1 L energia potenziale gravitazionale

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1 L energa potenzale gravtazonale. Il lavoro d una forza non costante L approcco snora seguto per lo studo della dnamca d un punto materale è consstto nello studo d grandezze che varano: lo spostamento, la veloctà e l accelerazone. Un approcco complementare consste nella rcerca d grandezze che durante l moto rmangono costant: d esso c occuperemo nel seguto. Vedremo che lo studo del moto d un punto materale rsulta notevolmente semplfcato se s ndvduano tal costant del moto. Inzamo con l rlevare come l osservazone del mondo mostr sussstere una profonda dfferenza fra due fenomen seguent: a) Su d un punto materale n movmento è applcata una forza costante b) Su d un punto materale che rmane fermo è applcata una forza costante Esste coè una dfferenza negl effett d una forza quando l punto d applcazone d tale forza s sposta durante l azone della forza stessa, oppure se non lo fa. Al prmo caso corrsponde nfatt l confermento d alcune propretà al corpo stesso, propretà che possono essere legate alla nuova poszone che esso assume rspetto ad un prefssato rfermento, allo stato d moto n cu esso s porta, oppure allo stato termodnamco n cu esso s vene a trovare successvamente all azone della forza. F Esempo : mantenere una macchna ferma n salta trando l freno a mano non rchede alcun consumo d carburante, mentre lo rchede lo spostamento del punto d applcazone della forza che agsce sulla macchna. Quanto pù s vorrà far salre l automoble tanto maggore sarà l mpego rchesto d rsorse. Trasportare un corpo n alto rchede l applcazone d una forza che abba una componente F cosα lungo la drezone dello spostamento, ed n conseguenza l corpo acqusta la propretà d accelerare verso l basso, coè d cadere. F W < 0 Esempo : n modo analogo, portare una macchna da ferma fno α alla veloctà d 80 Km/h rchede consumo d carburante, ed n seguto a tale consumo essa ha acqustato la propretà d muovers con una veloctà non nulla rspetto al rfermento della Terra. Esempo : strofnare una gomma su d un foglo d carta comporta F cosα l applcazone della forza dovuta all attrto parallelamente allo spostamento della gomma. In conseguenza d tale strofno la gomma subsce un ncremento d temperatura acqusendo così le F W = 0 propretà del nuovo stato termodnamco n cu essa s è portata. α Parallelamente a quest fatt, l osservazone del mondo fsco porta anche a concludere che nessuna nuova propretà vene conferta ad un punto materale che pur sotto l azone d una forza s spostasse perpendcolarmente alla retta d azone della forza stessa. fgura. α W > 0

2 Esempo 4: nessun dspendo d rsorse è rchesto per mantenere la Luna n una orbta approssmatvamente crcolare con veloctà d modulo costante attorno alla Terra. In un tale moto la traettora è n ogn punto perpendcolare alla retta lungo cu agsce la forza d gravtà. Da queste e da molte altre osservazon s rcava la necesstà d quantfcare, tramte una opportuna grandezza fsca, la seguente evdenza: l effetto d una forza su d un punto materale che s sta spostando è dfferente se la forza n questone ha una componente dretta lungo lo spostamento oppure se è perpendcolare allo spostamento stesso. Tale necesstà conduce alla defnzone della grandezza fsca nota come lavoro nella manera seguente. Quando un punto materale, sottoposto all azone d una forza costante F, subsce uno spostamento rettlneo ndvduato da un vettore, dremo che la forza F, n relazone allo spostamento ha computo l lavoro elementare: F cosα dove con α s ntende l angolo formato dalla forza e dallo spostamento. Indcheremo l lavoro elementare con l smbolo L, e per esprmerlo useremo anche la scrttura sntetca F F cosα, che prende l nome d prodotto scalare fra due vettor F e. Il prodotto scalare d due vettor ha per rsultato la moltplcazone dell ntenstà d uno qualunque de due per la proezone dell altro su d esso e per l segno d cos α, che ndca se questa proezone punta nello stesso verso dell altro vettore oppure n verso opposto. Come s vede n fgura. l segno del lavoro elementare ha un sgnfcato fsco: una forza F che, relatvamente ad uno spostamento, compe lavoro elementare postvo, sta contrbuendo al moto nella drezone dello spostamento, mentre se compe un lavoro negatvo sta contrastando l moto nella drezone d. Un lavoro postvo è detto anche lavoro motore, mentre un lavoro negatvo è detto lavoro resstente. E mportante notare che:. Il lavoro elementare L, benché sa una grandezza costruta a partre da due vettor, è uno scalare e non un vettore. La forza F n esame non è necessaramente la sola ad agre sul punto materale. La forza F n esame non è necessaramente la causa dello spostamento La defnzone data non è tuttava d molta utltà nel caso generale. Infatt abbamo supposto uno spostamento rettlneo ed una forza costante per poter esprmere l lavoro elementare, mentre d solto s ha a che fare con spostament pù compless, che seguono traettore curve, e con forze che varano la loro drezone e la loro ntenstà n ogn punto dello spazo.

