Le leggi di conservazione. L. Martina Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi Università del Salento, Sezione INFN - Lecce

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1 Le leggi di conservazione L. Martina Dipartiento di Mateatica e Fisica Ennio De Giorgi Università del Salento, Sezione INFN - Lecce

2 La Forza Peso Una Forza e una grandezza fisica vettoriale, la cui intensita e isurata con il dinaoetro La Forza Peso e quella esercitata dalla Terra su ogni altro corpo in prossiita della sua superficie II Principio di Newton:!! F P g!! F M a Quando una Forza uove qualcosa fa un Lavoro

3 Lavoro di una forza costante! Lavoro ( P ) in Pfin F PinPfin z y x P in P in P fin φ P fin F P in P fin F P in P fin cos( ϕ) F F x ( P in P ) fin + F ( x y P in P ) fin + F ( y z P in P ) fin z Diensioni : [ Lavoro ] [ Forza ] [ spostaento] ML T - L ML T - P in P in P fin nel SI il lavoro si isura in Joule Newton X π/ F P fin

4 P fin Qual e il Lavoro copiuto dalla (sola) Forza Peso sul acigno? H! LavoroPeso Pin Pfin ( )! F peso acigno! H M acigno g H < 0 P in P in F! acigno Lavoro Peso ( P in P ) fin F peso acigno H M acigno g H > 0 P fin F! acigno H!

5 Lavoro delle forze di Attrito l! P finale (radente)!!! F attr Fattr Fattr 3 F attr P iniziale F r attr Lavoro F attr l F attr l Lavoro Lavoro( P iniz P ) ed + Lavoro( P ed P ) fin P finale l! l! 3 F! attr P iniziale F!P ed attr 3 ( ) F attr l + F attr 3 l 3 F attr l + l 3!!! l l + Lavoro l3 Lavoro

6 Lavoro di una Forza unifore lungo un caino arbitrario γ P finale l i F i F Peso P iniziale Lavoro tot Vero solo per forze unifori!!!!! ( P iniziale P finale lungo γ) i F Peso P iniziale P finale F i l i

7 Lavoro di una Forza non unifore lungo un caino arbitrario P finale γ F i l i P iniziale Lavoro tot ( P iniziale P finale lungo γ) i F i l i l! P i 0 Lavoro( F, γ) γ F dl

8 Forze Conservative e Lavoro( F,γ) P finale P iniziale Non Conservative F d l In GENERALE Lungo un caino ben specificato γ Lavoro( F,γ ) Lavoro( F,γ ) P finale Lavoro( F,γ chiusa γ γ ) 0 γ chiusa γ P iniziale -γ Lungo un γ Lavoro γ Lavoro γ 3 qualunque! caino Lavoro γ Lavoro( F,γ ) chiusa 0 γ chiusa F E CONSERVATIVA

9 La Forza Peso e CONSERVATIVA P finale γ F i F Peso P iniziale ( ) γ Lavoro F Peso, γ chiusa γ γ ( ) + Lavoro( F Peso, γ ) Lavoro F Peso, γ F Peso P iniziale P finale + F Peso P iniziale P finale ( ) 0 Il lavoro dipende solo dagli estrei del caino, non dal caino stesso

10 Energia Potenziale della Forza Peso U ( P ) finale U ( P ) iniziale Lavoro( F Peso, P iniziale P ) finale U ( P ) iniziale Mg ẑ ( ) P iniziale P finale U ( P ) iniziale + M g ( z finale z ) iniziale z U ( P ) iniziale + M g h z finale P finale In P finale la particella possiede una energia potenziale U(P finale ), che consente alla Forza Peso di copiere il lavoro M g h U(P finale ) - U(P iniziale ) nel riportarla in P iniziale z iniziale h P iniziale F i F Peso x

11 h 0 h O h Energia cinetica h h 0 h 0 gt g v F v v t g g F v F v F v F ( ) finale iniziale F h h0 U U ΔU ( finale ) ( iniziale v v ) Δ U Lavoro ( P ) iniziale Pfinale ( ) v + U ( v ) + U finale finale iniziale iniziale. Energia cinetica. Conservazione dell energia eccanica T v E T + U const

