Grandezze vettoriali e grandezze scalari

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1 Grandezze vettoral e grandezze scalar Immagnamo che un uccello s trov sulla cma d un albero A e decda d spostars, volando n lnea retta, sulla gugla d un campanle C. Qual nformazon deve avere per portare a termne con successo l mpresa? Dovrà ovvamente sapere la dstanza d fra albero e campanle, anche se questa nformazone non è suffcente a defnre unvocamente l suo spostamento. Infatt (Fg 1) esstono nfnt punt che hanno una prefssata dstanza dall albero: tutt quell che gaccono su una crconferenza d raggo d centrata sull albero e passante per la cma d C. d C A Fg. 1 La sola dstanza non defnsce unvocamente l punto d arrvo Per rdurre l ambgutà, s può noltre specfcare la drezone n cu l uccello deve volare, coè la retta lungo la quale s svolgerà lo spostamento. Questa ulterore nformazone (Fg ) effettvamente rduce l ambgutà a due sol punt. d d d Fg. La dstanza e la drezone rducono a due possbl punt d arrvo. Per sceglere fra due punt basterà specfcare n quale verso la retta deve essere percorsa (Fg.3). 1

2 Fg.3 La conoscenza del verso d percorrenza defnsce un unco possble punto d arrvo. Lo spostamento dell uccello dunque può essere determnato unvocamente specfcando: - Dstanza - Drezone - Verso Queste tre nformazon possono essere rassunte dsegnando (Fg.4) lo spostamento come una frecca. C A Fg.4 Lo spostamento è rappresentable come una frecca. Ogn grandezza che, come lo spostamento, rchede, per essere completamente defnta, la specfcazone d una ntenstà, una drezone e un verso, s dce grandezza vettorale o pù famlarmente vettore. L ntenstà della grandezza (msurata nell approprata untà d msura) vene detta modulo del vettore, mentre l nseme delle nformazon costtute dalla drezone e dal verso, vene spesso rassunto nell espressone drezone orentata. Esemp d grandezze vettoral sono, oltre allo spostamento, la veloctà, l accelerazone, le forze etc. Le grandezze che, vceversa, sono completamente defnte dalla loro ntenstà s dcono grandezze scalar o semplcemente, scalar. Esemp d grandezze scalar sono la temperatura, la massa, l energa, etc. Per ndcare che una grandezza ha carattere vettorale s utlzza un smbolo sormontato da una frecca (a ), ovvero un smbolo n grassetto a. Il modulo d una grandezza vettorale è denotato dal smbolo a (o equvalentemente a ) o, n alternatva, a.

3 Grafcamente, una grandezza vettorale è rappresentata da una frecca (propro come lo spostamento) la cu lunghezza msura l ntenstà, la retta d appartenenza la drezone e la punta l verso (Fg. 5) verso a Drezone modulo a Fg.5 La frecca è un smbolo che rassume le tre propretà d un vettore. S not che un vettore, essendo defnto da modulo, drezone e verso può essere rappresentato n nfnt mod da frecce de data lunghezza, drette secondo rette parallele ed equverse (Fg.6). Fg.6 Esstono nfnt mod d rappresentare un vettore come frecca. Le dverse frecce dfferscono fra loro perché hanno dvers punt d applcazone (l punto d applcazone è l estremo della frecca senza punta). Un vettore d cu non sa defnto l punto d applcazone (qund rappresentable n nfnt mod) s dce pù propramente vettore lbero. Quando venga specfcato anche l punto d applcazone s ha a che fare con un vettore applcato: n questo caso l unco modo corretto d rappresentare la frecca rappresentatva è quello d fare concdere l estremo senza punta con l punto d applcazone (Fg.7). 3

4 Fg.7 Un vettore applcato può essere rappresentato n un solo modo. Operazon con vettor lber Eguaglanza Dat due vettor a e b (qund modulo, drezone e verso d a e d b ) ess s dcono egual se a = b e la drezone orentata d a concde con quella d b (Fg.8). Per esprmere cò s scrve a = b a b Fg.8 a = b se le due frecce hanno eguale lunghezza, stessa drezone (gaccono su rette parallele) e sono equverse. Vettore opposto Dato un vettore a, s dce vettore opposto ad a (e s denota con l smbolo lo stesso modulo d a, la stessa drezone e verso opposto (Fg.9) a a a ) un vettore che ha Fg.9 La frecca rappresentatva del vettore opposto ha eguale lunghezza, gace su una retta parallela, ma ha verso opposto. Somma d vettor Dat due vettor a e b, la loro somma (che s ndca con a + b ) è un vettore che s ottene a partre da a e b con la cosddetta regola del parallelogramma, la quale consste nel dsegnare la frecca rappresentatva d b con l estremo senza punta concdente con l estremo con punta d a : l vettore somma è l vettore che chude l trangolo (Fg.10). a b a a + b b Fg.10 I vettor a, b e la loro somma a + b. 4

5 Questo procedmento può faclmente essere esteso alla somma d pù vettor (Fg.11). a b c d a + b + c + d + e e Fg.11 La somma d cnque vettor. La somma due vettor è commutatva, coè a + b = b + a. Dfferenza (sottrazone) d vettor Dat due vettor a e b s chama dfferenza fra a e b (e s denota con l smbolo somma d a con l opposto d b (Fg.1), coè a b = a + ( b) b a Fg.1 I vettor a, b e la loro dfferenza. a b a b ) la a b Prodotto Il calcolo vettorale defnsce dvers tp d prodotto, che vanno comunque specfcat con un opportuna aggettvazone. 1. Prodotto d uno scalare per un vettore Dato uno scalare s e un vettore a, s chama prodotto dello scalare s per l vettore a (e s denota con l smbolo s a ) l vettore l cu modulo è dato dal prodotto fra l valore assoluto d s 5

