Consigli per la risoluzione dei problemi

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1 Consigli per la risoluzione dei problei Una parte fondaentale di ogni corso di Fisica è la risoluzione di problei. Risolvere problei spinge a ragionare su idee e concetti e a coprenderli eglio attraverso la loro applicazione. Gli esepi qui riportati sono stati proposti agli studenti di Fisica Generale I negli ultii anni coe prove scritte d esae. Essi illustrano, in ogni capitolo, casi tipici di risoluzione di problei. Il soario all inizio di ogni capitolo offre un breve quadro d insiee delle idee più iportanti per la soluzione dei problei di quel capitolo. Benchè tale quadro sia olto utile coe proeoria, per una adeguata coprensione degli argoenti si consiglia di utilizzare il testo di Fisica Generale I consigliato dal docente. Riguardo alla soluzione dei problei di Fisica, si consiglia quanto segue: ) Leggere attentaente il testo del problea. ) Preparare un elenco copleto delle quantità date (note) e di quelle cercate (incognite) ) Disegnare uno schea o un diagraa accurato della situazione. Nei problei di dinaica, assicurarsi di aver disegnato tutte le forze che agiscono su un dato corpo (diagraa di corpo libero). 4) Dopo aver deciso quali condizioni e principi fisici utilizzare, esainare le relazioni ateatiche che sono valide nelle condizioni date. Assicurarsi sepre che tali relazioni siano applicabili al caso in esae. E olto iportante sapere quali sono le liitazioni di validità di ogni relazione o forula. 5) Molte volte le incognite sebrano troppe rispetto al nuero di equazioni. In tal caso è bene chiedersi, ad esepio: a) esistono altre relazioni ateatiche ricavabili dalle condizioni del problea? b) è possibile cobinare alcune equazioni per eliinare alcune incognite? 6) E buona nora risolvere tutte le equazioni algebricaente e sostituire i valori nuerici soltanto alla fine. Conviene anche antenere traccia delle unità di isura, poichè questo può servire coe controllo. 7) Controllare se la soluzione trovata è diensionalente corretta. 8) Arrotondare il risultato finale allo stesso nuero di cifre significative che copaiono nei dati del problea. 9) Ricordare che per iparare a risolvere bene i problei è necessario risolverne tanti: la risoluzione dei problei spesso richiede creatività, a qualche volta si riuscirà a risolvere un problea prendendo spunto da un altro già risolto.

2 I - Cineatica del punto ateriale La cineatica degli oggetti puntifori descrive il oto dei punti ateriali. La descrizione del oto di ogni punto ateriale deve sepre essere fatta in relazione ad un particolare sistea di riferiento. La posizione di un oggetto che si uove lungo una retta è data dall equazione oraria: Si definiscono la velocità istantanea: e l accelerazione istantanea: x x( t) x v li t t dx dt li v a t t dv dt d x dt Se un oggetto si uove lungo una retta con accelerazione costante (oto uniforeente accelerato) si ha: a cost e per integrazione, ponendo v v e x x per l istante iniziale t t, si otterrà: v v at x x v t at v v ( x ) a x Gli oggetti che si uovono verticalente vicino alla superficie terrestre, sia che cadano o che siano lanciati verticalente verso l alto o verso il basso, si uovono (se si può trascurare l effetto della resistenza dell aria) con accelerazione costante rivolta verso il basso. Questa accelerazione è dovuta alla gravità, ed è pari a circa g 9,8 /s. In generale, se r è il vettore posizione del punto ateriale, la velocità e l'accelerazione vettoriale istantanea sono date da:

3 v dr e dt dv a. dt Le equazioni cineatiche per il oto possono essere scritte per ciascuna delle coponenti x, y e z, ossia: Riassuiao qui i casi più seplici: r xxˆ yyˆ zzˆ v v xˆ v yˆ v zˆ x a a xˆ a yˆ a zˆ. x Il oto dei proiettili si può scoporre, se si trascura la resistenza dell aria, in due oti separati: la coponente orizzontale del oto che ha velocità costante e la coponente verticale che ha accelerazione costante e pari a g, coe per i corpi in caduta libera (fintanto che il oto si svolge in prossiità della superficie terrestre). Si ha un oto circolare unifore quando una particella si uove lungo una circonferenza di raggio r con velocità costante; la particella sarà allora soggetta ad un accelerazione radiale centripeta a R, diretta verso il centro del cerchio, di intensità: y y z z a R v r Se la velocità non è costante, vi sarà accelerazione sia centripeta sia tangenziale. Il oto circolare può anche essere scritto in terini di variabili angolari. In questo caso l equazione oraria sarà θ θ( t) con θ angolo isurato (in radianti) a partire da una data direzione di riferiento. La velocità angolare è data da: e l accelerazione angolare da: dθ ω dt α La velocità e l accelerazione lineare di un punto che si uove lungo una circonferenza di raggio r sono legate a ω e α da: dω dt v rω a T rα a R rω

4 dove a T e a R sono le coponenti tangenziale e radiale dell accelerazione. La frequenza f è legata ad ω da ω π f e al periodo T da T /f.

5 Problea Il sistea, ostrato in figura, è costituito da una assa appoggiata su una guida rettilinea inclinata di un angolo θ rispetto all'orizzontale. Calcolare l'accelerazione a con la quale deve uoversi la guida orizzontalente affinché la assa t cada verticalente con accelerazione pari a g. [ θ ; g 9.8 / s ] Suggeriento: tenere conto che g orizzontalente. è diretta solo verticalente, entre a t è diretta solo Soluzione: L'accelerazione della assa è g inerziale solidale con la guida. rispetto ad un osservatore inerziale, e a rispetto ad un riferiento non a r g a θ L'accelerazione di gravità nel riferiento solidale con la guida è: g g a t Indicato con a il odulo dell'accelerazione della assa nel riferiento solidale con la guida vale: a g sinθ cosθ a r La coponente orizzontale di a deve equilibrare a, quindi: t a a cos θ t t cioè: gsinθ cosθ g a t 5,7 / s tg θ rivolta all'indietro.

