.0 Kg, che sta scvolando su un pano prvo d attrto, esplode dvdendos due part d 2.0 kg cascuna, una dretta verso nord alla veloctà d 3.0 m/s e l altra con veloctà 5.0 m/s n drezone formante 30 da nord verso est. Quanto valeva la veloctà del pacco? Sol.3.5m/s Dnamca sstem punt materal 13