12. Dinamica dei sistemi

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1 1. Dnamca de sstem 1. Sstem d punt e seconda legge della dnamca In cnematca s èntrodotto l concetto d sstema d punt materal; se ne è studato l atto d moto ponendo partcolare attenzone su sstem rgd. Quando un sstema d punt materal è soggetto a forze, occorre dstnguere tra queste le forze nterne al sstema e le forze esterne, eserctate da altr punt o sstem d punt estern. Per leforze nterne vale la terza legge della dnamca, secondo cu tal forze s presentano a coppe e la loro rsultante ènulla. Non s ntende dre con cò che per le forze esterne non valga tale legge, ma che essa rsulta verfcata quando s prendono n esame le nterazon tra sstem estern l uno all altro. Queste nterazon dventano nterne n un sstema pù esteso comprendente sstem consderat. Poché laterza legge della z dnamca èverfcata solo n rferment nerzal e le forze fttze present n rferment non nerzal non F verfcano tale legge, per l momento, lmteremo l F 1 nostro studo a sstem n rferment nerzal. f f m Consderamo, per semplctà, un sstema costtuto da due sol punt; l estensone ad un sstema d m 1 r n punt rsulterà spontanea. Indchamo con f le forze r 1 nterne e con F le forze esterne, come mostrato n O y fgura 1. Scrvendo la seconda legge della dnamca per due punt: e sommando, s ottene m 1 a 1 = F 1 + f m a = F f, x Fg. 1.1 m 1 a 1 + m a = F. Per n punt materal, s ha m a = F = F, (1)

2 70 Captolo 1 - Dnamca de sstem con F rsultante delle forze esterne. La (1) costtusce l estensone della seconda legge della dnamca a sstem; s osserv che n essa non compaono le forze nterne. Per dare alla (1) una forma pù sgnfcatva occorre defnre l centro d massa d un sstema.. Centro d massa S defnsce centro d massa d un sstema, l punto che ha coordnate assegnate dalle seguent relazon: x C = y C = z C = m x m = m y m = m z m = m x M m y M m z M, dove con M s è ndcata la massa totale del sstema. Le precedent sono espresse n forma vettorale dalla relazone r C = m r M, (3) dove r C èlvettore che ndvdua l centro d massa. Esempo 1. Un sstema è costtuto da partcelle d masse m 1 =5g, m =3g, m 3 =g, m 4 =g, che, n un rfermento cartesano ortogonale, hanno coordnate: x 1 =0cm, x 3 =30cm, y 1 =0cm; y 3 =0cm; x =10cm, x 4 = 15 cm, y =30cm, y 4 =15cm. Le coordnate del centro d massa rsultano m1x1 + mx + m3x3 + m4x4 x C = m 1 + m + m 3 + m 4 =5cm m1y1 + my + m3y3 + m4y4 y C = m 1 + m + m 3 + m 4 =10cm. () 3. Teorema della quanttà d moto S defnsce quanttà d moto d un sstema la somma delle quanttà d moto de sngol punt del sstema: p = p 1 + p + + p n = p. Dervando le () rspetto al tempo, s ha ẋ C = m ẋ m, ẏ C = m ẏ m, ż C = m ż m, (5)

3 4. Prma equazone cardnale della dnamca de sstem 71 e moltplcando per M, massa del sstema, Mẋ C = m ẋ, Mẏ C = m ẏ, Mż C = m ż. In forma vettorale s ha Mv C = (6) p = p. (7) La quanttà d moto d un sstema è uguale alla quanttà d moto del centro d massa n cu s rtene localzzata la massa del sstema. 4. Prma equazone cardnale della dnamca de sstem Dervando le (6) rspetto al tempo, s ha Mẍ C = m ẍ, Mÿ C = m ÿ, M z C = m z. In forma vettorale: M d r C = d r m, (8) n cu r C e r rappresentano rspettvamente l vettore che ndvdua la poszone del centro d massa ed vettor che ndvduano la poszone de punt. Confrontando la (8) con la (1) s ottene F = F = M d r C. S deduce qund che la rsultante delle forze esterne è uguale alla massa del sstema per l accelerazone del centro d massa. L equazone precedente s scrve: F = dp = M dv C. (9) Essa costtusce la prma equazone cardnale della dnamca de sstem. Dremo dunque: n un sstema sottoposto a forze esterne, l centro d massa s muove come un punto dotato della massa totale del sstema e sollectato dalla rsultante d tutte le forze esterne agent sul sstema (Newton). S deduce che le forze nterne, che non compaono nella (9), non nfluenzano l moto del centro d massa. Dscende noltre, che con forze nterne non s resce ad alterare l moto del centro d massa. Se un proettle che percorre, come noto, una traettora parabolca, esplode n volo e suo framment vengono proettat n vare drezon per effetto d forze nterne dovute all esplosone, l centro d massa de framment (sstema) contnua a percorre ndsturbato la sua traettora parabolca.

4 7 Captolo 1 - Dnamca de sstem 5. Conservazone della quanttà d moto Se la rsultante delle forze esterne è nulla, dalla (9) dscende M dv C =0, che comporta Mv C = p = cost. (10) La quanttà dmoto del sstema s conserva. Tpco esempo d conservazone della quanttà dmoto èl sstema cannone proettle prma e dopo lo sparo. La quanttà d moto del sstema s conserva solo n drezone orzzontale, poché lungo la vertcale agsce la forza esterna d gravtà. Essendo nulla la componente orzzontale della quanttà dmoto nzale, tale s manterrà dopo lo sparo; dunque s deve avere m 1 v 1 m v =0, dove gl ndc 1esrferscono al proettle ed al cannone. Naturalmente l cannone rncula con una veloctà v = m 1 v 1 /m, molto mnore d quella del proettle. Se s consderano due partcelle che nteragscono per effetto d forze nterne, la conservazone della quanttà dmoto è espressa dalla relazone: p 1 + p = p 1 + p, dove con gl apc sono state ndcate le quanttà dmoto dopo l nterazone, paragrafo 4-VI. La precedente s può scrvere: p 1 p 1 = (p p ), p 1 = p. y m F 1 La varazone della quanttà dmoto d una partcella, n un certo ntervallo d tempo t, è uguale ed opposta alla varazone della quanttà dmoto dell altra partcella, durante lo stesso ntervallo d tempo. Tale nterazone determna uno scambo d quanttà d moto; la quanttà dmoto perduta da una partcella è uguale a quella guadagnata dall altra partcella. Cò è evdentemente n accordo con la terza legge della dnamca. Infatt dvdendo la relazone precedente per l ntervallo d tempo t, efacendo tendere a zero tale ntervallo, s ha dp 1 + dp =0, dp 1 = dp, f 1 = f, e vceversa. 3m O 4m Fg. 1. F m x Esemp. Due masse m 1 =1kg, m =0, 6 kg, nzalmente n quete, sono dsposte n un pano x-y prvo d attrto, come n fgura. Le coordnate d m 1 sano (0; 3 m), quelle d m (4; 0 m. S applchno ad esse le forze F 1 =4 N, F =