3 Per poter rendere operatvo l concetto d lavoro n quest cas, dovremo mmagnare d suddvdere la traettora n tant spostament elementar, così pccol da poter essere consderat rettlne. l spostament elementar dovranno noltre essere così mnut rspetto alla scala sulla quale vara F, che gl eventual cambament d drezone ed ntenstà della forza al loro nterno possano essere trascurat. Ad ognuno de potremo così assocare un vettore costante F, che rappresent la forza F nel tratto nteressato da quello spostamento elementare, ed un angolo α fra ed F. Con quest accorgment possamo defnre come lavoro L computo dalla forza F, n relazone allo spostamento d un punto materale da una poszone A nello spazo ad una poszone B, la somma de lavor elementar L che la forza compe durante gl spostament elementar ne qual può essere scomposta la traettora che l punto segue per andare da A verso B: L = L = F cosα In effett questa defnzone contene un certo grado d approssmazone: non c vene detto n che modo, nella pratca, dobbamo effettuare la scomposzone n spostament elementar della traettora! In generale, nfatt, s potranno avere valor dfferent del lavoro a seconda d quanto s scelgono grand vettor. Sarebbe bene avere una defnzone d lavoro pù accurata, che non dpendesse da tale scelta. Quello che possamo ragonevolmente rtenere è che, quanto pù sono pccol fgura., tanto pù nel dettaglo descrvamo l azone della forza. Osservando la defnzone d L s nota però che quando gl spostament elementar s avvcnano ad assumere un valore nullo, l lavoro s rduce ad una sommatora d numer prossm a degl zer. S potrebbe pensare che l rsultato d tale sommatora sa zero, ma non è così. Infatt, pù pccol sceglamo, pù fnemente stamo suddvdendo la traettora, e maggore sarà l numero degl addend che dovremo ncludere. Detto dversamente, quando la lunghezza degl spostament elementar s approssma a zero, l loro numero s approssma ad essere nfnto, e questo n qualche modo mpedsce che la sommatora da un rsultato nullo. Stamo sommando addend sì d enttà mcroscopca, ma n numero nfnto; è un po come scomporre una torta nelle sue brcole e po rcomporle: otterremo d nuovo la torta completa! Qund, mentre l sngolo va perdendo d sgnfcato facendos pccolssmo, così non è per l ntera sommatora che c dà L: essa andrà stablzzandos attorno ad un valore ed accadrà che ad un certo punto, per quanto possamo fare pccol gl spostament elementar, l valore del lavoro corrspondente non camberà pù. L ambgutà d rsultato dovuta alla scelta de che A F F F α α F 4 F α B

4 avevamo evdenzato, s elmna assumendo come lavoro l numero attorno a cu la sommatora che dà L s stablzza. Questo è l crtero rgoroso d calcolo da segure per ottenere l lavoro d una forza non costante lungo una traettora curva. Applcarlo pratcamente, coè quantfcare l fatto che nfttre ndefntamente la suddvsone della traettora, comporta uno stablzzars del valore della sommatora che dà L ntorno ad un numero, è una operazone che prende l nome d passaggo al lmte. Tuttava ne cas n cu la forza s mantenga costante n drezone e verso e la traettora che l punto segue è rettlnea, la defnzone è prva d ambgutà ed l calcolo dvene semplce.. Rcham sulla forza gravtazonale L esperenza mostra che due masse puntform, poste nel vuoto a dstanza r, nteragscono con una forza attrattva dretta lungo la retta congungente due punt, la cu ntenstà è tanto maggore quanto pù le masse sono vcne e tanto maggore quanto maggore è l valore d cascuna d esse: mm F = r m r fgura. m Con m e m abbamo ndcato valor delle rspettve masse