12 ( ) ( iniziale 0 ) + gh v + 0 v iniziale gh 05 3 Tappeto elastico [Punti 0] Valeria è una ragazzina che sta saltando sul tappeto elastico al parco giochi. Fa inizialente alcuni seplici ribalzi in verticale auentando ad ogni ribalzo l altezza assia raggiunta. Per studiarne il oto consideriao il suo centro di assa (CdM) C. Fissiao un sistea di riferiento con l origine nel punto in cui si trova C all istante del distacco dal tappeto elastico e l asse y verticale e orientato verso l alto.. Espriere il tepo di volo t 0 (tra un ribalzo e l altro) e la velocità v 0 al oento del distacco dal tappeto in funzione dell altezza h raggiunta, ovvero la variazione di quota del CdM. Calcolare i valori nuerici di t 0 e v 0 per h Il disegno a fianco ostra una studentessa alta 70 c che lancia una palla da tennis da un terrapieno, con una velocità iniziale di odulo v 0 s, inclinata di 30 verso l alto. Al oento del lancio la palla sta poco sopra la testa della ragazza e al oento dell ipatto col terreno, la velocità della palla ha un odulo di 8 s. Se la resistenza dell aria può essere trascurata, qual è l altezza del terrapieno? NOTA: il disegno non intende fornire una riproduzione in scala della situazione.

13 γ 3 Energia Potenziale di Forze P finale Conservative U ( P) F dl P P0 P iniziale P 0 γ γ Fissato arbitrariaente P 0 l Energia Potenziale e definita da P 0 ( ) Lavoro F, P iniziale P finale F dl P finale F dl P iniziale P 0 F dl P finale P iniziale % & U P finale P 0 P iniziale F d l + ( ) U ( P ) iniziale F dl P finale P 0 ' ( ΔU P iniziale P finale L Energia Potenziale Gravitazionale Elettrica Elastica - Variazione di E. P. dipende dalla posizione del corpo relativaente a un punto di riferiento

14 Macchine Sollevare pesi usando la Forza Peso Usare l energia potenziale di certi Pesi per spostare (copiere lavoro) su altri Pesi l Δ U F l F appl F Lavoro( F appl, l ) F appl l F appl l ΔU F Δ U F L L

15 Macchine ideali ΔU Lavoro( F appl, l ) ΔU l Le Macchine ideali sono reversibili Δ U +Δ U 0 F L l L F F

16 Una acchina reale igliore di una ideale consentirebbe il oto perpetuo! (I specie) Verifica Sperientale: il oto perpetuo NON ESISTE l reale l ideale I. Le acchine ideali (reversibili) sono le igliori II. Tutte le acchine reversibili producono lo stesso effetto a parita di condizioni III. Si torna esattaente alla situazione di partenza indipendenteente dal caino IV. La non esistenza del oto perpetuo di I specie equivale alla Conservazione Energia V. Tutte le forze fondaentali sono conservative

17 Es: Le leve l θ b O b θ F L F Δ U +Δ U 0 M gl M g L 0 M b sinθ M b sinθ M b M b Legge di Archiede sulle leve (Equilibrio di corpi rigidi)

18 Es. Su un piano inclinato liscio (senza attrito) di lati assegnati e filo inestensibile, qual e il rapporto delle asse perche si abbia l equilibrio (reversibilita )? M? 3l 5l 5l 3l 5l 4l M 4l? ( Mg) 3 l ( g) 5l M L epitaffio di Stevino

19 Es.3 Il artinetto a vite (senza attrito): quale forza F debbo applicare al braccio per antenere in equilibrio il artinetto carico con la assa M? M L p L π p F? R Mg L F Moento della Forza L R π p NB Lo spostaento L e un paraetro, che definisce i possibili utaenti del sistea, a non interviene nel risultato finale F Mg p π R F? Torricelli: tanto si guadagna in forza quanto si perde in caino

20 Pressione di un torchio : Sapendo che un torchio a ano copie degli avanzaenti di un angolo φ n/ π attorno ad una vite di passo p, che il suo braccio e di lunghezza R, sul quale e applicata una forza costante ortogonale di intensita F, calcolare la pressione P esercitata sulla superficie copressa di area A. FR n π PA n p P π FR Ap

21 h0 h γ γ! v + gh X const v (X)v (X) Quesito 5 (Gara di livello 0 Dicebre 00) Una sciatrice di 50 kg si lascia andare, dal fianco di una collinetta (punto A in figura), ad un altezza h 0.4, superando un secondo rilievo alto h 8 ed arrivando in piano nel punto C. In tutto questo percorso l attrito si può considerare trascurabile. Qual è la velocità della sciatrice nel punto B del secondo rilievo?

