Note introduttive al Laboratorio di Fisica. Leonardo Merola

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1 ote ntroduttve al Laboratoro d Fsca Leonardo Merola

2 METODOLOGIA DELLE SCIEZE FISICHE La Fsca è una Scenza (rgorosa nel metodo ma non esatta e non defntva che s basa sulla spermentazone e sulla nterpretazone e descrzone teorco-matematca de fenomen fsc. I passagg fondamental sono: Osservare l fenomeno che s ntende studare. Indvduare le grandezze fsche rlevant per la descrzone del fenomeno. Formulare delle procedure operatve per la msurazone delle grandezze al fne d ottenerne la loro msura. Determnare, se esstono, le relazon fra le grandezze fsche e formulare le legg fsche del fenomeno. Duplce obettvo: SPIEGARE, CIOE CORRELARE FRA LORO I FEOMEI FOREDOE UA DESCRIZIOE RIGOROSA (O ECESSARIAMETE ESATTA E PREVEDERE UOVI FATTI E FEOMEI.

3 GRADEZZE FODAMETALI E DERIVATE MISURE DIRETTE Una grandezza vene confrontata con un altra della stessa spece scelta come untà d msura. GRADEZZE FODAMETALI Le grandezze fondamental sono grandezze fra loro ndpendent nel senso che l untà d msura d una non ha alcuna nfluenza sull untà d msura scelta per l altra. Ad es. Massa, Lunghezza, Tempo, Intenstà d corrente, Temperatura, La scelta delle grandezze fondamental è n qualche modo arbtrara ed è basata su motv d opportuntà: facltà d realzzare campon dell untà d msura stabl nel tempo e faclmente rproducbl. facltà d costrure strument d msura ed effettuare msure drette. GRADEZZE DERIVATE Le grandezze dervate sono grandezze collegate ad altre grandezze tramte relazon matematche. Ad es. Veloctà, Forza, Volume, Pressone, 3

4 DIMESIOI FISICHE Le dmenson fsche d una grandezza fondamentale ndcano l tpo o spece d grandezza fondamentale e s ndcano fra parentes quadre: [massa] [M] [lunghezza] [L] [tempo] [T] Le dmenson fsche d una grandezza dervata rappresentano la relazone che sussste fra la sua untà d msura e quelle delle grandezze fondamental, ndpendentemente da fattor numerc che compaono nella relazone matematca che defnsce la grandezza dervata. [veloctà] [L] [T] [forza] [M] [L] [T] Le dmenson fsche restano mmutate anche se s usano multpl o sottomultpl delle untà d msura. Le grandezze admensonal hanno tutt gl esponent ugual a zero. Cò non vuol dre che non s possa msurare una tale grandezza dopo aver defnto la corrspondente grandezza campone che s assume come untà d msura. Esempo. La msura n radant d un angolo pano è per defnzone l rapporto fra la lunghezza d un qualsas arco d crconferenza centrata sull orgne delle semrette ed l raggo corrspondente: θ s / R θ R s L angolo è admensonale essendo l rapporto fra due lunghezze! 4

5 LE EQUAZIOI FISICHE SOO OMOGEEE, nel senso che devono avere le stesse dmenson fsche. Tale consderazone costtusce anche un potente strumento d controllo (dmensonale delle formule. ulla tuttava s può dre sulla correttezza della formula anche dal punto d vsta degl eventual coeffcent numerc. Esempo. Supponamo che l perodo d oscllazone d un pendolo semplce d lunghezza l e massa sospesa m dpenda n qualche modo dall accelerazone d gravtà g (oltre che eventualmente da m e l. Trattamo la questone dal punto d vsta puramente dmensonale: [Perodo d oscllazone] [T] [M] α [L] β [g] γ [M] α [L] β [L] γ [T] γ [M] α [L] βγ [T] γ da cu deve essere: α 0 βγ 0 γ > α 0 β / γ / coè, per pur motv dmensonal, l perodo d oscllazone del pendolo semplce deve rsultare legato a l e a g dalla relazone: T l g che, a parte un fattore numerco π, è propro la formula gusta nell approssmazone d pccole oscllazon! 5

