Circuiti elettrici in regime stazionario

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1 Crcut elettrc n regme stazonaro Component (ersone del ) Bpol resst Equazon caratterstca d un bpolo ressto f, 0 L equazone d un bpolo ressto defnsce una cura nel pano - detta cura caratterstca punt della cura caratterstca rappresentano tutte le possbl coppe d alor che possono assumere la tensone e la corrente del bpolo

2 Bpol resst Bpolo comandato n tensone l equazone può essere posta nella forma g Bpolo comandato n corrente l equazone può essere posta nella forma h Bpolo blaterale f, 0 f, 0 caratterstca smmetrca rspetto all orgne scambando termnal l comportamento non camba Bpolo nerte f 0,0 0 caratterstca passante per l orgne 3 Esemp comandato n e n comandato n comandato n non comandato né n né n 4

3 Component att e pass Un componente ressto s dce passo se per ogn condzone d funzonamento (coè per ogn nseme d tenson e d corrent a termnal compatble con le sue equazon caratterstche) la potenza assorbta dal componente rsulta non negata Un componente ressto s dce atto se esste almeno una condzone d funzonamento compatble con le sue equazon caratterstche per cu la potenza assorbta rsulta negata (potenza erogata posta) Un componente atto è un componente n grado d fornre energa al crcuto n cu è nserto 5 Bpol resst pass Se la tensone e la corrente sono orentate secondo la conenzone dell utlzzatore p a 0 per punt compres nel e nel 3 quadrante p a 0 per punt compres nel e nel 4 quadrante Per un bpolo ressto passo n ogn condzone d funzonamento rsulta p a 0 La cura caratterstca è nteramente contenuta nel e nel 3 quadrante (ass nclus) Per un bpolo ressto atto esstono condzon d funzonamento nelle qual p a <0 La cura caratterstca contene punt del o del 4 quadrante 6

4 esstore Equazone: resstenza (ohm, ) conduttanza (semens, S) / ( e orentate secondo la conenzone dell utlzzatore) l resstore è un bpolo lneare, è comandato n corrente e n tensone ed è blaterale Potenza assorbta: p a = Se 0 ( 0) l resstore è passo Cura caratterstca Smbolo 7 esstor non lnear bpol resst per qual la tensone e la corrente non sono proporzonal sono anche ndcat genercamente col nome d resstor non lnear Per rappresentare un generco bpolo ressto non lneare s utlzza l smbolo 8

5 eneratore ndpendente d tensone Equazone: l generatore ndpendente d tensone è un bpolo comandato n corrente e non è blaterale Potenza erogata: può arare da a l generatore ndpendente d tensone è un componente atto Smbol Cura caratterstca 9 eneratore ndpendente d corrente Equazone: l generatore ndpendente d corrente è un bpolo comandato n tensone e non è blaterale Potenza erogata: può arare da a l generatore ndpendente d corrente è un componente atto Smbol Cura caratterstca 0

6 Crcut lnear e non lnear generator ndpendent sono cas partcolar d bpol resst non lnear (la tensone e la corrente non sono proporzonal) fornscono termn not delle equazon del crcuto Crcuto lneare = crcuto formato esclusamente da component lnear e generator ndpendent n questo caso le equazon del crcuto costtuscono un sstema lneare nel quale le tenson e le corrent mpresse de generator rappresentano termn not Crcuto non lneare = crcuto che contene almeno un componente non lneare derso da un generatore ndpendente Cortocrcuto Equazone: 0 Potenza assorbta: p a 0 l cortocrcuto è un componente passo l cortocrcuto può essere consderato un caso partcolare d generatore ndpendente d tensone con 0 d resstore con 0 Cura caratterstca Smbol

7 Equazone: 0 Crcuto aperto Potenza assorbta: p a 0 l crcuto aperto è un componente passo l crcuto aperto può essere consderato un caso partcolare d generatore ndpendente d corrente con 0 d resstore con 0 ( = ) Cura caratterstca Smbol 3 Bpol n sere Bpol collegat n sere: un termnale del prmo bpolo e un termnale del secondo bpolo sono unt n un nodo a cu non sono collegat altr component LK LK LK LK (,, ) bpol collegat n sere sono percors dalla stessa corrente 4

