Modelli di utilità aleatoria

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1 Corso d Teora de Sstem d Trasporto + prof. ng. Antono Com gugno 8

2 Struttura del sstema d modell per la smulazone de sstem d trasporto Modell d offerta OFFERTA DI INFRASTRUTTURE E SERVIZI DI TRASPORTO MODELLO DI LOCALIZZAZIONE E LIVELLO DELLE ATTIVITÀ SISTEMI DELLE ATTIVITÀ MODELLO DI OFFERTA Ret d trasporto Attrbut d lvello d servzo (temp, cost MODELLO DI DOMANDA Fluss MODELLI DI ASSEGNAZIONE MATRICI OD Funzon d prestazone Valutazone effett MODELLO DEL SISTEMA DI TRASPORTO

3 ( Ipotes general I modell d utltà aleatora (o casuale s basano sulla potes che ogn utente sa un decsore razonale ovvero un massmzzatore dell utltà relatva alle propre scelte: a Il generco decsore nell effettuare la scelta consdera tutte le m alternatve dsponbl che costtuscono l suo nseme d scelta I. L nseme d scelta può essere dfferente per utent dvers. b Il decsore assoca a cascuna alternatva del suo nseme d scelta una utltà o attrattvtà percepta U e scegle l alternatva che massmzza tale utltà. 3

4 ( Ipotes general c L utltà assocata a cascuna alternatva d scelta dpende da una sere d caratterstche msurabl o attrbut propr dell alternatva stessa e del decsore U U (X con: X vettore degl attrbut relatv all alternatva e al decsore. d L utltà assocata dal generco decsore all alternatva non è nota con certezza all osservatore esterno (analsta, e pertanto è rappresentata come una varable aleatora. 4

5 Modello probablstco d scelta p I Pr U U, I posto: Utltà sstematca U V + I Var U V E U, Resduo aleatoro s ha: ( E U V ( Var V ( E Var (, p I Pr V V, I 5

6 Esempo Scelta del percorso Inseme delle alternatve I A, B v A 3 mh v B 5 mh d m O A U A U (X A D decsore B U B U (X B p I Pr U U, I 6

7 Espressone dell utltà sstematca L utltà sstematca rappresenta la meda dell utltà percepta fra tutt gl ndvdu che hanno gl stess valor degl attrbut. È espressa come funzone d attrbut relatv alle alternatve e al decsore: V con ndce del generco attrbuto. ( X In genere per ragon d convenenza analtca s assume che la utltà sstematca V sa una funzone lneare ne coeffcent b degl attrbut o d loro trasformazon funzonal: V ( X b X b X T 7

8 Esempo Scelta del percorso Attrbut Attrbut lvello d servzo tempo d vaggo costo d vaggo Attrattvtà del percorso confort pacevolezza.. 8

9 Esempo Scelta del percorso Utltà percepta e sstematca UA VA + V A A E U A,A Var U A UB VB + B VB E U B,B Var U B Tempo d vaggo V b X b T + b C A A A A B b B b B + b B V X T C Costo d vaggo 9

10 Classfcazone degl attrbut (3 Attrbut d lvello d servzo: attrbut propr del sstema d trasporto (es. temp, cost, frequenza de servz, comfort etc.. Attrbut del sstema d attvtà: attrbut dpendent dall uso del terrtoro dell area d studo (es. numero d negoz o numero d scuole d una zona. Attrbut soco-economc: attrbut propr dell utente o del suo nucleo famlare (es. possesso d patente, numero d autovetture possedute n famgla etc..

11 Classfcazone degl attrbut (3 Attrbut generc: attrbut che compaono con stessa forma funzonale e stesso coeffcente n pù d una alternatva. Attrbut specfc: attrbut che compaono con forme funzonal eo coeffcent dvers n dverse alternatve.

12 Classfcazone degl attrbut (33 Attrbuto Specfco dell Alternatva (ASA: rappresenta attrbut non esplctamente consderat nella funzone d utltà (dfferenza fra l utltà meda e quella spegata dagl altr attrbut utlzzat.