5 5. Conservazone della quanttà d moto 73 3j N; trovare le equazon del moto del centro d massa e la quanttà dmoto del sstema. Le coordnate nzal del centro d massa sono x 0C = m1x1 + mx m 1 + m =1, 5 m m1y1 + my y 0C = =1, 87 m. m 1 + m Dalla prma equazone della dnamca de sstem: F = F 1 + F =(m 1 + m )a C, s rcava l moto del centro d massa. S ha F 1 x C(t) =x 0C + 1 t =1, 5+1, 5t m 1 + m F y C(t) =y 0C + 1 t =1, , 94t. m 1 + m La quanttà dmoto del sstema, quanttà dmoto del centro d massa, è p =(m 1 + m )v C =(m 1 + m )(ẋ C +ẏ Cj) =(F 1 + F j)t =4t +3tj. 3. Due blocch d massa m 1, m, collegat medante una molla d costante elastca k e d massa trascurable, poggano su un pano orzzontale prvo d attrto, fgura 3. Alla massa m è applcata una forza orzzontale F costante; determnare l allungamento della molla. m 1 m F Fg. 1.3 La forza elastca è una forza nterna, dunque non nflusce sull accelerazone del centro d massa, che è data da F a C =. m 1 + m Ma, se non s sono nstaurate oscllazon, questa è anche l accelerazone d cascun blocco. Detto x l allungamento della molla, per l blocco m è F kx = m a C;perl blocco m 1, kx = m 1a C.Pertanto x = m1 k F m 1 + m. 4. Un proettle, lancato vertcalmente con veloctà nzale v 0, esplode n due framment d ugual massa. Dopo t 1 second dall esplosone, uno de framment raggunge la quota h 1. Determnare la quota dell altro frammento allo stesso stante. Le forze nterne, causate dall esplosone non nfluscono sul moto del centro d massa; poché la gravtà è l unca forza esterna, l centro d massa s muove dmoto unformemente rtardato e all stante t 1 raggunge la quota y C = v 0t 1 1 gt 1, avendo fssato come rfermento un asse vertcale volto verso l alto e con orgne nel punto d lanco. Poché m1y1 + my y C =, m 1 + m m 1 = m e y 1 = h 1,sottene y = h =y C h 1.

6 74 Captolo 1 - Dnamca de sstem S osserv che la coordnata x de framment non rsulta determnata perché dpende dalle veloctà vettoral acqustate all stante dell esplosone. Tuttava va tenuto presente che framment devono essere allneat col centro d massa. Nel caso n esame deve essere soddsfatta la condzone x C = m1x1 + mx m 1 + m =0. 5. Un uomo d massa m s trova all estremo d un carrello d massa M e lunghezza l, n quete, lbero d muovers su un bnaro orzzontale. Trascurando ogn forma d attrto, determnare d quanto s sposta l carrello se l uomo s reca all estremo opposto. Il sstema, uomo pù carrello, non è soggetto a forze esterne, a parte la gravtà equlbrata dalla reazone vncolare; dunque l suo centro d massa, nzalmente n quete, resta tale dopo lo spostamento dell uomo. Fssato un asse x soldale col bnaro, con orgne nel centro d massa C, prma e dopo lo spostamento dell uomo, sarà: mx1 + Mx x C =0= m + M = mx 1 + Mx m + M, dove x 1, x sono le ascsse nzal de centr d massa dell uomo e del carrello, e x 1, x quelle fnal. Dalla relazone precedente s ottene M(x x )= m(x 1 x 1), M x = m x 1, essendo x, x 1 gl spostament del carrello e dell uomo, rspetto al rfermento fsso. Chamando con l la lunghezza del carrello, lo spostamento assoluto dell uomo è somma dello spostamento relatvo l e dello spostamento d trascnamento x del carrello: x 1 = l + x. Pertanto M x = m(l + x ), x = m m + M l, n verso opposto allo spostamento relatvo dell uomo. 6. Seconda equazone cardnale della dnamca de sstem, momento angolare S consder un sstema d partcelle, cascuna soggetta a forze nterne ed a forze esterne. Indchamo con f la rsultante delle forze nterne e con F la rsultante delle forze esterne agent sulla sngola partcella; s ramment la fgura 1 n cu sono rappresentate due sole partcelle. Per ogn partcella s ha F + f = m a. Consderamo moment d ambo membr rspetto ad un polo O fsso, per esempo, rspetto all orgne del rfermento: r (F + f )=r dp. Sommando su tutte le partcelle, s ottene r (F + f )= r dp.

7 6. Seconda equazone cardnale della dnamca de sstem, momento angolare 75 Il prmo membro dà l rsultante M de moment delle forze esterne. S osserv che l rsultante de moment delle forze nterne è nullo qualunque sa l polo, perché ogn coppa d forze nterne gace sulla stessa retta d azone, percò moment sono a due a due oppost. Pertanto s ha M = r dp. (11) Rcordando che l momento angolare d una partcella è L = r p e dervando rspetto al tempo, s ottene: dl = dr p + r dp. Ma, essendo dr 1 / e p 1 vettor parallel, dunque: dr p =0, Allora la (11) dventa dl = r dp. M = dl = dl, (1) n cu L = L èlrsultante de moment angolar, che chamamo momento angolare del sstema. La (1) èlaseconda equazone cardnale della dnamca de sstem; essa descrve l moto del sstema attorno al polo prescelto. Se l polo O non è fsso, con un ragonamento analogo a quello fatto perlsngolo punto, paragrafo 3.1-IX, s ottene una equazone pù generale della (1). Nel rfermento nerzale d fgura 4 s scelga un punto Q comunque moble e s consderno moment angolar delle sngole partcelle rspetto a Q. Sha z Q r Q L Q = r Q p =(r r Q ) p L Q = L Q = (r r Q ) p. r Q m Dervando rspetto al tempo: dl Q = ( dr dr ) Q p + = dr Q p + (r r Q ) dp (r r Q ) dp x O r y = v Q p + M Q = v Q p C + M Q, Fg. 1.4

8 76 Captolo 1 - Dnamca de sstem da cu: M Q = dl Q + v Q p C. (13) Il secondo addendo del secondo termne ènullo se Q è fsso o concde con l centro d massa, oppure se s muove parallelamente ad esso. La (13) costtusce l espressone pù generale della seconda equazone cardnale della dnamca de sstem. Il rsultante de moment delle forze esterne è uguale alla dervata rspetto al tempo del momento angolare, se moment sono valutat rspetto allo stesso polo che può essere fsso o concdere col centro d massa (o con un punto che s muove parallelamente a quest ultmo). (Eulero, Bernoull). 7. Conservazone del momento angolare Se l sstema non è soggetto a forze esterne oppure l rsultante de moment delle forze esterne ènullo s ha dl =0. Cò sgnfca che l momento angolare del sstema è costante: L = L = cost. (14) Questa equazone costtusce la legge d conservazone del momento angolare. In altr termn: l momento angolare d un sstema solato o d un sstema n cu è nullo l rsultante de moment delle forze esterne, ècostante. In un atomo, n cu elettron e nucleo sono dotat d momento angolare (d spn ed orbtale), l momento angolare è costante perché leforze d attrazone coulumbana tra elettron e nucleo e le forze d repulsone tra coppe d elettron sono forze nterne che agscono lungo la congungente coppe d partcelle; l momento rsultante d queste forze, qualunque sa l polo scelto è sempre nullo. Ancora: l Sstema Solare rspetto al centro d massa del sstema, pratcamente rspetto al Sole, ha momento angolare costante, se trascuramo l nterazone col resto della Galassa. Infatt var panet s mantengono n rotazone rspetto al propro asse con momento angolare costante, poché leforze d mutua nterazone tra ess ed l Sole sono forze central che hanno tutte momento nullo rspetto al centro d massa del sstema (Sole). La legge d conservazone del momento angolare ha valà unversale, sa a lvello mcroscopco che a lvello macroscopco. Se, nfatt, l momento angolare d una parte del sstema vara, s deve presupporre che s sa verfcata una varazone opposta nel resto del sstema, n modo che n totale valga la legge d conservazone. Tale legge s verfca, per esempo, nelle reazon nuclear;

