Energia e Lavoro (I)

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1 . Energa ed energa cnetca. avoro d una orza costante 3. avoro d un orza varable 3. Il teorema delle orza vve Energa e avoro (I) 5. Esempo: l lavoro computo dalla orza peso 6. Esempo: l lavoro computo da una orza elastca 7. Esempo: l lavoro computo dalla orza d attrto 8. Potenza

2 Denzone d Sstema: Un sstema è un modello semplcato d una pccola porzone d Unverso che vene presa n consderazone. Un sstema può essere composto da: una sola partcella, un nseme d partcelle, una regone d spazo.. Un sstema può cambare d orma e dmensone ( pallna d gomma..) Che cos è l energa- denzone d sstema Il termne energa è un parola comunemente usata nel nostro colloquare quotdano. Conoscamo molt tp d energa e gl nnumerevol camp n cu essa può essere utlzzata, sappamo che qualsas movmento rchede energa, che l controllo d alcune ont d energa è stato ed è tuttora una delle cause d guerre tra stat MA. Cosa sgnca n realtà energa? Dal punto d vsta sco: energa è una grandezza sca scalare assocata allo stato d un corpo o d un sstema d corp. Se una orza ntervene a cambare lo stato d un corpo l valore numerco dell energa che lo rappresenta s modca. a propretà pù mportante del nostro Unverso è che n esso l energa s conserva, s può trasormare, passare da un corpo ad un altro, ma l energa totale s deve conservare. Medante lo studo dell energa è possble rsolvere de problem d dnamca anche senza l utlzzo delle legg d newton e questo approcco è molto convenente soprattutto quando s ha a che are con orze varabl, coè quando l accelerazone non è costante e le equazon del moto possono rsulta molto complcate.

3 Energa Cnetca Energa cnetca d un corpo : energa assocata allo stato d moto del corpo Se ad un certo stante un corpo s muove con una veloctà v, sucentemente nerore alla veloctà della luce, l energa cnetca del corpo n quell stante é K mv Energa Cnetca energa cnetca aumenta quadratcamente all aumentare del modulo della veloctà e se un corpo è ermo la sua energa cnetca è nulla energa cnetca dpende lnearmente dalla massa del corpo untà d msura dell energa è l Joule e s ha che: J Kg m s Vedremo che la varazone d energa cnetca s collega strettamente ad un nuovo concetto sco detto avoro ( n sca la parola avoro ha un sgncato dverso da quello comunemente usato).

4 avoro svolto da una orza costante F Consderamo una orza costante per semplctà che l moto avvenga nella drezone della orza. Sa r lo spostamento. Denamo avoro della orza l prodotto: che agsca su un punto materale e supponamo Pù n generale se l moto avvene n una drezone dversa rspetto alla orza l lavoro è dento come l prodotto scalare della orza per lo spostamento : F r Dove è l angolo tra la drezone della orza e quella dello spostamento. Sccome è uno scalare esso può essere postvo, negatvo o nullo: Se </ ( coè cos >0)la orza ha una componente postva nella drezone del F moto >0 ed l lavoro e detto lavoro motore Se /<< ( coè cos <0) la orza ha una componente negatva nella drezone del moto allora <0 ed e detto lavoro resstente. F Se =/ ( coè cos =0)la orza non ha una componente nella drezone del moto =0 Se =0 ( coè cos =)la orza e lo spostamento sono parallel nella drezone del moto =F r Fr cos F r avoro ( grandezza scalare) F F 90 r r r r

5 avoro Es: Una persona che solleva una scatola d un altezza h e po cammna orzzontalmente a veloctà costante per una dstanza d. Calcolare l lavoro computo durante questo processo a) dalla persona b) dalla orza d gravtà c) dall ambente sul sstema scatola Assumamo che la persona sollev la scatola con una orza par al peso del corpo a) avoro computo dalla persona per sollevare d un altezza h l oggetto. Forza e spostamento vertcale hanno stessa drezone e stesso verso Il lavoro computo dalla persona per spostare l oggetto orzzontalmente è nulla perché la orza applcata è vertcale qund perpendcolare a questo spostamento ( l moto orzzontale è a veloctà costante => a=0 => F =0) Qund : ver F mg F r tot mgh ver Fhcos 0 mgh orz F r Fd cos90 0 b) Il lavoro computo dalla orza d gravtà durante lo spostamento vertcale: g Il lavoro computo dalla orza d gravtà per spostare l oggetto orzzontalmente è nulla perché la orza è ovvamente perpendcolare allo spostamento. orz g tot 0 mgh c) Il lavoro svolto dalla rsultante delle orze sulla scatola è nullo tot g tot vert mgh mgh mgh 0