8 Bpol n parallelo Bpol collegat n parallelo: cascuno de termnal d un bpolo è collegato a uno de termnal dell altro LK LK LK (,, ) LK bpol collegat n parallelo sono sottopost alla stessa tensone 5 esstor n sere LK LK (,, ) elazon costtute (,, ) S resstor n sere equalgono a un resstore con resstenza S S = resstenza equalente sere 6

9 esstor n parallelo LK LK (,, ) elazon costtute (,, ) P resstor n parallelo equalgono a un resstore d conduttanza P P = conduttanza equalente parallelo 7 n termn d resstenze s ha esstor n parallelo P P P = resstenza equalente parallelo el caso partcolare d due resstor n parallelo, la resstenza equalente è P 8

10 9 Parttore d tensone Problema: dat resstor n sere, nota la tensone totale e le resstenze determnare le tenson de resstor La tensone s suddde n part drettamente proporzonal alle resstenze S j j j j Fattore d partzone ),, ( j 0 Parttore d corrente Problema: dat resstor n parallelo, nota la corrente totale e le resstenze determnare le corrent de resstor La corrente s suddde n part drettamente proporzonal alle conduttanze (nersamente proporzonal alle resstenze) P j j j j Fattore d partzone ),, ( j

11 Parttore d corrente Caso partcolare d due resstor n parallelo eneratore d tensone e resstore n sere d) c) b) a) Equazon caratterstche

12 eneratore d tensone e resstore n sere Le cure caratterstche sono delle rette non passant per l orgne (se 0) l alore d per 0, corrspondente all ntersezone della retta con l asse, è detto tensone a uoto e concde, eentualmente a meno del segno, con la tensone del generatore l alore d per 0, corrspondente all ntersezone della retta con l asse, è detto corrente d cortocrcuto e concde, eentualmente a meno del segno, con l rapporto tra la tensone del generatore e la resstenza 3 eneratore d tensone e resstore n sere Cure caratterstche 4

13 Modello d un generatore reale d tensone La tensone d un generatore deale d tensone non dpende dalla corrente Per un generatore reale la tensone è pratcamente costante solo se l alore assoluto della corrente è pccolo Per modellare un generatore reale s può utlzzare un crcuto equalente formato da un generatore deale con un resstore n sere La caratterstca tende a quella d un generatore deale al tendere a zero della resstenza 5 Potenza dsponble Potenza erogata dal bpolo pe Al arare d la potenza è massma se dpe cc 0 0 d n queste condzon la tensone è La massma potenza erogable (potenza dsponble) è p emax 4 6

14 Potenza erogata al arare de carco Potenza erogata da un generatore reale collegato a un resstore d carco C C C pe ( C ) La potenza è massma per C = p e p emax C 4 C C 7 eneratore d corrente e resstore n parallelo Equazon caratterstche a) b) c) d) 8

15 eneratore d tensone e resstore n sere Le cure caratterstche sono delle rette non passant per l orgne (se 0) La corrente d cortocrcuto concde, eentualmente a meno del segno, con la corrente del generatore La tensone a uoto concde, eentualmente a meno del segno, con l prodotto della corrente del generatore per la resstenza 9 eneratore d corrente e resstore n parallelo Cure caratterstche 30

16 Modello d un generatore reale d corrente La corrente d un generatore deale d corrente non dpende dalla tensone Per un generatore reale la corrente è pratcamente costante solo se l alore assoluto della tensone è pccolo Per modellare un generatore reale s può utlzzare un crcuto equalente formato da un generatore deale con un resstore n parallelo La caratterstca tende a quella d un generatore deale al tendere a nfnto della resstenza / 3 Trasformazone de generator due bpol sono equalent se sono erfcate le condzon Questa relazone ale se ers d e sono orentat come ndcato nella fgura 3

17 Trasformazone de generator L equalenza ale solo per l comportamento a termnal a partà d e (coè d potenza erogata dal bpolo) le potenze erogate da generator (e quelle assorbte da resstor) n genere sono derse potenza erogata dal bpolo per 0 e 0 potenza erogata dal generatore d tensone potenza erogata dal generatore d corrente 33 Altr collegament tra generator e resstor l bpolo equale al solo generatore d tensone l bpolo equale al solo generatore d corrente 34