6 L untà delle msura delle grandezze dervate dpende da quelle delle grandezze fondamental ma è tuttava n qualche modo arbtrara e d conseguenza anche le relazon matematche corrspondent godono d una certa arbtraretà d defnzone. Esempo. L untà d area è soltamente defnta come l area del quadrato l cu lato sa lungo m. Conseguentemente: Area del rettangolo d lat a e b: Area dell ellsse d semass a e b: Area del trangolo d base a e altezza b: a b π a b ½ a b In generale : AREA F a b dove F s chama fattore d forma ed è un numero dverso per cascuna forma geometrca. Se avessmo scelto come area untara quella del cercho d raggo untaro, avremmo avuto: Area del rettangolo d lat a e b: Area dell ellsse d semass a e b: Area del trangolo d base a e altezza b: /π a b a b /π a b Cambano fattor d forma, coè le relazon matematche, ma non cambano le dmenson fsche. 6

7 STRUMETI DI MISURA Uno strumento d msura è composto da: Rvelatore: elemento sensble rspetto alla grandezza da msurare che s mette n equlbro con essa. Trasduttore: eventuale sstema d trasformazone dell nformazone per l elaborazone e la presentazone della stessa. Vsualzzatore: sstema d presentazone grafca o numerca del rsultato della msura. Strumento Grandezza fsca Rvelatore Trasduttore Vsualzzatore Chamamo: G: la grandezza fsca. V(G: l valore vero della grandezza. R(G: la rsposta propra dello strumento. M(G: l rsultato della msura. 7

8 Esempo: TERMOMETRO A MERCURIO Il bulbo con l mercuro funge da elemento rvelatore e trasduttore. Il capllare e la scala graduata fungono da vsualzzatore. La rsposta del termometro è la lunghezza della colonnna d mercuro. Esempo: VOLTMETRO R I puntal costtuscono l rvelatore. Il sstema de crcut ntern al voltmetro fungono da trasduttore. La scala graduata e l ndce moble costtuscono l vsualzzatore. La rsposta dello strumento è la poszone assunta dall ndce. 8

9 Per passare dalla rsposta dello srumento al rsultato della msura occorre conoscere la relazone esstente fra R(G e M(G, occorre coè TARARE lo strumento. R(G Curva d taratura R* M* M(G Dalla curva d taratura o curva d rsposta, data una rsposta R* dello strumento, s rsale alla msura M* della grandezza. Se non c fossero error d msura, sarebbe M(G V(G. 9

10 CARATTERISTICHE DI UO STRUMETO DI MISURA Intervallo d funzonamento Prontezza Sensbltà Gustezza Precsone ITERVALLO DI FUZIOAMETO E l ntervallo d valor d funzonamento dello strumento, fra un mnmo, che s chama sogla, ed un massmo che s chama portata. Al d fuor d tale ntervallo lo strumento o è nsensble (non rsponde o è naffdable o addrttura s rompe se va oltre la portata: s pens al termometro. R(G Intervallo d funzonamento Sogla Portata M(G PROTEZZA E la rapdtà con la quale l elemento sensble s avvcna allo stato d equlbro con la grandezza da msurare. E esprmble attraverso un tempo caratterstco, defnble per cascuno strumento. 0

11 SESIBILITA E l rapporto fra la varazone della rsposta e la varazone dello stmolo: S d R (G /d V (G (dervata ed è approssmable con R(G / M(G (varazon fnte. Se la curva d rsposta non è lneare, la sensbltà non è costante. A partà d varazone della grandezza, uno strumento è pù sensble se è maggore la varazone della sua rsposta. Es.: Supponamo che l allungamento d mm della colonnna d mercuro d un termometro sa provocata dalla varazone d C n un caso e d 0 C nell altro. Le due sensbltà sono rspettvamente: / 0,5 mm/ C e /0 0, mm/ C L errore d sensbltà, nvece, che non va confuso con la sensbltà, è la mnma varazone della grandezza (della msura apprezzable dallo strumento; è n pratca l valore del mnma dfferenza d valor msurabl. Talvolta s chama anche rsoluzone. Es.: Quando s parla d termometro a un decmo d grado, s sta parlando del suo errore d sensbltà o rsoluzone (non della sensbltà!; così quando s parla d una blanca a cento gramm, d un cronometro al centesmo d secondo e così va. GIUSTEZZA Indca se la mglore stma della grandezza tende al valore vero. Uno strumento gusto è esente da malfunzonament, starature, ecc., coè la msura è prva d error sstematc (ved dopo.

