DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

Transcript

1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame Eserczo 1. Il dsco d raggo esterno, massa M e nerza barcentrca J rotola senza strscare lungo un pano nclnato dell angolo α = 30 o. È collegato a terra da due molle d rgdezza k; k la prma è collegata ad una fune nestensble d massa trascurable che s avvolge sulla guda d raggo R rcavata sul dsco, R, M, J C mentre la seconda è collegata al centro del dsco. Un asta, d α k massa m unforme e d lunghezza L, è appesa al centro del dsco 1111 medante una cernera. Il sstema è posto nel pano vertcale s scrvano le equazon del moto lnearzzate rspetto ad una poszone d equlbro statco stable; m, L s calcol l movmento dell asta dovuto ad una coppa C = C 0 e jωt applcata da un motore che agsce tra l dsco e l asta; 3. ad un stante t arbtraro s verfch l aderenza del dsco, con attrto statco f s, quando l sstema è soggetto al carco al punto ). Eserczo. Un velvolo è mosso da un elca trpala d raggo R. Ogn pala è assmlable ad un asta d massa M un- m, C m ω u, C u ω A formemente dstrbuta. All nerza dell elca, J u, contrbusconolesolepale.lacopparesstentedell elcaèc u = Dωu τ, η D > 0, ω u > 0). L elca è mossa da un motore d nerza J m J A m J u e coppa motrce C m = A Bω m A > 0, B > 0, ω m > 0). Tra motore ed elca è presente un rduttore con rapporto d trasmssone τ e rendmento η. 1. S calcol la veloctà d rotazone del motore a regme;. s dscuta la stabltà della soluzone al punto 1); 3. s calcol l accelerazone del motore qualora nella condzone 1) l contrbuto A alla coppa motrce s annull mprovvsamente; 4. s calcol l momento torcente nella sezone A A nella condzone 3) Eserczo 3. La superfce moble d m, J G f fgura è ncernerata ad un velvolo n O. È soggetta ad una forza aerodnamca f applcata n A, che s mantene 01 O G A C vertcale quando la superfce ruota. La θ L superfce moble ha massa m e nerza B barcentrca J G ; l barcentro è n G. Vene comandata medante l asta B C, rgda, d massa trascurable e lunghezza L. Le dstanze tra punt sono: A O = a, B O = b, G O = c. S calcol: 1. la rotazone θ e le sue dervate θ e θ n funzone dello spostamento orzzontale del punto C e delle sue dervate θ = 0 nella confgurazone n fgura);. la forza che occorre applcare n C per mantenere la poszone d fgura qualora l sstema sa soggetto ad un campo d accelerazone vertcale unforme par a Ng N è l fattore d carco legato ad una manovra nel pano vertcale); 3. le reazon vncolar alla cernera n O nella condzone al punto ); 4. la forza che, nelle condzon al punto ), occorre applcare n C per perché la superfce moble acceler nzalmente con θ = θ 0.

2 Soluzone Es. 1 Rotazone assoluta dsco: θ, nulla quando le molle sono scarche; rotazone assoluta asta: φ, nulla quando l asta è vertcale verso l basso; entrambe postve n senso antoraro. Spostamento del dsco n drezone parallela al pano: u = θ, postvo verso snstra. La poszone del barcentro del dsco è P d = { cosα snα u 1) La veloctà è { cosα v d = snα u ) La poszone del barcentro dell asta è P a = P d + L { snφ cosφ 3) La veloctà è v a = v d + L { cosφ snφ φ 4) L allungamento della molla collegata al centro del dsco è u 1 = θ = u; l allungamento dell altra molla è u = +R )θ = 1+R / )u. 1) Equazon del moto lnearzzate. L energa potenzale è E p = 1 ku ku +Mgz d +mgz a = 1 1+ k 1+ R ) ) u +Mgsnαu+mg snαu L ) R cosφ e 5) Le soluzon d equlbro statco s rcavano da E p u = k R ) ) u+m +m)gsnα = 0 S consder E p φ = mgl snφ = 0 M +m)gsnα u 0 = 1+ R ) φ 0 = 0 6a) 6b) 7a) 7b) Sccome non sono present forze non conservatve, s consder ora la matrce Hessana nella confgurazone statca appena calcolata, [H] u0,0 = 1+ R ) 0 0 mg L 8) Tale matrce è ntrnsecamente defnta postva, qund la soluzone d equlbro statco consderata è stable.