6 e l modulo d a ( s a ), la cu drezone con quella d a e che ha lo stesso verso d a se s è postvo, mentre ha verso opposto se s è negatvo (Fg 1) a a 1 a Fg 1. Prodotto del vettore a per gl scalar e 1/. Prodotto scalare Dat due vettor a e b s defnsce prodotto scalare fra a e b (e s denota con quanttà scalare a b = a b cos( θ) dove θ è l angolo compreso fra due vettor (Fg 13). a b ) la b θ a Fg 13. Nel prodotto scalare entra n goco l angolo fra due vettor. S not che l prodotto scalare può essere nullo anche se nessuno de vettor a e b è nullo, cos θ = 0 θ = π. Dunque l prodotto scalare fra due vettor ortogonal è nullo. Il basta che ( ) prodotto scalare è commutatvo a b = b a 3. Prodotto vettorale Dat due vettor a e b, s può defnre un terzo vettore c dato dal prodotto vettorale (o prodotto vettore d a e b ) che s denota con a b defnto come a b = a b ( ) sn θ 6

7 Il vettore c è perpendcolare al pano che contene a e b,ed è orentato n base alla cosddetta regola della "mano destra" (Fg 14) Fg 14 Il prodotto vettore d due vettor a e b è un terzo vettore perpendcolare al pano contenente a e b. Versor Un vettore d modulo untaro, vene detto versore. Un versore è dunque defnto (essendo l modulo prefssato) specfcandone solo la drezone orentata. I versor vengono nfatt utlzzat per caratterzzare drezon orentate. Dato un vettore a, l vettore u = a 1 a ha modulo untaro. Ne consegue che a = a u, coè ogn vettore può essere scrtto come prodotto fra l suo modulo (che è uno scalare) e un versore che ne specfca drezone e verso Scomposzone d vettor Consderamo l prodotto scalare fra un vettore a e un vettore u. In base alla defnzone a u = a cos θ, coè (Fg.14), moltplcando scalarmene un vettore per un versore s ottene la proezone del vettore lungo la drezone orentata specfcata dal versore. a a a u = a cos ( ) ϑ 7

8 u θ Fg. 14 Per proettare un vettore lungo una drezone orentata, basta moltplcarlo scalarmene per l versore che caratterzza quella drezone.. Ogn vettore può essere scrtto come somma d vettor ortogonal. S consderno nfatt (Fg.15) due rette orentate ortogonal, dentfcate da versor u x e u y. In base alla regola del parallelogramma s può scrvere u y a y a a x u x Fg. 15 Scomposzone d un vettore lungo due drezon ortogonal a = a x + a y ma a a u x = x x e a a u y = y y con a x = a x cos(θ) a y = a y sn(θ) dunque a = a x = a x cos( θ )u x + a ( cos( θ )u + sn( θ )u ) x y sn( θ )u y y 8

9 Cnematca del punto materale Il concetto d moto è relatvo. Dre che un oggetto s muove o sta fermo non vuole dre nente, se non s specfca rspetto a ch. Non ha senso dre che la Terra s muove : ha senso dre che la Terra s muove rspetto al Sole. Non ha senso dre che un automoble s muove: ha senso dre che s muove rspetto alla strada, o a vgl, o a semafor. Molte confuson o ncomprenson nascono dal non aver capto questo: ogn volta che s parla d moto (e qund anche d quete) occorre precsare rspetto a ch o a che cosa tale affermazone vene fatta. Se convenamo d chamare n generale sstema d rfermento un nseme d corp (le cu poszon relatve non varano) rspetto a qual rferre ogn dscorso relatvo al moto, le consderazon precedent possono essere rassunte dcendo che quando s parla d moto d un oggetto occorre specfcare anztutto l sstema d rfermento. S osserv che spesso nel lnguaggo corrente tale affermazone è mplcta. Ad esempo tutte le affermazon relatve a trasport assumono che l sstema d rfermento sa quello terrestre, coè un nseme d corp ferm rspetto alla superfce della Terra. Descrvere l moto d un oggetto (rspetto a un prefssato sstema d rfermento) è partcolarmente semplce se s possono trascurare le dmenson dell oggetto: questo accade ogn volta che tal dmenson sono molto pccole rspetto a quelle della zona d spazo n cu s svolge l moto. Così ad esempo, una corazzata nell oceano Pacfco, ha dmenson trascurabl rspetto a quelle dell oceano; le dmenson della Terra (l cu raggo è d crca km) sono trascurabl rspetto a quelle dell orbta d rvoluzone attorno al Sole (l cu raggo è crca 149 mlon d km). Come s vede, non s tratta d avere a che fare con oggett grand o pccol, ma d confrontare le dmenson dell oggetto con quelle dello spazo n cu s muove. E evdente che la stessa corazzata non ha dmenson trascurabl rspetto a quelle del bacno d carenaggo n cu vene fatta la manutenzone, nè la Terra ha dmenson trascurabl rspetto alla zona d spazo n cu s svolge la sua rotazone durna. Nel caso n cu s possano trascurare le dmenson dell oggetto, questo può essere rappresentato come un punto nello spazo, un punto tuttava che mantene le propretà fsche (massa, carca, etc) dell oggetto orgnale: s parla pertanto d punto materale. Traettora e legge orara Se un oggetto, schematzzable come un punto materale, s muove (rspetto a un prefssato sstema d rfermento), occuperà, al varare del tempo, dverse poszon nello spazo, cascuna poszone essendo rappresentata da un punto. S chama traettora l nseme delle poszon occupate dal punto materale durante l moto. Poché ogn poszone è un punto dello spazo, la traettora è un nseme d punt, coè una curva nello spazo (o nel pano). Conoscere la traettora non sgnfca ancora conoscere l moto del punto materale: la traettora c dce qual sano le poszon occupate dal punto, ma non dce a quale stante ognuna d esse verrà occupata. Le rotae d un treno ne rappresentano la traettora, ma l vaggatore vuole sapere a quale ora l treno s troverà nelle vare poszon. Sfruttando la conoscenza della traettora, tale nformazone agguntva può essere precsata come segue: 9