9 7. Conservazone del momento angolare 77 se un nucleo s dsntegra, e cò accade a causa d forze nterne, l suo momento angolare vara esattamente d una quanttà opposta a quello delle partcelle emesse, le qual, per così dre, hanno sottratto momento angolare. Lo stesso processo s verfca quando un nucleo, un atomo o una molecola emettono radazone elettromagnetca. In generale, se s consderano due sstem S 1 ed S nteragent, ma nel loro nseme solat, s deve avere L 1 + L = cost. Per effetto dell nterazone, L 1 varerà duna quanttà L 1 e L d una quanttà L. Ovvamente le due varazon devono essere tal che L 1 + L =0, L 1 = L. I due sstem hanno scambato tra loro momento angolare. Allo scopo d charre ancora la legge d conservazone del momento angolare, nsstamo sul fatto che esso s conserva anche quando l sstema non è solato, purché lrsultante de moment delle forze esterne sa nullo. Per esempo se un corpo rgdo, posto n rotazone attorno ad un suo asse spontaneo d rotazone, (ved dnamca de corp rgd), con veloctà angolare costante e qund con momento angolare costante, vene fatto cadere nel vuoto, l moto del centro d massa del corpo è sempre traslatoro con accelerazone costante. Infatt la forza esterna (peso) è applcata al centro d massa rspetto al quale l suo momento ènullo; L è costante e tale s mantene lungo tutta la caduta. Lo stesso naturalmente accade se l corpo rgdo cade senza ruotare; n questo caso l momento angolare ènullo e tale s mantene durante la caduta. Queste concluson, valde per un corpo rgdo, sono verfcate anche per un sstema artcolato, oppure elastco, n caduta lbera. Infatt accade che forze nterne determnno un movmento d una parte del sstema rspetto ad un altra ed mprmano rotazon per conservare costante l valore d L. Per esempo, un gatto, lascato cadere d schena, resce sempre con contorson opportune a volgere le zampe verso l suolo n modo da rendere noffensva la caduta. Come altro esempo s consder l sstema mostrato n fgura 5. Due masse m ugual, possono scorrere senza attrto lungo una guda l orzzontale e sono tenute ferme alla stessa dstanza x 1 dal centro O della guda medante un flo. Il sstema ruota con veloctà angolare ω attorno all asse vertcale passante per O. Il momento angolare del sstema, supponendo trascurable la massa della guda, è L 1 =mx 1 ω 1. m O ω m x 1 x Fg. 1.5

10 78 Captolo 1 - Dnamca de sstem Se l flo vene brucato, le due masse s dsporranno all estremtà della guda, dove sono predspost due ferm; l nuovo momento angolare sarà L =mx ω. Poché lmomento delle forze esterne, peso e reazone vncolare, rspetto all asse ènullo, l momento angolare s conserva: L 1 = L, mx 1 ω 1 =mx ω. Chamando momento d nerza I delle masse, rspetto all asse, la quanttà I =mx,sha L = I 1 ω 1 = I ω. Dunque, n corrspondenza alla poszone fnale delle masse, la veloctà angolare assume l valore ω = I 1 ω 1 = x 1 ω I x 1, nferore a quella nzale. È molto mportante esamnare l energa cnetca del sstema nelle due confgurazon: T 1 = 1 mv 1 = 1 mx 1 ω 1 = 1 I 1 ω 1, T = 1 I ω. Dalle relazon precedent s deduce che le energe cnetche stanno nel rapporto T 1 T = I 1ω 1 I ω = x x. T x 1 = T. 1 x 1 L energa cnetca nzale è maggore d quella fnale. Il rsultato ndcherebbe una volazone della conservazone dell energa. Tuttava occorre tener presente che nel rfermento ruotante le masse sono soggette alla forza centrfuga, e per spostare le masse dalla poszone x alla poszone x 1, mnore, occorre compere un lavoro L contro tale forza; percò L = m x1 x xω (x)dx. Tenuto conto che ω è funzone d x, mentre l momento angolare L è costante, convene scrvere L =mx ω(x), ω(x) = L mx. Sosttuendo nell ntegrale precedente, s ha L = L m x1 x dx x 3 ( = L 1 1 ) 4m x 1 x > 0.

11 8. Dnamca relatva de sstem 79 D altra parte, per mezzo delle relazon ottenute, s verfca faclmente che la dfferenza tra le energe cnetche nzale e fnale è propro ( T 1 T = L 1 1 ) ; 4m x 1 x dunque l blanco energetco èsoddsfatto. È mportante sottolneare due aspett caratterstc del prncpo d conservazone della quanttà dmoto e del prncpo d conservazone del momento angolare. Nel prmo, non èpossble far varare la veloctà del centro d massa senza l ntervento d forze esterne, anche se s verfcano mot ntern tra le part del sstema; nel secondo èpossble far varare la veloctà angolare del sstema perché leforze nterne possono modfcare la dstrbuzone delle masse e qund l momento d nerza. Lo stesso accade se c s sede su uno sgabello, ruotante con una certa veloctà angolare, con le bracca aderent al corpo; se allarghamo le bracca, meglo reggendo n mano due gross lbr od altro, s noterà una dmnuzone sensble della veloctà angolare. In questo modo l momento d nerza del corpo e de lbr rspetto all asse d rotazone è aumentato, perché parte della massa, bracca pù lbr, s è dstrbuta a dstanza maggore dall asse. Analogo èlcaso d una ballerna ruotante attorno al propro asse, con le bracca allneate lungo l corpo; quando essa allarga le bracca, ottene una dmnuzone della veloctà angolare nzale. S osserv che leforze esterne agent, peso e reazone del pano d appoggo, hanno momento nullo rspetto all asse d rotazone. 8. Dnamca relatva de sstem La dnamca relatva de sstem s sttusce n manera analoga a quella del punto materale. Per un sstema n moto rspetto ad una terna non nerzale, la prma equazone cardnale della dnamca de sstem dventa dp r = F + F t + F c, (15) dove p r èlaquanttà dmoto relatva, F la rsultante delle forze real esterne, F t e F c le rsultant delle forze apparent. Dalla (15) s deduce che, nel movmento relatvo, l centro d massa s muove come un punto dotato della massa complessva del sstema, e soggetto alla somma delle forze real e delle forze apparent. Analogamente, la seconda equazone cardnale della dnamca de sstem è espressa dalla relazone: dl r = M + M t + M c, (16) dove L r èlmomento angolare relatvo del sstema. Il rsultante

12 80 Captolo 1 - Dnamca de sstem de moment delle forze esterne M e delle forze apparent M t e M c, sono valutat rspetto allo stesso polo, soldale col rfermento, oppure rspetto al centro d massa. Partcolare rlevo hanno le seguent grandezze Forza centrfuga ω Q C La somma delle forze centrfughe agent su punt del sstema, è uguale alla forza centrfuga del centro d massa, rtenuto come un punto dotato della massa dell ntero sstema. Dette P le poszon de punt materal e Q ped delle perpendcolar sull asse d rotazone della terna moble, fgura 6, la rsultante delle forze centrfughe è data da ω m (P Q ). Q P Se C èlcentro d massa e Q èlpede della sua perpendcolare sull asse, essendo P Q =(P Q)+(Q Q ), (C Q) = m (P Q), M rsulta Fg. 1.6 ω m (P Q )=ω (P Q)+ω (Q Q ) = Mω (C Q)+ω m (Q Q ). Il secondo termne del secondo membro è parallelo all asse, percò non dà alcun contrbuto, dunque ω m (P Q )=Mω (C Q). (17) 8.. Rsultante e momento delle forze esterne, momento angolare La rsultante e l momento rsultante delle forze esterne sono somma delle forze real e delle forze apparent. Queste ultme, per quanto s è detto, devono essere annoverate tra le forze esterne al sstema. Il momento angolare ha espressone analoga a quella stablta nel rfermento nerzale, purché s sosttusca la veloctà relatva a quella assoluta Energa cnetca L energa cnetca merta qualche consderazone n pù. Poché essa è data da una forma quadratca della veloctà, ed essendo

