IV - Conservazione della quantità di moto; sistemi a più corpi ed urti

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1 IV - Conserazone della quanttà d oto; sste a pù corp ed urt Per una partcella s defnsce quanttà d oto la grandezza: p. La seconda legge della dnaca, nella sua fora pù generale, s scre: F dp dt doe F è la forza totale agente sulla partcella. L pulso d una forza che agsce per bree tepo su una partcella (forza pulsa) s defnsce coe: t f I Fdt p f p p, t coè l pulso d una forza pulsa è uguale alla arazone della quanttà d oto della partcella. Per un sstea d partcelle o per un corpo esteso (dstrbuzone contnua d atera) l centro d assa (C) s defnsce coe: C, y C y, z C z doe è la assa dell -esa partcella d coordnate (, y, z ) n un sstea d rferento nerzale ed è la assa totale del sstea. Oppure, nel caso d un corpo esteso: C d, y C yd, z C zd Il teorea del centro d assa (o a equazone cardnale della dnaca de sste) è scrtto coe: a C E F ( ) ossa l centro d assa s uoe coe una partcella sngola d assa sulla quale agsce la stessa forza esterna rsultante F ( E ). Per un sstea d partcelle, la quanttà d oto totale è: P P Il teorea del centro d assa s può screre anche: C C

2 dp dt F ( E ) Quando la forza rsultante esterna per un sstea è zero (sstea solato), la quanttà d oto totale resta costante (legge d conserazone della quanttà d oto d un sstea solato). La legge d conserazone della quanttà d oto è olto utle nel trattare la classe d fenoen not coe urt. In un urto, due o pù corp nteragscono tra loro per un tepo olto bree con una forza olto grande rspetto alle altre, scchè s può consderare l sstea solato. Pertanto negl urt la quanttà d oto totale s consera. nche l energa totale s consera, a questa conserazone può non essere utle a rsolere l problea se aengono trasforazon d energa da cnetca a non cnetca. Un urto che consera l energa cnetca totale del sstea prende l noe d urto elastco. Inece, un urto che non consera l energa cnetca totale del sstea s dce anelastco. Se a seguto dell urto due corp restano attaccat tra loro, forando un corpo unco, l urto s dce copletaente anelastco. Problea Un proettle d assa, lancato dal suolo con una certa angolazone, quando raggunge l apce della traettora esplode n due fraent d egual assa. Sapendo che uno de due fraent torna al punto d partenza rpercorrendo la traettora nzale, deternare la poszone n cu cade l altro e stablre se ess toccano o eno terra nello stesso stante. Suggerento: la quanttà d oto s consera. y a 3a O O Soluzone: Il oto del centro d assa del sstea delle due part n cu s è dso l proettle è la contnuazone del oto del proettle ntegro. I due fraent toccano terra nello stesso stante perchè la coponente ertcale del oto è la stessa per entrab. Detta la coponente orzzontale della eloctà del

3 proettle, nel punto culnante la sua quanttà d oto è orzzontale e ale.la eloctà del fraento che torna ndetro, nell stante dell esplosone, è - qund la sua quanttà d oto ale -, e quella dell altro fraento dee essere -(- ) 3. Qund l secondo fraento parte con eloctà 3. Detto t l tepo d olo, l fraento che torna al punto d partenza percorre la dstanza: O O t a entre l fraento che prosegue percorre: O 3 t 3a ed l centro d assa: O t a Il fraento che prosegue cade dunque n con ascssa 4a. Problea Una chatta d assa e lunghezza L è fera n acqua tranqulla, senza alcun ancoraggo, con un estreo a contatto con la parete del olo (fgura). In questa stuazone un uoo d assa sta sulla chatta all altezza del suo estreo opposto. d un certo punto l uoo conca a canare ed arra all estreo, doe s fera. Se s trascura l attrto della chatta sull acqua, d quanto s allontana l estreo dal olo? [ 5 kg; L 5 ; 75 kg] Suggerento: lo spostaento della barca rspetto alla banchna è uguale a quello del centro d assa rspetto alla barca L Soluzone : Pochè l sstea è solato, la quanttà d oto totale rane nulla, ale a dre che l centro d assa rane fero, rspetto alla banchna. L ascssa del centro d assa soddsfa nzalente a:

4 L g + gl L C g + ( + ) ( + ) ( ) Detta l ascssa fnale d, l ascssa del centro d assa soddsfa (alla fne): L g + g L L + ( + ) + C + g + + ( + ) Uguaglando second ebr delle due equazon s ottene: L L + + L + + coè: L,67 + Soluzone : S rcord che l sstea è solato (soluzone ). Posto: eloctà dell uoo rspetto alla banchna (assa ) eloctà della barca rspetto alla banchna (assa ) ale: + coè: Lo spazo percorso dall uoo è: t