10 Arch negatv Arch postv O s P Fgura 1 Traettora e legge orara S fss sulla traettora un punto arbtraro O (orgne degl arch) e s scelga un verso postvo d percorrenza della traettora, pure arbtraro. Questo sgnfca battezzare arbtraramente come postv gl arch d traettora da una parte d O e negatv quell dall altra parte. A un certo stante t l punto P occuperà una poszone sulla traettora, la cu dstanza da O, msurata lungo la traettora, è un certo arco S. Poché P s muove, l arco S vara nel tempo, coè S=S(t) ( s legge: l arco S dpende dal tempo) La legge che esprme esplctamente come vara S n funzone del tempo s chama legge orara. In conclusone, l moto d un punto materale è completamente noto quando s conoscano la sua traettora e la sua legge orara. Nel Sstema Internazonale l untà d msura d S è l metro (m). Mlano Pacenza Parma Modena Bologna Esempo d trattora: Treno Bologna Mlano e sca d una partcella elementare n una camera a bolle 10

11 Esempo d trattora: sca d una partcella elementare n una camera a bolle e traettora rcostruta per l processo d decadmento del mesone p (nterazone con protone e formazone d partcelle lambda e K neutre) The lambda decays nto a proton and a negatvely charged p meson; the K decays nto the postvely charged p meson and a negatvely charged p meson 11

12 Veloctà e Accelerazone Fg La veloctà d un punto materale è un vettore tangente alla traettora nel punto n cu esso s trova stantaneamente e d modulo ds v = dt Il verso d v è determnato dal verso d percorrenza della traettora. La quanttà ds/dt s chama veloctà scalare. Detto u tg l versore tangente alla traettora, s potrà dunque scrvere: S chama veloctà scalare meda nell ntervallo d tempo t -t 1, la quanttà v sm s = ds = u v dt s t1 t ( t ) ( ) Questa quanttà è quella a cu s fa rfermento, ad es. n relazone a gare sportve d cclsmo, automoblsmo, etc. Il modulo della veloctà msura la rapdtà d spostamento del punto materale lungo la traettora e, nel S.I., s msura n m/s. In generale l vettore veloctà vara nel tempo n modulo, drezone e verso, coè: v = v( t ) (s legge: la veloctà dpende dal tempo). L accelerazone a d un punto materale è un vettore che gace nel pano della traettora, è dretto all nterno della concavtà formata dalla traettora (Fg. 3), e l suo modulo vale t 1 tg dv a = dt Fg.3 L accelerazone è un vettore dretto verso la concavtà della traetttora 1

13 Per capre come s possa calcolare a, rcordamo che un vettore può sempre essere decomposto secondo due drezon ortogonal. Consderamo allora (Fg.4) due ass ortogonal, d versor rspettvamente u n e u tg, drett rspettvamente come la normale (perpendcolare) e la tangente alla traettora nel punto P. Fg.4 Decomposzone d a lungo le drezon ortogonal Rcordando quanto svluppato nel captolo sul calcolo vettorale s potrà scrvere: a = a cos ( ϑ) utg + a sn( ϑ) un. Le component d a lungo la tangente e la normale s chamano rspettvamente accelerazone tangenzale e accelerazone normale (o centrpeta): = sn ϑ. accelerazone tangenzale a t = a cos( ϑ), accelerazone normale a n a ( ) d s S dmostra che a t = e che dt Dunque d s 1 ds a = atutg + anun = utg + u n. dt R dt 1 ds a n = con R raggo d curvatura della traettora n P. R dt Poché l vettore accelerazone descrve le varazon del vettore veloctà e queste varazon possono rguardare l modulo e/o la drezone orentata d v, le due component d a descrvono rspettvamente: a t le varazon d v n modulo a n le varazon d v n drezone (orentata) Il modulo dell accelerazone s msura nel S.I. n m/s Mot partcolar 13

14 Moto rettlneo unforme S tratta del moto d un punto materale che percorre una traettora rettlnea con veloctà costante. La drezone della veloctà (che è tangente alla traettora), concde con la traettora, mentre l suo modulo ds dt è costante. La legge orara che defnsce l moto rettlneo e unforme è: s( t ) = s + v t 0 0 (1) dove s 0 è la poszone d P, msurata a partre dall orgne O, all stante nzale t = 0 e v 0 = costante è la veloctà del punto (Fg 5) Fg 5-Moto rettlneo unforme L equazone (1) può essere rappresentata n un grafco n cu s rporta t n ascssa e s n ordnata (dagramma oraro) 14

15 Fg 6 Dagramma oraro del moto rettlneo unforme Moto rettlneo unformemente accelerato Trattandos d moto rettlneo, la veloctà è costante n drezone (che concde con la traettora) e verso ma vara n modulo. La legge orara è: at s ( t ) = s + v t Da questa equazone s può rcavare la veloctà scalare ds dt = v 0 + at Entrambe le equazon possono essere rappresentate n un grafco (Fg 7a e 7b) Fg 7 a) Legge orara del moto unformemente accelerato. b) Varazone nel tempo della veloctà scalare. Moto crcolare unforme E' l moto d un punto che (Fg. 8) s muove lungo una crconferenza con una veloctà costante n modulo. (la veloctà, essendo n ogn punto tangente alla traettora vara ovvamente n drezone). Poché la veloctà non vara n modulo a t = 0 e 1 ds a = u R dt 1 = v R n u n dove R è l raggo della crconferenza. S not che la costanza del v mplca che ds dt = v = costante 15