13 9. Rfermento del centro d massa 81 v = v t + v r,per un punto materale, nel rfermento assoluto, s ha 1 mv = 1 mv v = 1 mv t + 1 mv r + mv t v r, eper l sstema: 1 m v = 1 m v t + 1 m v t + m v t v r, (18) 9. Rfermento del centro d massa Molte volte è partcolarmente utle fssare una terna d rfermento con orgne nel centro d massa; se n partcolare, l sstema non è soggetto a forze esterne, tale terna è nerzale. Chameremo questo rfermento: rfermento C, mentre chameremo L l rfermento nerzale del laboratoro, rspetto al quale C s muove con veloctà v C Quanttà dmoto La quanttà d moto d un sstema nel rfermento C è sempre nulla; cò s può verfcare agevolmente per un sstema costtuto da due partcelle. Sano v 1, v le veloctà delle due partcelle nel rfermento L; la veloctà del centro d massa è data da v C = m 1v 1 + m v. m 1 + m Le veloctà dcascuna partcella nel rfermento C sono v 1C = v 1 v C = v 1 m 1v 1 + m v = m (v 1 v ) = m v 1 m 1 + m m 1 + m m 1 + m v C = v v C = v m 1v 1 + m v = m 1v 1. m 1 + m m 1 + m Con v 1 s è ndcata la veloctà relatva delle due partcelle. Per la quanttà dmoto s ha p 1C = m 1m m 1 + m v 1 = µ v 1 p C = m 1m m 1 + m v 1 = µ v 1, (19) la cu somma ènulla. Con µ s è ndcata la massa rdotta del sstema, defnta da 1 µ = m 1 m La massa rdotta è sempre nferore sa a m 1 che a m.poché s può scrvere µ = m 1m m 1 + m = ( m 1 = m 1 1+m 1 /m 1+ m 1 m ) 1,

14 8 Captolo 1 - Dnamca de sstem se m 1 m,sha ( µ m 1 1 m ) 1 m 1. m z C 9.. Momento angolare Consderamo un sstema d partcelle n un rfermento nerzale la cu orgne O concda con l polo, fgura 7. Il momento angolare della generca partcella è r C L = r p. r C r m Indchamo con r C, v C,poszone e veloctà del centro d massa e con r C, v C,poszone e veloctà della partcella d ndce rspetto al centro d massa. Poché O y r = r C + r C v = v C + v C, x l momento angolare della partcella s scrve Fg. 1.7 L =(r C + r C ) m (v C + v C ) = r C m v C + r C m v C + r C m v C + r C m v C. Il momento angolare del sstema rsulta L = L = r C m v C + r C m v C + r C m v C + r C m v C. La prma somma è uguale a r C Mv C,doveM èlamassa totale del sstema, la seconda somma è nulla perché è l prodotto vettorale tra r C elaquanttà dmoto del sstema nel rfermento del centro d massa, rfermento a quanttà d moto nulla. Infne, la terza somma è uguale a zero n quanto m r C =0,per analogo motvo. In defntva s ha avendo ndcato con L = r C Mv C + L C, (0) L C = r C m v C, l momento angolare del sstema rspetto al centro d massa. S conclude che l momento angolare d un sstema rspetto ad un polo fsso O, descrve l moto del centro d massa ntorno ad O ed l moto del sstema ntorno al centro d massa. Dervando

15 9. Rfermento del centro d massa 83 la (0) rspetto al tempo s ha dl = dr C Mv C + r C M dv C + dl C = r C M dv C + dl C, essendo nullo l prmo termne del secondo membro. La precedente s può anche scrvere: dl = r C F + M C, (1) essendo r C F e M C, rspettvamente l momento della rsultante delle forze esterne rspetto ad O ed l rsultante de moment delle forze esterne rspetto al centro d massa. Se moment vengono pres rspetto al centro d massa ovvamente s ha M C = dl C. () S not che la () è formalmente analoga alla (1), ma ne dffersce perché lcentro d massa è moble Energa cnetca d un sstema L energa cnetca d un sstema, n un rfermento comunque moble rspetto a quello assoluto, è espressa dalla (18). Se l rfermento moble è soldale col centro d massa, s può stablre l seguente teorema d Köng. L energa cnetca d un sstema nel rfermento L èpar alla somma dell energa cnetca del centro d massa, dove s rtene localzzata l ntera massa del sstema, e dell energa cnetca del sstema nel rfermento C. L energa cnetca del sstema nel rfermento del laboratoro è data da T = 1 m v. Ma la veloctà della generca partcella è v = v C + v C,pertanto s può scrvere T = 1 m (v C + v C ) (v C + v C ) = 1 m v C + v C m v C + 1 m v C = 1 Mv C + 1 m v C, essendo m v C =0,poché lrfermento C èunrfermento a quanttà dmoto nulla. Infne: T = 1 Mv C + T C. (3)

16 84 Captolo 1 - Dnamca de sstem Consderamo, nel rfermento L, due partcelle con veloctà v 1 e v. L energa cnetca del sstema è(m 1 v 1 + m v )/. Nel rfermento C s ha T C = T 1 Mv C = 1 [ ( ) ] m 1 v 1 + m v m1 v 1 + m v (m 1 + m ) m 1 + m = 1 m 1 m (v 1 + v v 1 v ) m 1 + m = 1 m 1 m (v 1 v ) = 1 m 1 + m µv 1. (4) L energa cnetca delle partcelle, nel rfermento C,è uguale all energa cnetca d una partcella d massa rdotta µ e veloctà uguale alla veloctà relatva. Complement ed esemp 6. Momento angolare d due partcelle rspetto al loro centro d massa. Il momento angolare delle partcelle rspetto al centro d massa è L C = r 1C p 1C + r C p C. Poché m1r1 + mr r C =, m 1 + m le poszon delle partcelle rspetto al centro d massa sono m1r1 + mr m(r1 r) r 1C = r 1 r C = r 1 = = mr1 m 1 + m m 1 + m m 1 + m m1r1 + mr r C = r r C = r = m1r1. m 1 + m m 1 + m Rcordando le equazon (19), p 1C = µ v 1, p C = µ v 1, s ottene: m m 1 L C = r 1 µ v 1 + r 1 µ v 1 = µ r 1 v 1. (3) m 1 + m m 1 + m Il momento angolare d due partcelle rspetto al centro d massa s può esprmere come l momento angolare d una partcella d massa rdotta µ, quanttà d moto µ v 1 evettore poszone r 1. Vceversa s può anche esprmere come l momento angolare d una partcella con quanttà dmoto µv 1 evettore poszone r 1. Laverfca d quest ultmo asserto è mmedata. Questo rsultato è molto mportante perché mostra che l momento angolare rspetto al centro d massa è ndpendente dalla poszone d quest ultmo. Però lvero centro d rotazone èlcentro d massa. A rprova s può verfcare che la (3) concde effettvamente con quella d defnzone; nfatt: L C = r 1 µ v 1 = m1 + m m r 1C µ ( m1 + m m1 = r 1C m 1v 1C = +1 m m = m1 r 1C m 1v 1C + r 1C m 1v 1C; m ma nel rfermento del centro d massa è m1 + m v 1C m ) r 1C m 1v 1C m 1r 1C + m r C =0, m 1v 1C + m v C =0;

