Propagazione degli Errori

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1 Propagaone degl Error La maggor parte delle grandee fsche d solto non può essere msurata attraverso una sngola msura dretta ma vene nvece determnata n due pass dstnt come detto nella defnone d msure ndrette:. S msurano una o pù grandee che possono essere msurate drettamente e dalle ual la grandea che c nteressa può essere calcolata. Utlando valor msurat s calcola la grandea n uestone Un tpco esempo è la veloctà meda d un corpo. Essa necessta la msura dello spao percorso e dell ntervallo d tempo necessaro per percorrerlo: v / t t m s m m 0.0 m 0.03 s v / t.6098 m / s Quanto vale l errore sulla veloctà n uesto caso?

2 Propagaone degl Error In un caso come uesto uando la msura comporta ueste due fas allora anche la stma delle ncertee necessta d due fas dstnte.. Occorre stmare le ncertee nelle grandee che sono state msurate drettamente. Occorre trovare come gl error s sono propagat Questa ultma fase s chama: Propagaone degl error ota: Il lbro d testo presenta prma una sere d relaon approssmate po dmostra la relaone generale. o salteremo subto alla relaone generale

3 Propagaone degl Error formula uas completa caso varabl Supponamo che le osservabl fsche sano msurate cascuna con devaone standard. Supponamo che le osservabl sano necessare per estrarre l valore della osservable attraverso la formula Allora n prma approssmaone la devaone standard è espressa dalla relaone: 0 devaone standard covarana msurat n calcolata rspetto ad parale dervata n dove

4 Propagaone degl Error - Formula uas completa ma semplfcata Supponamo che le osservabl fsche... sano msurate cascuna con devaone standard. Supponamo che le osservabl sano necessare per estrarre l valore della osservable attraverso la formula Allora se gl error d sono ndpendent e casual tra loro la devaone standard è espressa dalla relaone:... 0 devaone standard msurat... n calcolata rspetto ad parale dervata dove

5 Propagaone degl Error ota mportante la formula uas completa nel caso d pu d due varabl ha tutte le dervare ncrocate ota Importante pagna Cannell

6 Esempo Calcolamo l errore sul seno d un angolo Sa =.484 radant 85 grad Sa = 0.07 radant 0.97 grad Voglo conoscere come l errore s propaga l errore su f sn cos cos Qund

7 Eserco: Un gruppo d student vuole msurare l acceleraone d gravtà utlando un pendolo. Effettua una sere d msure per estrarre l perodo d oscllaone e la lunghea del pendolo. Supponendo che g d T 4 d T m.945 s 0.00 m 0.0 s m m m 0.005s g s usano tutt decmal perche non è stato ancora calcolato

8 Applcando la formula generale d propagaone degl error alla relaone che da g S ottene Da cu T T T d d d T T d d g T T d g d T d g T T T d d d T T d d g T d T T su errore Domna g g

9 Esempo pg. 53 bevngton: Se le msure sono rpetbl ndpendent e sena errore sstematco allora la devaone standard è sempre la medesma ndpendentemente dall ndce coè

10 otate che la propagaone degl error puo anche avere un uso predttvo nfatt s potrebbe anche rspondere al seguente uesto A che angolo vene mnmato l errore d msura su D?

11 L ncertea che contrbusce d pù all errore sulla gttata è uello relatvo alla veloctà

12 Provate a fare gl eserc dal

13 Quando devo usare l termne d covarana nella propagaone? Quando l errore delle varabl.. non è ndpendente tra loro uando coè una sovrastma o sottostma d mplca una sovrastma o sottostma d allora la relaone d propagaone degl error nell potes d una funone a due varabl e dventa: Covarana dove

14 Quando devo usare l termne d covarana nella propagaone? La covarana stma n che proporone fluttua asseme a. Covarana - Se le osservabl fluttuano n modo ndpendente l prodotto degl scart s annulla posto che sa suffcentemente grande - Se le osservabl non fluttuano n modo ndpendente l prodotto degl scart ha segno postvo e così da rendere σ non nulla e non trascurable rspetto a σ e σ - nel caso n cu numero d msure sa pccolo allora val la pena fare una prova - Calcolo potando la non correlaone - Calcolo potando la massma correlaone - e chamato errore massmo

15 ota: Se c fosse la massma correlaone tra le ncertee delle osservabl allora Le ncertee und s sommano! S può dmostrare und che vale sempre uesta dsuguaglana b a b Covarana b b b a a a b b a a b a 0 0

16 Qund: Calcolo potando la non correlaone Calcolo potando la massma correlaone errore massmo el caso c fosse una dfferena sostanale tra due valor allora l contesto fsco e/o la anals dat specfca m drà se posso rtenere dat correlat o n generale cosa rportare come errore spermentale Cannell pag.