16 Dunque n un moto crcolare unforme l accelerazone è costante n modulo ed è dretta verso l centro della crconferenza (Fg.10). Fg.8-Moto crcolare unforme a) In un moto crcolare unforme l accelerazone è costante n modulo e dretta verso l centro cnematca del moto b) vettor veloctà n var punt della traettora hanno dverse drezon, ma lo stesso modulo. Il modulo dell accelerazone può essere espresso utlmente n modo dverso. S consderno ragg corrspondent all orgne degl arch e a una generca poszone P del punto materale (Fg.9). R 16

17 Fg.9 Moto crcolare unforme Se θ è l angolo fra due ragg s( t ) = Rϑ( t ) qund essendo R costante d s dϑ = R d t d t dϑ La quanttà d t rappresenta l angolo d cu ruota l punto nell untà d tempo e prende l nome d veloctà angolare. Se ndchamo la veloctà angolare con l smbolo ω, s ha : d s =ωr d t e 1 a = ω R un R = ω Ru n da cu a =ω R =ω R perché ω R è sempre >0 Moto armonco semplce E l moto d un punto che osclla lungo una retta attorno a una poszone d equlbro. La legge orara s scrve: s() t = Asn( ω+ t )ϕ Dove A, ω e ϕ sono tre costant dette rspettvamente ampezza del moto, pulsazone e fase nzale. Il sgnfcato delle costant è l seguente: A rappresenta la massma dstanza che l punto raggunge rspetto alla poszone d equlbro; ω rappresenta l numero d oscllazon complete (avant e ndetro) compute dal punto n π second. Pù nota d ω è la frequenza ν che rappresenta l numero d oscllazon complete compute n 1 secondo; ovvamente: ω = π ν. Se partcolarzzamo (esplctamo) la legge orara per t=0 ottenamo: s = Asn( φ) 0 coè ( φ) sn = s 0 A Dunque l seno della fase nzale msura la frazone d ampezza a cu s trova l punto per t=0. Anche n questo caso, la legge orara può essere espressa n forma grafca: 17

18 Fgura 10 Legge orara del moto armonco semplce A partre da s(t) s possono calcolare: ( t) d s dt ( t ) = Aωcos d s = Aω sn dt = ω s ( ωt + ϕ) ( ωt + ϕ) Dunque n un moto armonco semplce l accelerazone è proporzonale allo spostamento s e dretto n verso opposto (questo è l sgnfcato del -) (Fg 11) Fgura 11 Relazone accelerazone-poszone per l moto armonco semplce Coè l accelerazone è sempre dretta verso l orgne ed è tanto maggore quanto pù l punto s allontana dall orgne. 18

19 Concetto d forza S chama forza qualunque causa n grado d modfcare la veloctà d un corpo. Poché la veloctà è un vettore, questa modfcazone non deve necessaramente rguardare l modulo della veloctà: è suffcente un cambo d drezone per denotare la presenza d una forza. Una palla che rmbalza contro la parete d un blardo, camba la drezone della propra veloctà (non necessaramente l modulo): dunque, urtando la parete, la palla subsce una forza. In partcolare una forza può fare passare un corpo dalla quete al moto. S pens alla famosa mela d Newton: quando l pccolo s rompe, la mela, nzalmente n quete, acqusta una veloctà verso l basso. Questa varazone d veloctà è dovuta all attrazone terrestre, che s manfesta come forza gravtazonale (detta anche forza peso). Non sempre, tuttava, l effetto d una forza s manfesta n una varazone d veloctà: qualche volta essa provoca deformazon, pù o meno evdent, ne corp cu è applcata. S pens al caso d un corpo appoggato a un pano orzzontale: applcandogl una forza orzzontalmente, esso può acqusre veloctà, ma se la stessa forza vene applcata verso l basso non c è varazone della veloctà. L oggetto resta fermo e la forza provoca una deformazone del pano d appoggo, partcolarmente evdente se l pano è costtuto da un materale elastco. Concludendo, chameremo forza qualunque causa n grado d produrre varazon d veloctà o deformazon n un corpo. Spermentalmente s può verfcare che le forze sono grandezze vettoral, dotate qund d modulo, drezone e verso. Per denotare una forza useremo qund l smbolo F. Nel S.I. l untà d msura del modulo d una forza è l Newton (N). Molto usato è anche l chlogrammo peso kg P, soprattutto nella blanca. La conversone è 1 Kg P = g N dove g è l valore standard dell accelerazone d gravtà g =9.806 m/s Approssmatvamente 1 kg P 10 N Fa parte dell esperenza quotdana verfcare che l effetto d una data forza (dunque d fssat modulo, drezone e verso) dpende dal punto d applcazone. Questo rsultato s esprme dcendo che le forze sono vettor applcat. In altr termn, per descrvere l effetto d una forza, non basta conoscerne le propretà vettoral, occorre, n generale, specfcare anche l suo punto d applcazone. S pens ad esempo, a un pugno (forza d data ntenstà, drezone e verso) sferrato a una persona: è noto a cascuno che l suo effetto pù o meno devastante, dpende dal punto d applcazone, coè dal punto colpto. La specfcazone corretta d una forza rchede dunque anche l ndvduazone del suo punto d applcazone. 19

20 F P Fgura 1 Per specfcare completamente una forza, occorre anche conoscere l suo punto d applcazone P è la retta d azone della forza, coè la retta passante per P cu appartene la frecca F Nel caso n cu l oggetto su cu agsce la forza sa un punto materale, esste evdentemente un solo possble punto d applcazone. Ne consegue che, se su un punto agscono due (o pù) forze, esse sono applcate allo stesso punto, e qund (Fg X3 ) possono essere sommate con la regola del parallelogramma. Fgura Due forze F e F applcate allo stesso punto sono equvalent a un unca forza ottenuta sommando F e 1 1 F con la regola del parallelogramma. S not che se, vceversa, l corpo non è rappresentable con un punto materale, le forze possono essere applcate n punt dvers e qund non possono essere semplcemente sommate. 0