17 9. Rfermento del centro d massa 85 da cu r 1C = m m 1 r C, v 1C = m m 1 v C; sosttuendo s ha: L C = r 1C m 1v 1C + r C m v C. Se l sstema è solato, dervando la (3) rspetto al tempo, s ha dl C = µ dr1 v 1 + µ r 1 dv1 =0; (6) nfatt due termn esprmono prodott vettoral tra vettor parallel. momento angolare s conserva. 7. Problema de due corp; partcelle soggette a mutua nterazone. Le forze d nterazone sono forze nterne opposte, f 1 = f 1. Le equazon cardnal della dnamca de sstem suggerscono: a) l centro d massa del sstema sta fermo oppure s muove d moto rettlneo unforme; b) l momento angolare del sstema è costante. Le equazon della dnamca rspetto ad un osservatore assoluto sono Sommando s ha m 1 dv 1 = f 1, m dv = f 1. dv 1 m 1 + dv m = f 1 + f 1 =0. Questa relazone esprme la conservazone della quanttà dmoto. Inoltre s può scrvere sottraendo s ha ovvero: dv 1 dv 1 = f1 m 1, dv = f1 m ; dv 1 dv = f1 f1, m 1 m d(v 1 v ) = 1 µ = ( 1 m m ) f 1, f1, f1 = µ dv1 Il = µ a 1, (7) n cu v 1, µ, a 1 sono rspettvamente, la veloctà relatva, la massa rdotta e l accelerazone relatva. S può dunque concludere che la (7) esprme la seconda equazone della dnamca relatva per due partcelle. Dscende che l moto d una partcella rspetto all altra, e vceversa, è equvalente al moto d una partcella d massa rdotta, accelerazone uguale all accelerazone relatva e soggetta alla forza d mutua nterazone. La (7) esprme anche la seconda equazone della dnamca nel rfermento del centro d massa. Infatt s è trovato che la veloctà v 1 è legata alla veloctà relatva al centro d massa, dalla relazone v 1 = m1 µ v1c; sosttuendo nella (7) s ottene dv 1C f 1 = m 1 = m 1a 1C, (8) dove a 1C è l accelerazone rspetto al centro d massa. Lo stesso ragonamento vale per la seconda partcella.

18 86 Captolo 1 - Dnamca de sstem 8. Vbrazone d una molecola batomca. Una molecola batomca è costtuta da due atom d masse m 1, m,lacu energa potenzale d nterazone U(r), può essere descrtta con buona approssmazone, n funzone della mutua dstanza r, dal potenzale d Lennard-Jones, paragrafo 7.1-VII. Gl atom possono vbrare attorno alla poszone d equlbro, concdente col mnmo dell energa potenzale e se le oscllazon sono d pccola ampezza, l energa potenzale d nterazone è armonca. In tal caso la molecola può essere schematzzata da due masse collegate agl estrem d una molla d costante elastca k. Ilmoto degl atom va studato rspetto al centro d massa del sstema che, per semplctà, s suppone n quete. Dette r 1 e r le dstanze degl atom dal centro d massa ed r la loro dstanza, s ha m 1r 1 = m r, r 1 + r = r. che combnate danno m 1r 1 = m r = m1m = µr, M 1 + m dove µ èlamassa rdotta. Pertanto le equazon della dnamca degl atom consderat: d r 1 m 1 = du dr, d r m = du dr, vengono espresse dall unca equazone µ d r = du dr, relatva ad una partcella d massa µ e coordnata r. Svluppando l energa potenzale n sere d potenze ntorno al mnmo, s ha U = U k(r r0) +, dove k/ denota l coeffcente del termne quadratco. Se le oscllazon sono d pccola ampezza è lecto trascurare termn d ordne superore, qund s può scrvere: µ d (r r 0) = k(r r 0). Le oscllazon sono armonche, con frequenza ν = 1 k π µ. 9. Interazone gravtazonale; moto d una stella doppa. Una stella doppa è costtuta da due stelle d masse confrontabl che ruotano attorno al loro centro d massa. Evdentemente la veloctà angolare delle stelle èlastessa. In fgura 8 è mostrato l moto rspetto al centro d massa della stella Sro, che ha come compagna una stella nana banca, e l moto apparente della nana banca rspetto a Sro. L equazone della dnamca del sstema èla(7), f 1 = µ a 1. Nana banca Nana banca Sro Sro Fg. 1.8

19 9. Rfermento del centro d massa 87 Assumendo l orgne del rfermento n m, come se fosse l orgne fssa d un rfermento assoluto, s ha f 1 = G m1m = µa 1, r1 da cu m1 + m a 1 = G. (9) r1 Il problema gravtazonale va rsolto esattamente come esposto al paragrafo -X. Possamo usare l equazone (8): f 1 = m 1a 1C, dove Pertanto da cu s trae a 1C = f 1 = m m 1 + m a 1. m1m m 1 + m a 1, m1 + m m1 + m a 1 = f 1 = G, m 1m r1 come prma. S ottengono noltre le seguent relazon alternatve. Nel rfermento del centro d massa è m 1r 1C + m r C =0, m 1r 1C = m r C, ed essendo r 1 = r 1C + r C, la(9) dventa m1 + m a 1 = G (r 1C + r = G m 1 + m C) (r 1C + r = G m. 1Cm 1/m ) r1c (m1 + m) Oppure, a 1 = G. rc (m1 + m) Supponendo che le orbte delle due stelle sano pressocché crcolar e note le veloctà orbtal, v 1, v ;spossono rcavare le masse m 1, m.sha m a 1C = a 1 = G m 1 + m (r 1C + r. C) Poché leveloctà areolar sono πr 1C T m 1 = 1 r1cv1c, πr C T m = 1 rcvc, (30) sommando s ha r 1C + r C = 1 (v1c + vc). ω Essendo le orbte crcolar, l accelerazone gravtazonale è uguale all accelerazone centrpeta: a 1C = ω r 1C, G (r 1C + r = C) ω r 1C. Tenendo conto delle (30), s rcava m = 1 v 1C(v 1C + v C). ω G Analogamente per l altra massa. m

20 88 Captolo 1 - Dnamca de sstem 10. Lavoro ed energa cnetca Consderamo, per semplctà, un sstema costtuto da due partcelle, soggette a forze nterne f 1, f 1,eaforze esterne F 1, F. Il teorema dell energa cnetca afferma che l lavoro d tutte le forze è uguale alla varazone dell energa cnetca del sstema. Se per semplctà, ponamo l energa cnetca nzale par a zero, s ha T = 1 m 1v m v. L energa cnetca è data dal contrbuto del lavoro delle forze nterne e del lavoro delle forze esterne; possamo dunque scrvere dove L (e) = L () = T = L (e) + L (), B A B A (F 1 dr 1 + F dr ) (f 1 dr 1 + f 1 dr ). Gl estrem d ntegrazone A e B ndcano le confgurazon nzale e fnale del sstema. Essendo f 1 = f 1,sha L () = B A f 1 d(r 1 r )= B A f 1 dr 1. Il lavoro delle forze nterne dpende dallo spostamento relatvo delle partcelle; dunque è ndpendente dal rfermento. Inoltre, poché le forze nterne, n assenza d fenomen dsspatv, sono conservatve, s ha B A f 1 dr 1 = U () A U () B. Queste consderazon s possono estendere faclmente ad un sstema d n partcelle. S ha B L () = f j dr j, A j per (, j =1,...n)ednoltre B f j dr j = U () A A j U () B. Le relazon precedent mostrano ancora che la varazone d energa potenzale nterna dpende dalla dstanza relatva tra le partcelle ed è qund ndpendente dal rfermento. Pertanto, essendo T B T A = L (e) + U () A U () B,