17 Posso stmare se gl error su a e b sono ndpendent tra loro? Calcolate la covarana Rflettete sulla fsca del sstema che state studando - Esempo: - Avete una sere d coppe dat spermental che devono segure un andamento lneare.e. la lunghea del pendolo L e l suo perodo al uadrato T - Avete estratto da dat spermental coeffcent d una retta coeffcente angolare a± a e termne noto b ± b ad esempo con una regressone lneare = a + b ad esempo L = a T + b - Volete estrapolare l valore della retta o nel punto o e volete anche avere una stma dell errore sulla vostra estrapolaone - ad esempo la lunghea che deve avere un pendolo per oscllare con un perodo d 5 s - otate che ora le varabl con ncertea sono a e b non e

18 Allora l valore della varable o è dato da 0 = a 0 + b ad esempo L = 5 a + b L errore s dovrà calcolare con la propagaone degl error In uesto caso però le osservabl a e b termne noto e coeffcente angolare sono correlate perche estratte da dat spermental n altra parole se camba una deve cambare anche l altra opportunamente per rprodurre dat spermental 0 o a b 0 ab Attenone und che la covarana s calcola a partre da dat spermental con ual avete estratto l parametro a coeffcente angolare e b termne noto. el caso del pendolo a partre da perod e dalle lunghea msurate. Qund:

19 Estrapolaone - Interpolaone La procedura d calcolo della varable Y non msurata è detta nterpolaone uando l valore della è compreso tra due valor d X msurat. E detta nvece estrapolaone uandol valore della X è all esterno de valor msurat Il valore della Y estrapolata/nterpolata s ottene applcando la relaone lneare b a Pù complessa rsulta l estraone dell ncertea della osservable nterpolata/estrapolata Y nfatt: - Il punto d partena sono le coppe d msure - da ueste coppe d msure sono stat estratt parametr a a b b - da uest parametr voglamo ora estrarre una Y nterpolata o estrapolata a partre da una determnata - da uest parametr voglamo ora estrarre la corrspondente - posso usare la propagaone degl error - Attenone che stavolta l errore d a e uello d b sono correlat perche sono estratt da un medesmo dataset.

20 Estrapolaone - Interpolaone Devo usare l termne d covarana nella relaone d propagaone degl error Eseguendo un certo ammontare d cont s arrva alla relaone pù semplce: Qund come gà preannuncato l errore sulla Y nterpolata/estrapolata O è la estratta da dat spermental o dalla regressone lneare ma ualcosa d pù complesso ; cov b a b a b a a b b a b a a b

21 Esempo

22 E tutto Charo? Dovreste aver char seguent argoment: Propagaone degl error Quando usare la covarana nella propagaone degl error

23 Dscrepana ella stragrande maggorana de cas le concluson spermental mplcano l confronto tra due o pù valor. Quest valor possono essere delle msure e und con un ncertea delle stme teorche con o sena ncertea o grandee note. ell potes che dat spermental s dstrbuscono su una gaussana è possble fare un confronto uanttatvo. Data una msura spermentale best ± con devaone dalla meda par a m ed una stma teorca teo della medesma uanttà defnamo: D t best best La uanttà D è detta dscrepana mentre la uanttà t ndca uanto è dstante best da teo n untà d devaone standard lo abbamo gà ncontrato uando abbamo parlato della gaussana e della t d student. Rcordatev che abbamo defnto un t gauss e t stud dentc per ma molto dfferent se relatv a poche msure. m teo teo