21 Dnamca La dnamca studa l effetto delle forze sul moto de corp a cu vengono applcate. Tale studo s fonda su alcun prncp codfcat da Newton verso la fne del 1600 e dett prncp della dnamca. 1 prncpo o prncpo d nerza In assenza d forze un corpo mantene nvarata la propra veloctà. Rcordando che la veloctà v è un vettore, questo sgnfca che essa non muta ne n drezone e verso (dunque l moto è rettlneo), ne n modulo (dunque l moto è unforme). Pertanto n assenza d forze, un corpo s muove d moto rettlneo e unforme. Come caso partcolare s può avere v=cost=0 ; n tal caso, sempre n assenza d forze, un corpo a rposo (fermo) rmane n quete. Rassumendo: n assenza d forze, un corpo o è fermo o s muove d moto rettlneo e unforme. Se dunque un corpo passa dalla quete al moto, ovvero s muove d moto non rettlneo e unforme (ad es. un moto su traettora curva) su d esso agscono delle forze. Quale sa l effetto d queste forze è stablto dal Prncpo della dnamca Se su un corpo agsce una forza F, l corpo acqusta un accelerazone a proporzonale a F, coè a s può scrvere come una costante (scalare) per F ; ndcando con 1/m questa costante s ha: 1 a = F, (1) m ovvero F = ma () La costante m s chama massa nerzale del corpo. S vede charamente dall equazone (1) che per una data F, l accelerazone a assunta dal corpo è nversamente proporzonale alla sua massa: poché l accelerazone msura le varazon d veloctà per untà d tempo, se ne conclude che quanto maggore è la massa tanto mnore è la sua varazone d veloctà per untà d tempo. In tal senso, s dce che m msura l nerza del corpo, coè la sua resstenza a varare la propra veloctà. L untà d msura della massa è, nel Sstema Internazonale l chlogrammo massa (kgm o, semplcemente kg) defnto come la massa d uno specfcato clndro n lega d platno-rdo, conservato presso l'isttuto Internazonale de Pes e delle msure a Sevres. Per msurare la massa m d un corpo basta confrontare l'accelerazone a che esso assume sotto l azone d una data forza F, con l accelerazone a C assunta dal corpo campone d massa m C = 1 kg : F = ma F = m C a C da cu, essendo m e m > 0, F = m a = m a F m a = m C C m a m C a C = a C C, coè C = da cu a a C C m = mc = a a essendo m C = 1kg. Dall equazone () s rcava mmedatamente la relazone fra le untà d msura d forza e massa nel Sstema Internazonale 1N = 1kg 1m/s. 1

22 Il Newton è coè quella ntenstà d forza che mprme a una massa m d 1 kg l accelerazone d 1 m/ s. L equazone () è l equazone fondamentale della dnamca: se s conosce la struttura della forza, s ottene subto l accelerazone e l problema dventa quello cnematco d rcavare le equazon del moto a partre dalla conoscenza dell accelerazone. Così se F è costante anche a è costante e l punto materale s muoverà d moto unformemente accelerato: se F è la forza dovuta a una molla elastca, a rsulterà proporzonale all elongazone della molla, ma dretta n verso opposto, così che l punto materale s muove d moto armonco. Sosttuendo l prmo membro della () l espressone della forza d gravtazone fra due punt d massa m 1 e m a dstanza r m m 1 F = G, r (G = 1.67G Nm kg - ) Newton rcavò le legg d Keplero. Da quest poch esemp s capscono due cose: 1) Se non s conosce la forza, l equazone () è nutle; ) Se l corpo d cu s deve studare l moto non è schematzzable come un punto materale, l secondo prncpo non è suffcente. Fra le forze che agscono su un corpo è opportuno rcordare le cosddette reazon vncolar : esse sono present ogn volta che vengono poste lmtazon al moto del corpo da parte d altr oggett (ad esempo un tavolo veta ad un corpo appoggato d cadere, le rotae costrngono quas sempre l treno a percorrere la traettora prefssata, un pendolo osclla mantenendo costante la dstanza dall asse, etc). Se vncol sono lsc, coè prv d attrto, le reazon vncolar sono perpendcolar al proflo del vncolo (Fg 1), se no hanno drezone dversa. Fgura 1 Se l pano nclnato è lsco la reazone R è perpendcolare al proflo del vncolo (a). In presenza d attrto (b) R ha anche una componente lungo l pano. Sfortunatamente le reazon vncolar non sono note a pror, per cu n problem dove sono present s devono svluppare de metod che consentano d lavorare senza conoscerle. Il 3 prncpo della dnamca