6 Soluzione alternativa: L accelerazione totale deve essere g, quindi deve valere: g a a t scrivendo quest equazione in coponenti si ottiene facilente che: g a t 5,7 / s tg θ dove a t e g sono i oduli delle accelerazioni. Problea Una palla è lanciata in avanti e verso l'alto da una quota h sopra il suolo con velocità iniziale v. La palla ribalza elasticaente (invertendo la coponente orizzontale della velocità e antenendo inalterata quella verticale) su un uro verticale posto alla distanza d dal lanciatore. A quale altezza h dal suolo la palla colpisce il uro? A quale altezza h si trova la palla quando è di nuovo sulla verticale del lanciatore (che riane fero)? Qual è la quota assia h ax raggiunta dalla palla? Quesito: h ax è la stessa che sarebbe raggiunta se non ci fosse la parete verticale. Perché? [h ; d 4 ; v ( x y) / s ˆ ˆ ] h d Soluzione: a) La coponente orizzontale della velocità v x è costante, quindi la palla raggiunge il uro nel tepo:

7 d t,4 s. v x In direzione verticale è l'accelerazione ad essere costante: g -9,8 ŷ /s. Perciò: d d h h v g 5, y v x v x b) La palla torna sul lanciatore dopo altri,4 s. La coponente verticale del oto è ancora uniforeente accelerata con velocità iniziale v y 6,8 /s, e quota iniziale h 5,. Perciò la nuova quota è h 6,9. c) La quota assia h ax viene raggiunta quando la coponente verticale della velocità si annulla (ciò avviene dopo il ribalzo). Essa è perciò data da: h v y h 7,. g ax Risposta al quesito: h ax è la stessa che sarebbe raggiunta se non ci fosse la parete verticale, perché l urto con tale parete non altera la coponente verticale del oto. Problea Un vecchio cannone viene fatto sparare orizzontalente dalla cia di una ontagna e la velocità v della palla viene regolata in odo tale da farle colpire un bersaglio posto nella pianura sottostante solo al secondo ribalzo. Nel ribalzo la coponente verticale della velocità v y si riduce di un fattore f e la coponente orizzontale v x riane costante. Qual è la velocità v di uscita della palla del cannone per poter colpire un bersaglio distante d, se la ontagna sulla cui cia è situato il cannone è alta h? Qual è la velocità v di uscita della palla se si vuole colpire il bersaglio direttaente? [f,6; h k; d 9 k] h d

8 Suggeriento: calcolare la durata del oto in verticale ed ricordare che in tale tepo viene percorsa orizzontalente la distanza d. Soluzione: a) La coponente orizzontale del oto si antiene costanteente unifore, per cui basta calcolare la durata del oto verticale ed iporre che d v x t, cioè v x d/t. Il prio ipatto avviene dopo il tepo t : entre il secondo ipatto avviene con un ritardo t : h t s 4, s g t v g y s 7 s, dove v y è quella subito dopo l'urto: v fgt 6 84,9 /s. y Quindi: d v x 89, /s. t t b) La coponente verticale del oto è uniforeente accelerata con accelerazione perciò il tepo ipiegato dalla palla per raggiungere il suolo è: g 9.8yˆ / s, t h g In questo tepo la palla percorre orizzontalente la distanza d v x t 9 k, cioè: v d g d 6 /s. x t h

9 II - Dinaica del punto Le tre leggi del oto di Newton sono le leggi fondaentali per la descrizione del oto stesso. La pria legge di Newton affera che, se la forza risultante su un corpo puntifore è zero, allora esso resta in quiete o si uove lungo una linea retta con velocità costante (oto rettilineo unifore). La tendenza di un corpo a resistere ad un cabiaento del suo stato di oto si chiaa inerzia. La assa è la isura dell inerzia di un corpo. La seconda legge del oto di Newton affera che l accelerazione di un corpo è direttaente proporzionale alla forza risultante che agisce su di esso e inversaente proporzionale alla sua assa. Sotto fora di equazione: F a La forza risultante su un oggetto indica il vettore soa di tutte le forze che agiscono su di esso. Nella sua forulazione più generale, la seconda legge di Newton affera che la forza risultante agente su un corpo di assa e velocità v è data da: F dv dt dp dt ove p v è la quantità di oto del corpo. Solitaente (a ci sono eccezioni) un corpo non perde nè acquista assa durante il oto, e quindi vale dv F a, coe sopra. dt Se invece la assa del corpo è variabile, si avrà: F a d dt v La terza legge del oto di Newton affera che se un prio corpo esercita una forza su un secondo corpo, allora il secondo corpo esercita sepre sul prio una forza uguale in intensità e direzione, a di verso contrario. La forza esercitata su un corpo dalla superficie liscia su cui è appoggiato agisce perpendicolarente alla coune superficie di contatto e per questo si dice che è una forza norale. E un tipo di forza vincolare, perché liita la libertà di oviento del corpo e la sua intensità dipende dalle altre forze che agiscono su quel corpo. Per risolvere i problei in cui copaiono forze su uno o più corpi è essenziale disegnare il diagraa di corpo libero per ogni singolo corpo, ettendo in evidenza tutte le forze che agiscono su quel corpo. Per ogni corpo la seconda legge di Newton può essere applicata a ciascuna coponente della forza risultante.

10 Alcune forze iportanti sono: Forza peso. Il peso si riferisce alla forza di gravità che agisce su un dato corpo e vale P g; vettorialente: P g Forza d attrito. Quando un corpo è in oviento su una superficie scabra, la forza dovuta all'attrito (radente) dinaico agisce nella direzione opposta a quella del oto. La sua intensità è data da: F µ F, relazione tra l intensità della forza d attrito, che agisce parallelaente alla superficie di ad d N contatto e l intensità della forza norale F N (spesso indicata anche con N) che agisce perpendicolarente alla superficie stessa. Non è un equazione vettoriale, poiché le due forze sono perpendicolari l una all altra. µ è detto coefficiente di attrito dinaico e dipende dai ateriali con d cui sono fatti i due oggetti. Per la forza d'attrito (radente) statico, il suo valore assio è dato da: F µ F con µ coefficiente d attrito statico. Quando un corpo si as s N S uove con velocità sufficienteente bassa attraverso un fluido, subisce una forza d'attrito viscoso diretta nel verso opposto a quello del oto. La sua intensità è data da: βv. Forza elastica. Per tenere una olla copressa o tesa di una lunghezza x oltre quella di riposo è necessaria una forza: F kx dove k è la costante elastica della olla. Questa legge, nota coe legge di Hooke, è valida per valori di x sufficienteente piccoli. Forza centripeta. Una particella che ruota lungo una circonferenza di raggio r con velocità costante v è sottoposta in ogni oento ad una forza diretta verso il centro della traiettoria. Essa vale: F v ω r; vettorialente F v ( ) r r r ω ω r F av Problea Un uoo tira una slitta, inizialente fera, su cui siedono due babini, sul suolo coperto di neve. La slitta viene tirata ediante una fune che fora un angolo θ con l'orizzontale (vedi figura). La assa totale dei babini è M, entre quella della slitta è. Il coefficiente di attrito statico è µ, entre il coefficiente di attrito dinaico è µ. d Si trovino la forza di attrito esercitata dal suolo sulla slitta e l'accelerazione del sistea slitta-babini se la tensione T della fune ha l intensità: T N; T 4 N. S