12 PRECISIOE E un concetto legato alla rpetbltà delle msure effettuate nelle stesse condzon spermental. In generale, se l errore d sensbltà M d uno strumento è suffcentemente pccolo, ovvero s possono apprezzare valor anche molto vcn, rpetendo le msure s può costrure un stogramma che mostra una dstrbuzone d valor la cu larghezza o dspersone è un ndce del grado d precsone (proporzonale a / dello strumento (e della msura. La defnzone rgorosa d verrà data n seguto quando s parlerà d dstrbuzone gaussana. Se rpetendo le msure molte volte s trovano sempre uno o due valor, allora probablmente la dstrbuzone è coperta dall errore d sensbltà e nulla s può affermare sulla sua larghezza. Spesso s verfca anche l caso ntermedo: valor trovat sono dvers ma non s evdenza charamente una dstrbuzone. E l caso pù dffcle e delcato da trattare. n n n Μ M Μ M Μ M Μ << Μ >> Μ

13 ERRORI DI MISURA OGI PROCESSO DI MISURAZIOE FISICA E SOGGETTO AD ERRORI PER CUI AD OGI MISURA E ECESSARIO ASSOCIARE U ERRORE O ICERTEZZA. I FISICA E FODAMETALE VALUTARE GLI ERRORI I MODO DA ATTRIBUIRE U GRADO DI ATTEDIBILITA AL RISULTATO DELLA MISURA, I RELAZIOE AL VALORE VERO ESATTO DELLA GRADEZZA CHE RESTA ICOOSCIBILE. Dstnguamo var tp d errore: Errore casuale o statstco. Errore d sensbltà. Errore massmo. Errore sstematco. ERRORE CASUALE O STATISTICO E dovuto al caso, coè alle fluttuazon delle condzon d msura o della grandezza da msurare o dello strumento d msura o alle fluttuazon ntrodotte dallo spermentatore. Supponamo che quando s esegue una msura s è n condzon tal che le tantssme pccole cause d errore (error d tpo "gaussano" possano condurre ad una msura pù grande o pù pccola del valore vero della grandezza. Allora se s eseguono molte msure rpetute s ottene una dstrbuzone smmetrca attorno ad un valore centrale e la dstrbuzone lmte (corrspondente ad nfnte msure è la dstrbuzone normale o gaussana (ved dopo. ERRORE DI SESIBILITA. E la mnma varazone della grandezza apprezzable da uno strumento; quando s legge una scale graduata l errore d sensbltà è l errore d lettura della scala. 3

14 ERRORE MASSIMO. Se eseguendo msure rpetute ottenamo sempre lo stesso rsultato (o quas allora l errore d sensbltà dello strumento copre le fluttuazon d vara orgne. In tal caso s dce che la msura è affetta da errore massmo che vene dentfcato con l errore d sensbltà. Talvolta s dà un nterpretazone estensva al concetto d errore massmo ntendendo con esso l massmo errore con cu s presume d conoscere la grandezza msurata. Una sua stma qund può essere ben dversa (n generale molto maggore dall errore d sensbltà. Es.: S può valutare un ntervallo d messa a fuoco d un mmagne (ben maggore dell errore d sensbltà con cu s msurano le dstanze e s può attrbure alla semampezza dell ntervallo d messa a fuoco l sgnfcato d errore massmo. E evdente che fornre una msura con errore massmo allarga l ntervallo n cu probablmente è contenuto l valore vero della grandezza. ERRORE SISTEMATICO. E un vero e propro sbaglo nel senso che può essere dovuto ad un malfunzonamento o staratura dello strumento o al procedmento d msura, all uso scorretto d un modello o d una teora o addrttura ad una teora sbaglata nel caso n cu questa vemga utlzzata per rcavare ndrettamente l valore della grandezza da msurare. 4