13 Esempo Scelta modale Inseme delle alternatve I ped, auto, bus V ped b t p V auto b t pa + b t ba + b 3 c a + b 4 DISP + b 5 REDD + b 6 AUTO V bus b t pb + b t bb + b 3 c b + b 7 t wb + b 8 BUS Attrbut Specfc della Alternatva AUTO BUS Attrbut d Lvello d Servzo t b tempo a bordo (generco t w tempo d attesa alla fermata (specfco t p tempo a ped (generco c costo monetaro (generco Attrbut Soco-Economc DISP n auton patentat REDD se reddto> 3. ; altrment 3

14 Cause d aleatoretà dell utltà percepta ( Error dell analsta Approssmazon nella msura degl attrbut consderat nella funzone d utltà sstematca (es. attrbut d lvello d servzo rcavat con un modello d rete Attrbut omess: varabl non osservabl drettamente, d dffcle valutazone o comunque non ncluse nel vettore d attrbut (es. comfort d marca, affdabltà del tempo totale d vaggo 4

15 Cause d aleatoretà dell utltà percepta ( Error d ch scegle Varazon d gust o d preferenze fra decsor (es. dstanza da percorrere a ped e, per lo stesso decsore, nel tempo a causa del verfcars d dverse condzon fsche o pscologche. Error nelle valutazone degl attrbut da parte del decsore (es. valutazon errate del tempo d vaggo. 5

16 Inseme d scelta L nseme delle alternatve dsponbl I probabltà d scelta delle stesse condzona sgnfcatvamente la Se tale nseme non è noto all analsta (o non s può assumere come tale deve essere smulato: modellzzazone mplcta dell nseme d scelta: vene smulata la percezonedsponbltà d una alternatva mplctamente nel modello d scelta d tale alternatva (es. ntroduzone nella funzone d utltà d varabl d percezone come la dsponbltà dell auto modellzzazone esplcta dell'nseme d scelta: vene smulata la generazone del choce-set (nseme d scelta esplctamente n un modello separato 6

17 Inseme d scelta Modellzzazone esplcta con: p C generco choce-set G nseme costtuto da tutt possbl choce-set non vuot per l ndvduo. p (C probabltà congunta che s verfch l evento: C choce set dell ndvduo alternatva scelta dall ndvduo ( ( p C p ( C p ( C CG CG p (C probabltà che l ndvduo scelga l alternatva essendo C l suo choce set p (C probabltà che C sa l choce set dell ndvduo. 7

18 Il modello Logt ( Ipotes: resdu aleator Indpendentemente ed Identcamente Dstrbut (I.I.D secondo una varable aleatora (v.a. d Gumbel con meda nulla e parametro a : F ε ( x Prob( ε x exp exp( αx Φ con f : costante d Eulero (f.577. E ( ε Var ( ε σ ε π 6α Cov(,, h I h F U V + ε U Prε U V exp exp( α( U V ( U Pr Φ E( U V Var ( U π 6α 8

19 Il modello Logt ( A B C D o π ε 6α A B C D A B C D p( m exp ( αv h exp ( αv h 9

20 Esemp d funzon d denstà d probabltà d Gumbel

21 Propretà delle varabl d Gumbel Propretà della stabltà rspetto alla massmzzazone: Il massmo d varabl d Gumbel ndpendent e d uguale parametro q è ancora una varable d Gumbel d parametro q (a. U G(V, q U M max U G(V M, q con: VM E(U M q log exp(v q (utltà nclusva Y log exp ( V q (varable log-sum

22 Propretà delle varabl d Gumbel Dmostrazone F U M u Probmax U ( u Prob U M,,N u ndpendenza delle U ( U u F ( u exp exp ( u V,,N Prob,,N U,,N q f ( ( ( exp f exp u q exp V q exp exp ( u V exp q f M

23 Modello logt multnomale p( m exp(v exp(v q q + exp (V V q q a caso bnomale: p( A exp( VA q exp( V q + exp( V q + exp ( V V q A B B A P(A q.5 q q q.5 q.5 q V B -V A

24 Modello addtvo nvaranza rspetto all aggunta d costant V' V h + h ( q exp( V q exp ( V + q exp exp V p( m m m exp ( V + q exp exp ( q exp( V q h h h ( q ( V q (propretà valda per tutt modell addtv h V attrbut specfc dell alternatva (ASA possono comparre n tutte le alternatve meno una V' + b b p( m exp ( b + V' exp q CSA exp( V' ( b + V' q exp( V' q + exp(( b b + V' q q

25 Indpendenza delle Alternatve Irrlevant (I.I.A. Nel modello Logt l rapporto delle probabltà d scelta d due alternatve è costante ed ndpendente dal numero e dalla utltà sstematca delle altre, eventual, alternatve d scelta: p ( p( h exp V exp V ( q ( q Questa propretà può comportare de problem quando le alternatve sono sml h V Auto V Bus blu p ( Auto p( Busblu.5 p p( Auto ( Busblu V p Auto V Bus blu V Bus rosso ( Auto p( Busblu p( Bus rosso.33 p p( Auto ( Busblu