6 Se la orza agente non è costante ma la traettora è lneare (partcella che s muove lungo l asse ma con orza che vara n unzone della poszone) allora possamo scomporre la traettora stessa n ntervall d sucentemente pccol da poter consderare n ess che la orza sa costante Possamo esprmere l lavoro eettuato dalla orza lungo la traettora come la somma de lavor esegut ne sngol segment d traettora: = F + F + F F N Coè: avoro svolto da una orza varable() N n n n Se le dmenson degl ntervall tendono a zero l numero degl ntervall cresce no ad nnto e la somma tende all ntegrale: lm 0 N n F N n F n F d Il lavoro è par all ntegrale dento d F() calcolato tra ed, coè è par all area sottesa dalla curva F () nell ntervallo = - NB: Se la orza osse costante, F potrebbe essere estratto dall ntegrale e s otterrebbe d nuovo =F

7 avoro svolto da una orza varable() Se n un sstema costtuto da una partcella su cu agscono pù orze, l lavoro totale computo sul sstema è dato dalla somma de lavor eettuat dalle sngole orze: tot F Consderamo ora un caso pù generale, d una partcella che s muove lungo una traettora trdmensonale mentre è soggetta ad una orza rsultante F. Il lavoro, che è una grandezza scalare sarà dato dall ntegrale del prodotto scalare tra F ed l percorso nntesmo dr : d NB la somma d ntegral d unzon è uguale all ntegrale della somma delle unzon F dr F d ntegrale è calcolato lungo l percorso della traettora ( ntegrale d lnea) B: In ogn caso l lavoro è una grandezza scalare e le sue dmenson sche sono: [M][] [T] - unta d msura del lavoro è la stessa dell energa : l Joule J N m Kg m s F d

8 Dove v e v sono le veloctà della partcella nel punto nzale e nale dello spostamento Teorema dell energa cnetca Se s può calcolare l lavoro computo dalla orza rsultante agente su una partcella per eettuare un dato spostamento sarà possble calcolare n manera molto semplce anche la sua varazone d veloctà. Consderamo una partcella che s muove lungo una traettora e scomponamo la sua accelerazone nelle component tangente a t e radale a r rspetto alla traettora stessa. Denamo orza tangenzale F t la componente della orza nella drezone della traettora. Forza tangenzale Il lavoro della orza s può scrvere n termn d tale componente: Rcordamo che: a t dv dt Ft ma t E sosttuendo nell espressone del lavoro: Ft dr dv m dt dr F t ma t v m dv dt F t dr m dv m vdv mv v dr dt mv mv

9 Teorema dell energa cnetca Rcordamo che per denzone l energa cnetca d una partcella che possede una veloctà v è par a: Avremo qund che mv T mv mv T Varazone dell energa cnetca della partcella Possamo qund enuncare l TEOREMA DE ENERGIA CINETICA: Quando è svolto lavoro sul sstema e la sola varazone nel sstema è la sola varazone del modulo della veloctà, l lavoro computo dalla orza rsultante che agsce sul sstema è par alla varazone dell energa cnetca della partcella. T mv mv

10 avoro svolto da una molla() Consderamo una orza elastca agente n una dmensone: F k Il segno negatvo sgnca che la orza è sempre rvolta n senso contraro a quello dello spostamento dalla poszone d equlbro =0. a orza tende qund sempre a rportare la molla alla poszone d equlbro e per questo vene chamata Forza d Rchamo Se >0 la orza è negatva, Se <0 la orza è postva, Quando =0 la molla non è deormata e la orza è nulla. Qund se aggancamo un corpo poggato su un pano orzzontale ad una molla e lo spostamo d una dstanza ma esso comncerà ad oscllare tra + ma e ma passando per =0 Il lavoro computo da una molla sarà qund dato dall ntegrale ( poché F vara n unzone d ): F ( ) d kd k k k k k