espress n Kg, ed r ed F sono ovvamente espress n metr e Newton. è una costante d proporzonaltà che nel Nm Sstema Internazonale vale = , e le sue untà d msura sono quelle che Kg occorrono per far tornare Newton al prmo membro. Rmarchamo l fatto che la legge sopra esposta, detta legge d gravtazone unversale, vale esclusvamente per oggett puntform oppure oggett estes d dmenson molto mnor della loro dstanza. Per avere una espressone della legge d gravtazone n termn vettoral, che contenga coè anche nformazon sul verso della forza, dovremo aggungere l smbolo d un versore ˆr. Intendendo con ˆr un vettore d modulo orentato dalla prma massa, m verso la seconda m, ed elmnando l modulo, s ottene: mm F = rˆ r Va detto anche che nel momento n cu assumamo che le masse sano puntform, e che tutte le loro propretà possano essere ndvduate da una grandezza scalare m, anche solo da motv d smmetra s potrebbe dedurre che la loro nterazone deve essere dretta lungo la congungente, n quanto n uno spazo vuoto con le sole due masse n studo, non s potrebbe defnre nessun altra drezone n modo unvoco. 4

5 La formula ora fornsce, oltre all ntenstà, anche la drezone attrattva della forza che la massa m esercta su m. S not che F pensata applcata su m mentre F fgura.4 applcata su m, come s vede n fgura.4. Rflettere anche sul fatto che, a norma del prncpo d azone e reazone, è sempre e comunque F = F dfferent n valore, ad esempo la Terra e la Luna. A completamento d quanto detto va enuncata l altra fondamentale propretà dell nterazone elettrca, che va sotto l nome d prncpo d sovrapposzone. Nel caso n cu s avesse a che fare con tre o pù masse puntform, vncolate a stare n va anche se m e m sono molto prefssate poszon, c s potrebbe chedere se la presenza d m accanto a m e m mpedsca d utlzzare la legge d gravtazone nella stessa forma, o per dre meglo dre n che modo m modfca la forza che le altre due s scambano quando essa non c è. L esperenza mostra che vale una regola addtva degl effett: la forza che m e m eserctano su m è par alla somma vettorale delle forze che m esercterebbe su m come se m non c fosse, e della forza che m esercterebbe su m come se m non c fosse. m F F m PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE: IN UN INSIEME DI TRE O PIÙ MASSE PUNTIFORMI, LA FORZA CON LA QUALE INTERAISCONO DUE QUALUNQUE DI LORO PUÒ ESSERE CALCOLATA COME SE LE ALTRE NON CI FOSSERO, E LA FORZA RISULTANTE SU UNA QUALUNQUE DI ESSE È LA SOMMA VETTORIALE DI TUTTE LE FORZE CALCOLATE IN QUESTO MODO. Un oggetto rgorosamente puntforme è una enttà solo teorca, tuttava le partcelle elementar possono essere consderate puntform, ma a patto che la dstanza r che è convolta nella legge d gravtazone sa molto grande rspetto alle loro dmenson. Per oggetto non puntforme e d morfologa rregolare come quello a forma d patata n fgura.5 l espressone della forza gravtazonale è complessa e va calcolata ogn volta mmagnando d suddvderlo n tant punt materal (ad esempo le molecole che lo costtuscono). La sua azone gravtazonale su d una massa puntforme nello spazo, s calcola attraverso una successva applcazone della regola del parallelogramma per sommare l nterazone della massa esterna con cascuno de punt della patata. fgura.5 Cò che dffersce n questo caso sono le accelerazon de due corp. Se la Terra è l corpo e la Luna l corpo, F F l accelerazone della Luna vale a =, quella della Terra vale a =. Essendo F = F per l mluna M TERRA prncpo d azone e reazone, ed noltre essendo mluna MTERRA, sarà anche a a così che la Terra non la vedamo pratcamente muovers mentre la Luna orbta ntorno ad essa. 5