15 E l tpo d errore pù subdolo perché non sempre s è consapevol d commetterlo. Spesso, se ce se ne accorge, s cerca d renderlo l pù pccolo possble o d elmnarlo o d correggere l rsultato fnale per tener conto d tale errore se non è spermentalmente elmnable. Talvolta le msure possono rsultare molto precse, tuttava due spermentator possono trovare due rsultat ncompatbl; cò è quas sempre ndce d qualche errore sstematco commesso da uno d ess o da entramb. L errore sstematco conduce sempre ad una sovrastma o ad una sottostma del valore vero. Esempo. S desder msurare la profondtà d un pozzo d acqua lascando cadere un sasso e msurando l ntervallo d tempo fra l stante n cu s lasca l sasso e quello n cu s sente l rumore del tonfo nell acqua. E evdente che, a parte dscors legat alla descrzone corretta del moto del sasso dovuta ad es. alla resstenza dell ara, l procedmento è sbaglato n quanto non tene conto che l suono del tonfo nell acqua mpega un certo tempo per raggungere le orecche dello spermentatore. In questo caso l errore sstematco, che porterebbe ad una sovrastma d h, è valutable e s può correggere; la formula corretta da usare è (a parte le correzon al moto gà dette : h ½ g (t ms t suono h dove t suono h / v suono da cu s può rcavare h f (t ms. 5

16 RISULTATO DI UA MISURA E CIFRE SIGIFICATIVE RISULTATO DI UA MISURA. Il rsultato della msura d una grandezza fsca è espresso tramte le seguent nformazon: la mglore stma del valore della grandezza. la mglore stma dell errore d msura. l attendbltà della msura n termn probablstc. best ± δ Tale notazone è equvalente alla seguente: [ best - δ, best δ ] La mglore stma del valore vero µ d una grandezza è data dal valor medo delle msure rpetute: best µ La mglore stma dell errore d msura δ è data dall errore massmo se le msure rpetute danno sempre (o quas lo stesso valore. L attendbltà, nel caso dell errore massmo è par al 00 %. Tale valore dscende drettamente dal concetto d massmo errore. 6

17 In tal caso s scrve che l rsultato della msura è: ± Se nvece s ottene una dstrbuzone d valor, l errore d msura da attrbure a best è: ( best s chama devazone standard del campone ed è la mglore stma della devazone standard della popolazone (unverso delle nfnte msure: ( è nent altro che la radce quadrata della meda de quadrat degl scart delle msure dalla meda. Al denomnatore c è - e non n quanto nella formula compare la meda e non l valore vero µ. Gl dat sono stat usat volta propro per calcolare l valor medo. - rappresenta l numero d grad d lbertà, ovvero l numero d dat meno l numero d condzon o vncol fra dat. S dmostra che se s usasse e non -, non s otterrebbe la mglore stma della devazone standard della popolazone. s chama varanza. s chama devazone standard della meda o errore standard. 7

18 Se s esegue una sngola msura agguntva, questa ha la probabltà del 68,3 % d trovars nell ntervallo ±. Tale valore dscende dallo studo della dstrbuzone gaussana. Se s esegue una sere d msure rpetute e se ne fa la meda, tale meda ha la probabltà del 68,3 % d trovars nell ntervallo ±. ndca quanto è larga la dstrbuzone delle msure. Se s aumenta l numero d msure, a parte ovve fluttuazon statstche, la larghezza della dstrbuzone non camba. ndca quanto bene s conosce l valor medo. Pù msure s fanno e meglo è, nel senso che l errore standard dmnusce. el caso d una msura con error statstc l rsultato s scrve così: ± L attendbltà è la probabltà che l valore vero sa compreso nell ntervallo, supposto che non sussstano error sstematc. CIFRE SIGIFICATIVE. Quando s scrve l rsultato d una msura occorre fare attenzone al numero d cfre con cu esso vene espresso. Le cfre sgnfcatve d un numero sono tutte le cfre a partre da destra fno all ultma cfra a snstra dversa da 0. 8