18 Collegament tra generator generator ndpendent d tensone n sere equalgono a un unco generatore d tensone S generator ndpendent d corrente n parallelo equalgono ad un unco generatore d corrente P 35 Collegament tra generator l bpolo equale al solo generatore d tensone l bpolo equale al solo generatore d corrente 36

19 Collegament non ammess enerator deal d tensone n parallelo se le tenson sono derse l collegamento ola la LK se le tenson sono ugual le corrent de generator sono ndetermnate enerator deal d corrente n sere se le corrent sono derse l collegamento ola la LK se le corrent sono ugual le tenson de generator sono ndetermnate 37 Esemp d crcut ndetermnat Tutte le coppe d alor d e tal che sono compatbl con l crcuto Tutte le coppe d alor d e tal che sono compatbl con l crcuto 38

20 Esemp d crcut ndetermnat L ndetermnazone può essere elmnata se s tene conto del fatto che ogn generatore reale d tensone ha n sere una resstenza non nulla ogn generatore reale d corrente ha n parallelo una resstenza d alore fnto 39 Prma formula d Mllman eq eq eq 40

21 Prma formula d Mllman Pù n generale, per un bpolo formato da bpol de tp a, b e c collegat n parallelo, procedendo come nel caso precedente s ottene eq A AB C A nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo a B nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo b C nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo c eq AB 4 Prma formula d Mllman Se termnal A e B sono lascat apert ( 0), la tensone AB concde con la tensone del generatore equalente La tensone tra due nod d un crcuto formato da bpol de tp a b e c collegat n parallelo può essere determnata per mezzo della prma formula d Mllman 4

22 Seconda formula d Mllman eq eq eq 43 Seconda formula d Mllman Pù n generale, per un bpolo formato da bpol de tp a, b e c collegat n sere, procedendo come nel caso precedente s ottene eq A AB C eq AB A nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo a B nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo b C nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo c 44

23 Seconda formula d Mllman Se termnal A e B sono collegat n cortocrcuto ( AB 0), la corrente concde con la corrente del generatore equalente n un crcuto costtuto da una sola magla formata da bpol de tp a b e c la corrente comune a tutt bpol può essere determnata per mezzo della seconda formula d Mllman 45 Stelle e polgon d resstor Stella ad ertc resstor collegat ad un nodo comune a cu non sono collegat altr component Polgono ad ertc (-)/ resstor che collegano tutte le coppe d ertc 46

24 47 Trasformazone trangolo-stella AB C AB AB B AB AB A 3 C B A AB Caso partcolare: 48 Trasformazone stella-trangolo A C B C A B A B C B C A B A C C B C A B A AB AB C B A 3 Caso partcolare:

25 Equalenza stella-trangolo - dmostrazone Per rcaare le condzon d equalenza s mpone che le resstenze equalent alutate tra tutte le coppe d termnal (con l terzo termnale solato) ne due cas sano ugual Per la stella cascuna resstenza equalente corrsponde alla sere delle due resstenze che collegano la coppa d termnal Per l trangolo cascuna resstenza equalente corrsponde al parallelo della resstenza che collega la coppa d termnal con la sere delle altre due resstenze 49 Equalenza stella-trangolo - dmostrazone mponendo che le tre resstenze equalent sano ugual s ottene A A B B C C AB AB AB AB ( ( AB ( AB ) AB ) AB ) AB AB ( ) AB 50

26 Trasformazone stella-polgono S può dmostrare che le conduttanze de resstor d un polgono equalente ad una stella d resstor sono data dalla relazone j j Se l numero d ertc è maggore d 3, l numero d resstor del polgono è maggore del numero d resstor della stella E sempre possble trasformare una stella n un polgono, ma non è possble trasformare un generco polgono n una stella 5 enerator dpendent eneratore d tensone controllato n tensone eneratore d tensone controllato n corrente 0 0 r eneratore d corrente controllato n tensone eneratore d corrente controllato n corrente 0 g 0 5

27 enerator dpendent generator dpendent sono component a due porte (dopp bpol) deal utlzzat prealentemente come element d crcut equalent d component multpolar Le costant rgsono dette parametr d trasfermento e sono admensonal r ha le dmenson d una resstenza g ha le dmenson d una conduttanza Potenza assorbta: p a 0 una delle grandezze relate alla porta ( per generator d corrente, per generator d tensone) può assumere alor arbtrar (dpendent solo dal crcuto n cu l componente è nserto) la potenza assorbta può arare da a generator dpendent sono component att 53 Esempo Spesso la porta d un generatore dpendente non ene rappresentata negl schem 54

