Biomeccanica dei tessuti biologici e ingegnerizzati

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1 C.L.M. nterfacoltà Botecnologe Medche, Molecolar e Cellular Bomeccanca de tessut bologc e ngegnerzzat Prof. Ing. zaccara.delprete@unroma1.t Dpartmento d Ingegnera Meccanca e Aerospazale Va Eudossana Roma T Ing. E. Rzzuto PhD emanuele.rzzuto@unroma1.t Ing. S. Caroso PhD slva.caroso@unroma1.t Dpartmento d Scenze anatomche, stologche, medco-legal e dell'apparato locomotore Va Scarpa Roma T

2 Cos è la BIOMECCANICA? Galleo Galle ntroduce l termne meccanca nel 1638 per descrvere: movment, le forze e la resstenza d oggett e materal. Negl ann, l termne è stato esteso per descrvere lo studo statco e dnamco d qualunque tpo d partcella o contnuo, nclus quant, gl atom, le molecole, gas, lqud, sold, strutture grand e pccole, stelle e galasse. La bo-meccanca studa movment, le forze e la resstenza strutturale de sstem vvent, con sconfnament nella bologa (cellulare), nella fsologa e nelle applcazon medche.

3 La BIOMECCANICA studa e dentfca attraverso le forze e movment le funzon bologche normal o patologche, auta a prevedere possbl alterazon funzonal e propone metod d ntervento dagnostc e chrurgc (protes). Se s rassume la BIOMECCANICA come meccanca applcata a sstem bologc, occorre rcordare che la meccanca applcata è costtuta da : Dstrbuzone d tenson e deformazon ne corp. Equazon costtutve che descrvono le propretà meccanche de corp (attraverso le relazon σ-ε). Resstenza e cedevolezza de materal, creep, scorrmento plastco, frattura e sua propagazone, cedmento a fatca, corrosone.

4 Teora de metall, materal ceramc e compost, teora della dslocazone Flusso d flud: gas e lqud Flusso d calore, dstrbuzone d temperatura, stress termc Trasfermento d massa, dffusone, trasporto attraverso membrane Movmento d partcelle carche, plasma, on n soluzone Meccansm e strutture Stabltà e controllo de sstem meccanc Dnamca, vbrazon e propagazone d onde Onde mpulsve e onde d ampezza fnta E dffcle pensare ad un qualunque sstema vvente che non convolga almeno alcun d quest camp d studo!

5 Metodo d studo o approcco nvestgatvo della Bomeccanca (eredtato della fsca e dall ngegnera): 1. Studare la morfologa d un organsmo, l anatoma d un organo, l stologa d un tessuto, la struttura d un materale per defnrne la conformazone geometrca. 2. Determnare le propretà meccanche d un materale o tessuto (cosa non agevole perché tessut spesso sono molto pccol, non possono essere enucleat dal contesto bologco crcostante, manpolandol s alterano le loro normal condzon bologche, sono soggett a deformazon ngent che non possono essere descrtte se non attraverso legg σ-ε non lnear e con memora).

6 Metodo d studo o approcco nvestgatvo della Bomeccanca (eredtato della fsca e dall ngegnera): 3. Sulla base d legg fsche ben consoldate (conservazone della massa, del momento e dell energa, equazon d Maxwell, ecc.) e delle equazon costtutve s cerca d descrvere l comportamento dnamco d corp o tessut medante equazon dfferenzal o ntegral. 4. A partre dalla comprensone dell ambente bologco crcostante s mpostano le corrette condzon al contorno 5. S cerca qund d ottenere la soluzone delle equazon dfferenzal (per va analtca o numerca) utlzzando le condzon nzal e le condzon al contorno mpostate.

7 Metodo d studo o approcco nvestgatvo della Bomeccanca (eredtato della fsca e dall ngegnera): 6. S effettuano qund gl ESPERIMENTI con provn bologc per la verfca, sa delle condzon al contorno, sa della correttezza della formulazone matematca del fenomeno. 7. S confrontano qund rsultat spermental con quell provenent dal modello matematco: Se non v fosse corrspondenza fra rsultat spermental e quell dervat dal modello matematco, occorre rformulare le equazon dfferenzal o ntegral d partenza. In caso d buona corrspondenza fra rsultat, s gudca se le potes teorche fatte sono gustfcate e, n caso affermatvo, s calcolano valor numerc de parametr ndetermnat (sempre present, ved seguto) delle equazon costtutve.

8 Metodo d studo o approcco nvestgatvo della Bomeccanca (eredtato della fsca e dall ngegnera): 8. Una descrzone bomeccanca teorca (matematca) che ha superato tutte le fas d studo precedent, costtusce una teora che può essere utlzzata a pror per descrvere comportament bomeccanc legat a condzon al contorno dverse da quelle nella quale è stata formulata. La frustrazone pù grande per l rcercatore n Bomeccanca è che le equazon costtutve de tessut vvent non sono generalmente dsponbl e se è possble darne una formulazone parametrca, esse non possono essere determnate senza rsolvere le condzon al contorno del tessuto.