19 Esempo: 4,8 0,48 0,0048 hanno cfre sgnfcatve (4 e 8 30,30 0,030 hanno 3 cfre sgnfcatve (, 3 e 0 L errore δ s scrve con un numero d cfre sgnfcatve coerente con l ncertezza sull errore stesso, tenendo presente che: ACHE L ERRORE POSSIEDE U ICERTEZZA! S dmostra che nel caso d msure rpetute l errore relatvo sull errore è dell ordne d δ ( δ ( δ ( E charo qund che quanto pù grande è tanto maggore è l numero d cfre sgnfcatve consentto. Ad es. se 0 s ha che l errore relatvo sull errore è crca l 5%. Se s scrve δ 5, con due cfre sgnfcatve s ntende automatcamente che esso è compreso nell ntervallo [5,5 5,5] e qund che l ncertezza su δ è nferore a un untà della cfra meno sgnfcatva, coè 0, nel nostro esempo. Da cò rsulta che l errore relatvo è nferore a 0,/5, %. In generale possamo affermare che:. cfre sgnfcatve dell errore Errore relatvo sull errore 5 % - 50 % 0,5 % - 5 % 3 0,05 % - 0,5% 9

20 elle msure d laboratoro d fsca non partcolarmente sofstcate, coè quando l numero d msure è lmtato a poche decne (per motv d tempo o per semplctà d esecuzone delle msure, è opportune scrvere l errore con una (se la cfra è > o al massmo due cfre sgnfcatve (se la cfra pù sgnfcatva è o ; ad es. 5; 3;,; 6; 0,7 ecc. REGOLE DI SCRITTURA DI U RISULTATO. S scrve l errore con una o due cfre sgnfcatve. S scrve l rsultato con la cfra meno sgnfcatva allneata con quella meno sgnfcatva dell errore. Esemp: 7,4 ± 0,4 35 ± 6 56,3 ±,8 E nvece sbaglato scrvere: 7,4 ± 0,4 o 7,43 ± 0,4 ecc. REGOLE PER GLI ARROTODAMETI. e calcol convene sempre mantenere qualche cfra n pù d quelle che saranno necessare nella scrttura del rsultato fnale, al fne d evtare gl arrotondament precoc e perdta prematura d cfre sgnfcatve. Quando occorre esegure gl arrotondament (ad es. alla fne de calcol le regole da rspettare sono: Se la prma cfra elmnata è < 5, s lasca nvarata la cfra precedente. Se la prma cfra elmnata è > 5 o 5 ma le cfre successve sono dverse da 0, s aumenta d la cfra precedente. Se la prma cfra elmnata è 5 e le successve sono 0 s lasca la cfra precedente se è dspar, la s aumenta d se è par. Esemp: 47,8350 -> 48 o 47,8 o 47,83 47,8450 -> 47,85 47,8456 -> 47,846 0

21 DISTRIBUZIOE GAUSSIAA Quando s eseguono molte msure rpetute e gl error d msura sono casual la dstrbuzone delle msure tende ad una dstrbuzone lmte a forma d campana, centrata attorno al valore vero e smmetrca rspetto ad esso. La funzone matematca che descrve tale dstrbuzone lmte è la dstrbuzone normale o dstrbuzone d Gauss ( gaussana che dpende da due parametr µ e e s estende n lnea d prncpo da - a. f ( µ ( e f( µ Tale funzone f( è una denstà d probabltà, nel senso che l prodotto f(d rappresenta la probabltà d avere valor nell ntervallo [, d]. La condzone d normalzzazone: f ( d

22 conduce alla forma: f ( µ µ, ( e π SIGIFICATO DEI PARAMETRI µ e. Il parametro µ ha l sgnfcato d valor medo d secondo la dstrbuzone gaussana assegnata. Infatt, per defnzone: f ( d da cu, ponendo - µ: π ( µ e d π π [ 0 µ π ] µ [ e d µ e d ] Il parametro ha l sgnfcato d valor medo del quadrato degl scart delle msure dal valore medo µ. ( µ ( µ ( µ e π d