23 Se l corpo che stamo studando non è schematzzable come un punto materale, occorre aggungere a prncp gà studat, l cosddetto terzo prncpo. Esso può venre enuncato n due mod dvers ma equvalent. Il pù semplce sstema non rducble a un punto materale è quello costtuto da due punt materal (A e B). Gl enuncat che seguono sono rfert a tale sstema, ma possono essere faclmente estes a sstem costtut da pù punt. Enuncato d Azone e Reazone (AR) In un sstema costtuto da due punt materal A e B, se l corpo A esercta su B una forza FAB allora l corpo B esercta a sua volta su A una forza F BA. Queste due forze hanno stesso modulo, verso opposto e gaccono sulla congungente due punt. A FBA FAB B F d BA F AB Fgura Illustrazone dell enuncato d azone e reazone nel caso d forze attrattve (a ) e repulsve (b). Dunque non può ma accadere che un corpo eserct una forza su un altro corpo senza essere, a sua volta, assoggettato a una forza. Così la forza d attrazone che l Sole esercta sulla Terra, comporta che la Terra eserct sul Sole una forza d eguale ntenstà, la forza che un martello esercta su un pezzo d metallo dà luogo ad una forza d eguale ntenstà che l metallo esercta sul martello (contraccolpo), la forza peso che la Terra esercta su uno studente è par a quella che lo studente esercta sulla Terra e così va. S not che le forze d AR sono applcate a punt dvers e qund non s annullano recprocamente. S not anche che, se egualmente ntense sono le forze d AR, loro effett, come descrtt dal secondo prncpo, possono essere molto dvers. Sa nfatt m A la massa del punto A e mb quella del punto B. Applcando l secondo prncpo s ottene F = m a AB B B F = m a BA A A A B dove a A e F d rspettvamente. S ha così: AB F =m AB F =m BA da cu a A m = a m B B A B A a a B A a B sono le accelerazon provocate n A e B dalle forze coè le accelerazon provocate ne due punt sono nversamente proporzonal alle loro masse. Questo spega perché sotto l attrazone d uno studente, la Terra acqust un accelerazone F d BA e 3

24 trascurable. Abbamo assunto, all nzo d questa breve dscussone, l nostro sstema fosse costtuto da punt A e B: dunque le forze s eserctano fra punt del sstema. Tal forze s dcono nterne. S chamano nvece forze esterne quelle che s eserctano fra punt del sstema e altr punt che non fanno parte del sstema. Consderando ad esempo l sstema Terra-Luna, la coppa d forze responsable della recproca attrazone rappresenta le forze nterne, mentre l attrazone del Sole sulla Terra costtusce una forza esterna. E evdente che, per parlare senza ambgutà d forze nterne ed esterne occorre defnre con precsone che cosa s ntende per sstema: ncludendo nfatt altr corp nel sstema, alcune forze da esterne dventerebbero nterne. Un sstema n cu sano present solo forze nterne s dce solato. Enuncato conservatvo (C) Consderamo un sstema costtuto da due punt materal A e B. Sa m A la massa d A e m B la massa d B. Defnamo quanttà d moto d un punto materale l prodotto della sua massa per la sua veloctà. Vale dunque: q = mav A A e quella d B q = mbv B B S chama quanttà d moto d un sstema Q la somma (vettorale essendo le quanttà d moto de vettor) Q = q delle + q quanttà = m v d moto de punt che costtuscono l sstema. Nel nostro caso: + m v A A B A B L enuncato conservatvo (C) del terzo prncpo afferma che la quanttà d moto d un sstema solato è costante. Potranno varare dunque le quanttà d moto de sngol punt, ma non la loro somma. S può dmostrare che due enuncat AR e C sono equvalent AR C Ess hanno dunque lo stesso contenuto d nformazone per cu l uso dell uno o dell altro enuncato è solo questone d comodtà. 4

25 Statca La statca studa le condzon che garantscono ad un corpo d essere n equlbro. Se l corpo è schematzzable come un punto materale, l equlbro s ottene se la somma delle forze che agscono sul punto è zero. E l caso d un oggetto n quete su un pano orrzzontale, n cu la forza peso è blancata dalla reazone del vncolo (Fg 1). Fgura 1 La somma delle due forze è zero, l corpo nzalmente n quete, rmane fermo (prncpo d nerza). Consderazon analoghe valgono nel caso d un corpo non rappresentable come un punto materale sotto l azone della forza d gravtà. Possamo sempre mmagnare d suddvdere l corpo n tante part (al lmte n nfnte part), cascuna delle qual sa abbastanza pccola da poter essere trattata come un punto materale. In questo modo ogn corpo può essere rappresentato come un nseme d punt materal 1,,...,n d masse m 1, m,, m n rspettvamente. La gravtà s manfesta su cascuna d queste masse con una forza : m g 1, m g,, m n g (Fg ) coscchè l corpo è soggetto a un nseme d forze parallele Fgura Una sbarra può essere pensata come un nseme d punt materal, cascuno de qual è soggetto alla forza d gravtà. Questo complcato sstema d forze parallele è equvalente a un unca forza ( m 1 + m + + mn )g nella stessa drezone e applcata n un punto detto centro d gravtà o barcentro (Fg 3) 5

26 Fgura 3 La forza ( m 1 + m + + mn )g è equvalente al sstema d forze peso. Posto m 1 + m + + m n = mtot, che rappresenta la massa totale della sbarra, la stuazone d equlbro d una sbarra appoggata ad un pano orzzontale può essere rappresentata come n Fgura 4. R mg Fg 4 La sbarra è n equlbro se la forza totale applcata è nulla. La poszone del barcentro può essere o calcolata (ma n genere è complcato) o determnata spermentalmente. Ne corp omogene esso s trova n un punto d smmetra: n una sbarra omogenea è a metà della sbarra; n una pastra quadrata all ncroco delle dagonal; n un clndro omogeneo sull asse a metà altezza, n una sfera omogenea al centro, etc. Supponamo ora che la sbarra, anzché essere appoggata su un pano sa appoggata su un perno: la reazone vncolare n tal caso è applcata al punto n cu l perno tocca la sbarra. Se tale punto è l barcentro (Fg 5), la sbarra è ancora n equlbro. Fg 5 La sbarra appoggata su un perno barcentrco è n equlbro Se tuttava l perno non è barcentrco, la sbarra non è pù n equlbro e, sotto l azone della gravtà tenderà a ruotare n senso oraro o antoraro (Fg 6) 6