6 Tuttava una notevole propretà delle forza gravtazonale che studeremo, nota come teorema d auss, fa sì che la legge d gravtazone unversale valga anche per oggett estes ne qual la massa sa dstrbute con smmetra rgorosamente sferca, ad esempo un paneta. S può mostrare che se due masse sono sferche, esse nteragscono secondo la legge d gravtazone, dove però al posto d r andrà nserta la dstanza fra loro centr. Nel caso d un corpo che s trov sulla superfce del nostro paneta s sfrutta questa mportante propretà per la Terra che ha smmetra sferca e la s tratta come un punto avente la stessa massa del paneta e posto nel centro. Inoltre s approssma anche l corpo con un punto, dato che le sue dmenson sono trascurabl rspetto a quelle del paneta. In questo modo la forza rsultante s può scrvere: mm Terra MTerra F = m mg ( R ) R Terra + h Terra M A m α F F F α α α 4 α 5 α 6 e sosttuendo valor not, s ha g = 9.8 m/s, avendo trascurato l altezza da terra h rspetto al raggo del paneta. fgura.6 α 7 B. La forza gravtazonale è conservatva Voglamo ora mettere n evdenza una notevole propretà del lavoro svolto dalla forza gravtazonale. Ponamoc n una regone d spazo che sa sede d una forza gravtazonale F dovuta ad una massa puntforme M. In un punto A v sa un altra massa puntforme m, così pccola rspetto a M, da poter trascurare la sua azone nello spazo rspetto alla forza dovuta ad M. Supponamo ora che la massa m s spost dalla poszone A ad una nuova poszone B, seguendo una traettora qualunque. S facca attenzone perché non s sta dcendo che è la forza gravtazonale dovuta ad M, ad essere la causa dello spostamento. In generale potremo A m M fgura.7 B 6

7 pensare d prendere m con le nostre man e d portala da A n B, e durante una tale operazone la forza gravtazonale potrebbe sa agevolarc che fare resstenza: dpenderà dalle recproche poszon A e B rspetto ad M. Durante l percorso, n ogn caso, l punto d applcazone d F s sposta: suddvdendo la traettora seguta da m negl spostament elementar,, valor F, F, N gravtazonale s N, n corrspondenza de qual la forza gravtazonale assume F, come n fgura.6, possamo calcolare l lavoro svolto dalla forza n relazone a tale spostamento, e coè: L = A B F s cosα. Mostramo adesso che se sceglamo d andare da A n B seguendo una traettora dfferente, L non camba. Consderamo la fgura.7, dove sono mostrate due A B poszon qualunque A e B, ed è stata costruta una quadrettatura dello spazo ntorno ad M facendo uso solo d lnee radal e crcolar. Supponamo ora d muovere m da A n B spostandos solamente lungo de pezzettn d quadrettatura. In fgura.7 sono evdenzate due traettore d questo tpo, ndvduate da numer e, ma molte altre sono possbl. Ora l lavoro svolto dalla forza gravtazonale F lungo uno de tratt crcolar è charamente zero dato che F è sempre dretta lungo la drezone radale, perpendcolare n ogn punto a qualunque crconferenza centrata n M. Durante un qualunque tratto radale, nvece, F forma sempre, con la traettora, un angolo che sarà d 0 se m s sta movendo verso l nterno (e qund cos α = ) oppure d 80 se m s sta movendo verso l esterno (e qund cos α = ). Qualunque sa la traettora che s segue per andare da A n B, al lavoro L d F contrburanno qund solo gl spostament lungo tratt radal. Il calcolo d L non è comunque mmedato, perché lungo tratt radal l ntenstà df vara, a norma della Mm legge F =, proporzonalmente all nverso del quadrato della dstanza, con una r ntenstà che ha una smmetra sferca. Va nfatt