MOTO DEI FLUIDI REALI: LE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

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1 MOO EI FLUII REALI: LE EQUAZIONI I NAVIER-SOKES M. Capozz Copyrght AEPRON utt rtt Rservat - MOO EI FLUII REALI: LE EQUAZIONI I NAVIER-SOKES Marco CAPOZZI * * Ingegnere Meccanco; Master n Scence n Aerospace Engneerng, Msssspp State Unversty (USA) INROUZIONE Le equazon d Naver-Stoes sono le equazon che descrvono l moto d un fludo reale. Esse contemplano l contrbuto d tutte le forze agent su d un elemento nfntesmo d volume e sulla sua superfce. É convenente, per descrverne la natura matematca, procedere alla loro 'costruzone' passo dopo passo. p d forze Consderata una certa massa d fludo contenuta n una regone d spazo, su d essa agscono due tp d forze: forze d volume; forze superfcal. Le forze d volume sono grandezze d tpo estensvo provocate da cause esterne alla regone consderata. al cause sono: gravtà; azon dovute a camp elettrc e/o magnetc; forze non nerzal. ato che tal forze sono proporzonal al volume, sono espresse per untà d volume. Le forze d superfce sono forze d natura ntensva e sono rconducbl ad una nterazone del fludo n esame con l resto del sstema fsco consderato estrnsecata attraverso le superfc d contorno. Accelerazone Lagrangana Consderata una certa propretà P d un fludo, ndcando con u l vettore veloctà s defnsce accelerazone Lagrangana o sostanzale la quanttà: () P P t u gradp EQUAZIONI I CONSERVAZIONE Conservazone del Momento La legge d conservazone del momento afferma che la varazone d momento d una certa regone d spazo avente volume è uguale alla rsultante delle forze agent su d essa. ale legge è, n effett, la seconda legge della dnamca. S rcorda che, secondo la legge d Newton, n un sstema d rfermento nerzale rsulta: () F m a ovvero: () d F m u S consder una partcella d fludo avente veloctà u la cu poszone sa ndvduata al generco stante d tempo t dal vettore poszone r. enotat con f la grandezza estensva per untà d volume, con l volume assocato a tale massa d fludo e con la superfce che racchude l medesmo, la conservazone del momento è espressa dalla relazone: (4) d ρudv ρfdv ds

2 MOO EI FLUII REALI: LE EQUAZIONI I NAVIER-SOKES M. Capozz Copyrght AEPRON utt rtt Rservat - Nella precedente equazone la quanttà rappresenta la tensone agente sulla superfce del volumetto d fludo. In seguto sarà fornta una defnzone pù precsa d tensone. Consderata una grandezza estensva P scalare, vettorale o tensorale, la sua varazone nel tempo è esprmble nella forma: (5) d ρpdv dp ρ dv ovvero: (6) ρ Pdv dp ρ dv Sosttuendo u a P nella (6) e consderata la (4) s ottene: (7) u ρ dv ρ f dv τ ds Conservazone del momento angolare della quanttà d moto La legge d conservazone del momento angolare della quanttà d moto afferma che la varazone del momento angolare della quanttà d moto n un volume V eguagla l momento totale ad esso applcato. In un sstema d rfermento nerzale, l momento angolare della quanttà d moto d un vettore u, denotato con L, s esprme come: (8) L ρ r u Analogamente a quanto fatto prma per la quanttà d moto, l momento angolare della quanttà d moto rferto ad un volume ha forma: (9) ρ r udv r f dv ρ r t ds ENSORE EGLI SFORZI Sa assegnato l contnuo n Fgura e s consder un punto nterno P d tale contnuo. S sezon l contnuo medante un pano P passante per tale punto. Se l contnuo è n condzon d equlbro, la rsultante d tutte le forze applcate ad esso deve essere nulla. In conseguenza d cò, la rsultante delle azon scambate da una parte del contnuo sull'altra deve essere uguale ed opposta. Sa R tale rsultante. ale forza sarà applcata su d un'area S corrspondente alla sezone del contnuo defnta dal pano P. Consderata la normale a P per P, n base al Cauchy esste ed è unvocamente determnato l lmte: () R lm S S τ n Fgura ale lmte rappresenta la tensone nel punto P secondo la gactura orentata n. a come è defnta la tensone vara puntualmente e secondo la drezone scelta. Rsulta partcolarmente comodo rappresentare le tenson medante la notazone tensorale: essa, nfatt, consente d svncolars dal rfermento scelto. efnto l un tensore degl sforz, la tensone n un generco punto secondo la generca drezone n d component (n, n, n ) è data da:

3 MOO EI FLUII REALI: LE EQUAZIONI I NAVIER-SOKES M. Capozz Copyrght AEPRON utt rtt Rservat - () τ n Consderat l teorema della dvergenza, la defnzone data d tensone e l arbtraretà de volum d ntegrazone, la (7) può essere tradotta nella forma: () u ρ ρf dv( ) In un rfermento (e, e, e ) le component degl sforz agent n un fludo sono nove e raggruppate nel tensore: () a un punto d vsta fludodnamco, l tensore degl sforz rappresenta la forza per untà d area eserctata dalla parte d fludo verso cu è dretta la normale n. Il tensore degl sforz è smmetrco ed è dotato degl nvarant caratterstc de tensor lnear del secondo ordne. può essere decomposto n somma d due tensor, corrspondent uno alla componente sotropa e l altro a quella devatorca della deformazone. Per quanto concerne la componente sotropa, dato che = =, essa ndvdua anche lo stato d sforzo d tpo drostatco dovuto ad una pressone =-p applcata sul corpo. Il segno negatvo derva dal fatto che la pressone ha verso dscorde rspetto a quello della normale uscente dalla superfce d contorno dell elemento d volume consderato. Il tensore delle presson ha l espressone: (4) Π pδ Nella precedente relazone rappresenta l tensore delle presson, lo scalare p l valore della pressone espressa n Pa mentre è l smbolo d Kronecher. La componente devatorca del tensore ha espressone: (5) Il tensore avrà, qund, espressone: 6() Π mentre avrà forma: (7) Π Consderata la tracca del tensore (7), vene defnta pressone la quanttà: (8) p Alla luce d queste defnzon è possble rscrvere la (7) n termn tensoral: (9) υ ρ dv ρf dv dv ds S fa notare che, stante la smmetra d, rsulta =. L'operazone d trasposzone della matrce s è resa necessara per l prodotto scalare che compare nell'ultmo ntegrale della (4). S osserv come la dvergenza trasform un vettore n uno scalare ed un tensore n un vettore.

4 MOO EI FLUII REALI: LE EQUAZIONI I NAVIER-SOKES M. Capozz Copyrght AEPRON utt rtt Rservat - Prodott dadc Consderat due vettor u(u, u, u ) e v(v, v, v ) s consder la matrce: () uv uv uv u v u u v v u v u u v v Gl element d tale matrce sono de prodott scalar delle component de due vettor. al prodott prendono l nome d dade, e sono ndcat n forma generca come d mn = u m v n. La dade è qund un tensore, e sarà utle n seguto per defnre tensor mpegat nelle equazon d Naver Stoes. Operatore gradente ato un rfermento generco, s defnsce gradente l operatore: grad x ove s è fatto uso della convenzone d Ensten, o del falso monomo. Assegnata una funzone scalare F, rsulta: () gradφ Φ x ovvero, l gradente d uno scalare defnsce un campo vettorale. Consderato ora un vettore v: () v v m m l suo gradente, per defnzone, sarà la quanttà: () gradv v x ossa, consderata la (): (4) v grad v x m m La (4), n base alla defnzone d prodotto dadco, può essere scrtta nella forma: (5) v grad v x m m La (5) mostra che l gradente d un campo vettorale è un campo tensorale, n msura analoga n cu l gradente d un campo scalare è un campo vettorale. Una volta defnto questo, è possble enuncare la fondamentale legge d Stoes. EQUAZIONI I NAVIER-SOKES all'equazone (5) è nota la forma del tensore degl sforz. Esso è una conseguenza dell'attrto, ossa della resstenza opposta da un elemento d fludo alla deformazone provocata da una qualche causa esterna. ale resstenza è causata da una propretà nterna del fludo detta attrto nterno. Consderato l tensore del secondo ordne gradu, esso può essere decomposto n d un tensore smmetrco ed uno antsmmetrco W : (6) (7) gradu gradu W gradu gradu 4

