Propagazione degli Errori
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- Casimiro Riva
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1 Propaaone el Error Fno a ora abbamo sempre e solo scusso msure rette. I concett valor meo evaone stanar e errore fno a u scuss sono assocat a msure rette La maor parte elle ranee fsche solto non può essere msurata attraverso una snola msura retta ma vene nvece etermnata n ue pass stnt come etto nella efnone msure nrette:. S msurano una o pù ranee che possono essere msurate rettamente e alle ual può essere calcolata la ranea che c nteressa.. Utlano valor msurat s calcola la ranea n uestone Un tpco esempo è la veloctà mea un corpo. Essa necessta la msura ello spao percorso.e. 6 msure e ell ntervallo tempo.e. 9 msure necessaro per percorrerlo: v / t t m s m m. m.3 s v / t.698 m / s Quanto vale l errore sulla veloctà n uesto caso?
2 Propaaone el Error In un caso come uesto uano la msura comporta ueste ue fas allora anche la stma elle ncertee necessta ue fas stnte.. Occorre stmare le ncertee nelle ranee che sono state msurate rettamente. Occorre trovare come l error s sono propaat Questa ultma fase s chama: Propaaone el error ota: Il lbro testo presenta la propaaone el error n ue moment vers. All no captolo 3 l lbro presenta solo una efnone operatva po captolo 8 fa una trattaone formalmente completa. Anche no faremo ora una prma ntrouone al concetto propaaone el error. on aremo mostraon ma solo le formule e le moaltà utlo.
3 Propaaone el Error formula uas completa caso varabl Supponamo che le osservabl fsche sano msurate cascuna con evaone stanar. Supponamo che le osservabl sano necessare per estrarre l valore ella osservable attraverso la formula Allora n prma approssmaone la evaone stanar è espressa alla relaone: evaone stanar covarana msurat n calcolata rspetto a parale ervata n ove
4 Propaaone el Error ota mportante la formula uas completa nel caso pu ue varabl ha tutte le ervare ncrocate ota Importante pana Cannell Morale: La formula vale anche se vene usata la evaone alla mea e non la evaone stanar ella popolaone
5 Propaaone el Error - Formula uas completa ma semplfcata Supponamo che le osservabl fsche... sano msurate cascuna con evaone stanar. Supponamo che le osservabl sano necessare per estrarre l valore ella osservable attraverso la formula Allora se l error sono npenent e casual tra loro la evaone stanar è espressa alla relaone:... evaone stanar msurat... n calcolata rspetto a parale ervata ove
6 Esempo Calcolamo l errore sul seno un anolo Sa =.484 raant 85 ra Sa =.7 raant.97 ra Volo conoscere come l errore s propaa l errore su f sn cos cos Qun
7 Eserco: Un ruppo stuent vuole msurare l acceleraone ravtà utlano un penolo. Effettua una sere msure per estrarre l peroo oscllaone e la lunhea el penolo. Supponeno che m.945 s. m. s m m.4 m.5s s usano tutt ecmal perche non è stato ancora calcolato
8 Applcano la formula enerale propaaone el error alla relaone che a S ottene Da cu su errore Domna
9 Esempo p. 53 bevnton: Se le msure sono rpetbl npenent e sena errore sstematco allora la evaone stanar è sempre la meesma npenentemente all nce coè
10 Quano evo usare l termne covarana nella propaaone? Quano l errore elle varabl.. non è npenente tra loro uano coè una sovrastma o sottostma mplca una sovrastma o sottostma allora la relaone propaaone el error nell potes una funone a ue varabl e venta: Covarana ove
11 Quano evo usare l termne covarana nella propaaone? La covarana stma n che proporone fluttua asseme a. Covarana - Se le osservabl fluttuano n moo npenente l prootto el scart s annulla posto che sa suffcentemente rane - Se le osservabl non fluttuano n moo npenente l prootto el scart ha seno efnto così a renere σ non nulla e a volte non trascurable rspetto a σ e σ - nel caso n cu numero msure sa pccolo allora val la pena fare una prova fatelo nelle relaon non nello scrtto a meno che non sa rchesto - Calcolo potano la non correlaone - Calcolo potano la massma correlaone - e chamato errore massmo - Se la massma correlaone mofca l rsultato ella propaaone allora vale la pena conserare l termne covarante
12 ota: S può mostrare che vale la suualana < ota: Se c fosse la massma correlaone tra le ncertee elle osservabl allora: Le ncertee un s sommano! S può mostrare un che vale sempre uesta suualana Covarana b b b a a a b b a a b b a a b a
13 Qun: Calcolo potano la non correlaone Calcolo potano la massma correlaone errore massmo el caso c fosse una fferena sostanale tra ue valor allora l contesto fsco e/o la anals at specfca m rà se posso rtenere at correlat o n enerale cosa rportare come errore spermentale Cannell pa.