11 avoro svolto da una molla() k k kd F spostamento Forza e spostamento sono entramb rvolt verso l centro d equlbro, sono qund equvers F Forza e spostamento sono n verso opposto ma 0 Se = - ma ed = 0 0 kd ma k ma Se = 0 ed = ma 0 spostamento 0 ma ma 0 kd k ma 0 Il lavoro computo dalla molla per andare da ma a + ma è qund nullo! ma kd kma kma 0 ma

12 avoro svolto da una molla(3) Graco d F=-k n unzone d area n gallno è l lavoro della orza d rchamo F della molla durante lo spostamento da ma a + ma. È evdente che le due aree trangolar ( quella corrspondente al lavoro da ma a 0 e quella da 0 a + ma ) s annullano a vcenda, essendo state ottenute moltplcando la base par a ma una volta per k ed un altra per k Poché l lavoro è propro la somma d queste due aree (tenendo conto de segn ) l lavoro è nullo Il lavoro svolto dalla orza d rchamo della molla è nullo quando lo spostamento nzale rspetto all equlbro e quello nale concdano kd k k Se = k k 0

13 avoro svolto da una orza applcata alla molla Supponamo d spostare l blocco collegato alla molla lungo l asse della molla applcando una orza F a. Durante lo spostamento : F a compe un lavoro a, mentre la orza d rchamo della molla F m compe l lavoro m a varazone d energa cnetca del blocco sarà data dalla somma de due lavor: k K K a m Se l blocco attaccato alla molla è ermo prma e dopo lo spostamento la varazone d energa cnetca è nulla e qund è nullo anche l lavoro svolto. a m Questo s può spegare tenendo conto del atto che la orza applcata e la orza d rchamo hanno segno oppost e qund anche lavor eettuat dalle due orze.

14 avoro della orza d attrto Consderamo l caso dell azone della orza d attrto dnamca su un corpo n moto lungo una certa traettora C che eettua uno spostamento d lungo tale traettora. d a orza d attrto è sempre opposta allo spostamento ed l lavoro svolto da tale orza sarà qund sempre negatvo Il lavoro è dato da: att d dr Ndr d Se la componente Normale alla superce è costante ( non dpende dalla poszone) s potrà scrvere: dr d att d N dr Nd d è lo spostamento eettuato dalla poszone nzale alla poszone nale lungo la traettora (attenzone NON è la derenze tra la poszone nzale e la poszone nale poché questo ntegrale è un ntegrale d lnea e dpende dal percorso eettuato NB: Il lavoro è sempre lavoro resstente e dpende dalla traettora eettva del punto materale. A partà d d ed N l lavoro dpende dal percorso e non è esprmble come derenza de valor d una unzone ne due punt d partenza ed arrvo. att d

15 Potenza Se v chedessero cosa derenza l motore d una errar da quello d una 500 cosa v verrebbe spontaneo rspondere? Scuramente ( SPERO ) una delle rsposte sarebbe cavall motore o la Potenza! Ma che cos è la potenza? a Potenza è la RAPIDITÀ con cu vene svluppata una certa quanttà d lavoro: P t Potenza meda P d dt Potenza Istantanea a potenza s msura n watt (W) dove W=J/s ( spesso s trova espressa n termn d cavallo-vapore (CV) dove CV=735,5W NB: Nel caso partcolare n cu una partcella s sposta lungo una drezone rettlnea sotto l azone d una orza costante F che orma un angolo con la drezone dello spostamento s potrà scrvere pa potenza n termn della orza e della veloctà v della partcella stessa: P d dt P d dt F cosd d F cos Fv cos dt dt Se </ P>0 Se / << P<0 la orza esegue un lavoro resstente P F v

16 avoro ed Energa (). Energa potenzale. Forze conservatve 3. Energa potenzale e lavoro 4. Conservazone dell energa meccanca 5. Esempo: energa potenzale gravtazonale 6. Esempo: energa potenzale elastca 7. Conservazone dell energa nel moto del pendolo 8. avoro delle orze non conservatve