11 Mantenendo fisso l angoloθ, deterinare il valore inio di T per sollevare totalente la slitta. [ θ 4 ; M 45 kg; 5 kg; µ,; µ,5] S d Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero del sistea slitta-babini, iporre la condizione di equilibrio per le coponenti y delle forze e scrivere l equazione del oto per le coponenti x. θ Soluzione: F F N as T (M) g θ F F N ad T (M) g θ Diagrai di corpo libero I) La forza norale al suolo è: F N ( M ) g Tsinθ 45,7 N. Quindi la forza di attrito statico è: F as [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 85, N, s N s entre la forza di attrito dinaico è: F ad [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 6,9 N. d N d La coponente orizzontale delle tensioni è T x Tcosθ 76,6 N < F as, per cui l accelerazione è nulla. II) La forza norale al suolo è: F N ( M ) g Tsinθ 4 N. Quindi la forza di attrito statico è:

12 F as [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 8 N, entre la forza di attrito dinaico è: s N s F ad [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 6 N. d N d La coponente orizzontale delle tensione è T x Tcosθ 7, N > F as, quindi la slitta si uove con accelerazione T cosθ µ d a [( M ) g Tsinθ ] M,9 /s. Il valore di T per sollevare la slitta è quello che annulla F : N T ( M ) g 76, N. sinθ Problea Due asse ed giacciono su un piano senza attrito e vengono spinte da una forza applicata dall'esterno F, che si esercita sulla assa (coe in figura ). Si deterinino intensità e direzione di ciascuna delle forze di interazione tra ed. Supponendo che venga eliinata la forza F e che sulla assa agisca la forza applicata dall'esterno F F (figura ), si deterinino intensità e direzione di ciascuna delle forze di interazione in quest'ultio caso. Si spieghi perché il odulo delle forze di interazione è diverso nei due casi. [F N; 4 kg ; kg; F N] Suggeriento: si scriva l'equazione del oto considerando il punto ateriale di assa ( ). Si scrivano quindi le equazioni di corpo libero per ciascuna assa. F F Fig. Fig. Soluzione:

13 F N F N F $ F " g% F! g# F F & N g* F ) F ( N g' F Diagrai di corpo libero a) L accelerazione di ed è: a F /s Ma allora la forza di interazione F esercitata da su vale a 4 N, entre per il principio di azione e reazione la forza di interazione F esercitata da su vale F - F 4 N b) L accelerazione vale ancora /s, a questa volta su agisce anche la forza F - F. quindi ora è F a -8 N, ed F - F 8 N. c) In base alla seconda legge del oto di Newton la forza totale agente su ciascuna delle due asse è la stessa (a eno del verso) nei due casi esainati. Però una delle due asse è accelerata dalla sola forza di interazione, e nel secondo caso si tratta della assa aggiore. E ovvio che per produrre la stessa accelerazione in una assa aggiore, occorre una forza aggiore. Problea Una palla di assa è fissata ad una sbarra verticale per ezzo di due funi prive di assa e lunghe. Le funi sono fissate alla sbarra a distanza d l'una dall'altra. Il sistea ruota attorno alla sbarra in odo da forare un triangolo equilatero (vedi figura). La tensione della fune più alta è T. Deterinare: la tensione T della fune in basso; la risultante delle forze applicate alla palla nell'istante ostrato in figura; la velocità della palla. Studiare il problea sia dal punto di vista di un osservatore inerziale, sia dal punto di vista di un osservatore solidale con la palla. [,4 kg;,7 ; d,7 ; T 5, N] Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero per il punto ateriale in ciascuno dei riferienti utilizzati.

14 8 / / d 6 8 Soluzione: La differenza fra ciò che vede un osservatore inerziale rispetto ad uno non inerziale solidale con la palla è che entre quest ultio vede la palla fera antenuta in equilibrio da una forza centrifuga F, c. f., l osservatore inerziale vede la palla in oto circolare unifore, sottoposta ad un accelerazione centripeta. a) T b) T 6 F c. f. T g4 T 5 g7 Diagraa di corpo libero a) nel riferiento inerziale e b) nel riferiento non inerziale solidale con la palla a) Nel riferiento non inerziale, la tensione T - bilancia la risultante di Ṫ, della forza centrifuga e della forza peso: v T ˆ r g T / dove si è tenuto conto che il triangolo è equilatero e che cos. La coponente verticale dell equazione non contiene la forza centrifuga: T T g dove si è utilizzata la nota relazione cos 6,5. Si trova dunque il odulo T 8,7 N. b) Nel riferiento non inerziale la risposta è banale: zero. Nel riferiento inerziale, invece, la risultante delle forze applicate alla palla è la forza centripeta:

15 : : ; : < T T v g 9 La coponente orizzontale dell equazione vettoriale di partenza, valida in entrabi i riferienti, è: fornisce: Problea 4 ( T T ) rˆ v ; ( T T ) v 4 6,5 /s Un blocco di assa poggia su un blocco di assa che è posto su un tavolo privo di attrito (vedere figura). I coefficienti di attrito statico e dinaico fra i due blocchi sono rispettivaente µ e S µ. d Quanto vale la assia forza F che si può applicare senza che il blocco strisci su? Se il valore di F > è doppio di quello trovato nel precedente quesito, si trovino sia l'accelerazione assoluta di ciascun blocco sia la forza di attrito agente su ciascun blocco. Un osservatore inerziale vede il blocco uoversi verso destra (direzione di F? ) o verso sinistra? [ kg; 4 kg; µ,; µ,] S d Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero per ciascun corpo in condizione di oto di e iporre la condizione di equilibrio di rispetto ad (oto relativo). Soluzione:

16 F NA FB NE FC ad FG ad ( )g gd Diagrai di corpo libero (in un riferiento inerziale, con in oto rispetto ad ) a) In un riferiento inerziale, in assenza di attrito con il tavolo la assa si uove con, quindi la forza di attrito statico che agisce su deve essere pari a: F µ s g da cui: ( ) F µ s g 7,7 N b) Posto F 7,7x N 5,4 N, la assa scivola su esercitando su di essa la forza di attrito dinaico F gµ, per cui: ad d a F µ d g 7,9 /s dove a è l accelerazione della assa. La forza di attrito dinaico vale naturalente µ d g,9 N. Nel riferiento solidale con la assa, la assa subisce sia la forza di attrito dinaico, sia la forza fittizia - a. Quindi in tale riferiento l accelerazione a r vale: a r µ g a -5,9 /s d entre in un riferiento inerziale vale: a a r a /s c) Coe si evince dal punto b), entre nel riferiento non inerziale l accelerazione è diretta verso sinistra (nel verso negativo delle ascisse), in un riferiento inerziale l accelerazione è positiva, quindi diretta verso destra. Problea 5