osservato che, ponendoc ad una fssata dstanza r da M, non ha nessuna mportanza trovars sopra d essa o sotto, oppure ad est o a nord: msureremo sempre la stessa attrazone gravtazonale e qund, nel caso n esame, avrà la stessa ntenstà la che agsce sulla massa m che stamo movendo. Questa propretà permette d concludere che quando spostamo m da A n B lungo la A B traettora, l lavoro L che F A B compe è uguale al lavoro L che compe lungo la traettora. Infatt n entramb cas la somma de percors radal che m segue è esattamente la stessa, ed è par alla dfferenza fra l raggo della crconferenza che passa per B e quello della crconferenza che passa per A. Potremmo anche dvertrc a consderare de percors pù compless che da A portano n B, percors comprendent delle anse, con tratt n cu m procede prma avant, po ndetro e po ancora avant. Ma l rsultato non camberebbe: ogn tratto radale percorso due volte n drezon opposte, comporterebbe un lavoro complessvamente nullo, dato che, come s è vsto, cos α = quando c s avvcna ad M e cos α = quando s procede allontanandos M. F 7

8 Che dre però d una traettora qualunque, come quella n fgura.6, che non segue tratt radal e crcolar? Sceglendo una quadrettatura suffcentemente ftta, è sempre possble approssmare, con la precsone desderata, una traettora curvlnea qualunque con un percorso fatto d tratt radal e crcolar. Con attenzone al dettaglo d cò che succede negl spgol, s può dmostrare che calcolare l calcolo del lavoro lungo la spezzata radale e crcolare è propro lo stesso che calcolarlo lungo la traettora curva. Rsulta così verfcata l mportante propretà per cu: IL LAVORO DELLA FORZA RAVITAZIONALE DOVUTA AD UNA MASSA PUNTIFORME M, RELATIVO ALLO SPOSTAMENTO DI UNA PICCOLA MASSA m DA UN PUNTO A AD UN PUNTO B, NON DIPENDE DALLA TRAIETTORIA SEUITA DA m PER ANDARE DA A IN B. QUESTO CONCETTO SI ESPRIME SINTETICAMENTE DICENDO CHE LA FORZA RAVITAZIONALE È CONSERVATIVA. raze al prncpo d sovrapposzone avremo anche che, qualunque sa la confgurazone che orgna la forza gravtazonale: un paneta, un asterode, un corpo dalla morfologa rregolare, essendo questa l rsultato della azone d tante masse puntform, ed essendo conservatve tutte le sngole forze gravtazonal corrspondent, lo sarà anche la forza dovuta all ntera dstrbuzone d massa. Va osservato anche che la caratterstca della forza gravtazonale d essere conservatva è stata dmostrata facendo uncamente uso del fatto d essere centrale, coè d dpendere solo dalla dstanza r da un punto. In lnea d prncpo per qualunque forza centrale, come ad esempo la forza elettrostatca, s può rpetere l ragonamento..4 L energa potenzale gravtazonale Se samo n una regone che sa sede d una forza gravtazonale F, torna partcolarmente utle A defnre una poszone d rfermento R. In questo m modo nfatt, n qualunque punto dello spazo A s trov una massa puntforme m, potremo assocare ad r esso, senza ambgutà, l lavorol A R che le forze gravtazonal che svolgono se qualcuno prende la fgura.8 massa m e la porta da A nella poszone d rfermento. Sappamo nfatt che tale lavoro non dpende dalla traettora (ad esempo, o n fgura.8) che s decde d segure per portare m n R, e qund non è necessaro specfcare altro. Indvduando qund ogn poszone dello spazo con un vettore r, avremo così la possbltà d costrure una funzone Ur ( ), alla quale damo l nome d R 8