23 Tale ntegrale s rsolve per part e dà: ( µ è n effett un parametro d larghezza come s capsce anche osservando che fma ( π e che l area sotto la curva è costante (è la probabltà totale. Pertanto, quanto pù alta è la curva tanto pù essa è stretta. µ E' charo a questo punto che per un numero sempre maggore d msure rpetute: la meda artmetca delle msure tende al valor medo della dstrbuzone lmte; la varanza del campone (che è la meda degl scart al quadrato, a parte l dscorso d sostture / con / - tende alla varanza della dstrbuzone lmte. 3

24 La dstrbuzone gaussana c consente, graze al suo sgnfcato d denstà d probabltà, d dedurre seguent mportant rsultat: Probabltà che una sngola msura cada nell'ntervallo [a,b]: ( µ b P( [ a, b] e a π Probabltà che una sngola msura cada nell'ntervallo [µκ,µκ]: d P( [ µ k, µ k ] µ k µ k e π ( µ d In partcolare s hanno seguent notevol valor d lvell d probabltà (aree sotto la curva: µ ± µ ± µ ± 3 µ ± 4 68,7 % 95,45 % 99,73 % 99,99 % µ3 µ µ µ µ3 4

25 PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI Quando la msura d una grandezza dpende dalle msure d altre grandezze gl error vanno propagat n modo da ottenere l errore sulla grandezza dervata. Esstono regole dfferent per la propagazone degl error massm e degl error statstc (casual. Per la dmostrazone formale s veda ad es. J.R. Talor Introduzone all anals degl error, Zanchell. Sa ad es. z una grandezza funzone d due grandezze e : z f (, PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI MASSIMI (propagazone lneare. z f f PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI STATISTICI (propagazone quadratca. z f f Tale formula vale se le msure delle grandezze e sono ndpendent e casual; la relazone pù generale nvece deve tener conto dell eventuale correlazone fra e : 5

26 6 z f f f f Il termne d covaranza, chamato anche cov(,, ha le dmenson fsche del prodotto. Supponamo d aver effettuato coppe d msure (, ; n tal caso la covaranza è data da: ( ( Il fattore - puttosto che è dovuto al fatto che le coppe d msure ndpendent sono - n quanto una coppa è stata usata per determnare valor med d e. Essa è dversa da 0 quando ad es. una sovrastma (o sottostma d comporta una sovrastma (o sottostma d. In partcolare nvece, quando le msure d e sono ndpendent e casual, la covaranza (dopo molte msure tende a zero. In effett, qualunque sa, ( ha la stessa probabltà d essere postva o negatva e qund la somma d molt termn tende a 0. otamo che nel caso semplce n cu la funzone f è composta solo da prodott, quozent o potenze, le formule precedent s rducono semplcemente a somme lnear o quadratche degl error relatv, come s può faclmente verfcare (k è una costante: m n w k z w w m n z z w m n z w z

27 7 Esemp: ( ( 4 4 massm error T T L L g g statstc error T L g T L g g L k T T L g π π ( ( massm error m m M statstc error m m m m M M ± ( ( ( ( ( ( massm error q p q p p p q q f statstc error p q p p q q p q p q f f q p q p f La formula d propagazone degl error statstc gustfca la formula dell errore standard ovvero dell errore sulla meda artmetca:

28 Che cosa s fa quando bsogna combnare grandezze che hanno errore statstco con altre che hanno errore massmo (che qund hanno dfferent sgnfcat probablstc? La soluzone pù semplce, per dare alla fne un lvello probablstco non ambguo all errore complessvo, è d massmzzare gl error statstc, coè moltplcare cascuno d ess per 3: s ramment nfatt che un ncertezza par a 3 corrsponde quas al 00 % d probabltà d contenere l valore vero entro ± 3. A questo punto s propagano tutt gl error (quell massm e quell statstc massmzzat con la formula degl error massm e s attrbusce all errore complessvo l sgnfcato d errore massmo con l lvello d probabltà del 00%. Esempo: S abba errore massmo su L ed errore statstco su T (pendolo semplce: T T 3 T g L L T T g L L 3 T T g el caso n cu uno degl error relatv fosse molto pù pccolo dell'altro, s può trascurare l'errore sulla grandezza corrspondente e s può effettuare la propagazone solo dell'errore sull'altra grandezza. Ad es. se L/L << T /T s ha semplcemente g /g T /T con l sgnfcato probablstco del 68%. 8