17 La curva sopraelevata di un'autostrada è stata progettata per una velocità v ax. Il raggio della curva è r. In una brutta giornata il traffico percorre l'autostrada alla velocità v. Quanto vale l angolo θ di sopraelevazione? Quanto deve essere il inio coefficiente d'attrito µ s che consente di superare la curva senza scivolare verso il basso? Usando tale coefficiente, con quale velocità assia v ax è possibile percorrere la curva senza scivolare verso l alto? [v ax 95 k/h;r ; v 5 k/h] Suggeriento: utilizzare un sistea di riferiento (non inerziale) solidale con l'autoobile, scrivere l'equazione del oto ed iporre la condizione di equilibrio. a) b) F J cf N K gi N M gl Diagraa di corpo libero a) in un riferiento non inerziale e b) in uno inerziale Soluzione: a) In un riferiento inerziale la coponente orizzontale della reazione vincolare N H fornisce la forza centripeta, entre la sua coponente verticale equilibra la forza peso: Quindi: Nsin v θ r N cosθ g tgθ v rg ax,

18 Con questo angolo, nel sistea di riferiento solidale con l autoobile è soddisfatta la condizione di equilibrio della coponente parallela alla strada delle forze in gioco, in assenza di attrito: v r ax cos θ gsinθ tgθ v rg ax, b) Con la pioggia, a velocità v < v ax, la acchina tende a scivolare verso il basso, per cui la condizione di equilibrio diviene: gsin Quindi il coefficiente d attrito vale: v v ( θ ) cos( θ ) µ g cos( θ ) sin( θ ) r v gtg( θ ) µ r s, v g tg( θ ) r c) A velocità v ax > v ax, tende a prevalere la forza centrifuga, e la acchina tende a sbandare verso l alto. Quindi la condizione di equilibrio è: Per cui: v gsin s r s ax ax ( θ ) µ g cos( θ ) sin( θ ) cos( θ ) [ sin( θ ) µ s cos( θ )] [ cos( θ ) µ sin( θ )] r v r v ax gr 8,5 k/h Problea 6 Un corpo di assa M è posto su un piano inclinato di un angolo θ con l orizzontale ed è connesso ad una coppia di corpi di ugual assa traite una corda ideale, che passa per una puleggia senza attrito e di assa trascurabile, coe illustrato in figura. C è però attrito fra la assa M ed il piano inclinato. Calcolare il valore della forza di attrito statico necessaria a far rianere in quiete il sistea;

19 espriere in funzione di, M, θ il inio valore del coefficiente di attrito statico fra M ed il piano inclinato, µ s, necessario affinchè il sistea rianga in condizioni statiche; calcolare esplicitaente il valore inio di µ s quando M/ e θ 45. Quesito: Per quale valore dell angolo θ il sistea (per < M/) resterebbe in condizioni statiche anche senza attrito? θ M Soluzione: F P a N N θ M T O Diagraa di corpo libero per M a) Condizione di equilibrio: T T g Mgsinθ µ Mg cosθ s pertanto:

20 ( θ ) g ( θ ) µ Mg cos Mgsin s b) Coefficiente di attrito statico: µ s tg M cos ( θ ) ( θ ) c) Se M/ e θ 45, µ s,4 Risposta al quesito: La condizione di equilibrio in assenza di attrito è: da cui: T g T Mgsinθ θ arcsin M Si noti che per >M/ il sistea non può essere in equilibrio senza l attrito. Problea 7 I corpi di assa, ed sono collegati coe in figura. Le carrucole e le funi sono ideali. Quali valori può assuere il coefficiente di attrito statico µ s fra tavolo e corpo di assa affinchè non si uova? Calcolare l accelerazione dei due corpi ed quando è soddisfatta la condizione di cui al punto a). In assenza di attrito fra il tavolo ed, calcolare l accelerazione dei corpi, ed. [ kg; kg; kg] Suggeriento: scrivere l equazione di equilibrio per e quella per il oto di ed.

21 Soluzione: F V a N T T U T Q W T gs gr g X Diagrai di corpo libero. a) e b) Condizione di equilibrio di : gµ s Le accelerazioni di ed hanno soa nulla, per cui le equazioni del oto di ed si possono scrivere in terini della sola accelerazione a di : T T T g a g ( a) cioè: T g a g T a dove l asse verticale del riferiento è orientato verso l alto. L accelerazione di vale: a g - /s (verso il basso). Tensione della fune che lega ed : T ( g a) g,5 N Coefficiente di attrito statico: µ s T g c) In assenza di attrito, siano a, a e a le accelerazioni delle tre asse in un riferiento inerziale. Vale allora:,5

22 \ a T ( a a) ( a a ) T g T g a a e a a sono le accelerazioni delle asse ed nel riferiento solidale con la seconda carrucola, riferiento in cui è valido il calcolo precedente, nonchè la condizione: ( ) a a a a che in precedenza ci ha consentito di scrivere le equazioni del oto di ed in terini della sola accelerazione di. Eliinando le tensioni delle corde, si ottiene: Quindi, risolvendo il sistea si trova: a a a a a g a a g a a a 4 g ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) a 4,7 /s, a -,7 /s, a -6,7 /s ( si uove in avanti, ed verso il basso). Si noti che nel riferiento non inerziale solidale con la carrucola obile (che scende), le accelerazioni di ed hanno lo stesso odulo ( /s ), a scende ed sale. g g Problea 8 Si ricordi che se ay I è l accelerazione di un corpo rispetto ad un riferiento inerziale, la sua accelerazione az NI rispetto ad un riferiento non inerziale di accelerazione a[ è data da: a \ NI ai a\ t. t

23 Nel dispositivo scheatizzato in figura, il corpo A (di assa A ), poggiato su un piano orizzontale liscio, è collegato da un filo inestensibile al corpo B (di assa B ) ed è saldato all estreità di una olla di costante elastica k. L altra estreità della olla è fissata ad un gancio solidale con il piano e le asse del filo, della olla e della carrucola sono trascurabili rispetto a quelle dei corpi A e B. Il corpo B viene abbassato lungo la verticale, rispetto alla sua posizione di equilibrio e lasciato libero di uoversi. Calcolare: di quanto si è allungata la olla nella posizione di equilibrio del sistea; l equazione del oto del sistea forato dalle due asse; il periodo delle oscillazioni copiute dal sistea (sia di A che di B). [ A kg; B kg; k N/] Suggeriento: si scrivano le equazioni del oto di A ed B, usando ad esepio la variabile x coe spostaento generico della assa B dalla sua posizione di equilibrio. A B Soluzione: F _ e N a ] A g ` T T b ^ B g Diagraa di corpo libero per A e B. a) detto x l allungaento della olla, la condizione di equilibrio è k x B g, da cui: B g x 9,8 c. k b) le equazioni del oto di ciascuna assa sono:

24 T Bg T( x) Ba( x) ( x) kx a( x) A ovvero T d x g T( x) B dt d x kx A dt B ( x) per cui l equazione globale del sistea, in funzione dell allungaento della olla, è: d x k dt x B g A B la cui soluzione è un oto aronico. Si noti che la variabile x descrive le oscillazioni sia di A che di B attorno alle rispettive posizioni di equilibrio. c) il periodo dell oscillatore è: A B T π,9 s k A B Problea riepilogativo Un autobotte di assa a vuoto M trasporta una assa di acqua distillata lungo tratto di autostrada piano e rettilineo, senza vento. La velocità dell autobotte è inizialente v e la forza di attrito statico agente sulle sue ruote in direzione e verso della velocità è f s. Ad un tratto sul fondo del cassone si apre una piccola crepa attraverso cui l acqua cade al suolo, staccandosi dal cassone con velocità relativa ad esso perpendicolare alla strada. La perdita è di k litri di acqua al inuto. L autista del caion, ignaro della perdita, tiene fero il piede sull acceleratore, per cui la forza di attrito statico riane costante. A quale velocità si troverà il caion dopo un tepo t dall inizio della perdita? [f s N; kg; k, l/in; ρ (H O) kg/d ; M 8 kg; v 7 k/h; t 5 ]

25 d c c d Soluzione: Fissiao un riferiento solidale con la strada che abbia l asse x lungo l autostrada nel verso della velocità dell autobotte, e l asse y verticale diretto verso l alto. Pria che si apra la crepa, si ha sepliceente una assa M che si uove a velocità costante, soggetta lungo l asse delle ascisse alle sole forze f s ed attrito viscoso dell aria. Queste due forze devono ovviaente bilanciarsi, per cui il coefficiente d attrito viscoso β del caion nell aria è dato da: cioè: d ( M ) f s βv dt x f s β,5 kg/s v Quando si apre la crepa, l autobotte perde, in un intervallo di tepo infinitesio dt, la quantità di oto v kdt e la assa kdt. In forula: ( kdt) v ( t dt) ( M ) v ( t) kdtv ( t) M Perciò la nuova velocità dell autobotte (al tepo t dt) è: ( M kdt) v ( t) ( M kdt) v ( t dt) cioè la velocità riane inalterata, e l accelerazione è nulla, anche se il caion perde quantità di oto. Il problea può anche essere risolto utilizzando la fora generale della seconda legge della dinaica, valida per sistei a assa variabile: F a c dove (t) è la assa dell autobotte al tepo t dall inizio della perdita, e la forza totale agente sull autobotte è: d dt v F ( f s βv) x f a ˆ con f e a forza di reazione esercitata dall acqua sul caion.

26 Nel riferiento solidale con l autobotte, la forza di reazione è verticale, per cui non influenza la coponente orizzontale del oto. Inoltre, in tale riferiento v, quindi: (anche a è nulla, a è solo la forza fittizia). La condizione iniziale è v f s βv f s β, per cui inizialente a(). Ma v ( dt) v a( ) v f s βv( dt) f s βv v non cabia, e a( dt) oto resta unifore con velocità v. a, cioè, vale a dire che a riane nulla. Quindi il

27 III - Lavoro ed energia. Conservazione dell energia. Il lavoro W copiuto da una forza F variabile che agisce su un punto ateriale spostandolo da un punto A ad un punto B lungo una linea γ è dato da: B W F dl A,γ dove dl è lo spostaento infinitesio lungo il percorso della particella. L energia cinetica di una particella di assa che si uove con velocità v è data da: Ec v Il teorea dell energia cinetica affera che il lavoro totale copiuto su un punto ateriale dalla forza risultante per spostarlo da un punto A ad un punto B è uguale alla variazione di energia cinetica del punto ateriale: W v B v A E c Il lavoro fatto da una forza conservativa su di una particella dipende solo dai due punti di partenza e di arrivo e non dal caino percorso dalla particella. Il lavoro fatto da una forza conservativa è recuperabile, cosa che non è vera per una forza non conservativa, coe l attrito. Associato ad una forza conservativa si introduce il concetto di variazione di energia potenziale. Sotto l azione di una forza conservativa F si definisce la variazione di energia potenziale coe l opposto del valore del lavoro copiuto dalla forza: E E E F dl p pb pa Solo le variazioni dell E p sono significative dal punto di vista della fisica, per cui si può sostituire E p (x) con E p (x) C, con C costante arbitraria, ogni volta che conviene. Quando agiscono solo forze conservative, l energia eccanica totale E, definita coe la soa delle energie cinetica e potenziale, si conserva: E E E costante. c p Se agiscono anche forze non conservative, entrano in gioco altri tipi di energia. Quando si includono tutte le fore d energia, l energia si conserva sepre (legge di conservazione dell energia). Esepi di forze conservative per le quali si parla di energia potenziale sono: forza peso e sua energia potenziale. Quest ultia vale gy per una particella posta ad un altezza y al di sopra di un riferiento orizzontale scelto ad arbitrio. B A

28 Forza elastica ( F kx );energia potenziale elastica E p /kx per una olla con costante elastica k, allungata o copressa di una lunghezza x rispetto alla posizione di riposo. Forza gravitazionale (descritta dalla legge di gravitazione universale di Newton).L energia potenziale di una particella di assa dovuta alla forza gravitazionale esercitata su di essa dalla Terra è data da: E p ( r) M γ r dove M T è la assa della Terra ed r la distanza della particella dal centro della Terra (r>raggio della Terra). E p ( ) è il riferiento di zero per E p. T Problea Un punto ateriale di assa scende (partendo da fero) lungo la sagoa in figura, che è opportunaente raccordata nel punto B in odo che la velocità del punto ateriale in B cabi in direzione a non in odulo. Il coefficiente di attrito dinaico tra punto ateriale e piani vale µ d. Sapendo che la velocità nel tratto BC è costante: Quanto tepo ipiega il punto ateriale per scendere da A a C? Quanto vale il lavoro copiuto dalla forza di attrito? Risolvere la parte b) sia usando la definizione di lavoro, sia ricordando che il lavoro copiuto dalla forza di attrito è uguale alla variazione dell energia eccanica tra A e B. [AB BC l ; α ; µ d ; g 9,8 /s ;,5 kg] A α l B β l C Soluzione:

29 Innanzi tutto calcoliao β. Poichè la velocità nel tratto BC è costante, la forza di attrito uguaglia la coponente del peso parallela a BC: Da cui: µ gsinβ g cos β d tg β µ d a) L accelerazione della assa nel tratto da A a B è data da: Quindi il tepo richiesto da A a B è: ( α µ sinα) g a cos 5,8 /s. d l l t,8 s a ( cosα µ d sin α)g entre in B la velocità è: v B at 4,6 /s. Il tepo t ipiegato per percorrere BC è l/ v B,4 s, quindi il tepo totale t t è t t t t,s. b)il lavoro copiuto dalla forza di attrito è: W µ d g( sin α sinβ )l 7,7 J Oppure, il lavoro copiuto dalla forza di attrito si può ottenere dalla variazione dell energia eccanica: W E gl( cosα cos β ) vb 7,7 J, gl è l energia potenziale del punto A rispetto al punto C. Si noti che nel tratto BC varia solo l energia potenziale. dove ( cos α cosβ ) Problea Un cavallo tira una slitta su una strada ripida, coperta di neve. La slitta ha una assa ed il coefficiente di attrito dinaico fra la slitta e la neve è µ d. Se il cavallo tira parallelaente alla superficie della strada ed eroga una potenza P: quanto vale la velocità (costante) assia v ax con cui il cavallo riesce a tirare la slitta? Che frazione della potenza del cavallo viene spesa per copiere lavoro contro la forza d attrito? Che frazione viene spesa per copiere lavoro contro la forza di gravità?