22 Quesito 7 (Gara di livello Dicebre 006) Un blocco di assa M scivola lungo una rapa da un altezza h 0 e urta un altro blocco di assa M inizialente fero sul piano orizzontale. I due blocchi restano uniti e proseguono risalendo una seconda rapa fino ad un altezza h. I tre piani sono opportunaente raccordati in odo che non ci siano irregolarità nel oto dei blocchi. Supponendo di poter trattare le asse coe puntifori e di poter trascurare gli effetti di attrito tra tutte le superfici, quanto vale h? M Es Una assa sospesa con una fune ideale trascina una seconda assa M, posta su un piano senza attrito e inizialente con velocita V 0. Quanto vale la velocita del sistea se scende di h? h M ( finale) ( finale) v + V gh V + V 0 M V v fin fin gh v V + M 0 + V 0

23 Es.3 : M L L/ La assa sospesa ( 300 g) e trattenuta da una assa sul tavolo (M800 g) traite fili e carrucole ideali e senza attriti. Qual e la velocita delle asse se M si sposta di L60 c partendo da fera? v finale ( ) + M V finale ( ) g L 0 V finale v finale v finale gl 4M +

24 Teorea dell Energia cinetica ( finale) ( iniziale ) v v Lavoro ( P P ) Forza iniziale finale Es Particella su piano orizzontale con attrito radente: se inizialente ha velocita v0, quanto spazio percorre pria di ferarsi? F! attr v 0 v fin 0 Lavoro L? ( Piniziale Pfinale) LFattr ΔT ( 0) ( v0 ) v0 L v 0 F attr

25 Es Una assa inizialente fera cade da un altezza h su un terreno, affondando per una profondita l: deterinare la resistenza offerta dal terreno l h F? Δ T ( v0) ( 0) gh Δ T ( 0) ( v0) F l F gh l

26 Es3 La assa giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che si puo avvolgere attorno ad un cilindro rigido di raggio R. Se inizialente si uove con velocita angolare ω in, quale sara la sua velocita dopo un dato nuero di avvolgienti? v l ω l fin F T v fin ω l in ω in ΔL " F T " Δr " F T! v Δt 0 ( finale ) ( iniziale ) v v Lavoro ( FT, γ ) 0 π NR / l Es4 La assa giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che attraversa un foro centrale e tirata da una forza F. Se inizialente si uove con velocita angolare ω in, quale sara la sua velocita dopo aver accorciato la fune di Δr? F F T v ω ΔL F T Δr FΔr ( finale ) ( iniziale ) ( fin ω ) fin in ω in v v FΔr ( in ω ) + ( in Δr/ l ) Δr ( in l ) F

27 Es5 Un grave e sospeso con un filo inestensibile ad un disco di raggio R, libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale senza attriti. Abbandonato da fero il disco ipega un tepo T per scendere di un altezza h. Deterinare il oento di inerzia del disco h R Iω + v gh g v h I + R g v at h at a I + R gt I R h ω v/ R

28 Forza di gravitazione universale L ca chiuso ΔL ΔL 0 ΔL < 0 ΔL >! M! F G rˆ r r rˆ r 0 M P r r U P F dl 0 r r0 grav ( ) P0 F! M G du GM u r0 r Forza di Coulob! F k qq r rˆ U ( ) Coul P kqq r r0

29 Es Calcolare la velocita iniziale necessaria ad una particella per sfuggire all attrazione gravitazionale della Terra v E v GM 0 r T GM gr 0 4 T /sec r T Es Sapendo che per l atoo di idrogeno il potenziale di ionizzazione dell elettrone e di E ion.8 x 0-9 J, facendo l ipotesi che la sua orbita attorno al protone abbia un raggio a B.5 x 0-0, trovare la velocita dell elettrone. E v EIon 4πε0 ab e v EIon 4πε0 ab e / sec a 0 E ion T

30 x Forza di richiao elastica (Oscillatore Aronico) U el ( P) E ecc v +! F k x xˆ F dl P x k u du k x x 0 kx P0 x0 E ecc ( t) x ( ω t + φ) v( t) x ωsin( ω t + φ) 0 cos 0 ( ) T U el ω k x 0 E ecc k v ax E ecc -x 0 x 0

