sistema complesso [due o più oggetti interagenti mediante forza interna]

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1 Energa Potenzale orme d energa sstema semplce [partcella o corpo puntorme] energa cnetca K assocata al moto sstema complesso [due o pù oggett nteragent medante orza nterna] energa cnetca K assocata al moto energa potenzale U assocata alla congurazone [poszone] del sstema energa nterna E nt assocata alla temperatura un oggetto può compere lavoro utlzzando: energa cnetca energa dervante dalla poszone energa potenzale: energa mmagazznata dal sstema che può essere convertta n energa cnetca o altre orme d energa

2 r energa potenzale gravtazonale esempo: energa assocata allo stato d separazone tra corp che s attrano recprocamente per eetto della orza d gravtà sollevando de pes modco le poszon relatve del sstema Terra-pes. Il lavoro svolto aumenta energa potenzale gravtazonale r energa potenzale elastca esempo: energa assocata allo stato d compressone o decompressone d un sstema elastco [tpo molla]. a orza n goco è quella della molla. strando o comprmendo una molla cambo le poszon relatve delle spre della molla. Il lavoro svolto aumenta energa potenzale elastca della molla

3 Come s calcola l energa potenzale? (energa mmagazznata a seguto d un cambamento d poszone)

4 Energa Potenzale d un Sstema sstema: Terra-lbro nterazone: orza gravtazonale F ext b poszone nale a poszone nzale agente esterno (mano) solleva l lbro d Δ compe lavoro equazone d contnutà ext ΔE sstema ΔK + Δ E nt + ΔU lbro ermo lbro e Terra NON s scaldano energa potenzale [energa mmagazznata] energa potenzale: se rlasco l lbro da b, lbro cade con energa cnetca orgne energa cnetca lavoro atto per sollevarlo n b energa del sstema ha potenzale capactà d dventare energa cnetca

5 ext deduzone espressone per energa potenzale gravtazonale F ext mg Δr j mg Δr ( b a ) j mg b mg a ΔU g U g mg energa potenzale gravtazonale [s scegle come rermento 0 e qund U 0 ] N.B. vale solo per gcost (vcn alla superce della Terra) energa potenzale gravtazonale: r dpende da poszone vertcale [quota], rspetto a poszone d rermento ( 0) r non dpende dalla poszone orzzontale b a Δr F ext mg mg Δr j [ b mg Δr ( x x ) + ( ) b mg a a ΔU g b a j] x b x a

6 esempo: contrappeso d un ascensore quale è la unzone de contrappes d un ascensore? senza contrappeso: ext F ext 4 motore deve sollevare peso ascensore e suo occupant 4 grande aumento energa potenzale ascensore-terra lavoro svolto dal motore: 4 grande spesa d energa dal motore Δr con contrappeso: 4 mnore varazone netta della dstanza (ascensore+contrappes) Terra 4 mnore varazone energa potenzale 4 mnore lavoro del motore ΔU g

7 Sstema Isolato [sstema senza trasermento d energa attraverso l contorno] studo lavoro svolto sul lbro (dalla orza peso) quando cade: gravtà Fg Δr mg Δr mg j mg b ( ) a mg a b j F g b poszone nzale a poszone nale gavtà ΔK ΔK teorema energa cnetca lbro mg b mg a ( mg a mg b ) ( U U ) ΔU g ΔK Δ gravtà U g ΔK + ΔU g 0 nella orma equazone contnutà ( K K ) + ( U U ) 0 K + U K + U Emecc K + U g de costante mv + mg mv + mg l energa meccanca per un sstema solato s conserva

8 Conservazone Energa Meccanca energa cnetca ed energa potenzale: r quanttà molto legate tra loro r entrambe esprmono l lavoro atto per andare tra due punt A e B ( A ( A B) mvb mva K B K A B) ( U ( B) U ( A)) U ( A) U ( B) K K B B K A U ( A) U ( B) + U ( B) U ( A) + K A K U E U+K corpo n caduta: a mano a mano che dmnusce d quota r aumenta veloctà r dmnusce energa potenzale è come se l energa potenzale s trasormasse n energa cnetca Emecc K + U de energa meccanca n un sstema solato n cu agscono solo orze conservatve l energa meccanca d un corpo s conserva n ogn punto della traettora [N.B. da qu nasce l termne orze conservatve]

9 Sstema Isolato: 3 derent tecnche per calcolare l lavoro denzone F ds l( A, B) processo d ntegrazone n pù dmenson (spesso complesso o non rsolvble analtcamente) 3 teorema lavoro - energa cnetca (per corpo puntorme) mv B mv A medante energa potenzale (per orze conservatve) ( U( B) U( A)) banale se s conoscono veloctà nzale e nale devo sapere solo ed esclusvamente l valore dell energa potenzale ne due punt A e B