29 DISCREPAZA STATISTICA Spesso occorre confrontare l rsultato d una msura con un valore accettato o con un altra msura al fne d valutarne la compatbltà statstca, a meno d error sstematc. S chama dscrepanza fra due valor la grandezza: t La dfferenza - è essa stessa una varable casuale con dspersone data dal denomnatore sopra scrtto. S può affermare che se le due msure appartengono alla stessa popolazone della grandezza X, tale dfferenza deve essere centrata attorno a 0. Da qu dscendono seguent crter d compatbltà: Se t le due msure sono compatbl entro una devazone standard (coè al 68,3 %, se t le due msure sono compatbl entro due devazone standard (coè al 95,4 % e così va. Spesso s scegle convenzonalmente come crtero d compatbltà l valore t,96 che corrsponde ad un lvello d compatbltà par al 95 %. 9

30 PRICIPIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIAZA Supponamo d aver effettuato msure d una grandezza fsca X. La probabltà composta d osservare gl valor,,,.. se le msure sono casual ed ndpendent è l prodotto delle probabltà d osservare sngol valor: ovvero : P(,,, P( P( P( P L e π d d d [ µ ] d d d dove L s chama funzone d verosmglanza. IL PRICIPIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIAZA AFFERMA CHE IL CAMPIOE ESTRATTO DALLA POPOLAZIOE PARETE E QUELLO A CUI CORRISPODE LA MASSIMA PROBABILITA (nell potes che l campone sa stato formato tramte un grande numero d msure rpetute casual ed ndpendent. Applchamo l prncpo della massma verosmglanza per gustfcare le espresson della meda artmetca e della devazone standard del campone come mglor stme µˆ e ˆ del valor vero µ e della devazone standard della popolazone. 30

31 3 Infatt: L µ µ µ ˆ 0 0 ˆ ( ( ˆ ˆ 0 ˆ L µ Il fattore - puttosto che è dovuto al fatto che l numero d grad d lbertà è - n quanto dat vengono utlzzat una volta per stmare l valor medo. Se le msure vengono effettuate con dvers metod d msura non possamo assumere che esse abbano la stessa varanza. Cò sgnfca che gl valor della stessa grandezza X sono caratterzzat dalle devazon standard,,.. Il prncpo della massma verosmglanza porta n questo caso alla formula della meda pesata. Infatt: [ ] pesato w w L e L Π µ µ µ π µ ˆ 0 ( 0 ˆ

32 3 dove w vengono chamat pes. L errore sulla meda pesata s rcava applcando la propagazone degl error: ( ( ( w w w w w w w w

33 METODO DEI MIIMI QUADRATI Supponamo d msurare coppe ndpendent d valor (,,, (, d due grandezze fsche legate fra loro da una RELAZIOE LIEARE: A B A: ntercetta (, B: pendenza d/d Se le msure non fossero affette da error, tutt punt sarebbero allneat su una retta A B. ella realtà punt, a causa degl error, sono solo approssmatvamente allneat. Sorge allora l seguente nteressante problema: Supposto che fra le due grandezze susssta una relazone lneare, qual è la mglore retta che passa per gl punt spermental? In altr termn: Qual sono le mglor stme de parametr A e B? 33

34 IL METODO DEI MIIMI QUADRATI RISOLVE IL PROBLEMA. Faccamo, per semplctà, le seguent potes: IPOTESI. Gl error relatv su una delle due grandezze sano molto mnor d quell sull altra grandezza. Chamamo tale grandezza e sceglamola come varable ndpendente: << IPOTESI. Cascun valore spermentale è dstrbuto normalmente, coè secondo una dstrbuzone normale (gaussana, attorno al valore vero vero A B, con dspersone (devazone standard nota. IPOTESI.3 Gl error casual (statstc sulle sano tutt ugual:. Il PRICIPIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIAZA afferma che la mglore retta che passa per gl punt è quella che massmzza la probabltà d ottenere propro valor osservat. La probabltà d ottenere la msura è: [ ( A ] P A, B ( e B dove A e B sono due parametr ncognt. 34