31 Quesito 6 (Gara di livello Dicebre 008) Per antenere una assa preuta contro una olla occorre applicare una forza di 50 N. La ola è stata copressa di 0.60 e poi viene lasciata andare. Supponendo che tutta l energia ipiegata per copriere la olla venga trasferita alla assa al oento del lancio, quanta sarà l energia cinetica acquistata dalla assa? Quesito 9 (Gara di livello Febbraio 0) Un carrello di assa 00 g ed energia cinetica E 0.9 J si uove in linea retta e ne urta un altro di assa, inizialente fero. Dopo l urto, il prio carrello torna indietro con energia cinetica E 0.4 J. Calcolare la assa del secondo carrello nell ipotesi che l urto sia elastico. Quesito 4 (Gara di livello Dicebre 007) Due carrelli si trovano su una rotaia a cuscino d aria, disposta orizzontalente, su cui possono uoversi con attrito trascurabile. Il carrello A, di assa A, si uove con velocità v 0 e urta contro un carrello B, di assa B, inizialente fero. Nell urto, i due carrelli restano agganciati. Quale frazione (in percentuale) dell energia cinetica iniziale del sistea viene trasforata in altre fore (energia sonora, terica,...) nella collisione?

32 AIF Olipiadi di Fisica 05 Gara Nazionale Prova Teorica 0 Aprile 05 3 Scivolaento con ribalzo Punti 00 Una olla ideale di costante elastica k 30 N/ e lunghezza a riposo l 0 30 c è fissata ad una estreità nel punto più basso di un piano inclinato di un angolo α 30 rispetto all orizzontale, ed è appoggiata sul piano inclinato. Si fissi un sistea di riferiento cartesiano con l origine alla base del piano inclinato, e l asse x parallelo al piano e orientato verso l alto. Un blocco di assa 00 g viene lasciato libero da fero sul piano inclinato. La posizione del blocco sarà sepre data dalla coordinata x A della sua faccia anteriore (A); inizialente A dista 70 c dall origine delle coordinate. Si consideri in una pria fase una situazione in cui l attrito è trascurabile.. Si espria scalarente la forza risultante agente sul blocco, F R, in funzione di x, sia quando il blocco è staccato dalla olla sia quando è a contatto con essa. Si deterini in quale posizione x 0 la forza risultante è nulla. Si tracci un grafico di F R (x).. Si deterini la posizione x in cui il blocco raggiunge la sua velocità assia. 3. Si trovi l espressione dell energia potenziale e di quella cinetica del blocco in funzione di x. 4. Si deterini la posizione x in cui il blocco inverte il suo oto. Si supponga ora che ci sia un attrito non trascurabile e che i coefficienti statico e dinaico siano rispettivaente µ s 0.56 e µ d Si verifichi che anche in questo caso il blocco, lasciato fero nel punto A, scivola, e si trovi in quale posizione x 3 inverte ora il suo oto. 6. Si trovi l espressione E(x) dell energia eccanica in funzione di x nel oto del blocco da x A a x Si deterini la posizione x 4 in cui il blocco raggiunge la assia velocità. 8. Si trovi in quale posizione x 5 il blocco si arresta definitivaente.

33 Pendolo seplice E T + U ecc grav U grav T ( ) Rω ( cos ) ω dα dt Ugrav gr α Eecc R ω + gr cosα α h ( ) E ecc Piccole Oscillazioni α << E ecc R ω + grα cosα α α Oscillatore Aronico ω 0 g R

34 Orbite chiuse ed aperte Diagraa nel piano delle fasi per il pendolo

35 Forza di Lorentz!!! F q v B L ΔL " F L " Δr " F L! v Δt 0 Eecc v B! Unifore e costante v Costante e orbite circolari (elicoidali) Coe inserire i capi agnetici nell espressione dell energia?

36 Piu forze T + U + U + K E el grav ecc y! v + k x + y + gy E ecc x T + T + T + U + U + U + Piu particelle S T M S T M U + U + U E S T S M T M ecc T + + S TT TM Ttot i U tot Ui + U i + j L ( ) i v i

37 In un SISTEMA ISOLATO l ENERGIA Totale riane costante. E una legge SPERIMENTALE, verificata senza eccezione al eglio delle conoscenze attuali. L ENERGIA si presenta sotto olte fore diverse : 3. Per ogni fora di energia esiste una appropriata forula per calcolarla a partire da alcune grandezze fisiche fondaentali: assa, posizione, velocita, 4. Esprie la capacita del sistea a copiere Lavoro (a per I sistei acroscopici si deve introdurre anche l Entropia ) Gravitazionale Cinetica Elettrica Elastica Terica Radiante Chiica Nucleare di Massa.. 5. Le interazioni fondaentali sono sepre conservative 6. Contiene tutta l inforazione relativa ad un sistea conservativo