3 S rdefnsca u n modo che abba orgne nella u 0 appena trovata. In tale condzone, l energa cnetca è E c = 1 M v d v d + 1 J θ + 1 m v a v a ml φ = 1 M + J ) Re u + 1 m cosα u+ L cosφ φ) + snα u+ L ) ) snφ φ ml φ = 1 M + J ) Re +m u ml φ 1 ml cosα+φ) u φ = 1 M + J ) Re +m u ml φ 1 ml cosα u φ 9) ove l ultma espressone rappresenta una quadratczzazone dell energa cnetca. Ne consegue { T E c 1 M + J = R u φ +m m L e cosα m L cosα 1 { u φ 3 ml Da questa espressone e dalla matrce Hessana s rcavano le equazon lnearzzate del moto M + J Re +m m L cosα { m L ü 1+ R ) 0 { cosα 1 + R e u φ 3 ml 0 mg L = φ ove a termne noto s sono consderat anche Q u = C/ e Q φ = C ottenut a partre dal lavoro della coppa nterna, 1 1 C 10) 11) δl = δφ δθ)c = δφc δu C ) Rsposta a forzante armonca. S consder una soluzone del tpo { { u U = e jωt φ Φ 1) 13) S ottene { U Φ = Ω M + J R e +m m L cosα m L cosα 1 3 ml + 1+ R ) 0 0 mg L C 0 14) Questa soluzone è valda nel momento n cu Ω non concde con una delle pulsazon caratterstche del sstema. Il movmento dell asta è dato qund da una traslazone armonca U del centro del dsco n drezone parallela al pano nclnato, a cu s aggunge una rotazone armonca Φ. 3) Aderenza del dsco. La valutazone dell aderenza del dsco consste nel verfcare che R T /R n < f s, over R N > 0 e R T sono le component normale e tangenzale al pano della reazone vncolare. Tal component s possono agevolmente rcavare a partre dalle equazon d equlbro alla traslazone dell ntero sstema nelle drezon rspettvamente perpendcolare e parallela al pano nclnato.

4 La forza d nerza agente sul dsco è { cosα f d = M ü snα mentre quella agente sull asta nel barcentro è cosα f a = m{ ü m L { snφ snα cosφ I versor normale e tangente al pano nclnato sono { snα e n = cosα e e t = { cosα snα Le reazon al contatto sono φ+{ cosφ snφ φ ) 15) 16) 17) 18) R N = Mgcosα+mgcosα e n f d e n f a = M +m)gcosα m L cosα+φ) φ snα+φ) φ ) 19a) R T = Mgsnα mgsnα e t f d e t f a ku k = M +m)gsnα M +m)ü+m L Se s consdera un approssmazone del prmo ordne s ottene 1+ R ) u+u 0 ) snα+φ) φ+cosα+φ) φ ) k + R ) u+u 0 ) 19b) R N = M +m)gcosα R T = M +m)gsnα M +m)ü k + R ) u+u 0 ) 0a) 0b) qund la componente normale è crca costante, mentre quella tangenzale assume valor estrem R T = M +m)gsnα k + R ) u 0 ± k + R ) ) Ω M +m) U 1) La scelta del valore pù grande n modulo consente d verfcare l aderenza del dsco n va approssmata per pccole ampezze d U. Soluzone Es. 1) Veloctà del motore a regme. La potenza motrce a regme è Π m = C m ω m = A Bω m )ω m ) La potenza dell elca è Π u = C u ω u = Dω 3 u 3) Sccome l moto è dretto, l blanco d potenza a valle della trasmssone è 0 = ηπ m +Π u = ηa Bω m )ω m Dω 3 u 4)