21 10. Lavoro ed energa cnetca 89 s ottene La quanttà L (e) =(T B + U () B ) (T A + U () A ). (31) E P = T + U (), (3) è chamata energa propra del sstema. Possamo dunque scrvere L (e) = E P. Il lavoro delle forze esterne è uguale alla varazone dell energa propra del sstema. Se l sstema è solato, ossa non è soggetto a forze esterne, s ha E P =0; E P = cost. L energa propra del sstema resta costante. Nel caso n cu le forze esterne sano conservatve, s ha pertanto: T A + U () A L (e) = U (e) A + U (e) A U (e) B, = T B + U () B + U (e) B, che esprme la conservazone dell energa meccanca totale. S osserv che, come le equazon cardnal della dnamca de sstem esprmono l nterazone del sstema con l esterno, la (31) esprme la stessa nterazone per mezzo della varazone dell energa propra del sstema. Le forze nterne non modfcano tale energa anche se possono modfcarne l energa cnetca come conseguenza d una varazone dell energa potenzale nterna e vceversa. Se l sstema è solato, come s è vsto, l energa propra rmane costante. Questo costtusce l prncpo d conservazone dell energa che ha valà generale, come l prncpo d conservazone della quanttà dmoto, d cu ne è conseguenza, e come l prncpo d conservazone del momento angolare. Tal prncp regolano fenomen natural nella loro totaltà. Se, per esempo, due sstem S 1 ed S, nel loro nseme solat, nteragscono tra loro, tale nterazone può essere espressa per mezzo del lavoro che cascun sstema compe sull altro, coè medante le varazon dell energa propra E P1 e E P.Pochè l nseme de due sstem è solato, la conservazone dell energa rchede che E P1 + E P rsult costante, dunque: E P1 = E P. In altr termn s è ottenuto uno scambo d energa tra due sstem. Consderamo due masse unte da una molla deale, soggette all azone della gravtà; l energa propra del sstema è data da E P = 1 m 1v m v + 1 kx,

22 90 Captolo 1 - Dnamca de sstem dove con x s è ndcata la deformazone della molla. Se sul sstema non agscono forze esterne l energa propra rmane costante; quando agsce la forza esterna d gravtà, conservatva, anche l energa totale s mantene costante durante l moto, coè E = 1 m 1v m v + 1 kx + m 1 gy 1 + m gy, dove con y s è ndcata la quota delle masse. Va sottolneato che l energa cnetca d un sstema dpende dal rfermento e che, n partcolare, vale l teorema d Köng, mentre l energa potenzale nterna dpende solo dalla mutua dstanza tra le partcelle ed ha lo stesso valore qualunque sa l rfermento. Se dunque consderamo l rfermento del centro d massa, possamo defnre energa nterna del sstema la quanttà E = T C + U (). Il termne d energa potenzale, nell espressone precedente, può comprendere altre forme d energa. Infatt lo stato d un sstema può essere defnto non solo dalle coordnate geometrche d poszone o d confgurazone, come nel caso dell energa potenzale, ma da altre grandezze come gl sforz ntern, la denstà, la pressone e da grandezze elettromagnetche (ntenstà dpolarzza- zone, ntenstà dmagnetzzazone ecc...). Per esempo, l energa nterna d un corpo deformable contnuo dpende dal tensore degl sforz e dal tensore delle deformazon n ogn punto e, pù semplcemente, nel caso d un fludo, dalla pressone, dalla denstà e dalla temperatura. In quest cas l termne d energa cnetca è certamente trascurable. In generale possamo denomnare le vare forme d energa elencate col termne energa nterna. In defntva l nterazone del sstema con l esterno determna una varazone della sua energa nterna nelle vare forme descrtte. Va notato noltre che s è usato l termne nterazone; cò comporta evdentemente l caso d lavoro eseguto dal sstema verso l esterno, ora, a spese della sua energa nterna. Quest concett costtuscono l fondamento per l enuncazone della prma legge della Termodnamca. 11. Urt S verfca un urto tra partcelle, se esse nteragendo e non pervenendo necessaramente a contatto, scambano tra loro quanttà dmoto ed energa n un ntervallo d tempo molto breve. Prenderemo n esame urt bnar, ossa urt tra due partcelle Rcordando le consderazon svolte al paragrafo 1-IX, possamo trascurare, durante l ntervallo d tempo n cu avvene l nterazone, l mpulso delle forze esterne e consderare l sstema

23 11. Urt 91 come solato. S ha conservazone della quanttà dmoto e del momento angolare. S può pertanto trascurare l contrbuto delle forze esterne al moto delle partcelle. Una palla da tenns, nell ntervallo d tempo durante l quale èacontatto con la racchetta, crca 10 3 s,è soggetta ad una forza meda d 10 3 N; forza molto maggore d qualsas altra, gravtà, attrto ecc... Per esempo, s può stmare che, a causa della gravtà, nell ntervallo d tempo consderato, la palla s sposta d qualche frazone d mllmetro, dstanza senz altro trascurable rspetto alla gttata, che è d alcune decne d metr. Consderamo l urto che s verfca tra due sfere rgde allorché vengono a contatto; essendo l sstema solato, s conserva la quanttà dmoto e l energa propra; ndcando con gl apc le grandezze dopo l urto, per la quanttà dmoto s ha e per l energa propra n cu p 1 + p = p 1 + p, T + U = T + U ; prma dell urto, e T = p 1 m 1 + p m, T = p 1 + p, m 1 m dopo l urto. Indchamo con Q la quanttà: Q = T T = U U, (33) che rappresenta l energa dsspata durante l urto. Se Q = 0, non s ha varazone d energa cnetca; la collsone s dce elastca. Se Q 0 la collsone s dce anelastca. In partcolare per Q < 0, dopo l urto s ha una dmnuzone d energa cnetca e un aumento dell energa potenzale nterna. Per Q>0, s ha un aumento dell energa cnetca a spese dell energa potenzale nterna. Quest ultm due cas sono molto mportant n certe collson nuclear e s ndcano rspettvamente come urto endotermco e urto esotermco. In generale s scrve p 1 m 1 + p m + Q = p 1 m 1 + p m. (34) In certe reazon nuclear s può anche verfcare che le masse delle partcelle, dopo l urto, sano dverse dalle masse nzal; non consdereremo tale eventualtà.

24 9 Captolo 1 - Dnamca de sstem Nel rfermento del centro d massa la quanttà d moto del sstema è nulla prma e dopo l urto: dunque la (34) dventa p 1C + p C =0, p 1C + p C =0, ( ) p 1C + Q = 1 m 1 m ( 1 m1 + 1 m ) p 1C, 1 µ p 1C + Q = 1 µ p 1C, (35) S not che Q, essendo defnto anche come varazone dell energa potenzale nterna, equazone (33), è ndpendente dal rfermento. Se l urto è elastco, Q =0,sdeduce p 1C = p 1C, p C = p C. Qund p 1C = p 1C, p C = p C. (36) b r 1 Fg Parametro d urto Consderamo due sfere rgde che colldono e supponamo che le rette d azone delle veloctà nzal r sano parallele. La dstanza b tra tal rette defnsce l parametro d urto, fgura 9. Se b = 0, l urto è centrale ed l moto, dopo l urto, s svolge lungo la congungente centr delle sfere. Se l parametro d urto è dverso da zero ed è b<(r 1 + r ), con r 1 e r ragg delle sfere, dopo l urto le traettore rsultano devate; urto oblquo. Se b>(r 1 + r ), nell potes d sfere rgde, non s ha urto. Nelle collson tra partcelle nuclear, a causa dell nterazone tra camp coulomban e nuclear, s puòverfcare scambo d energa e quanttà dmoto anche se le traettore nzal hanno dstanza maggore della somma delle dmenson geometrche delle partcelle, supponendo che queste possano essere defnte classcamente. 1. Urto centrale elastco Consderamo l urto centrale elastco nel rfermento L. Indchamo con v e V le veloctà prma e dopo l urto; per la conservazone della quanttà dmoto e dell energa cnetca, s ha m 1 v 1 + m v = m 1 V 1 + m V (37) m 1 v 1 + m v = m 1 V 1 + m V. Assegnate le masse e le veloctà prma dell urto, l sstema d equazon fornsce le veloctà dopo l urto. Poché sha m 1 (v 1 V 1 )=m (V v ), m 1 (v 1 V 1 )=m (V v ),