30 [pendenza :7; kg; µ d,; P 746 W] Soluzione: T F a θ g Diagraa di corpo libero Se la velocità è costante, la tensione T della fune vale: ( µ cosθ sinθ ) T µ g cos θ g sinθ g 765 N. d d La potenza P è il prodotto scalare della forza T per la velocità v, che nel nostro caso sono parallele: P Tv g( µ d cosθ sinθ ) v ax Quindi: a) v ax è: P v ax,98 /s g ( µ cosθ sinθ ) d b) il rapporto fra la potenza dissipata dall attrito e quella del cavallo è uguale al rapporto delle forze: gµ d cosθ 46%. gµ θ d cosθ sinθ tg µ il rapporto fra la potenza della gravità e quella del cavallo è: gsinθ 54%. gµ cosθ sinθ µ d d tgθ d Problea Un secchio pieno d acqua di assa coplessiva viene portato da un pozzo nel ezzo di un cortile fino alla cia di una torre alta h. Essendo però bucato, quando arriva sulla torre contiene solo età dell acqua che conteneva inizialente. Supponendo che la velocità di salita sulla torre e la perdita in assa d del secchio siano costanti, e che il peso del secchio vuoto possa essere dt trascurato, deterinare il lavoro copiuto espriendolo in joule. 4

31 [,78 kg; h 5 ] Suggeriento: Si ricordi che, detto x il tratto percorso dal secchio e v la sua velocità, d d dt d * * costante, dx dt dx dt v per cui (x) è una funzione lineare. Soluzione: Osservato che (x) è una funzione lineare, con () e (h) /, si ha: Il lavoro è dunque dato da: x h ( x). W h h h F dx g ( x) dx g x h dx Calcolando l integrale, si trova: W g h 89, J 4 Problea 4 Una guida ABDEF è tenuta in un piano verticale xy. I tratti AB (di lunghezza h) ed EF sono rettilinei, entre il tratto BDE è circolare, di centro C, raggio R, e angolo al centro π/ θ. Un corpo puntifore di assa, in grado di scorrere senza attrito lungo la guida, viene rilasciato nel punto A con velocità iniziale nulla. Deterinare la velocità del corpo nei punti B,D,E,F, supponendo che non vi sia attrito lungo tutta la guida. Calcolare la reazione della guida nel punto D. Se il tratto EF presenta un coefficiente di attrito dinaico µ d, deterinare l energia cinetica del corpo nel punto F. Perchè le velocità in B ed in F risultano essere uguali nel quesito a)? 5

32 A B C F θ θ D E Soluzione: a) Per il teorea dell energia cinetica, in B vale: Quindi la velocità del punto ateriale in B è: Il dislivello fra A e D è R h, quindi: e: v B gh v B gh ( h R) v D g ( h R) v D g Il dislivello fra A ed E è h R cosθ, quindi: v E g ( h R cosθ ) e: ( h ) v E g R cosθ Il punto ateriale si trova in F alla stessa quota che in B, per cui ha la stessa energia eccanica (che in assenza di attrito si conserva) e la stessa energia potenziale, quindi anche la stessa energia cinetica e la stessa velocità. b) La reazione vincolare in D deve sia bilanciare per intero il peso del corpo puntifore, sia fornire la forza centripeta necessaria per antenere il corpo in traiettoria: 6

33 F N v g R D g yˆ g R ( h R) y ˆ c) Detta l la lunghezza di EF, l energia eccanica del punto ateriale in F è data dall energia totale in B diinuita del lavoro copiuto dalla forza di attrito dinaico lungo EF : Problea 5 E F v B lµ d g cosθ v Una assa scivola senz attrito lungo la guida indicata in figura. Il raggio della circonferenza è R. Se la assa parte da fera dal punto B (AB 5R), quanto vale la reazione vincolare nel punto P? Qual è l altezza inia da cui deve partire la assa affinchè, nella posizione O, la reazione vincolare sia nulla? Quesito: Riscrivere le doande a) e b) supponendo di studiare il problea nel sistea di riferiento non inerziale associato alla assa. F B 5R A O R P Soluzione: a) In un riferiento inerziale, la reazione vincolare in P deve solaente fornire la forza centripeta che antiene in traiettoria: F P v R P Presa coe quota di riferiento per l energia potenziale quella del punto A, dalla conservazione dell energia eccanica si trova: Da cui: v P g 5 R gr 4 gr 7

34 F P 8g b) In un riferiento inerziale, la reazione vincolare in O è nulla se la forza centripeta che antiene in traiettoria è fornita interaente dalla gravità: v g R Detta x l altezza cercata, e sostituendo nell equazione di conservazione dell energia v ( O gr gx ): cioè: O gr gr gx x R R 5 R a) Nel riferiento non inerziale solidale con, la reazione vincolare in P deve solaente equilibrare la forza centrifuga per antenere in traiettoria. Ciò porta ad un calcolo identico a quello già svolto, perchè l unica differenza tra forza centrifuga e centripeta è un segno che non influisce sul calcolo edesio. b) Nel riferiento non inerziale solidale con, la reazione vincolare in O è nulla se la forza centrifuga agente su è equilibrata interaente dalla gravità. Ancora una volta, e per lo stesso otivo del punto a), il calcolo è identico a quello già svolto nel riferiento inerziale. Problea 6 Il sistea indicato in figura (acchina di Atwood) è inizialente a riposo con la assa A a terra e la assa B ad altezza h da terra. Deterinare la velocità con cui tocca terra e la tensione della fune, trascurando l attrito e l inerzia della carrucola. Suggeriento: Questo problea, analogo al n 7 del capitolo II, può essere risolto utilizzando la legge di conservazione dell energia eccanica. Per calcolare la tensione della fune è counque necessario scrivere l equazione di corpo libero per una delle due asse. B A 8

