4.2 IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 4.1 INTRODUZIONE

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1 Cap 4 PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI 4. IL PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI 4. INTRODUZIONE Fno ad ora s è condotto lo stdo del problema della deformazone e d qello della tensone per n corpo contno gngendo alla formlazone d mportant relazon che sono le eqazon d congrenza per l prmo e le eqazon ndefnte d eqlbro e le eqazon a lmt per l secondo. In entramb cas s è gnt a tal rsltat consderando de problem ndpendentemente l no dall altro. Utlzzando le eqazon ottente fno ad ora s possono ottenere alcne relazon formal che pr non rappresentando nlla d concettalmente novo rspetto alle eqazon sopra rcordate fornscono no strmento analtco molto potente per affrontare na gran qanttà d problem dvers. Tal relazon hanno qnd n notevole nteresse e sono d assolta generaltà essendo valde per qalsas contno deformable a prescndere dalle se propretà fsche. 4. IL PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI Nello stdo del problema della deformazone sono state scrtte le eqazon d congrenza che per n generco sstema d spostament e deformazon e nfntesm assmono la forma: ( ) + n (4.) Fg. 4.

2 Cap 4 PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI Mentre lo stdo dello stato d tensone ha portato alle eqazon d eqlbro: + b 0 n (4.) n f s (4.3) Abbamo anche mostrato che è. Un campo d spostament e deformazon nfntesm che soddsfa gl evetal vncol cnematc estern e le (4.) è detto congrente mentre n campo d forze e tenson che soddsfa (4.) e (4.3) è detto eqlbrato. Moltplcando la (4.) per l campo d spostament ed ntegrando sl volme s ottene : Con rfermento alla denttà : ( ) ed al teorema della dvergenza : d + b d 0 (4.4) d d d ( ) s pervene alla segente gaglanza: + d α da α da d + d (4.5) Partendo dalla scomposzone del gradente d spostamento : + + ( ) ( ) (4.6)

3 Cap 4 PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI 3 per la congrenza (4.) s pò scrvere: mentre è facle rconoscere che: ( ) + ω ( ) è l tensore ant-smmetrco della rotazone nfntesma. Alla lce d qeste poszon la (4.4) avto rgardo alla (4.3) e alla (4.5) e rcordando che l prodotto ω d n tensore smmetrco per no emsmmetrco è nllo s pervene alla relazone: f da + b d d (4.7) che rappresenta l eqazone de lavor vrtal. Il prmo membro della (4.7) è l lavoro che la forze esterne f o b compono n corrspondenza del campo d spostament del ttto ndpendente dalle medesme forze esterne e che percò prende l nome d lavoro vrtale esterno: f da + b d L e Il secondo membro della (4.7) rappresenta l lavoro che le tenson compono n corrspondenza delle deformazon anch esse del ttto ndpendent dalle medesme e che percò prende l nome d lavoro vrtale nterno. Infatt se s sppone d assocare ad n assegnato campo d tenson n campo d deformazon ndpendente è mmedato verfcare con rfermento alla facca dxdx3 n Fg. 4. che : per la dlatazone lngo la drezone x la forza è dxdx3 e qnd se lo spostamento è dx l lavoro che vene compto è dxdx dx3 ossa d ; per lo scorrmento tra gl ass (x x ) la forza è dxdx3 lo spostamento vale: γ dx e qnd l lavoro sarà d. ( )

4 Cap 4 PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI 4 x dxdx3 dxdx3 γ x dx Fg. 4. Per estensone resta provato che l espressone: L d. a secondo membro della (4.7) rappresenta propro l lavoro che le compono n corrspondenza delle e che percò prende l nome d lavoro vrtale nterno. S pò qnd enncare l segente teorema: Dato n contno deformable sl qale sano assegnat n campo d spostament e deformazon nfntesm qalsas prché congrente ed n campo d forze e tenson qalsas prché eqlbrate allora vale l gaglanza: L L (4.8) e Qesta gaglanza nonostante sa stata dmostrata è spesso nota come prncpo de lavor vrtal. Se l corpo contno è rgdo s ha che 0 e qnd la relazone precedente s scrve semplcemente L e 0

5 Cap 4 PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI 5 L eqazone (4.7) è anche nota come prncpo degl spostament vrtal o come prncpo de lavor vrtal nella forma dretta qando s consdera n sstema d spostament e deformazon vrtale; mentre nvece qando s consdera l sstema d forze e tenson come vrtal la (4.7) è nota come prncpo delle forze vrtal ovverosa come prncpo de lavor vrtal nella forma nversa. 4.3 RELAZIONI TRA EQUILIBRIO CONGRUENZA E LAORI IRTUALI S pò dmostrare che se con rfermento al soldo d Fg. 4.. de delle segent proposzon sono vere la terza è anch essa vera: l campo d spostament e deformazon è congrente Congrenza l campo d forze e tenson è eqlbrato Eqlbro l prncpo de lavor vrtal è verfcato P.L.. S è gà dmostrato nel paragrafo precedente che le prme de affermazon (congrenza ed eqlbro) portano alla formlazone del teorema de lavor vrtal. S dmostrerà ora che: ) [P.L.. + Congrenza] [Eqlbro] S è gà vsto che vale la: ω + e qnd per sosttzone nell espressone (4.7) del prncpo de lavor vrtal s ha: f da + b d d ω d e per l denttà (4.5) s ha: f da + b d n da d ω d Qest ltma s pò scrvere:

6 Cap 4 PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI 6 ( ) ( ) f n da+ b + d + ω d 0 (4.9) Ora per l arbtraretà con c s possono sceglere camp d spostamento pr nel rspetto della congrenza dscende che affnché la relazone precedente sa vera sotto potes d contntà per le fnzon ntegrande è necessaro che l argomento d cascn ntegrale sa nllo: f n ; b + 0 ; ω 0 S ottengono così propro le condzon d eqlbro (4.) (4.3) e la smmetra del tensore della tensone. ) [P.L.. + Eqlbro] [Congrenza] Dal P.L.. : che per l eqlbro assme la forma: f da + b d d e l denttà (4.5) s rdce a: n da d d per la (4.6) dvene: d d ( + ) + ( ) d d Per la smmetra d s ottene: ( + ) d d

7 Cap 4 PRINCIPIO DEI LAORI IRTUALI 7 Per l arbtraretà del campo d tenson prché eqlbrato dovrà necessaramente essere: ( + ) che è l rsltato cercato.