10 esemp: conservazone energa meccanca n una cascata: energa potenzale gravtazonale del sstema acqua Terra s converte n energa cnetca acqua n un salto: n salta: converto energa cnetca n energa potenzale n dscesa: converto energa potenzale n energa cnetca

11 esempo: cclo completo d oscllazon del pendolo E mecc K + U de costante [N.B. n presenza d orze d attrto (resstenza dell`ara, ) E mecc è dsspata l pendolo s erma ]

12 NON tutte le orze conservano l energa meccanca!!! Forze Conservatve e NON Ø orze conservatve: lavoro computo è mmagazznato n orma d energa (detta potenzale) che può essere lberata successvamente U mg - posso denre energa potenzale U U () -ΔU - s conserva energa meccanca E mecc K + U costante Ø orze NON conservatve: ΔU ΔK Δ( K + U ) ΔE 0 lavoro computo NON può essere recuperato come energa cnetca ma è trasormato n altra orma d energa (esempo: calore, rumore, ) cons mecc - NON posso denre energa potenzale U - NON s conserva energa meccanca

13 Denzone/Propretà orza conservatva Denzone : una orza è conservatva se r l lavoro svolto su una partcella dalla orza è ndpendente dalla trattora r dpende solo dal punto nzale e nale del percorso ab, ab, Denzone : una orza è conservatva se r l lavoro svolto su una partcella che s muove lungo un percorso chuso è nullo ab, + ba, 0 ab, ba, ab, [N.B. m permette d rsolvere problem compless, utlzzando percors semplc a pacere] Ø una orza conservatva conserva energa meccanca Ø non causa trasormazone d energa meccanca n energa nterna del sstema

14 orza d gravtà mg mg b a l lavoro dpende solo da punto nzale e punto nale non dal percorso [ved pano nclnato] b poszone nzale a poszone nale 0 U g mg per un percorso chuso orza elastca m x ( k x) dx kx kx x l lavoro dpende solo da punto nzale e punto nale non dal percorso 0 per un percorso chuso U m kx energa mmagazznata [vene rconvertta n lavoro] sono orze conservatve

15 applcazone: calcolo del lavoro utlzzando percors opportun corpo che scvola su superce senza attrto da a a b. percorre.0 m lungo tutto l tragtto e copre dslvello vertcale d 0.80 m. quanto lavoro compe F g sul corpo? NON posso utlzzare F g s F g s cosθ, natt θ camba contnuamente F g è conservatva calcolo lungo un percorso opportuno tra a e b, acltando calcol scelgo l percorso tratteggato orzzontale vertcale mgd cos(90 mgd cos(0 0 0 ) 0 ) (.0kg)(9.8m / s )(0.80m) 5.7J orzzontale + vertcale J 6J

16 Esemp d orze conservatve Forza peso F mg j U ( P) mgh P Forza elastca F kx U ( P) kx p Forza gravtazonale F G mm r rˆ m m U( P) G r p Forza elettrostatca F 4πε 0 qq r rˆ q q U( P) 4πε 0 r p non tutte le orze sono conservatve: una orza è NON conservatva se l lavoro che compe su un corpo dpende dal cammno percorso [esempo: orza d attrto orza d resstenza del mezzo]

17 Forze NON Conservatve esempo: una orza è non conservatva se l lavoro che compe su un corpo dpende dal cammno percorso o equvalentemente una orza è non conservatva se dsspa energa meccanca n energa nterna al sstema la orza d attrto è dsspatva: r trasorma energa meccanca n energa termca [NON recupero ma l energa trasormata n calore] r l lavoro atto dpende dal percorso AB B A d dx B A ( d d d d d π ) dx d B A dx N.B. quando l lbro vene lascato, s erma subto dopo: NON recupero l lavoro atto dalla orza attrto n energa cnetca!!