17 Energa Potenzale Un altro tpo generco d energa è l ENERGIA POTENZIAE che rappresenta l energa assocata allo stato d un sstema d corp che nteragscono recprocamente per mezzo d un campo d orze. ES: sstema pallna-terra che nteragscono medante la orza gravtazonale. energa Potenzale è energa mmagazznata, pronta ad essere trasormata n una qualche altra orma d energa come ad esempo energa cnetca Esemp: a molla compressa (Energa potenzale elastca), un oggetto sospeso nel vuoto ad una certa dstanza dal suolo (Energa potenzale gravtazonale) Il lavoro può essere espresso oltre che medante la varazone d energa cnetca anche medante la varazone d energa potenzale Consderamo l sstema pallna-terra che nteragsce attraverso la orza gravtazonale, se applchamo una orza esterna al sstema per sollevare lentamente la pallna dalla quota y a alla quota y b ( spostamento y= y a y b ) compamo sul sstema un certo lavoro che, se la pallna rsulta a rposo prma e dopo lo spostamento, non può trasormars n energa cnetca ( che rmane nulla). Non c è neanche varazone d energa nterna, n quanto non c è motvo che l energa del lbro aument => energa ornta dall esterno vene mmagazznata pronta ad essere trasormata n energa cnetca non appena la pallna vene lascata cadere. Questa energa è propro Energa Potenzale

18 Energa potenzale () Consderamo ora d lancare n ara la pallna, sappamo che la orza gravtazonale svolge un lavoro g negatvo sulla pallna che sta salendo, questo perché la orza gravtazonale sottrae energa all energa cnetca della pallna Questa energa sottratta vene mmagazznata sotto orma d energa potenzale gravtazonale del sstema pallna-terra a pallna rallenta no a ermars e po comnca a rcadere, a causa della orza d gravtà Mentre la pallna cade la orza gravtazonale questa volta svolge un lavoro postvo sulla pallna, l energa mmagazznata ( energa gravtazonale del sstema pallnaterra) vene ora convertta n energa cnetca della pallna. S può schematzza re questo processo dcendo che la varazone d energa potenzale gravtazonale è par all opposto del lavoro svolto sulla pallna dalla orza gravtazonale: U g Stesso ragonamento può essere atto sul sstema blocco-molla vsto pocanz. U m

19 Forze conservatve Anché s possa parlare d energa potenzale d un sstema, l sstema e le orze che agscono su d esso devono avere determnate propretà. Il sstema deve consstere d due o pù oggett ed l corpo ed l resto del sstema devono nteragre medante una orza Quando la congurazone del sstema camba (es: cambament d poszone o cambamento d stato d una molla ) la orza compe lavoro ( ) sul corpo con trasermento dell energa cnetca n un altra orma d energa Quando s camba l senso della varazone della congurazone la orza nverte l trasermento d energa svolgendo lavoro ( ) Se e solo se =-, coè se solo se l trasermento d energa può essere nvertto, s può parlare d energa potenzale Forze che presentano tal propretà vengono dette FORZE CONSERVATIVE a orza gravtazonale e la orza elastca sono orze conservatve e orze d attrto non sono orze conservatve ( l energa cnetca vene trasormata n energa termca ed l processo non è nvertble) e l energa termca non è un energa potenzale

20 Forze Conservatve Come accamo a capre se una orza è conservatva? Il lavoro computo da una orza conservatva su una partcella che s muove tra due punt qualsas non dpende dal percorso esegto ma solo dalle poszon nzale e nale Per calcolare del lavoro eseguto è qund possble utlzzare qualsas percorso collegh l punto nzale a con quello nale b. Il lavoro è esprmble come derenza de valor d una unzone ne punt nale ed nzale della traettora. ab ab ab Nel caso n cu s nvertano l punto nzale e nale, ovvero s nverte la drezone d percorrenza della traettora, camba solo l segno del lavoro eseguto. ab ba Un qualunque percorso chuso può essere pensato come la somma d un percorso d andata tra due punt qualunque della traettora ed un percorso d rtorno tra gl stess punt. S ha qund che l lavoro d una orza conservatva che agsce su una partcella che s muove lungo un percorso chuso è nullo ab ba 0

21 Determnazone dell energa potenzale () Consderamo un corpo che a parte d un sstema sul quale agsca una orza conservatva F. Quando la Forza compe lavoro la varazone dell energa potenzale è par all opposto del lavoro svolto. U Nel caso generale n cu la orza conservatva vara durante lo spostamento: U F( ) d U Non esste una orma generale per l energa potenzale, ma dpende dalla orza conservatva a cu s rersce. energa potenzale d una orza conservatva permette d calcolare rapdamente l lavoro eseguto su qualunque traettora. Una orza conservatva non s può rcavare lavoro se l percorso è chuso, ovvero, come s dce, se l processo è cclco. Fdr