9 energa potenzale gravtazonale della massa puntforme m rspetto alla poszone d rfermento R: SI CHIAMA ENERIA POTENZIALE RAVITAZIONALE Ur ( ), DI UNA MASSA PUNTIFORME m, CHE SI TROVI IN UN PUNTO DELLO SPAZIO INDIVIDUATO DA UN VETTORE r, IL LAVORO CHE LA FORZA RAVITAZIONALE COMPIE QUANDO m SI SPOSTA, DA DOVE STA, IN UNA POSIZIONE SCELTA COME RIFERIMENTO. Charamente ad una scelta dfferente della poszone d rfermento corrsponderà un valore dfferente dell energa potenzale. L energa potenzale è un po come la dstanza: non possamo dre semplcemente la ma dstanza è 4 km, dobbamo rferrc a qualcosa. In base alla nostra defnzone avremo che l energa potenzale nella poszone d rfermento dovrà essere zero perché, se la massa m gà s trova n R, evdentemente nessuno spostamento deve essere fatto per portarcela e qund nessun lavoro vene computo dalla forza gravtazonale. Spostamo ora la massa m dalla poszone A ad una poszone B: la forza gravtazonale comprà l A m B fgura.9 R lavoro LA B. Supponamo po d esegure lo stesso spostamento seguendo la va pù lunga: portamo prma m da A n R e po, successvamente, da R n B, come n fgura.9. E una va scomoda, è come se per andare da Roma a Frenze decdessmo d passare per Mlano: tuttava alla fne saremo comunque gunt a Frenze. In questo caso la forze gravtazonale comprà prma l lavoro LA Re po l lavorol R B. Ma sappamo che, per quanto artcolata sa la traettora che s segue, essendo una forza conservatva ad operare, l lavoro complessvamente svolto deve essere lo stesso d prma, e coè: L = L + L A B A R R B Dalla defnzone che abbamo dato rsulta che LA R = UA mentre LB R = UB. Ma percorrere al contraro la traettora da R verso B sgnfca solamente nvertre la drezone d tutt e qund cambare l segno d tutt cos α, con l rsultato che avremo cambato d segno a tutto l lavoro: LR B = LB R = UB. S ottene dunque: LA B = UA UB = ( UB UA) = U dove lo rcordamo l smbolo delta ( ) davant ad una grandezza ndca l valore fnale meno l valore nzale. Abbamo così mostrato l utltà pratca della funzone energa potenzale Ur ( ): quando una massa m s sposta da una poszone A ndvduata dal 9

10 vettore r A, ad una poszone B ndvduata dal vettore r B, possamo ottenere l lavoro A B svolto dalle forze del campo gravtazonale senza effettuare materalmente l calcolo suddvdendo la traettora n spostament elementar, ma semplcemente facendo la dfferenza fra l valore che l energa potenzale gravtazonale assume nella poszone nzale quello che assume nella poszone fnale: LA B = U( ra) U( rb) L.5 L energa potenzale della forza gravtazonale n prossmtà della Terra Abbamo vsto che n prossmtà della superfce terrestre una buona approssmazone della forza gravtazonale è F = mg. Fssamo un rfermento con l asse delle ordnate vertcale orentato verso l alto: voglamo ora rcavare una espressone per l energa potenzale gravtazonale nelle stesse condzon. Bsognerà nnanztutto sceglere una poszone d rfermento. Soltamente convene prenderla par al lvello del suolo, dove l altezza y è zero. In base alla defnzone, l energa potenzale gravtazonale d un punto materale che s trova ad altezza y > 0 è par al lavoro fatto dalla forza gravtazonale quando l punto s porta nella poszone d rfermento. In questo caso s tratta d calcolare del lavoro motore, dato che è propro la forza gravtazonale a portarcelo, e pertanto l energa potenzale sarà postva, e par a: y 0 α = 0 F α = 80 F Uy () = F scosα = mgy essendo charamente α = 0 e qund cos α =. Se nvece la partcella s trovasse n una buca a quota y < 0 avremmo α = 80, da cu cos α =, e qund l energa potenzale sarebbe negatva. Infatt la forza gravtazonale s oppone ad uno spostamento d m nella poszone d rfermento, compendo lavoro resstente, e così dobbamo agre con una forza esterna. A ttolo d esempo calcolamo l lavoro fatto dalla gravtà su d un bambno d massa m = 4.0 Kg, che scende lungo uno scvolo alto.00 metr. Se la forza d gravtà non fosse conservatva c occorrerebbe l dettaglo della traettora rcurva seguta dal bambno, per po scomporla n tratt elementar e calcolare così l lavoro. Ma sappamo che LA B = UA UB, e così: LA B = mgya mgyb = =.00 0 J. Dove J sta per Joule, ed ndca l untà d msura del lavoro e qund dell energa potenzale: [ J] = [ N][ m]. 0