18 Conservazone dell energa TOTAE [sstema solato] n presenza d orze NON conservatve: rdmnuzone energa cnetca aumento energa nterna [esempo: orza d attrto trasorma energa cnetca n energa termca] r generalzzazone teorema lavoro-energa cnetca: tot attrto ΔU NON cons + d Δx cons ΔK Δ + NON cons + ΔU E nt NON cons ΔK ΔE ΔK mecc attrto ΔK + ΔU K + U + ΔE E + ΔE nt nt ΔK + ΔU nt E mecc 0 + E nt E sstema costante non s è ma osservata alcuna volazone d tale prncpo d conservazone se consdero Unverso come sstema solato: quanttà d energa presente nell Unverso è costante tutt process dell Unverso sono trasormazon d energa

19 esempo: durante una dscesa d montagna sstema: scalatore+attrezzatura+terra K U + E E sstema + nt costante lo scalatore scende lungo la parete e camba la congurazone del sstema lo scalatore deve traserre energa da energa potenzale gravtazonale del sstema ad energa cnetca (legata alla sua veloctà) senza che questa dvent eccessva la corda a attrto su moschetton trasersce maggor parte d energa potenzale n energa termca d corda e metallo, puttosto che n energa cnetca

20 Conversone energa meccanca energa cnetca energa potenzale K + U E sstema Conversone energa totale energa cnetca energa potenzale energa cnetca energa termca K U + E + nt E sstema F d attrto compe lavoro negatvo!!!

21 avoro svolto da Forza Esterna [Sstema NON solato] lavoro : energa traserta a o da un sstema per mezzo d una orza esterna che agsce su d esso? r sstema semplce [corpo puntorme]: F modca solo K r sstema complesso: F modca K, U ed energa nterna E nt

22 Sstema NON solato. sstema senza attrto lanco n ara una bocca [compo lavoro sul sstema] ΔK + ΔU ΔE mecc vara veloctà bocca vara dstanza Terra-bocca. sstema con attrto F d ma a cost v v 0 + ad Fd mv Fd ΔK + d d mv 0 + d d ΔK + ΔE nt ΔEmecc + Δ E nt n generale [es. blocco su rampa]: Fd ΔK + ΔU + Δ E nt

23 Stratega per rsoluzone problem [sstema solato e NON] Applco l prncpo d conservazone dell energa:. densco l sstema (uno o pù oggett). determno se s ha trasermento d energa attraverso l contorno del sstema. ΔE se s: sstema NON solato se no: sstema solato ΔE sstema sstema 0 H 3. se l sstema è solato: scelgo poszone d rermento per energa potenzale gravtazonale e per energa potenzale elastca 4. ndvduo eventual orze non conservatve 5. rcordo che se sono present attrto o orza d resstenza dell ara energa meccanca NON s conserva 6. se ho solo orze conservatve: 7. n presenza d orze NON conservatve E mecc non s conserva.: Applco teorema orze vve: ΔK E mecc K + U E sstema costante K + U + orze attve costante E nt è dovuta a orze NON conservatve!!

24 Determnazone energa potenzale [orze conservatve] Cerco espressone generale per energa potenzale x F( x) x dx F(x) conservatva x, x punto nzale e nale percorso ΔU U U l lavoro non dpende dal percorso, ma solo da punto nzale e nale. densco unzone energa potenzale U [ved consderazon su orza d gravtà] l lavoro computo da una orza conservatva è uguale alla varazone, cambata d segno, d energa potenzale assocata alla orza ΔU U U F( x) dx x x relazone generale N.B. sono mportant solo le varazon ΔU U U F( x) dx x x energa assocata ad una congurazone del sstema rermento

25 esempo : energa potenzale gravtazonale ΔU F( ) d -mg ( mg) d mg d -mg mg [ ] Δ U mg( ) mgδ per una generca poszone del corpo: U U U mg( ) mg( ) mg energa potenzale gravtazonale: energa potenzale gravtazonale [se scelgo come rermento 0 e qund U 0 ] N.B. vale solo per g cost (vcn alla superce della Terra) r dpende da poszone vertcale (quota), rspetto a poszone d rermento ( 0) r non dpende dalla poszone orzzontale

26 esempo : energa potenzale elastca ΔU k x x x x x x k F( x) dx ( kx) dx xdx x [ x ] x ΔU kx kx per una generca poszone x del corpo: U 0 k x 0 [se scelgo come rermento x 0 e qund U 0 ] U k x energa potenzale elastca: energa mmagazznata nella molla deormata può essere rlascata n energa cnetca del blocco

27 Forza Gravtazonale e Potenzale orza gravtazonale: orza d attrazone recproca ra due corp qualsas nell unverso r esempo d azone e reazone r ntensa ra corp macroscopc r la pù debole ra le orze esempo: sstema protone-neutrone: F g (p-n) 0-47 N F em (p-n) 0-7 N F g G Terra attra mela mela attra Terra Terra attra una una attra Terra m m G r N m / kg

28 egge della Gravtazone Unversale: - Rcavata da Newton (686) [sulla base delle legg d Keplero del moto de panet (608-69)]; - Vale per due masse qualsas [masse concentrate n un punto; svluppo del calcolo ntegrale] - Base per completa descrzone matematca moto de panet