24 Se t gauss = 0.3 sgnfca che best dsta da teo d 0.3 devaon standard della meda. Qund: - esste l 75% d probabltà che teo sa l valore medo della dstrbuone statstca msurata - esste l 75% d probabltà che la dfferena tra teo e best sa d orgne statstca. Da uesto s conclude che la msura spermentale è compatble con l valore atteso! Se t gauss = 3.5 sgnfca che best dsta da teo d 3.5 devaon standard della meda. Qund: - esste l 0.05 % d probabltà che teo sa l valore medo della dstrbuone statstca msurata - esste l 0.05 % d probabltà che che la dfferena tra teo e best sa d orgne statstca In altre parole: Da uesto s conclude che la msura O è compatble con l valore atteso! Lo strumento non funona correttamente poco probable La ma procedura d msura non è corretta Esstono degl effett fsc che dsturbano la msura Esste un errore sstematco Ho fatto una scoperta!

25 ota: Quale è l sgnfcato statstco d t? - Ho ottenuto una msura best con devaone standard devaone standard dalla meda m - Devo verfcare se best o teo sono statstcamente ugual - Questo euvale a verfcare con che probabltà D = best - teo sa ero - Poché best è una msura allora con la propagaone degl error posso rcavare l errore su D D Dm best m teo n uesto caso partcolare posso estendere la devaone dalla meda ho una sola varable D relaone alla - Allora t non è altro che la dstana d D da ero n untà d sgma dalla meda D t Dm best m teo

26 Cosa succede se devo confrontare due msure spermental o due osservabl cascuna con una ncertea? Data una msura spermentale best ± con devaone dalla meda par a m effettuata dallo studente A ed una msura una msura spermentale best ± con devaone dalla meda par a m effettuata dallo studente B D t best best m best best m Il resto è esattamente lo stesso otate che s può dmostrare la formula sopra con la propagaone degl error

27 Il lmte entro l uale stablre la compatbltà è stablto a pror e vara tra dvers ambt spermental. el caso d uesto corso d laboratoro lo stablremo entro oppure m. Se è tra due o tre sgma allora l espermento non è conclusvo. Qund: un dato spermentale è compatble con una stma teorca/attesa se t gauss < una msura spermentale con e m è compatble con un altra msura con e m o con un valore noto se t gauss < Abbamo gà vsto n una gaussana non necessaramente per le altre dstrbuon statstche l ntervallo best ± corrsponde al 68 % de dat In altre parole nel caso d una dstrbuone gaussana le sngole msure cadranno nell ntervallo <> ± con lvello d confdena par al 68% Analogamente per 95% o % o X Per dstrbuon non gaussane s dce [ o - o + ] al 95% C.L. Questo sgnfca che l 95% delle msure cadono nell ntervallo [ o - o +]

28 Qund: Quando devo confrontare due msure o una prevsone teorca ed una msura devo: Accertarm se usare la gaussana o l approcco della t d student. In uest ultmo caso a partre dalla t stud estraggo la t gauss euvalente. Sapere ual sono gl ntervall d confdena n altre parole la fnestra entro uale ntervallo ho l 68% 95% 99.7% degl event. 3 Decdere una sogla d probabltà oltre la uale rtengo la probabltà rragonevolmente pccola. Coè decdere ad esempo che "se l'evento è fuor da un ntervallo d confdena del 95% allora è mprobable. 4 Calcolare la dscrepana t Pt -Pt - Lo so fare con la gaussana - on lo so fare con altre dstrbuon ho bsogno d conoscere l C.L Esempo ved l fle precedente o lucdo successvo

29 Cosa bsogna fare uando ho poche msure: Esempo: ho 4 Msure che m hanno dato un valore medo d 5.3 ed una devaone standard della meda 0.7. Voglo verfcare la compatbltà d uesto rsultato con un valore atteso d 4.9. La funone ERF della gaussana t poché costruta con la devaone standard del campone non produce le corrette probabltà Estraggo l osservable t usando la devaone standard msurata t stud = /0.7 =.35 Utlando la tabella della t d Student trovo la probabltà assocata alla t ottenuta Pesternat stud =.35 = 0.90 = 0. Rcavo la probabltà euvalente a 0. = 0% con la funone ERF gaussana Pgaussana-esterna= 0% -> t gauss =.64 Eseguo tutt ragonament d compatbltà come se la t rcavata da me dat spermental fosse.64 Poché t gauss < allora l dato spermentale è compatble con l valore atteso Ho l 0% d probabltà che la dfferena tra la ma msura e l valore atteso sa d orgne statstca e und lo accetto Se non avess usato la dstrbuone d Student avre concluso che la compatbltà tra l dato spermentale e uello atteso