11 Il teorema dell energa cnetca. L energa cnetca a t Se un punto materale s sta movendo con una veloctà d modulo v F, per portarlo ad un valore d veloctà d modulo a = maggore v, è necessaro accelerarlo. Rcordamo che l a m n vettore accelerazone ha due component, una normale alla traettora, responsable della varazone d drezone d v, ed una tangenzale alla traettora, responsable della varazone d ntenstà d v. Per conferre al punto un accelerazone che camb l modulo della veloctà, l rsultante complessvo F d tutte le forze applcate ad esso deve avere un componente parallelo alla veloctà, coè deve essere n grado d conferre accelerazone tangenzale al punto. Secondo la defnzone data, tale forza compe del lavoro L = L dove: L = F cos α F. avendo suddvso la traettora n tratt elementar, all nterno de qual la forza assume tant dvers valor costant F. L ultma scrttura sntetca F prende l nome d prodotto scalare fra due vettor F e. Calcolamo l valore d tale lavoro esplctamente. Dalla seconda legge della dnamca n forma vettorale, all nterno d cascuno de tratt elementar s ha (omettendo l ndce per non appesantre): F = ma = m( at + an) da cu: L = F s = m( at + an) s = = ma s+ a s = ( ) = ma t t t n = ma scos 0 + ma scos 90 = Rcordamo ora che la componente tangenzale dell accelerazone a t è quella responsable della varazone del modulo della veloctà, mentre quella normale a n della varazone d drezone. Possamo applcare le legg orare dello spazo e della veloctà lungo l ascssa curvlnea s che segue la traettora, della quale allora s = s s0 rappresenta la varazone d poszone, v, v modul della veloctà all nzo ed alla fne del tratto ed ndchamo a t semplcemente con a : s = s s0 = vt + at e: v = v + at n

12 così l lavoro computo dalla forzaf nel tratto s scrve: L = ma s = ma vt + at v v Dalla legge orara della veloctà s rcava, come al solto l tempo: t =, e a l espressone dventa: L = ma vt + at = v ( ) v v v = ma v + = a a = m vv v + v + v vv = mv mv Nella sommatora de lavor elementar termn s eldono a coppe: L L L... L N = = = mv mv + mv mv = mvfnale mvnzale mvn = Se po la veloctà nzale era nulla, coè se l punto stava fermo, s ha che l lavoro computo dalla forza per portarlo fno alla veloctà v vale: L = mv E C Questa grandezza prende l nome d energa cnetca E C. SI CHIAMA ENERIA CINETICA DI UN PUNTO MATERIALE CHE SI MUOVE CON VELOCITÀ v, IL LAVORO CHE È NECESSARIO COMPIERE PER PORTARE IL PUNTO MATERIALE DA FERMO FINO ALLA VELOCITÀ v. S not che la forza F non compare pù nella espressone dell energa cnetca, la quale rappresenta una propretà del punto. Il suo valore c nforma del fatto che se un punto materale s muove con veloctà v, per portarlo da fermo fno a quella veloctà è stato computo del lavoro, e questo lavoro vale mv ndpendentemente dall ntenstà della forza che ha accelerato l punto, d cu non s ha pù tracca. Se po, nvece d partre da fermo, l punto materale aveva gà una veloctà nzale (e qund una energa cnetca nzale), l lavoro computo da una forza su d esso per accelerarlo fno ad un valore fnale d veloctà (e qund ad un valore fnale dell energa cnetca), è par alla varazone d energa cnetca, coè:

13 L = mv mv = ( E ) ( E ) = E fnale nzale C f C C Un tale rsultato è noto come: TEOREMA DELL ENERIA CINETICA: IL LAVORO COMPLESSIVO SVOLTO DA TUTTE LE FORZE APPLICATE AD UN PUNTO MATERIALE È PARI ALLA VARIAZIONE DELLA SUA ENERIA CINETICA L energa cnetca, n quanto lavoro computo per portare l punto materale fno alla veloctà v ha le dmenson fsche d un lavoro, qund la sua untà d msura sono ancora Joule.. Un altra nterpretazone dell energa potenzale gravtazonale Come abbamo pù volte sottolneato, l energa potenzale d una massa puntforme m esprme l lavoro delle forze del campo gravtazonale n relazone ad uno spostamento d m n una prefssata poszone d rfermento R. Abbamo anche detto che nel caso n cu le forze gravtazonal s opponessero a tale spostamento comprebbero un lavoro L negatvo, e qund l energa potenzale d m sarebbe negatva, e nel caso n cu lo agevolassero, un lavoro L postvo, ed n corrspondenza avremmo una energa potenzale postva. Dovremo qund consderare l caso generco n cu possa essere necessaro l ntervento d una forza esterna per gudare la massa m nella poszone R che abbamo scelto, ed anche questa forza esterna comprà del lavoro n relazone allo spostamento d m n R. Nel caso pù generale, supporremo una tale forza non conservatva, e la ndcheremo con F NC : se volessmo conoscere l lavoro L NC che F NC compe dovremmo effettuarne l calcolo esplcto. Ma dal teorema dell energa cnetca sappamo che se su d un corpo puntforme d massa m vene complessvamente svolto l lavoro L TOT, tale lavoro è par alla varazone d energa cnetca: LTOT = mvfn mvn ma essendol TOT = L + L NC, e potendo esprmere L come: L = U = Un Ufn, s ha: e sosttuendo ottenamo: L + LNC = Un Ufn + LNC U U + L = mv mv n fn NC fn n

14 Da questa relazone s vede che se non c è varazone d energa cnetca, e qund mvfn = mvn, l lavoro d F NC ha lo stesso valore d quello delle forze campo gravtazonale, ma segno opposto: LNC = Ufn Un = L Pertanto l energa potenzale ha anche una nterpretazone dfferente: supponamo che, n una regone sede d forze gravtazonal, la massa m s trov ferma nella poszone d rfermento, e la s vogla portare n una certa poszone A dove alla fne sarà ferma. Il lavoro che dovremo fare per portarla n A, sarà l opposto del lavoro L NC sopra consderato, quando m venva portata da A nella poszone d rfermento, dato che stamo percorrendo la stessa traettora semplcemente n verso opposto a prma. Dato che l lavoro d prma valeva L, questo nuovo valore del lavoro sarà uguale a L, e coè all energa potenzale nella poszone A. Va sottolneato, però, che questa nterpretazone dell energa potenzale come lavoro d una forza esterna per portare m da R n A, è corretta solo se non c è varazone d energa cnetca, vale a dre se m parte ferma n R ed arrva ferma n A, oppure, se la sue veloctà nzale e fnale sono ugual, altrment l lavoro della forza esterna rsulta ndetermnato. Prendendo po l equazone Un Ufn + LNC = mvfn mvn, nel caso n cu le forze non conservatve non compono lavoro (potrebbero essere assent oppure perpendcolar alla traettora), abbamo l mportante rsultato: U + mv = U + mv n n fn fn che prende l nome d teorema d conservazone dell energa per un punto materale, dove: SI CHIAMA ENERIA DI UN PUNTO MATERIALE DI MASSA M LA RANDEZZA E U mv = +, SOMMA DELL ENERIA POTENZIALE (SE È SOETTO A FORZE CONSERVATIVE) E DELL ENERIA CINETICA DI TRASLAZIONE. Pù n generale per un corpo rgdo esteso dovremo ncludere anche l energa cnetca d rotazone. 4