26 Esempo Scelta del percorso Modello Logt Multnomale,.. d A B. G ( q E ( A Var ( A 6a E ( B Var ( B 6a Cov(, Cov(, A B B A ( p A ( p B a ( A ( A ( B a ( B ( ( exp V a exp a V + exp a V q exp V a exp a V + exp a V q A B V b T + b C V b T + b C A A A B B B 6

27 Esempo Scelta del percorso O B A I temp espress n mnut e cost n Euro. D I A,B exp a ( VA ( ( v A 3 mh v B 5 mh d m V.T.93 C V.T.93C A A A B B B p(a p(b p(a exp a V + exp a V A B T A C A.86 V A -5.6 T B 4 C B.3 V B -4.6 α. α. α. p A p B

28 Esempo Scelta del percorso Indagne su utent: A 7 utent B 73 utent a. Aumento del costo del percorso A del 5% T A C A.4 V A -6. T B 4 C B.3 V B -4.6 p A.8 p B.8 D A -34% D B 3% 8

29 Appendce 9

30 Il modello Logt Gerarchzzato a lvello U V + V + + I E E E o, q q con: p( p ( p( p ( p( p( probabltà d scelta dell alternatva probabltà d scelta dell alternatva dato l gruppo probabltà d scelta del gruppo 3

31 3 Probabltà d scelta dell alternatva dato l gruppo [p(] I V U +,, I V prob(v U prob(u p( Ipotes: resdu delle alternatve dsponbl ad ogn nodo d decsone sono I.I.D. Gumbel (, I α π τ Var, I τ E, I α G τ 6 ( (, I αv αv p exp( exp( (

32 3 Probabltà d scelta del gruppo [p(] ( ( ( I I * V max max U U + + ( + I I * * Y V exp( ln max V E E U V a a a * * * ε Y α η τ θy U ( α G τ *, h ε ε Y α Y α prob U U prob p h h h ( ( ( * * * * propretà d stablta rspetto alla massmzzazone della v.a. d Gumbel

33 Probabltà d scelta del gruppo [p(] ( Ipotes: resdu delle alternatve dsponbl ad ogn nodo d decsone sono I.I.D. Gumbel * ε G E Var (, α ( ε ( ε π 6α * o * con: Var p( exp( Y α α h exp( Yhαo α τ α exp( δ Y h exp( δ Y ( ( * ε Var δ 33 α h α α

34 34 Probabltà totale d scelta dell alternatva [p(] ( ( ( h h I δy δy αv αv p p p exp( exp( exp( exp( ( ( α π ε Var ε Var * 6 ( ( ( ( ( ( ( (, Var E E E E E, Cov ( ( ( α α π τ Var ε Var η Var 6

35 Matrce varanza-covaranza La matrce varanza-covaranza de resdu aleator del modello Logt Gerarchzzato ha una struttura dagonale a blocch. o, q o q q Auto Moto Ped Bus Metro π 6 Auto Moto Ped αo αo α αo α αo Bus α o Metro α α o o α α o α α o Auto Moto Ped Bus Metro 35

36 36 Modello Probt Ipotes: (, MVN E Var Cov h h ( ( ( m m m m m m m ( m U U N T U U U..dU du det ( ( ( exp ( p m + V U V U

37 Varable d soddsfazone U max U I ( S ( V E U ( E max + ( U E max V ε max V + ε f ( ε dε I Propretà della var. d soddsfazone per modell addtv: ( V max( V s s( V p( V se I.I.D Gumbel (,a: A B V A 5 V B 7 α A B ( log exp ( α V s V V 37 A 5 V B 7 S 7.7 S 7.7 A B C V A 5 V B 7 V A 5 V B 7 V C 4 S 7,7 S 7.7 a exp( a V log exp ( a V exp( a V a p( V a exp( a V exp( a V

38 Esempo numerco d Nested Logt (NL IND COL V IND + V AUTO V (V COL BUS + V V BUS TRAM V COL + V TRAM AUTO BUS TRAM p( p( p( p( J exp(v q exp(v q p( exp( Y h exp( Y h p( BUS COL exp(v bus exp(v bus q q + exp(v tram q Y ( exp(v q + exp(v q ln( exp(v q ln( V q ln Col bus tram + ( exp(v q V q YInd ln auto

39 Esempo numerco d Nested Logt (NL p( COL exp( Y exp( Y Col Col + exp( Y Ind exp( ln + V q exp( ln exp( ln + bus o exp( ln + Vbus q o + exp(vauto q o + p( col 3 p( col p( bus 3 3 p( bus 4