29 egg d Keplero (57-630) [basate sulle osservazon astronomche d Tcho Brahe (546-60)] Prma egge 'orbta descrtta da un paneta è un'ellsse, d cu l Sole occupa uno de due uoch Seconda egge Il segmento (raggo vettore) che unsce l centro del Sole con l centro del paneta descrve aree ugual n temp ugual - Veloctà areolare costante - a veloctà orbtale non è costante, ma vara lungo l'orbta Terza egge I quadrat de perod d rvoluzone de panet sono proporzonal a cub de semass maggor delle loro orbte T - Panet lontan hanno perodo d rvoluzone maggore a mt d valdtà delle legg d Keplero: à massa del paneta trascurable rspetto al Sole; à Nessuna nterazone ra dvers panet (perturbazon delle orbte)

30 Blanca d Cavensdsh (798) per la msura della costante G [Smle a expermento d Coulomb]

31 r accelerazone gravtazonale terrestre g Fg m G M r T rˆ dstrbuzone radale n prossmtà della superce: r RT 6370km g M G R T T m / s ( ) dstrbuzone unorme

32 r potenzale gravtazonale m m F G r U U U U rˆ r r F Gm m r è conservatva ammette potenzale r ( r) dr Gmm dr Gm m r r r r se scelgo come rermento r e qund U 0 U Gm m r) r r ( r r r è negatvo (orza attrattva) N.B. n prossmtà della superce terrestre: r r U GM m Δ Δ g T GMT m GMT m r r r r RT mgδ Applcazone: Energa Potenzale e Cnetca d oggetto che cade verso la Terra [v 0, r molto grande] Contnua conversone Energa Potenzale n Energa Cnetca E mecc, E mecc, GM T m r mv GM m T R T 0 mv GM m T R T v GM T R T 00m / s.km / s Veloctà d caduta sulla Terra: - 6 proettle d ucle - NON dpende da m (asterod, )

33 applcazon: veloctà d uga E mecc K + U costante proettle lancato n ara massa m, veloctà v n generale l proettle: 4rallenta (converte K n U, h aumenta) 4s arresta (K 0, E mecc U) 4rcade (converte U n K, h dmnusce) esste un valore mnmo d v per cu l proettle non torna ndetro mv GM m T R T E mecc, E mecc, GM T m r max v R GM T T rmax v uga de veloctà mnma che l corpo deve avere per contnuare a muovers allontanandos sempre v v v r uga ma x uga GM R T T Paneta NON dpende da massa oggetto!! [è la stessa per molecola o navcella spazale] nk: Teora cnetca de gas, composzone atmosera v (km/s) Terra. una.3 Sole 68 Marte 5.0 Gove 60

34 applcazone: atmosera terrestre: nvolucro d gas che crcondano la terra trattenut da attrazone gravtazonale composzone atmosera terrestre composzone ara no a 00 km da terra altro N 78% O % Perché H, He, gl element allo stato lbero pù abbondant (4%) nell unverso, sono present n quanttà mnme? molecole leggere (come drogeno ed elo) hanno veloctà traslazonal vcne ( km/s) v a veloctà d uga terrestre ( km/s) molecole leggere s dondono nello spazo Gove: v uga 60 km/s trattene pù aclmente H, He costtuent prncpale sua atmosera una: v uga.3 km/s NON c è atmosera rqm 3kBT m

35 Rcerca Analtca d una Forza Il lavoro atto da una orza conservatva è par alla varazone d energa potenzale ra punto nzale e nale del percorso ( U ( B) U ( A)) F( x) Δx ΔU ΔU F( x) una orza conservatva e` uguale Δx alla dervata cambata d segno du F( x) dell`energa potenzale dx E mecc K( x) + U ( x) costante K( x) E U( x) mecc sstema n equlbro: F( x) 0 x>x 5 eq. nderente (U cost) xx eq. stable (U mn) xx 4 eq. stable (U mn) xx 3 eq. nstable (U max)

36 Forza Peso U ( ) mg U m kg g 9.8 m/s du ( ) F( ) d mg energa potenzale della orza peso è unzone lneare dell altezza: r maggore è l altezza maggore è l energa potenzale r la orza peso non ha punt d equlbro

37 Forza Elastca U ( x) k x K 3.5 N/m 35 U F( x) du ( x) dx k x x energa potenzale della orza elastca è una parabola con un mnmo nel punto ad allungamento zero N.B. un mnmo d potenzale (anche relatvo) ndca un punto d equlbro stable del sstema, ossa un punto dove l corpo non è soggetto a orze