28 Trasformazone de generator dpendent elazon analoghe alle formule d trasformazone de generator ndpendent algono anche nel caso de generator dpendent 0 0 g due dopp bpol sono equalent se g 55 Trasformazone de generator dpendent 0 r 0 due dopp bpol sono equalent se r = a 56

29 Dodo deale Equazone: 0 0 per per 0 0 Smbolo Cura caratterstca 57 Dodo deale l dodo deale s comporta come un crcuto aperto se la tensone è negata ( condzone d polarzzazone nersa) come n cortocrcuto se la corrente è posta ( condzone d polarzzazone dretta) l dodo deale è un bpolo ressto non lneare e non blaterale l termnale posto è ndcato con l nome d anodo (A) l termnale posto è ndcato con l nome d catodo (K) Dato che n ogn condzone d funzonamento la tensone o la corrente è uguale a zero la potenza assorbta è sempre nulla l dodo deale è un componente passo 58

30 Dodo a gunzone p-n l dodo deale è un modello semplfcato medante l quale s può approssmare l comportamento d un dodo a gunzone p-n l dodo a gunzone p-n è un componente non lneare aente equazone caratterstca T S e T ln S Cura caratterstca S = corrente d saturazone (alor tpc A) T = tensone termca (dpende dalla temperatura, a 0 T 5 m) 59 Dodo a gunzone p-n Per 0 (polarzzazone nersa) la corrente è crca uguale a S normalmente s può rtenere 0 Per 0 (polarzzazone dretta) per alor d corrente d nteresse pratco la tensone generalmente non eccede alor d crca n molt cas questo alore d tensone rsulta trascurable n quest cas è possble ottenere una soluzone accurata d un crcuto contenente dod, utlzzando l modello del dodo deale n questo modo l anals d un crcuto contenente dod può essere rcondotta allo studo d crcut lnear 60

31 Modello a sogla e cas n cu la tensone del dodo polarzzato n dretta non è trascurable è possble realzzare un modello pù accurato collegando n sere al dodo deale un generatore d tensone (alor tpc ) Per < la tensone d è negata 0 Per > 0 la tensone d s annulla 6 Modello a sogla con resstenza n sere E possble rdurre ulterormente lo scostamento dalla caratterstca d un dodo reale n condzon d polarzzazone dretta nserendo un resstore n sere al dodo deale e al generatore Per < 0 (non può essere > 0 perche altrment s arebbe d 0) Per > > 0, d 0, 6

32 Anals d crcut con dod deal Per analzzare un crcuto contenente dod deal s deono prendere n esame tutt crcut ottenut sosttuendo cascun dodo con un cortocrcuto o con un crcuto aperto Tra tutte le possbl combnazon, l crcuto che rappresenta l effetto comportamento del crcuto n esame è quello n cu le corrent ne cortocrcut (dall anodo erso l catodo) sono poste le tenson de crcut apert (con l anodo come termnale posto) sono negate n generale l anals d un crcuto con dod deal può rchedere la rsoluzone d crcut lnear n pratca, n molt cas è possble fare delle potes a pror sul comportamento de dod osserando la struttura del crcuto Queste potes possono essere erfcate, ed eentualmente corrette, calcolando le tenson e le corrent de dod 63 Esempo S oglono determnare le tenson e le corrent de dod 64

33 Esempo S può rconoscere che l dodo D dee essere polarzzato n dretta, altrment la tensone tra l nodo B e l nodo E dorebbe essere maggore della tensone del generatore crcut corrspondent a due possbl stat d D sono seguent () () 65 el crcuto () s ha 5 Esempo La tensone è posta, n dsaccordo con l potes che D sa polarzzato n nersa D dee essere polarzzato n dretta el crcuto () s ha D A 3 3A 4 Qund le corrent ne dod sono D 3 3A D 4 3 A Le corrent sono entrambe poste, coerentemente con l potes che dod sano polarzzat n dretta Questa è la soluzone cercata e qund le tenson de dod sono nulle A 66