27 Fg 6 Se l perno non è barcentrco la sbarra sotto l azone della gravtà ruota n senso antoraro (a) o antoraro (b) Detta d la dstanza fra la poszone del centro d gravtà e l perno, è evdente che quanto maggore è d tanto maggore sarà l effetto rotazonale della forza m T g. S può nfatt dmostrare che la quanttà che produce l effetto rotazonale è l cosddetto momento torcente, che vale ± m T gd dove convenzonalmente l segno + s usa per rotazon orare e l segno per rotazon antorare (s può anche adottare la notazone opposta), d prende l nome d bracco. Per avere l equlbro rotazonale occorre che la somma d moment torcent relatv a tutte le forze applcate sa zero. S not che l momento torcente della reazone vncolare è comunque zero, essendo nullo l relatvo bracco. Con rfermento alla Fg XX8(a), se voglamo rportare la sbarra n equlbro dovremo applcare una forza che tenda a farla ruotare n senso oraro; per fare questo tale forza (Fg XX9) andrà applcata dalla parte opposta del perno. mg f Fg XX9 Occorre applcare una forza f per mantenere la sbarra n equlbro. Il momento torcente delle due forze vale rspettvamente: mgd (rotazone antorara) + fb (rotazone orara) All equlbro la somma de moment torcent deve essere zero. fb mgd = 0 7

28 da cu d f = mg b Come s vede, la forza da applcare per rportare la sbarra n equlbro dpende dal suo punto d applcazone (coè dalla dstanza b); quanto maggore è b tanto mnore è f. La leva Le consderazon precedent s possono applcare allo studo della leva (la pù famosa e antca delle cosddette macchne semplc ): una leva nfatt è una sbarra ncernerata n un punto fsso detto fulcro. Con rfermento alla Fg XX10, mmagnamo d volere utlzzare la leva per sollevare un peso P=Mg collocato a un suo estremo, applcando una forza F all altro estremo. Se l è la lunghezza della leva (supposta omogenea), l centro d gravtà (dove s può consderare applcata la forza peso m g ) dsta l da cascun estremo. Fg XX10 Una leva d lunghezza l con fulcro n A vene utlzzata per sollevare un peso d massa M. Imponendo l annullars de moment torsonal rspetto ad A delle vare forze, s ha: ( ) l F l x + mg x Mg x = 0 da cu 8

29 ( ) x l x l mg Mg x F + = Se, ad esempo, l=m, mg= 5 kgp, Mg=100 kgp e x l/4 = ½ m, s ha : F 3 kg P = = + = Dunque, con una forza d 3 kgp s può sollevare un oggetto d 100 kgp. S chama vantaggo della leva l rapporto F Mg ; nel caso dell esempo esso vale crca 3 9

30 O Lavoro ed Energa S chama campo d forze una zona d spazo n cu sa possble assocare ad ogn punto un vettore forza. Un punto materale che s muova n un campo d forze sarà soggetto, n generale, a forze dverse a seconda della poszone che occupa. Per esprmere questo fatto, scrveremo: F F ( r ) =, coè la forza F agente sul punto dpende dalla sua poszone r. Un campo d forze s dce unforme, quando la forza F non dpende dalla poszone; scrveremo F = cost coè F è un vettore costante n modulo, drezone e verso qualunque sa la poszone occupata dal punto materale. Con rfermento a una zona lmtata n prossmtà della superfce terrestre l campo delle forze d gravtà è un campo unforme: un punto materale è nfatt soggetto sempre alla stessa forza mg. Esempo d campo costante (gravtà) Concetto d lavoro Con rfermento alla Fg XX11, consderamo un punto materale che, a un certo stante, s trov nella poszone r all nterno d un campo d forze. La forza che agsce su d lu è F ( r ), quella coè che corrsponde alla poszone r occupata. r F ( r ) ϑ d r 30

31 Fg XX11 Un punto materale compe uno spostamento nfntesmo n un campo d forze. S defnsce lavoro nfntesmo computo dalle forze del campo la quanttà scalare F = F ( r ) d r ( r ) r cos S not che l segno del lavoro nfntesmo dpende da cos(ϑ ) : Se0 ϑ < π cos( ϑ ) > 0 F s > 0 l lavoro svluppato dalla forza è postvo (lavoro motore). < ϑ π cos( ϑ ) < 0 F s < = π cos( ϑ ) = 0 F s = Se π 0 l lavoro computo dalla forza è negatvo (lavoro resstente). Se ϑ 0 lavoro nullo. Grafcamente (Fg XX1), pochè F( r ) cos(ϑ) rappresenta la proezone della forza F ( r ) nella drezone dello spostamento dr, s può dre che l lavoro nfntesmo è l prodotto del modulo dello spostamento per la proezone della forza nella sua drezone. F ( r ) dr drezone dello spostamento nfntesmo F ( r ) cos( ϑ) 31

32 Fg XX1- Il lavoro è l prodotto del modulo dello spostamento per la proezone della forza nella sua drezone Supponamo ora che un punto materale (Fg. XX13) s spost da una poszone nzale r a una poszone fnale r f lungo una determnata traettora, che chameremo TR (c sono ovvamente nfnte traettore per passare da r a r f ; TR rassume tutte le nformazon necessare a dentfcare quella seguta dal punto). r r r f Fg XX13- Per l calcolo del lavoro lungo una traettora. Possamo mmagnare d suddvdere la traettora n nfnt spostament nfntesm e calcolare per cascuno, l corrspondente lavoro nfntesmo. Sommando quest nfnt lavor nfntesm s ottene l lavoro totale. Tutto questo s scrve formalmente: TR L r r f = rf rf dl = F( r ) dr r r La quanttà TR L r r rappresenta l lavoro computo dal campo d forze quando l punto materale f passa da r a r f seguendo la traettora TR. In generale l lavoro computo da un prefssato campo d forze dpende da r, da r f e da TR, coè cambando la traettora per passare da r a r f camba anche l lavoro computo. Esstono però de camp d forze l cu lavoro, fssat r e r f, non dpende dalla traettora ( è coè lo stesso qualunque sa la traettora per passare da r a r f ); tal camp s dcono conservatv. Un campo unforme è un esempo d campo conservatvo. Se nfatt F(r ) = cost, s ha TR rf rf L r r F( r) d r cost dr cost ( r r ) f = = = f r r 3