9 Metodo d studo o approcco nvestgatvo della Bomeccanca (eredtato della fsca e dall ngegnera): A queste dffcoltà s aggunga che le relazon matematche che descrvono sold e flud bologc sono quas sempre non lnear! Servono STRUMENTI d ndagne approprat

10 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent Per studare la matera vvente dentro o attorno ad un organsmo, è possble consderare gl anmal, gl organ, tessut, le cellule come un contnuo, per l quale vale la meccanca newtonana. Ovvero, l pù pccolo volume che s consdera n bomeccanca contene sempre un numero d atom e molecole talmente grande da gustfcare questa potes! M Denstà del contnuo n P : P lm N.B. con ε 0 V 0 V per cu ρ(p) = ρ ± ε ρ Spesso l contnuo, o alcune sue part, potranno essere consderat come un corpo rgdo, oppure come un corpo a massa concentrata. Le equazon dfferenzal (alle dervate parzal) d contnutà o del moto potranno essere approssmate agl element fnt o alle dfferenze fnte.

11 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent Ma l vantaggo pù grande dello studo bomeccanco medante lo schema del contnuo è d poter descrvere le propretà del sstema bologco per mezzo delle equazon costtutve Come è possble esprme la resstenza d un materale bologco, ovvero d un tessuto? S consder, per es., un tendne con sezone meda A sottoposto a trazone da una forza muscolare F ; le sue fbre d collagene sopportano nternamente uno sforzo d tensone σ = F/A. La tensone nterna σ d un qualunque tessuto s esprme qund medante l rapporto d una forza [N] su d un area [m 2 ] ed assume le dmenson d una pressone [kpa].

12 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent La tensone (stress) σ esprme le nterazone d forza ΔF tra due part nterne del tessuto, rferte ad una superfce ΔS : In generale : lm S 0 v F S df ds normale alla superfce ΔS

13 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent Se S è pensato come un cubetto e s sttusce un sstema d rfermento cartesano x 1 x 2 x 3 è possble scomporre l vettore della tensone σ v come n fgura dove le component τ 11 τ 22 τ 33 perpendcolar alle superfc sono le tenson normal, mentre le component fuor dagonale nella matrce d sotto τ 12 τ 13 sono le tenson tangenzal o d scorrmento! N.B. le tenson τ hanno segn postv se sono uscent dall elemento S del tessuto!

14 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent La tensone σ (σ 1 σ 2 σ 3 ) può qund essere espressa con la formula d Cauchy, facendo rfermento al versore v (v 1 v 2 v 3 ) ortogonale alla superfce ΔS : 3 v = 1, 2, 3 j j j1 con le condzon d equlbro (al contorno) : F1 0 x x x x x x F F3 x x x

15 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent La deformazone ε d corp e tessut può essere messa n relazone con l loro stato tensonale σ! Se un tendne, per es., d lunghezza L 0 vene allungato alla lunghezza L > L 0 s dce che ha subto una deformazone ε postva: L L L L L L per l caso (a) n fgura e deformazon pccole!

16 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent Per moltssm materal norganc, entro cert lmt della tensone σ, valgono le semplc legg d proporzonaltà : Legge d Hooke : E con E = modulo d Young Gtan con G = modulo d rgdezza o d elastctà tangenzale Ma tessut bologc non seguono le semplc legg de metall, s deformano molto e occorre consderare lo spostamento della generca partcella P (a 1 a 2 a 3 ) verso la nuova poszone Q (x 1 x 2 x 3 ). Il vettore spostamento PQ = u ha component: u1 x1 a1 u2 x2 a2 u3 x3 a3

17 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent Se s conoscono vettor spostamento per ogn punto P del corpo (!) è possble costrure la deformata del corpo (x 1 x 2 x 3 ) a partre dalla poszone d rfermento (a 1 a 2 a 3 )

18 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent La deformazone del corpo è nota se s conoscono le funzon: x x a, a, a a a x, x, x con = 1,2, che sono la trasformazone (mappatura) d a 1 a 2 a 3 n x 1 x 2 x 3. Ma un moto rgdo non produce deformazone. Per descrvere la deformazone occorre, per esempo, che durante lo spostamento la poszone e la dstanza d PP varno n QQ : P a, a, a ds0 PP ' da da da P ' a da, a da, a da Q x 1, x2, x3 Q ' x dx, x dx, x dx ds QQ ' dx dx dx

19 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent La mappatura delle a n x j e vceversa c consente d scrvere: dx x a j da j da a x a a ds da da dx dx 2 j 0 j j j h k xh xk x x ds dx dx da da 2 j j j j h k ah ak con alcun passagg s gunge a : j dx j con = 1,2,3 con δ j delta d Kronecker eguale a 1 per =j e 0 per j 2 2 x x j ds ds0 da da 2E da da ah ak a a ds ds dx dx 2e dx dx j hk h k hk h k 2 2 j 0 hk j h k hk h k xh xk

20 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent 1 2 j hk j hk h k x x E a a 1 2 j hk hk j h k a a e x x Tensore delle deformazon Lagrangano o d Green e St.Venant Tensore delle deformazon Eulerano o d Almans Solamente per spostament u molto pccol (nfntesm) le dervate parzale seconde e prodott delle dervate parzal prme sono trascurabl e vale: 2 2 ds ds 0 0 mplca E j = e j = 0 coè spostamento rgdo! 1 2 j j j u u e x x Tensore delle deformazon nfntesme o d Chauchy

21 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent Per spostament nfntesm, la dfferenza fra tensor Lagrangano ed Eulerano scompare! xx yy u x v y xy xz 1 u v 2 y x 1 u w 2 z x yx zx zz w z yz 1 v w 2 z y zy Osservare l sgnfcato geometrco del tensore!

22 Sgnfcato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE de tessut vvent