35 9 Soluzione: Equazioni di corpo libero: Risolvendo il sistea, si trova l accelerazione di A e B (in odulo): Quindi la tensione della fune è: Poichè il oto delle due asse è uniforeente accelerato con velocità iniziale nulla, la velocità terinale di B è: Si può deterinare v anche dalla conservazione dell energia, osservando che inizialente le energie cinetiche sono nulle e l energia potenziale del sistea, rispetto al suolo, è B gh, entre alla fine le due asse hanno velocità di ugual odulo: v gh gh B A A B cioè: ( ) B A A B gh v a g T a T g A A B B g a A B A B ( ) A B B A A g g a T gh ah v A B A B

36 Problea 7 Un pendolo di lunghezza L oscilla in un piano verticale. La corda urta un piolo fissato ad una distanza d al di sotto del punto di sospensione (vedere figura) Se il pendolo è lasciato libero da un altezza h al di sotto del piolo, quale altezza h* raggiunge dopo aver urtato il piolo? Se il pendolo è lasciato libero dalla posizione orizzontale (θ 9 ) e descrive una circonferenza copleta centrata nel piolo, quale deve essere il valore inio di d? y P d L x Soluzione: a) Per conservazione dell energia, h* h. b) Conservazione dell energia nel punto P (figura): gl g v ( L d) In P la forza centripeta deve essere aleno uguale alla gravità: g v L d quindi: gl g ( L d) g( L d) Sviluppando i calcoli: d L 5

37 Problea 8 Un estreo di una olla priva di assa è posto su di una superficie piatta, con l altro estreo che punta verso l alto(vedi fig. a). Una assa è posta delicataente sopra la olla e perette di copriere la olla di x, ad una nuova posizione di equilibrio (fig. b). Successivaente, la assa viene riossa e sostituita con una assa. La olla è poi copressa con le ani cosicchè l estreo della olla si trova in una posizione x rispetto alla posizione originale di riposo (quella occupata dalla olla senza nessuna assa appoggiata)(vedi fig. c). La olla è poi rilasciata. Quanto vale la costante k della olla? Qual è la assia energia cinetica della assa? [, kg;, kg; x 7 c; x 4 c] Quesito: risolvere il problea sia scrivendo l equazione del oto del punto ateriale, sia scrivendo la conservazione dell energia eccanica. x y Soluzione: a) Riferita l energia potenziale gravitazionale all asse delle ascisse (figura), la costante elastica della olla vale: g x k 57,6 N/ b) Per conservazione dell energia, la assia energia cinetica della assa corrisponde alla inia energia potenziale. L energia potenziale ha un andaento parabolico: Questa parabola ha il vertice in: g E p kx gx x gx x x E * g k p in x g x g x g x

38 L energia totale è data da: E c ax E ecc E p in E piniz E p in quindi l energia cinetica assia è: g g g x, J E c ax kx gx x x gx x Il problea può essere risolto anche utilizzando direttaente l equazione del oto: La soluzione generale è: x kx g g x Asen ( ωt φ) k g (si noti che x * k è la soluzione di equilibrio dell equazione del oto, entre Asen ( ω t φ ) è l oscillazione generica: la olla oscilla attorno alla posizione di equilibrio x* anzichè attorno ad x ). Iponendo le condizioni iniziali: si ottiene: ove: x v x v ( t) ( t) ( ) ( ) g Asenφ x k ωacosφ g g x cosωt k k g ω x senωt k ω k La velocità è assia per sen ω t o, cioè quando l energia cinetica vale: g g E c ω x k x, J k k

39 IV - Conservazione della quantità di oto; sistei a più corpi ed urti Per una particella si definisce quantità di oto la grandezza: p v. La seconda legge della dinaica, nella sua fora più generale, si scrive: F dp dt dove F è la forza totale agente sulla particella. L ipulso di una forza che agisce per breve tepo su una particella (forza ipulsiva) si definisce coe: t f I Fdt p f pi p, ti cioè l ipulso di una forza ipulsiva è uguale alla variazione della quantità di oto della particella. Per un sistea di particelle o per un corpo esteso (distribuzione continua di ateria) il centro di assa (CM) si definisce coe: x CM i x M i i, y CM i y M i i, z CM i z M i i dove i è la assa dell i-esia particella di coordinate (x i, y i, z i ) in un sistea di riferiento inerziale ed M è la assa totale del sistea. Oppure, nel caso di un corpo esteso: x CM M xd, y M CM M yd, z M CM M zd M Il teorea del centro di assa (o a equazione cardinale della dinaica dei sistei) è scritto coe: Ma CM E F ( ) ossia il centro di assa si uove coe una particella singola di assa M sulla quale agisce la stessa forza esterna risultante F ( E ). Per un sistea di particelle, la quantità di oto totale è: P v Mv P Il teorea del centro di assa si può scrivere anche: i i i CM CM

40 dp dt F ( E ) Quando la forza risultante esterna per un sistea è zero (sistea isolato), la quantità di oto totale resta costante (legge di conservazione della quantità di oto di un sistea isolato). La legge di conservazione della quantità di oto è olto utile nel trattare la classe di fenoeni noti coe urti. In un urto, due o più corpi interagiscono tra loro per un tepo olto breve con una forza olto grande rispetto alle altre, sicchè si può considerare il sistea isolato. Pertanto negli urti la quantità di oto totale si conserva. Anche l energia totale si conserva, a questa conservazione può non essere utile a risolvere il problea se avvengono trasforazioni di energia da cinetica a non cinetica. Un urto che conserva l energia cinetica totale del sistea prende il noe di urto elastico. Invece, un urto che non conserva l energia cinetica totale del sistea si dice anelastico. Se a seguito dell urto i due corpi restano attaccati tra loro, forando un corpo unico, l urto si dice copletaente anelastico. Problea Un proiettile di assa, lanciato dal suolo con una certa angolazione, quando raggiunge l apice della traiettoria esplode in due fraenti di egual assa. Sapendo che uno dei due fraenti torna al punto di partenza ripercorrendo la traiettoria iniziale, deterinare la posizione in cui cade l altro e stabilire se essi toccano o eno terra nello stesso istante. Suggeriento: la quantità di oto si conserva. y v x v x a a O O A A x Soluzione: Il oto del centro di assa del sistea delle due parti in cui si è diviso il proiettile è la continuazione del oto del proiettile integro. I due fraenti toccano terra nello stesso istante perchè la coponente verticale del oto è la stessa per entrabi. Detta v x la coponente orizzontale della velocità del