22 Energa potenzale e avoro Abbamo vsto che la varazone d energa potenzale è par all opposto del lavoro svolto dalla orza conservatva agente sulla partcella acente parte del sstema n studo U A partre dalla denzone s può osservare che: Se l energa potenzale aumenta, l lavoro eseguto è negatvo ( l lavoro vene atto dall esterno sul sstema) U Cò sgnca che non s può estrarre lavoro dalla orza durante un processo n cu l energa potenzale aumenta, ma sarà necessaro ornre lavoro dall esterno perché l processo sa possble. Se l energa potenzale dmnusce, l lavoro eseguto e postvo e s può utlzzare durante l processo. U energa potenzale ndca la capactà della orza d ornre lavoro. energa potenzale è denta a meno d una costante, natt: se aggungamo (o sottraamo) una costante c all energa potenzale: U'U c la nuova espressone per l energa potenzale soddsa ancora la relazone: U ' U'( B) U'( A) U( B) c U( A) c U U

23 Energa Meccanca e conservazone dell Energa Meccanca energa meccanca E d un sstema è l energa totale data dalla somma dell energa cnetca e dell energa potenzale relatva a corp che compongono l sstema stesso. E = U +K Per l lavoro delle orze conservatve valgono allora due relazon: ) Teorema dell energa cnetca ( questo teorema vale per tutte le orze, conservatve e non): mv mv ) Denzone d energa potenzale ( questa vale solo per le orze conservatve): U U K U K K K K K U U U U K U K PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DE ENERGIA MECCANICA: Quando n un sstema solato agscono solo orze conservatve l energa potenzale e quella cnetca posso varare sngolarmente, ma la loro somma, l energa meccanca E del sstema, deve rmanere costante E U K cost conservazone dell energa meccanca

24 Prncpo d conservazone dell Energa Meccanca- Applcazone E U K cost E U K 0 Il prncpo d conservazone dell energa meccanca c permette d rsolvere n manera molto semplce problem che dal punto d vsta dnamco sarebbero molto compless

25 Energa potenzale gravtazonale Consderamo una partcella d massa m che s muove vertcalmente lungo l asse y da un punto y ad un punto y. Tale partcella subsce l lavoro svolto dalla orza gravtazonale. a varazone d energa potenzale sarà data da: y y y U F y) dy y g ( mg dy mg y mgy U y mgy In sca sono mportant solo le varazon U d energa potenzal ( l energa potenzale è sempre denta a meno d una costante) A volte però per semplcare calcol convene assocare un partcolare valore d U ad una certo stato del sstema n cu la partcella s trova n una determnata poszone y. Se qund assocamo un valore U =0 all energa potenzale del sstema nella congurazone nzale ( o d rermento) y =0, possamo scrvere: y y y y U mgy Energa potenzale gravtazonale energa potenzale gravtazonale assocata ad un sstema partcella-terra dpende dalla poszone vertcale y della partcella rspetto alla poszone d rermento y=0 y y y y

26 Energa totale e orza peso Abbamo vsto che l energa potenzale gravtazonale può essere espressa come: U=mgy Sappamo che, nel caso della caduta d un grave, s conserva l energa totale data da: E = ½m v + mgy = costante Consderamo qund un corpo che scvola su un pano nclnato prvo d attrto. a reazone vncolare è sempre perpendcolare alla traettora e non compe lavoro. Se l corpo parte da ermo da un altezza h, arrverà alla ne del pano con veloctà tale che: E = U +K = mgh + 0 = U +K = 0 + ½ m v Da cu: v gh a veloctà è qund ndpendente dalla massa del corpo (come gà sapevamo) e dall nclnazone del pano. Nel moto l energa potenzale s e trasormata n energa cnetca.