5 MOO EI FLUII REALI: LE EQUAZIONI I NAVIER-SOKES M. Capozz Copyrght AEPRON utt rtt Rservat - coscchè l gradente d veloctà può essere scrtto come: (8) gradu W Rcordando la defnzone precedentemente data d gradente d veloctà, tensor e W n un dato rfermento avranno espressone: (9) () W u u x x u u x x Consderat quattro postulat d Stoes: - funzone contnua d ed è ndpendente dalle altre varabl cnematche; - l tensore è smmetrco; - la forma gode della propretà d nvaranza galleana; 4 - per flud non vscos = e = -p. e consderato (se ne omette la dmostrazone) noltre che è funzone lneare del solo tensore, defnto un tensore del quarto ordne B h che crea un legame fra e è possble scrvere: () B l l Introdotte le costant d Lamé µ e, è possble dmostrare che ha espressone tensorale: () λ(dv u) δ μ e d conseguenza l tensore degl sforz assume forma: () - pi λ(dvu )I μ S fa presente che le costant d Lamé sono degl nvarant scalar e sono funzone delle varabl d stato. In base al postulato d Stoes, rsulta: (4) μ λ al costant sono puttosto scomode da determnare, per cu s defnsce l coeffcente d vscostà medo come segue: (5) μ λ μ Usando l'espressone d ottenuta nella () con la (5) all'nterno della () s ottene l'equazone d Naver-Stoes n forma tensorale, che governa l moto de flud: (6) u ρ ρf grad p dv Consderata la defnzone d dervata sostanzale, è possble porre la (6) anche nella forma: (7) t ρu dvρ uu ρf grad p dv 5

6 MOO EI FLUII REALI: LE EQUAZIONI I NAVIER-SOKES M. Capozz Copyrght AEPRON utt rtt Rservat - L equazone (7), essendo un espressone tensorale, ha valà n un qualunque sstema d rfermento. S prefersce lascarla n tale forma n quanto essa è suscettble d molte manpolazon. La s può porre, ad esempo, n coordnate clndrche nel caso n cu s voglano analzzare fluss assalsmmetrc. La s può rscrvere n coordnate cartesane, oppure n coordnate curvlnee per analzzare problem d fludodnamca con la massma generaltà. Usualmente la (7) vene scrtta con l equazone d contnutà, d conseguenza n un rfermento generco (curvlneo o ortogonale) s ottengono equazon proettate lungo gl ass pù quella d contnutà. É ad esse che c s rfersce, d solto, quando s parla d equazon d Naver-Stoes. Nel caso n cu s abba a che fare con fluss comprmbl e/o multfase vanno necessaramente accoppate ad essa le equazon della termodnamca e della cnetca chmca. Soluzone delle equazon d Naver-Stoes La rsoluzone delle equazon d Naver-Stoes, a parte cas semplcssm, non è effettuable medante ntegrazone dretta a causa della non lneartà de termn che compaono n esse. Per questo motvo s è svluppata un settore della fludodnamca detta Fludodnamca Computazonale o anche CF (Computatonal Flud ynamcs) l cu obettvo è quello d rsolvere tal equazon per va numerca. I metod numerc pù comunemente utlzzat sono: Metodo delle fferenze Fnte (FM); Metodo de Volum Fnt (FVM); Metodo degl Element Fnt (FEM). Il Metodo de Volum Fnt rappresenta la procedura numerca d calcolo pù frequentemente adottata nella pratca, anche se non mancano esemp d applcazon n cu s sa fatto rcorso agl element fnt. La CF rappresenta un vastssmo argomento che esula lo scopo del presente artcolo. Le equazon d Naver-Stoes medate secondo Reynolds, dette equazon RANS (Reynolds Averaged Naver-Stoes) costtuscono la base dello studo della turbolenza, oggetto ancor ogg d rcerca da parte d numerosssm studos nel mondo. 6