41 proiettile, nel punto culinante la sua quantità di oto è orizzontale e vale v x.la velocità del fraento che torna indietro, nell istante dell esplosione, è - v x quindi la sua quantità di oto vale - v x, e quella dell altro fraento deve essere v x -(- v x ) v x. Quindi il secondo fraento parte con velocità v x. Detto t il tepo di volo, il fraento che torna al punto di partenza percorre la distanza: O O v x t a entre il fraento che prosegue percorre: O A v xt a ed il centro di assa: O A v x t a Il fraento che prosegue cade dunque in A con ascissa 4a. Problea Una chiatta di assa M e lunghezza L è fera in acqua tranquilla, senza alcun ancoraggio, con un estreo A a contatto con la parete del olo (figura). In questa situazione un uoo di assa sta sulla chiatta all altezza del suo estreo opposto B. Ad un certo punto l uoo coincia a cainare ed arriva all estreo A, dove si fera. Se si trascura l attrito della chiatta sull acqua, di quanto si allontana l estreo A dal olo? [M 5 kg; L 5 ; 75 kg] Suggeriento: lo spostaento della barca rispetto alla banchina è uguale a quello del centro di assa rispetto alla barca A M B L Soluzione : Poichè il sistea è isolato, la quantità di oto totale riane nulla, vale a dire che il centro di assa riane fero, rispetto alla banchina. L ascissa del centro di assa soddisfa inizialente a:

42 L Mg gl L x CM g ( M ) ( M ) ( M ) Detta x l ascissa finale di A, l ascissa del centro di assa soddisfa (alla fine): L xg Mg L L x x( M ) M M x CM x g M M ( M ) Uguagliando i secondi ebri delle due equazioni si ottiene: L L M M L M x M cioè: L x,67 M Soluzione : Si ricordi che il sistea è isolato (soluzione ). Posto: v velocità dell uoo rispetto alla banchina (assa ) v velocità della barca rispetto alla banchina (assa M) vale: Mv v cioè: v M v Lo spazio percorso dall uoo è: x v t

43 Lo spazio percorso dalla barca è: v x x x v M a x x x x L M Quindi: La posizione dell uoo rispetto alla banchina è: M x L,. M L x,67. Soluzione : Dette v la velocità (negativa) dell uoo (che ha assa ) e V la velocità della barca(di assa M) rispetto alla banchina, vale: MV v Ma, detta v r la velocità dell uoo relativa alla barca, è: Quindi: v vr V ( V ) v r MV v r V M Nel tepo t in cui l uoo percorre L con velocità relativa alla barca v r, il centro di assa della barca si sposta di x (distanza finale di A dalla banchina): L x M t t

44 Trascurando la resistenza dell aria, calcolare in terini di D la forza F orizzontale e costante che un sistea di aortizzatori deve esercitare sul cannone affinchè, per il rinculo, esso arretri di un tratto d pria di ferarsi. Suggeriento: la quantità di oto si conserva Soluzione: h D Moto del proietto: Risolvendo il sistea, si trova v : D vt h gt v g D h La quantità di oto iniziale di rinculo del cannone, per la conservazione della quantità di oto, è Mv v. L energia cinetica iniziale del cannone è data dal lavoro copiuto dalla forza costante nel tratto d: Fd ( v ) M gd 4Mh e la forza è dunque: F ( v ) Md gd 4Mhd

45 Quindi: x L,67. M Problea Un babino, in piedi su una slitta A di assa A, avvicina a se una seconda slitta B di assa B tirandola ediante una fune di assa trascurabile fissata alla slitta B. Le due slitte, inizialente fere, si uovono su un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinaico µ d tra slitte e suolo. Qual è l accelerazione a CM del centro di assa del sistea forato dalle due slitte? Se in un riferiento inerziale l accelerazione a B della slitta B è in odulo doppia dell accelerazione a A della slitta A, quanto vale la forza F AB che il babino esercita sulla fune (tensione della fune)? [ A 5 kg; B 4 kg; µ d,] Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero del sistea slitte-babino B A Soluzione: a) Equazione del oto del centro di assa: (E) ( ) a F A B CM con la forza esterna data dalla risultante degli attriti F ( E ) F F. Quindi: A B Essendo il problea onodiensionale: cioè: ( A B ) acm FA FB ( A B ) acm FA FB

46 F F N N,7 /s A B A B a CM µ A B A B ( ) ( ) d da B verso A. b) Per definizione di centro di assa si può scrivere: ( A B ) acm Aa A Ba B che, nell ipotesi a B a, coporta: A ( A B ) a CM ( B A ) a A cioè: a A A B acm,5 /s B A e: Note le accelerazioni, lo sono anche le forze: ovvero: a B a A,9 /s Ba B FBA FB Aa A FA F AB F F BA AB FB Ba B a F A A A che fornisce: F AB F BA,5 N Problea 4 Un cannone di assa M spara orizzontalente, dalla soità di una torre di altezza h, un proiettile di assa e velocità v che raggiunge il suolo ad una distanza D dalla base della torre (fig. ).

47 Problea 5 In un incrocio un autoobile A di assa A urta un autoobile B di assa B. I rilievi della polizia rivelano che, subito pria dell urto, l autoobile A viaggiava verso est, entre B era diretta a nord (figura). Dopo l urto, i rottai delle due auto sono riasti uniti ed i loro pneuatici hanno lasciato strisciate di slittaento lunghe d in direzione α pria di arrestarsi. Calcolare le velocità v A e v B di ciascuna autoobile pria dell urto. Una delle autoobili superava il liite legale di velocità v L? Si supponga che le ruote di entrabe le autoobili siano riaste bloccate dopo l urto e che il coefficiente di attrito dinaico fra le ruote bloccate e la pavientazione sia µ d. [ A kg; B kg; d 8,7 ; v L 9 k/h; α da est verso nord; µ d,8] Suggeriento: la conservazione della quantità di oto è una relazione vettoriale y v L α v A v B x Soluzione: a) L urto è copletaente anelastico, per cui la quantità di oto si conserva, entre l energia cinetica no. Il odulo v della velocità subito dopo l urto, si calcola dalle strisciate (l energia cinetica dopo l urto è stata dissipata dall attrito):

48 ( ) gµ d ( ) v A B d A B cioè: v gµ d 7 /s D altra parte, la conservazione della quantità di oto si scrive (per coponenti): d Av Bv A B ( A B ) ( ) A B v cosα v senα da cui: v A A B v cosα, /s 6,5 k/h A diretta verso est, v B A B v sen α 5,8 /s 56,9 k/h B diretta verso nord. b) L auto A superava il liite dei 9 k/h. Problea 6 Il corpo A ostrato in figura, di assa M A e struttura prisatica, appoggiato su un piano orizzontale liscio, viene colpito da un corpo puntifore B di assa M B e velocità v. Sapendo che dopo l urto il corpo B ribalza verticalente raggiungendo l altezza h rispetto al punto di ipatto entre A trasla sul piano di appoggio, si deterinino la direzione ed il verso del vettore v. Si supponga che l urto sia elastico. [M A kg; M B 5 g; v 5 /s; h 8 c] Suggeriento: la coponente orizzontale della quantità di oto si conserva, quella verticale no y