27 Esempo Consderamo un camon che scendendo da una dscesa ncontra po una salta che ha una pendenza d 5. Quando arrva alla salta ha una veloctà d 30 km/h. Calcolare la dstanza mnma dall nzo della salta che l camon deve percorre prma d ermars ( non c è attrto). E cost K U K U h Stato nzale ( camon che aronta la salta): K mv U 0 Stato nale ( camon che s erma): K 0 U mgh mgsn 5 h sn 5 Conservazone dell energa meccanca: g sn5 E mv mgsn5 mv v 36.m s 58m mgsn

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29 Energa potenzale elastca Consderamo un sstema blocco-molla con l blocco attaccato ad una delle estremtà della molla d costante elastca k. Durante lo spostamento del blocco dalla poszone alla poszone la orza d rchamo F=-k compe del lavoro sul blocco. a varazone d energa potenzale sarà data da: y U Fm ( ) d k d k k y U k Analogamente a quanto atto per l energa potenzale gravtazonale, assocamo un valore d U ad una poszone d rermento. Ponamo U=0 quando =0 (coè quando l blocco passa per la poszone d equlbro della molla) U k Energa potenzale elastca

30 Energa totale e orza elastca Nel caso d una orza elastca s conserva l energa meccanca data dalla somma: Quando la molla vene compressa oppure dlatata aumenta lo spostamento e qund l energa potenzale. Anché l energa meccanca del sstema s conserv, l energa cnetca (e la veloctà del corpo) deve dmnure, no al lmte d massma compressone o dlatazone n cu s ha : E ma cost K U K 0 ed U Uma Durante l processo d allungamento o compressone della molla, la molla compe lavoro resstente Quando la molla torna verso la sua poszone d rposo l energa potenzale s trasorma n energa cnetca: U dmnusce e K aumenta nché nella poszone =0 s ha: Durante l processo d scarcamento della molla la molla compe lavoro motore In tale poszone la veloctà è massma. NB: Il lavoro totale computo durante una oscllazone completa è NUO. mv k 0 U 0 e K Kma E E

31 Esempo: l pendolo Un pendolo è costtuto da un corpo d massa m ssato ad un punto tramte un lo nestensble (oppure un astcella d massa trascurable) d lunghezza, sottoposto alla orza peso. In ogn stante esso è sottoposto sa alla orza peso, sa alla tensone del lo, che lo mantene a dstanza costante dal punto sso, ed e dretto come l lo.

32 Esempo: l Pendolo () Dato un pendolo costtuto da un lo nestensble d lunghezza e da una massa m attaccato ad esso, determnare la veloctà del pendolo nel punto pù basso d oscllazone se l angolo massmo d oscllazone è ma K 0 U U ma E K U cost K K U 0 ma y 0 ma T K 0 U U y y F g ma ma e orze che agscono sul pendolo sono la tensone del lo T e la orza peso F g. o spostamento è sempre lungo la tangente alla traettora crcolare che compe la massa m durante la sua oscllazone a tensone del lo non compe lavoro n quanto stante per stante è perpendcolare allo spostamento Il lavoro è qund svolto solo dalla orza peso. a varazone d energa potenzale sarà qund : Sceglamo come rermento per le quote la quota mnma: y mn =0 Durante l oscllazone s conserva l energa totale data da: E = ½m v + mgy = costante y ma (Alla lavagna) Nella poszone d massma altezza avremo: E = U = mgy ma = mg( - cos ma ) (K=0) g U mgy mgy Nella poszone d mnma quota avremo nvece: E = K = / m v / m v = mg( - cos ma ) v g cos ma (U=0)

33 avoro svolto su un sstema da una orza esterna Consderamo una orza esterna che agsce su un sstema. Il lavoro è l energa traserta a o da l sstema per mezzo della orza esterna che agsce su d esso Sstema Sstema >0 Energa traserta al sstema <0 Energa sottratta al sstema Se l sstema è costtuto da un unca partcella puntorme l trasermento d energa avvene solo attraverso la varazone d energa cnetca Se l sstema è pù complesso la varazone d energa può avvenre anche attraverso altre orme (es: energa potenzale)

34 avoro delle orze non conservatve Nel caso n cu agscano orze non conservatve, qual la orza d attrto, non s può denre una energa potenzale. Il lavoro dpende dalla traettora È sempre valdo l TEOREMA DE ENERGIA CINETICA. Se agscono contemporaneamente orze conservatve e orze non conservatve l lavoro computo sul sstema sarà dato dalla somma del lavoro computo dalle orze conservatve e da quello computo dalle orze non conservatve: c nc S può qund scrvere: nc U c U c U c mv Fc dr t non dp.dal percorso Ft dr mv mv Il lavoro delle orze non conservatve è par alla varazone d energa meccanca nc E Fnc dr t dp.dal percorso mv U c nc mv mv U K U K E E E c c