14 Mea Pesata Può captare che una ranea sa stata msurata pù volte a persone o con tecnche fferent Cascuna ueste msure a sua volta è l rsultato molte msure e un è nella forma Il calcolo el semplce valor meo potrebbe non essere convenente se le ncertee non sono uual o molto sml. E n enerale pù corretto usare la mea pesata efnta come best best Attenone: controllare che le msure sano consstent tra loro scuteremo a fne leone come fare n pratca la t auss tra le verse msure non eve essere assocata a una probabltà eccessvamente bassa ota: Questa relaone vale per la evaone stanar e per uella ella mea w w w 3 / 3 w 4
15 ota: Mea Pesata E nutle fare una mea pesata uano le evaon stanar o evaon stanar ella mea sono sostanalmente uual per tutte le msure. Fate la mea elle msure e estraete la evaone stanar e/o ella mea alle msure stesse confrontano l rsultato con l errore mnmo. Sebbene sa corretto tenere conto ell errore strumentale assocato a on msura prvleate sempre l ato spermentale. Solo alla fne confrontatelo con l errore mnmo estratto sulla base elle ncertea strumental: Poché l errore mnmo sul peroo non può essere molto nferore all errore strumentale evo confrontare alla fne e cont l errore mnmo. s con uello rcavato per l peroo meo esempo: Ottenuto a solo at spermental e non all errore strumentale Come veete l valore meo calcolato con ue meto è uuale. Possono cambare le evaon stanar Ottenuto faceno la mea pesata con la sma strumentale
16 AEZIOE Per poter applcare l operaone mea pesata è necessaro che Le msure sano npenent e rpetbl on evono rappresentare anals verse uno stesso ataset Devono essere compatbl tra loro Altrment non sarebbero rpetbl otate che l errore elle mea pesata è sempre pù pccolo e snol error otate che nell errore ella mea pesata non entra l oco l valore ella msura Esempo è un errore GRAVE fare: - X = ±. - X = ±.8 - Eseuo mea pesata <> = 4.5 ±.7
17 E tutto Charo? Dovreste aver char seuent aroment: Propaaone el error Quano usare la covarana nella propaaone el error Mea pesata
Propagazione degli Errori
Propagaone degl Error La maggor parte delle grandee fsche d solto non può essere msurata attraverso una sngola msura dretta ma vene nvece determnata n due pass dstnt come detto nella defnone d msure ndrette:.
Propagazione degli errori
Propagaone degl error Voglamo rcavare le ncertee nelle msure ndrette. Abbamo gà vsto leone un prma stma degl error sulle grandee dervate valda n generale. Consderamo ora l caso specco d grandee aette da
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Prncpo d massma verosmglana Sa data una grandea d cu s conosce la unone denstà d probabltà ; che dpende da un nseme de parametr ndcat con d valore sconoscuto. S vuole determnare la mglor stma de parametr.
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Propagazone delle ncertezze In questa Sezone vene trattato l problema della propagazone delle ncertezze quando s msurano pù grandezze dfferent,,,z soggette a error d tpo casuale e po s utlzzano tal grandezze
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Una semplice applicazione del metodo delle caratteristiche: la propagazione di un onda di marea all interno di un canale a sezione rettangolare.
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