30 Meda Dad meda dad Meda Dad Acceleraone d Gravtà m/s ESEMPIO : Tro due dad ugual n forma Voglo sapere se statstcamente due dad sono ugual? Msura spermentale Msura spermentale arb. unts.5.5 dscrepana errore t m m bsogna usare la devaone dalla 0 < t < Le due msure sono certamente consstent dad sono ugual < t < Ho tra l 5-30% d probabltà che le due msure sano consstent Le due msure sono consstent - dad sono ugual < t < 3 Ho tra lo 0.3-5% d probabltà che le due msure sano consstent Le due msure con molta probabltà non sono consstent - dad con molta probabltà O sono ugual - sarebbe opportuno fare ulteror msure t > 3 Ho meno del 0.3 % d probabltà che le due msure sano consstent Le due msure non sono consstent - dad O sono ugual Dado Dado Dado Dado arb. unts.5.5 meda

31 meda dad meda dad ESEMPIO : Tro un dado Voglo sapere se l dato è truccato.50.5 Valore Atteso Msura spermentale.50.5 Valore Atteso Msura spermentale arb. unts arb. unts 3 4 t teo m bsogna usare la devaone dalla meda 0 < t < La teora ed dat sono consstent < t < Ho tra l 5-30% d probabltà che la teora ed dat sano consstent < t < 3 Ho tra lo 0.3-5% d probabltà che la teora ed dat sano consstent t > 3 Ho meno del 0.3 % d probabltà che la teora ed dat sano consstent

32 Sgnfcatvtà Statstca Supponamo d avere una msura sngola 0 e una dstrbuone per semplctà d tpo gaussana con valor medo <> e devaone standard. C chedamo se la dfferena tra 0 e <> sa d orgne statstca o reale Calcolamo und la t gauss usando o meno la t stud Sgnfcatvtà Se -Pt < 5 % oppure t gauss >.96 - s dce che ho evdena sgnfcatva che 0 O appartenga alla dstrbuone statstca che ha generato <> e. Ovvero la dscrepana è sgnfcatva. Se -Pt < % oppure t gauss >.3 - s dce che ho evdena altamente sgnfcatva che 0 O appartenga alla dstrbuone statstca che ha generato <> e. Ovvero la dscrepana è altamente sgnfcatva.

33 HP : Dstrbuone gaussana e msure rpetbl ed ndpendent Cosa sgnfca scartare dat la cu dfferena dal valor medo sa sgnfcatva? - Sgnfca scartare dat per ual t gauss >.96 - Sgnfca che sono scuro d elmnare crca l 5% d dat buon - Sgnfca che avrò l 5% d probabltà d scartare un evento che n realtà è buono Esempo: Ho delle scatole con 000 component elettrc che devono avere un valore d resstena par a 0 ± Ohm. Poché non posso msurare la resstena d tutt component elettrc della scatola ne pglo 0 e ne msuro la resstena. Se l valor medo della resstena è compreso tra 8.04 ed.96 Ohm nota.96 =.96* und 0-.96=8.04 e 0+.96=.96 allora la scatola vene avvata alla vendta. In caso contraro s butta va. In uesto caso pochè l mo lmte è.96 sgma sono scuro d buttare va l 5% d scatole buone con resstena 0 ± Ohm nseme a uelle con resstena dversa da 0 ± Ohm

34 HP : Dstrbuone gaussana e msure rpetbl ed ndpendent Cosa sgnfca scartare dat la cu dfferena dal valor medo sa altamente sgnfcatva? - Sgnfca scartare dat per ual t gauss >.56 - Sgnfca che sono scuro d elmnare l % d dat buon - Sgnfca che avrò l % d probabltà d scartare un evento che n realtà è buono Esempo: Ho delle scatole con 000 component elettrc che devono avere un valore d resstena par a 0 ± Ohm. Pochè non posso msurare la resstena d tutt component elettrc della scatola ne pglo 0 e ne msuro la resstena. Se l valor medo della resstena è compreso tra 7.44 ed.56 Ohm allora la scatola vene avvata alla vendta. In caso contraro s butta va. In uesto caso pochè l mo lmte è.56 sgma sono scuro d buttare va solo l % d scatole buone nseme a uelle con materale dfettoso otate che n uesto caso butto va meno scatole solo l % ma è pù facle avvare alla vendta scatole con materale dfettoso