33 r n quanto f r dr rappresenta la somma d tutt gl spostament nfntesm : n base alla regola del parallelogramma essa fornsce dunque lo spostamento totale r f r (Fg. XX14). r f r r r f Fg XX14. La somma degl nfnt spostament nfntesm è lo spostamento totale. Nel caso n cu l campo unforme sa quello delle forze d gravtà TR L r r mg ( r r ) f = f s not che è sparto ogn rfermento alla traettora. L'untà d msura del lavoro è l Joule (J). Dalla defnzone d lavoro è charo che: 1 J = 1 N m = 1 kg m /s Teorema delle forze vve ed energa cnetca S defnsce energa cnetca d un punto materale la quanttà: EC = 1 mv dove m è la massa del punto e v la sua veloctà. S dmostra che: TR 1 1 L r r ( ) ( ) f = E r E r = mv mv C f C f dove v f e v sono rspettvamente le veloctà del punto n r f er. Qund l esecuzone d lavoro da parte del campo serve a varare l energa cnetca del punto materale; sccome po l energa cnetca dpende dal quadrato del modulo della veloctà, la varazone d E C mplca una varazone d v e qund d E C. I camp d forze che compono lavoro nullo non sono n grado d varare l modulo della veloctà del punto materale, possono vararne solo drezone e verso. Camp conservatv ed energa potenzale 33

34 Se un campo è conservatvo l lavoro non dpende dalla traettora ma solo da r f e r. S dmostra che, n tal caso, l lavoro può essere sempre scrtto come la dfferenza fra l valore d una funzone n r e l valore della stessa funzone n r f. Questa funzone s chama energa potenzale. Nel caso del campo delle forze d gravtà abbamo vsto: L = mg r mg r f = TR r r = mg r r f ( ) f ( mg r ) ( mg r ) che è la dfferenza fra l valore della funzone mg r calcolata per r = r e quella calcolata per r = r. f Sccome g è dretta come la vertcale possamo prendere un sstema d rfermento (Fg. XX15) con l asse z dretto vertcalmente verso l alto. f Fg XX15 Per l calcolo dell energa potenzale gravtazonale. Ora mg r = m g r cos( ϑ ) = m g r cos π ϑ Ma r cos( π ϑ ) componente z : m g r = mg z ( ) Rpetendo lo stesso calcolo per m g r = mgz f f e, come s vede dalla Fg XX15 è la proezone d r sull asse z, coè la r f s ottene: L( r r ) = mg ( z z ). f f La funzone U ( z) = mgz s chama energa potenzale gravtazonale. 34

35 S può dmostrare che se un punto materale s muove n un campo conservatvo, la somma dell energa cnetca e dell energa potenzale del punto rmane costante nel tempo. Poché la somma dell energa cnetca e dell energa potenzale prende l nome d energa meccanca totale, questo rsultato vene spesso enuncato dcendo che n un campo conservatvo l energa meccanca totale d un punto materale s conserva (Teorema d conservazone dell energa meccanca). Nel caso del campo gravtazonale, scrveremo: 1 E = mv + mgz =costante dove E è l energa meccanca totale. Il valore della costante non ha alcun sgnfcato fsco: cò che è rlevante è che E mantenga sempre lo stesso valore, non quale sa questo valore. L energa meccanca, n un campo conservatvo, s conserva E = E + E M P C Esempo: Una sfera d massa m è lascata cadere da un'altezza h. Calcolare, trascurando gl attrt, la veloctà della sfera ad una certa quota y rspetto al suolo. E + E = E + E P C Pf C f 1 mgh + 0 = mgy + mv f v f = ( h y) g L'espressone dell'energa meccanca d un sstema fsco dpende dalla forma dell'energa potenzale. A seconda del tpo d energa potenzale s hanno descrzon d dvers sstem fsc (pendolo, molla, sstema solare, molecole etc). Se un oggetto d massa m= Kg cade da una altezza h=400 m, quale sarà la sua veloctà al suolo? Potenza Nella defnzone d lavoro non compare l tempo : c sono solo forza e spostamento. Questo sgnfca che l lavoro dpende solo dal modo n cu l punto passa dalla poszone nzale a quella fnale e non dal tempo mpegato. Se s vuole rendere esplcta la dpendenza temporale, convene ntrodurre l concetto d potenza: 35

36 dl P = dt come lavoro compto nell untà d tempo. Le untà d msura della potenze sono Watt, defnt come la varazone d lavoro nell untà d tempo, e dalla defnzone s ottene: L joule P = = t s [ P] = watt ( W ) Rassumendo: n un campo d forze conservatvo s conserva l energa meccanca d un punto materale. Il moto del punto può essere pensato come una conversone d energa cnetca ( che dpende dalla veloctà) n energa potenzale (che dpende dalla poszone) e vceversa. Se l energa cnetca ad es. dmnusce d una certa quanttà, l energa potenzale aumenta della stessa quanttà coscché la loro somma rmane nvarata. Se l campo d forze non è conservatvo, non esste l energa potenzale ne, qund, l energa meccanca totale. E pertanto non esatto dre che l energa meccanca non s conserva: essa semplcemente non esste. D altra parte, come s è vsto, l unca utltà del concetto d energa sta nel fatto che s conserv: un energa che non s conservasse sarebbe del tutto nutle. Vedremo che l prmo prncpo della termodnamca supererà questa dffcoltà estendendo l concetto d energa e rprstnandone qund la conservazone anche n camp non conservatv. 36