5 La veloctà angolare dell elca è ω u = τω m, qund dal blanco d potenza s ottene C = ηa Bωm ) τ 3 Dω m = 0 5) S ottene un equazone d secondo grado, le cu radc sono ω m = ηb τ 3 D ± ) ηb τ 3 + ηa D τ 3 D 6) Sccome la veloctà del motore deve essere postva, solo la radce ω m = ηb τ 3 D + ) ηb τ 3 + ηa D τ 3 D 7) è accettable. ) Studo della stabltà. S consder la dervata dell equazone precedente rspetto a ω m ; s ottene C ω m = ηb τ 3 Dω m Questa è negatva per ω m par al valore calcolato n precedenza, qund la soluzone d regme è statcamente stable. Allo stesso rsultato s arrva medante la valutazone grafca C 8) ηc m τc u ω m All ncroco tra le due curve, la pendenza della curva d coppa motrce, moltplcata per l rendmento, è nferore a quella dell opposto della coppa resstente, moltplcata per l rapporto d trasmssone. È possble noltre scrvere l equazone del moto, consderando anche le coppe d nerza, e valutare l segno della parte reale della radce del polnomo caratterstco, per determnare la stabltà della soluzone per pccole oscllazon. 3) Accelerazone. L energa cnetca assocata all utlzzatore è data dall elca. L nerza d rotazone d una sngola pala attorno al barcentro è J G = 1/1MR ; l nerza d rotazone attorno al centro dell elca è J O = 1/3MR ; sccome l elca è trpala, l nerza complessva è J u = MR. L accelerazone del motore è ω m = ηc m +τc u ηj m +τ J u = ηbω m +τdω u ηj m +τ J u 9) Occorre verfcare che l moto rmanga dretto; per fare questo, s valut la potenza fornta dal motore, ηbω m +τdω ) u Π m = C m J m ω m )ω m = Bω m +J m ηj m +τ ω m = J mτ 3 Dωm τ J u Bω m J u ηj m +τ ω m 30) J u ove ω m è quella che s ha all nzo del transtoro, ovvero quella d regme. Perché l moto sa dretto questa potenza deve essere postva; dato che ω m > 0, questo s verfca quando ω m > J ub J m τ D 31)

6 4) Momento torcente. La sezone A A s trova a valle della trasmssone. Ne consegue che l momento torcente è dato da M t = C u J u ω u = Dω u MR τ ω m 3) L accelerazone negatva fa sì che l momento torcente s attenu. Soluzone Es. 3 1) Cnematca. Sa α la rotazone del segmento O B rspetto a O, postva n senso antoraro a partre dall orzzontale verso destra par a 3/π n fgura); sa β la rotazone del segmento C B rspetto a C nel quarto quadrante n fgura). Sa x la dstanza tra l punto O e l punto C, corrspondente allo spostamento d C verso snstra. La rotazone θ è legata alla rotazone α dalla relazone θ = α 3/π. L equazone d chusura O B + B C + C O dà S rcava be jα Le jβ +x = 0 33) bcosα Lcosβ +x = 0 bsnα Lsnβ = 0 da cu, nelle condzon n fgura, ovvero α = 3/π, s rcava ) b β = sn 1 L x = L b 34a) 34b) 35a) 35b) ovvero La dervata dell equazone d chusura dà j αbe jα j βle jβ +ẋ = 0 36) αbsnα+ βlsnβ +ẋ = 0 αbcosα βlcosβ = 0 che può essere rscrtta come [ ]{ bsnα Lsnβ bcosα Lcosβ α β = { ẋ 0 37a) 37b) 38) e, nelle condzon d rfermento, β = 0 e α = ẋ/b. La dervata seconda dell equazone d chusura dà ovvero j αbe jα α be jα j βle jβ + β Le jβ +ẍ = 0 39) αbsnα α bcosα+ βlsnβ + β Lcosβ +ẍ = 0 αbcosα α bsnα βlcosβ + β Lsnβ = 0 40a) 40b) che può essere rscrtta come [ ]{ bsnα Lsnβ bcosα Lcosβ α β = { ẋ 0 { cosα b snα { α cosβ +L snβ β 41)

7 e, nelle condzon d rfermento, β = ẋ /b L b ) e α = ẍ/b+ẋ /b L b ). ) Forza necessara all equlbro n manovra. Lo spostamento vrtuale del punto C è δx. La corrspondente rotazone vrtuale δθ è legata a δx nella confgurazone d rfermento dalla relazone δθ = δα = δx/b. Il lavoro vrtuale delle forze agent sul sstema è δl = δxr δθcmng +δθaf = δx R+ c b mng a ) b f = 0 4) ove R è la forza applcata n C, postva verso snstra. S rcava R = c b mng + a b f 43) 3) Reazon vncolar. Sano H e V le component orzzontale e vertcale della reazone vncolare n O, rspettvamente postve verso destra e verso l alto. L equlbro alla rotazone della superfce moble rspetto al punto B dà 0 = bh cmng +af 44) mentre l equlbro alla rotazone dell ntero sstema rspetto al punto C dà 0 = xv x+c)mng +x+a)f 45) S rcava H = c b mng + a b f V = 1+ c L b )mng 1+ 46a) a L b )f 46b) 4) Forza necessara per accelerazone. Al lavoro vrtuale scrtto n precedenza occorre aggungere l lavoro assocato alle forze d nerza, ovvero ) ) cb ab J +mc δl = δxr δθcmng +δθaf δθj θ 0 cδθ)m c θ 0 = δx R+ mng f + θ 0 = 0 b 47) S ottene R = c b mng + a b f J +mc b θ 0 48)