35 Meda Pesata Può captare che una grandea sa stata msurata pù volte da persone o con tecnche dfferent Cascuna d ueste msure a sua volta è l rsultato d molte msure e und è nella forma Il calcolo del semplce valor medo potrebbe non essere convenente se le ncertee non sono ugual o molto sml. E n generale pù corretto usare la meda pesata defnta come best best Attenone: controllare che le msure sano consstent tra loro dscuteremo a fne leone come fare n pratca la t gauss tra le dverse msure non deve essere assocata ad una probabltà eccessvamente bassa ota: Questa relaone vale per la devaone standard e per uella della meda w w w 3 / 3 w 35

36 ota: Meda Pesata E nutle fare una meda pesata uando le devaon standard o devaon standard della meda sono sostanalmente ugual per tutte le msure. Fate la meda delle msure e estraete la devaone standard e/o della meda dalle msure stesse confrontando l rsultato con l errore mnmo. Sebbene sa corretto tenere conto dell errore strumentale assocato ad ogn msura prvlegate sempre l dato spermentale. Solo alla fne confrontatelo con l errore mnmo estratto sulla base delle ncertea strumental: Poché l errore mnmo sul perodo non può essere d molto nferore all errore strumentale devo confrontare alla fne de cont l errore mnmo s con uello rcavato per l perodo medo esempo: Ottenuto da solo dat spermental e non dall errore strumentale Come vedete l valore medo calcolato con due metod è uguale. Possono cambare le devaon standard Ottenuto facendo la meda pesata con la sgma strumentale

37 Provate a fare gl eserc dal 5.7 al 5.8 e dal 5.34 al 5.37

38 Eserco: S supponga d voler verfcare che due fornture d resstene d valore nomnale dcharato per esempo sa = 470 sa affdable. S supponga che ogn forntura sa normalmente dstrbuta con devaone standard = 0 ma con valor medo dfferente. Per una stma rapda del valor medo s msur un campone d = 5 resstene da ogn forntura. S e trovato: campone = 480 campone = 475 Quale è la probabltà che la dfferena tra l valore medo osservato e uello atteso sa solamente d orgne statstca? b Quale valore d a lvello d confdena del 95 % rappresenta una stma del valore vero? c Quale valore d a lvello d confdena del 98 % rappresenta una stma del valore vero? d Quale deve essere l valore d per essere scur a lvello d confdena del 98% che la stma non dffersca da per pù d 5? Soluone: Sappamo l valore medo vero Sappamo la devaone standard vera E fatto cclo d 5 msure da una popolaone per due scatole d resstene e s ottengono due valor med

39 .3% % esterna P t esterna P t m m m % nterna % nterna t P t P /.3 98% nterna sgma t P m

40 Perodo [s] T m d m -tot d/ m -tot -tot d/-tot

41 La seconda msura rsulta ncompatble con le altre n uanto valutando la dscrepana d= T -T della stessa da ogn altra e l corrspondente errore md = m + m / rsulta per ogn =345 d/m d >.96 La seconda msura è ncompatble con le altre n uanto anche consderando la msura con la pù alta devaone standard. La msura non rsulta essere compatble con un C.L. del 95% Se uesta è la sogla statstca allora la msura non rappresenta la stessa osservable fsca delle msure 345. Qund una volta evdenata la O compatbltà con ogn altra msura non va nserta nella meda pesata

42 Eserco Facendo 30 volte una msura ho ottenuto la tabella mostrata. In uale ntervallo ho un lvello d confdena del 80% d trovare la prossma msura non è scontata una dstrbuone gaussana. Ovvamente vsto che non sto parlando d devaone dalla meda ne d una dstrbuone gaussana non posso usare le propretà della t gauss Metto n ordne crescente le msure fatte e verfco n che ntervallo ntorno al valore medo raccolgo l 90% delle msure

43 Soluone [.4-5.3]

44 E tutto Charo? Dovreste aver char seguent argoment: Dscrepana Lvello d confdena Compatbltà