25 1. Urto centrale elastco 93 dvdendo membro a membro: v 1 V 1 v1 V1 S ottene = V v, v V v 1 + V 1 = v + V. (38) V 1 = m 1 m m 1 + m v 1 + m m 1 + m v V = m 1 v 1 + m m 1 v. m 1 + m m 1 + m Cas partcolar - m 1 = m ;le(39) danno (39) V 1 = v, V = v 1. Dopo l urto, le veloctà delle partcelle rsultano scambate. - m 1 = m, v =0;rsulta: V 1 =0, V = v 1. La partcella urtante s arresta e la partcella urtata assume la veloctà della prma. - m m 1 ; essendo m 1 /m trascurable, s deduce: V 1 v 1 +v, V = v. La seconda partcella, n pratca, non subsce varazone d veloctà. Se, n partcolare, v =0,lapartcella ncdente vene rflessa con la stessa veloctà nzale e la partcella urtata resta ferma. È l caso d una partcella ncdente ortogonalmente ad una parete. - m 1 m ; essendo ora trascurable m /m 1 s ha e se, n partcolare, v =0è V 1 v 1, V v 1 v, V 1 v 1, V v 1. È l caso della bocca che colpsce l boccno; essa n pratca non subsce varazone d veloctà, mentre l boccno assume veloctà doppa della bocca ncdente. Nel rfermento C la descrzone è pù semplce; la quanttà d moto del sstema, prma e dopo l urto, è nulla: p 1C + p C =0, p 1C + p C =0. Essendo l urto elastco, l energa cnetca s conserva, Q = 0, e per la (36) s deduce V 1C = v 1C, V C = v C. Nel rfermento C, dopo l urto, le partcelle nvertono l moto e s allontanano con la veloctà e l energa cnetca possedute prma

26 94 Captolo 1 - Dnamca de sstem dell urto. S ha una varazone del vettore quanttà d moto d cascuna partcella, mentre modul delle quanttà d moto e le energe cnetche, prma e dopo l urto, sono gl stess Urto centrale anelastco; coeffcente d resttuzone Nell urto centrale tra sfere rgde, n realtà s osserva che l energa cnetca del sstema dopo l urto, è sempre mnore dell energa cnetca nzale. Facendo cadere una pallna d accao su una superfce rgda, le altezze de successv rmbalz dmnuscono progressvamente. Cò sgnfca che una parte dell energa propra, energa elastca nterna, è stata dsspata n altre forme d energa: calore, suono, ecc..., espresse dal fattore Q. Pochè dalle (37) s ha V 1 V = v v 1, V 1 = v 1, s deduce che le veloctà relatve, prma e dopo l urto sono opposte. Se l urto non è elastco, possamo ntrodurre un coeffcente d resttuzone e, tale che V 1 = ev 1, con 0 <e<1, dove l valore 1 compete all urto elastco. Con procedmento analogo a quello che conduce alle (39), s trova faclmente che le veloctà dopo l urto sono date da V 1 = µ m (1 em /m 1 )v 1 + µ m 1 (1 + e)v V = µ m (1 + e)v 1 + µ m 1 (1 em 1 /m )v. (40) Per quanto rguarda l energa dsspata, espressa da Q, rcordamo che questa grandezza è ndpendente dal rfermento, percò dalla (35), s ha Q = 1 µ (p 1C p 1C), ed, essendo s ottene p 1C = µv 1, p 1C = µv 1 = eµv 1, Q = 1 µ (e 1)v 1. (41) Per un dato valore del coeffcente d resttuzone, Q dpende dalla veloctà relatva prma dell urto.

27 1. Urto centrale elastco Urto centrale completamente anelastco Se l urto è completamente anelastco, nel senso che le partcelle dopo l urto restano unte, e = 0, la conservazone della quanttà d moto è espressa da m 1 v 1 + m v =(m 1 + m )V, da cu s ottene la veloctà dopo l urto: V = m 1v 1 + m v = v C. m 1 + m In tal condzon, Q è dato da Q = 1 [ (m1 + m )V (m 1 v 1 + m v ) ]. S trova mmedatamente Q = 1 µv 1. Esemp tpc sono: le collson tra due corp plastc: dopo l urto corp procedono nseme; l pendolo balstco; n fsca nucleare, le reazon d cattura: un neutrone può essere assorbto da un atomo d drogeno, formando un atomo d deutero. In quest cas Q<0; s ha aumento dell energa potenzale nterna, perché l sstema ha assorbto energa Urto oblquo elastco Consderamo l urto che avvene tra una partcella d massa m 1 ncdente con veloctà v 1,suuna partcella d massa m,n quete, v =0. Questo èlcaso che s verfca pù frequentemente n fsca nucleare, dove fasc d partcelle vengono fatte ncdere su partcelle bersaglo n quete. Rfermento del laboratoro Quanttà dmoto m 1 v 1 ed energa cnetca (m 1 v 1)/ del sstema sono costant: m 1 v 1 = m 1 V 1 + m V (4) 1 m 1v 1 = 1 m 1V m V. Dopo l urto, le partcelle vengono devate, rspetto alla drezone della partcella ncdente, d angol θ e ϕ. Infgura 10 è mostrato l dagramma delle veloctà prma e dopo l urto. Proettando la (4) su due ass, uno parallelo alla drezone della partcella ncdente e l altro ortogonale, s ha m 1 v 1 = m 1 V 1 cos θ + m V cos ϕ 0=m 1 V 1 sn θ m V sn ϕ. v 1 m 1 V 1 ϑ ϕ m 1 m V Fg v =0 m

28 96 Captolo 1 - Dnamca de sstem Queste due equazon scalar, nseme all equazone d conservazone dell energa cnetca, assegnate le masse e la veloctà nzale della partcella 1, non sono suffcent a determnare le quattro component delle veloctà dopo l urto. Occorre conoscere una delle grandezze convolte nel processo; per esempo uno degl angol d devazone; msurable spermentalmente. La veloctà del centro d massa resta mmutata, prma e dopo l urto, ed è data da m 1 v 1C v C m m 1 m 1 v 1 =(m 1 + m )v C, v C = v 1 = µ v 1. m 1 + m m Rfermento del centro d massa Nel rfermento C la quanttà d moto del sstema è nulla, prma e dopo l urto; dunque le partcelle s muovono n drezon opposte, fgura 11. S ha: m 1 v 1C + m v C =0, m 1 V 1C + m V C =0. V 1C Scalarmente, Θ Φ m 1 v 1C = m v C, m 1 V 1C = m V C ; (43) Ma, per l equazone (36), nel rfermento C modul della quanttà d moto d cascuna partcella sono ugual: p 1C = p 1C, p C = p C, V C Fg pertanto v 1C = V 1C ; v C = V C. Ne segue che, per la seconda delle (43), s ha V C = v C = m 1. V 1C V 1C m Tenuto conto d queste relazon, èpossble dedurre l legame tra gl angol d deflessone Θ e Φ del rfermento C e gl angol θ e ϕ del rfermento L. Dalla fgura 1 s rconosce che l trangolo ABC è soscele, V C = v C, qund: V 1 Φ=π Θ=ϕ, ϕ = 1 (π Θ). A V ϑ ϕ v C ϕ C B V C Fg. 1.1 Φ Θ Inoltre: V 1C sn θ = v C sn(θ θ), sn Θ tan θ cos Θ = v C V 1C = m 1 m, da cu: sn Θ tan θ = m 1 /m + cos Θ. (44) Energa cnetca L energa cnetca nel rfermento L è semplcemente 1m 1v1; nel rfermento C, per l teorema d Köng, s ha T C = 1 m 1v 1 1 (m 1 + m )v C = 1 µv 1.