35 35 La probabltà d ottenere l nseme delle msure è data dal prodotto delle probabltà P( (osservazon ndpendent: ( [ ], ( ( (,, ( χ e e P P P P B A B A K K Le mglor stme de parametr A e B sono quelle che mnmzzano la somma de quadrat delle devazon delle msure spermental da valor attes A B : ( [ ] B A χ Tale grandezza s chama CHI-QUADRATO. Osservamo che cascuna devazone è pesata per l recproco dell errore. el nostro caso pes sono tutt ugual. Dervando rspetto ad A ed a B ed mponendo che le dervate sano ugual a 0, s ottene: ( [ ] B A A 0 χ ( [ ] { } 0 B A B χ

36 36 Le due equazon danno luogo al sstema: 0 0 B A B A Le formule rsolutve del FIT DELLA RETTA DEI MIIMI QUADRATI O PESATO (valde nel caso d PESI STATISTICI UGUALI sono: ( ( ( B A dove: ( ( I parametr A e B sono ess stess affett da ncertezza statstca. Utlzzando la propagazone degl error s rcava: B A In realtà c è sempre anche una certa dpendenza statstca de parametr fra loro, nel senso che la stma d un parametro nfluenza la stma dell altro, benché le msure sano per potes

37 statstcamente ndpendent. C s rende faclmente conto d cò se s tene presente che la retta mglore (retta d best ft passa sempre per l centro d gravtà de punt (che per l potes n. 3 hanno lo stesso peso statstco: C ; C C C La pendenza e l ntercetta della retta d best ft sono evdentemente correlate: se aumenta la pendenza, dmnusce l ntercetta e vceversa. Tale correlazone è descrtta tramte una grandezza chamata covaranza: cov( A, B La covaranza è rlevante nel caso n cu s debba stmare l errore su una grandezza fsca dervata F che dpenda da entramb parametr A e B. Infatt: F F f ( A, B f A A f B B f A f B cov( A, B 37

38 RILASCIAMO L IPOTESI. 3, supponamo coè che: Gl error statstc sulle O sano tutt necessaramente ugual e qund pes w così defnt: w O sano tutt necessaramente ugual. S può dmostrare, utlzzando l prncpo d massma verosmglanza che le formule pù general del FIT DELLA RETTA DEI MIIMI QUADRATI PESATO (valde nel caso d PESI STATISTICI O ECESSARIAMETE UGUALI sono: w w w w A B w w w w w w ( w A w B w C ( w ; C w ( w w cov( A, B w 38

39 RILASCIAMO L IPOTESI., supponamo coè che: Gl error sulle O sano not. Cò può succedere o perché non s sono esegute msure rpetute per ogn punto oppure perché gl error sono d tpo MASSIMO non necessaramente ugual. In entramb cas se, come n genere succede, s può fare l potes che gl error statstc, benché gnot, sano tutt ugual, allora s esegue l FIT DELLA RETTA DEI MIIMI QUADRATI O PESATO. Per rcavare gl error su parametr A e B occorre comunque stmare a posteror (n base a dat e al ft gl error, suppost ugual. S dmostra che la mglore stma d è data da: [ ( A B ] dove al denomnatore c è - gacché gl dat sono stat usat per stmare parametr A e B e pertanto GRADI DI LIBERTA sono -. 39

40 RILASCIAMO L IPOTESI., supponamo coè che: Gl error relatv sulle O sano trascurabl rspetto a quell sulle. S può dmostrare che defnendo l errore trasportato l ch-quadrato da mnmzzare è: χ [ ( A B ] e le formule da usare sono quelle gà vste pur d sostture con. Per effettuare l calcolo d s può fare una prma stma della pendenza come meda fra la mnma e la massma pendenza compatble ad occho con dat. B ma B mn B mn B ma 40

41 FORMULE RIASSUTIVE DEL FIT DEI MIIMI QUADRATI DI UA RETTA AB A B 0 A FIT O PESATO (ERRORI STATISTICI IGOTI, ERRORE STATISTICO COMUE CALCOLATO A B dove ( 4

42 ( A B A B cov( A, B B FIT PESATO (ERRORI STATISTICI OTI A w w w w B w w w w dove w sono chamat pes w w w ( w A w B w w cov( A, B 4