5 Lo spazo percorso dalla barca è: a + + L Qund: La poszone dell uoo rspetto alla banchna è: L 3,33. + L,67. Soluzone 3: Dette la eloctà (negata) dell uoo (che ha assa ) e V la eloctà della barca(d assa ) rspetto alla banchna, ale: V + a, detta r la eloctà dell uoo relata alla barca, è: Qund: r + V ( + V ) r V r V + Nel tepo t n cu l uoo percorre L con eloctà relata alla barca r, l centro d assa della barca s sposta d (dstanza fnale d dalla banchna): L + t t

6 Qund: L,67. + Problea 3 Un babno, n ped su una sltta d assa, acna a se una seconda sltta d assa trandola edante una fune d assa trascurable fssata alla sltta. Le due sltte, nzalente fere, s uoono su un pano orzzontale con coeffcente d attrto dnaco µ d tra sltte e suolo. Qual è l accelerazone a C del centro d assa del sstea forato dalle due sltte? Se n un rferento nerzale l accelerazone a della sltta è n odulo doppa dell accelerazone a della sltta, quanto ale la forza F che l babno esercta sulla fune (tensone della fune)? [ 5 kg; 4 kg; µ d,] Suggerento: dsegnare l dagraa d corpo lbero del sstea sltte-babno Soluzone: a) Equazone del oto del centro d assa: (E) ( + ) a F C con la forza esterna data dalla rsultante degl attrt F ( E ) F + F. Qund: Essendo l problea onodensonale: coè: ( + ) ac F + F ( + ) ac F F

7 F F N N,7 /s a C µ ( + ) ( + ) d da erso. b) Per defnzone d centro d assa s può screre: ( + ) ac a + a che, nell potes a a, coporta: ( + ) a C ( ) a coè: a + ac,5 /s e: Note le accelerazon, lo sono anche le forze: oero: a a,9 /s a F F a F F F F F + a a + F che fornsce: F F 3,5 N Problea 4 Un cannone d assa spara orzzontalente, dalla sotà d una torre d altezza h, un proettle d assa e eloctà che raggunge l suolo ad una dstanza D dalla base della torre (fg. ).

8 Trascurando la resstenza dell ara, calcolare n tern d D la forza F orzzontale e costante che un sstea d aortzzator dee eserctare sul cannone affnchè, per l rnculo, esso arretr d un tratto d pra d ferars. Suggerento: la quanttà d oto s consera Soluzone: h D oto del proetto: Rsolendo l sstea, s troa : D t h gt g D h La quanttà d oto nzale d rnculo del cannone, per la conserazone della quanttà d oto, è. L energa cnetca nzale del cannone è data dal laoro coputo dalla forza costante nel tratto d: Fd ( ) gd 4h e la forza è dunque: F ( ) d gd 4hd

9 Problea 5 In un ncroco un autooble d assa urta un autooble d assa. I rle della polza relano che, subto pra dell urto, l autooble aggaa erso est, entre era dretta a nord (fgura). Dopo l urto, rotta delle due auto sono rast unt ed loro pneuatc hanno lascato strscate d slttaento lunghe d n drezone α pra d arrestars. Calcolare le eloctà e d cascuna autooble pra dell urto. Una delle autoobl superaa l lte legale d eloctà L? S supponga che le ruote d entrabe le autoobl sano raste bloccate dopo l urto e che l coeffcente d attrto dnaco fra le ruote bloccate e la paentazone sa µ d. [ kg; 3 kg; d 8,7 ; L 9 k/h; α 3 da est erso nord; µ d,8] Suggerento: la conserazone della quanttà d oto è una relazone ettorale y L α Soluzone: a) L urto è copletaente anelastco, per cu la quanttà d oto s consera, entre l energa cnetca no. Il odulo della eloctà subto dopo l urto, s calcola dalle strscate (l energa cnetca dopo l urto è stata dsspata dall attrto):

10 ( + ) gµ d ( ) d + coè: gµ d 7 /s D altra parte, la conserazone della quanttà d oto s scre (per coponent): d ( + ) ( + ) cosα senα da cu: + cosα 3,3 /s 6,5 k/h dretta erso est, + sen α 5,8 /s 56,9 k/h dretta erso nord. b) L auto superaa l lte de 9 k/h. Problea 6 Il corpo ostrato n fgura, d assa e struttura prsatca, appoggato su un pano orzzontale lsco, ene colpto da un corpo puntfore d assa e eloctà. Sapendo che dopo l urto l corpo rbalza ertcalente raggungendo l altezza h rspetto al punto d patto entre trasla sul pano d appoggo, s deternno la drezone ed l erso del ettore. S supponga che l urto sa elastco. [ kg; 5 g; 5 /s; h 8 c] Suggerento: la coponente orzzontale della quanttà d oto s consera, quella ertcale no y

11 Soluzone: In questo problea s conserano la coponente orzzontale della quanttà d oto e l energa, per cu, dette e le eloctà d e subto dopo l urto, ale: + gh cosθ oe θ è l angolo d patto ostrato n fgura, entre la terza equazone ale per l oto d dopo l urto. Sosttuendo la terza equazone nella seconda, s rcaa: + cos gh θ e qund: ( ) ( ) cos gh gh θ,863 θ 3,3 θ