29 1. Urto centrale elastco 97 Complement ed esemp 10. Collsone centrale elastca tra sfere rgde d uguale massa. S consder un certo numero d sfere d accao dentche, sospese ad un supporto come mostrato n fgura 13. Questo sstema vene chamato culla d Newton e s può trovare ne negoz d gocattol. Le sfere sono a contatto; se una delle sfere d un estremo della fla vene spostata dalla poszone d equlbro e qund abbandonata, urtando contro quelle n quete s ferma e l ultma, all altro estremo, assume la veloctà della sfera ncdente mentre le altre restano ferme. L ultma sfera, a sua volta, rtornando contro le altre, s arresta e la prma s muove n verso opposto. Il processo, se non fossero present nevtabl dsspazon d energa, contnuerebbe ndefntamente. Se s spostano contemporaneamente due sfere e qund vengono abbandonate, le ultme due assumono la veloctà dquelle ncdent e così va. Questo comportamento s spega faclmente rcordando le concluson sull urto tra due sfere dentche d cu una ferma; le sfere ntermede pratcamente restano n quete, perché gl urt avvengono n temp dell ordne d grandezza d 0, 001 s. v 11. Urto oblquo elastco d una partcella contro una parete pana, m =. Per laconservazone della quanttà dmoto, fgura, è p 1 = p 1 + p. La parete, che supponamo lsca e perfettamente elastca, assorbe la quanttà d moto p,che resttusce ntegralmente; vale coè larelazone p 1 +( p )=p 1. I dagramm vettoral sono mostrat n fgura 14; l moto s svolge nel pano ndvduato da vettor quanttà dmoto, prma e dopo la collsone. Fssamo un rfermento cartesano e la normale ˆn alla parete, come n fgura 15. Sano v x, v y le component della veloctà prma dell urto, V x, V y le component dopo l urto; è manfestamente v x = V x, v y = V y. Dunque la veloctà V, dopo l urto, appartene al pano v-ˆn, pano d ncdenza. Indcando con l angolo d ncdenza e con r l angolo d rflessone, s ha tan = vy V y v y, tan r = = ; v x V x v x l angolo d ncdenza è uguale all angolo d rflessone. v x v y Fg v y v p 1 n p n r O x p 1 V x V V y Fg Fg. 1.15

30 98 Captolo 1 - Dnamca de sstem 1. Pressone prodotta dall urto. La quanttà dmoto p 1 ha component m 1v x, m 1v y. Dopo l urto, p 1 ha component m 1v x, m 1v y, La varazone d quanttà dmoto è dunque p 1 p 1 = m 1v x, ortogonale alla parete e opposta al verso postvo stablto sull asse x. Tale varazone va attrbuta a una forza F, varazone della quanttà d moto, assorbta e resttuta dalla parete nell ntervallo d tempo durante l quale s verfca l urto; la reazone della partcella contro la parete (pressone d urto), è F. Se t = t t 1 èladurata dell urto che, come s è detto è molto breve, s ha t F = m 1v x, t 1 elaforza meda F = m1vx. t 13. Collsone elastca oblqua d una partcella contro un altra dentca, n quete, nel rfermento L. Essendo le masse ugual e ndcando con v la veloctà della partcella ncdente, s ha conservazone dell energa cnetca, 1 mv = 1 (mv 1 + mv ); ossa p = p 1 + p, e conservazone della quanttà dmoto, p = p 1 + p. Da quest ultma s ottene p = p 1 + p +p 1 p. Perché questa equazone sa compatble con la conservazone dell energa, deve essere p 1 p =0. Nel rfermento L, dopo l urto, le partcelle s muovono n drezon ortogonal. 14. Termalzzazone de neutron. Ne reattor nuclear neutron veloc emess dalla dsntegrazone dell urano 35, passano attraverso un mezzo moderatore n modo da essere rallentat. Infatt la sezone d urto d cattura d tale elemento è elevata solo per neutron che hanno energa termca, dell ordne d qualche untà della grandezza k BT,dovek B èlacostante d Boltzmann e T la temperatura assoluta, coscché èpossble provocare la fssone d altr atom d urano e mantenere controllata la reazone a catena. L urto che prendamo n consderazone èperfettamente elastco, Q = 0. Per lostudo del problema convene adottare l rfermento C. Indcando con m 1 e v 1 massa e veloctà del neutrone ncdente e con m la massa degl atom del moderatore, v =0,sha v 1C = v 1 v C, v C = v C, dove la veloctà del centro d massa è m 1 v C = v 1. m 1 + m

31 1. Urto centrale elastco 99 Chamando con α = m /m 1 l rapporto tra la massa degl atom del moderatore e la massa del neutrone, le relazon precedent dventano: v C = 1 α 1 v1, v1c = v1, vc = 1+α 1+α 1+α v1. Dal dagramma delle veloctà dopo l urto, ne rferment L e C, mostrato n fgura 16, s ha V1 = V1C + vc +V 1Cv C cos Θ, (45) dove Θ è l angolo d dffusone nel rfermento C. Poché p 1C = p 1C, equazone (36), è anche v 1C = V 1C. Pertanto la (45) dventa V 1 = ( α 1+α Da questa relazone s trae ) v 1 + V 1 v 1 1 (1 + α) v 1 + = α +α cos Θ + 1 (1 + α), α (1 + α) v 1 cos Θ. che èlrapporto T /T tra l energa cnetca fnale ed nzale del neutrone. S deduce che per Θ = 0, assenza d urto, ovvamente non c è pera d energa; per Θ = π, urto centrale n cu l neutrone nverte la drezone della veloctà, s verfca la massma pera d energa. In quest ultmo caso s ha T ( ) T = α α +1 α 1 =. (1 + α) α +1 S verfca faclmente che la pera relatva d energa rsulta T T 4α = T (α +1) ; essa è tanto pù elevata quanto pù lrapporto α è vcno all untà. Questo rsultato suggersce che l moderatore va scelto tra materal che contengono drogeno n percentuale elevata. L drogeno puro non può essere usato perché, essendo gassoso, l numero d atom per untà dvolume è puttosto pccolo, percò vampegata acqua, paraffna o altr materal drogenat. ϑ V 1 v C Fg V 1C Θ 15. Q n una collsone oblqua anelastca nel rfermento L. Supponamo che una partcella d massa m 1 eveloctà v 1, ncda oblquamente su una partcella d massa m n quete, e che le masse, dopo la collsone, sano ugual. S ha ( ) p Q = 1 + p p 1. m 1 m m 1 Poché p 1 = p 1 + p, p = p 1 p 1, s ottene: p =(p 1 p 1) = p 1 + p 1 p 1p 1 cos θ. L espressone d Q dventa Q = p 1 p (p 1 + p 1 p 1p 1 cos θ) m 1 m 1 m = 1 ( ) p ( 1 1 ) p 1 p1p 1 cos θ. m 1 m m m 1 m In una reazone nucleare, le masse delle partcelle emergent possono essere dverse; Q rsulta analogo.