Risoluzione numerica di problemi differenziali alle derivate parziali

Transcript

1 Rsolzone nmerca d problem dfferenzal alle dervate parzal

2 Rsolzone nmerca d PDE Dscretzzazone Sosttre al problema contno n problema dscreto Qal è l problema contno?

3 Rsolzone nmerca d PDE Il problema contno: n problema dfferenzale alle dervate parzal Ingredent d n problema dfferenzale Operatore dfferenzale Fnzone Incognta Domno (spazale e temporale) Frontera del domno 3

4 Rsolzone nmerca d PDE Dscretzzazone Step : dscretzzare l domno, l operatore, la solzone. PDE dscretzzazone Problema dscreto 4

5 Rsolzone nmerca d PDE Dscretzzazone domno [,L]x[,T] S rcopre l domno con n retcolo Costtto da rette parallele a de ass coordnat Indcate con h e k l ampezza delle magle, del retcolo l generco pnto (x,t) avrà coordnate: (x = h, t = k) =,, n; =,, m k t h x 5

6 Rsolzone nmerca d PDE Dscretzzazone operatore dfferenzale Sosttamo le dervate con l rapporto ncrementale Metodo delle dfferenze fnte 6

7 Rsolzone nmerca d PDE Dscretzzazone operatore dfferenzale Sosttamo la dervata prma con l rapporto ncrementale ottento dalle dfferenze n avant 7

8 Rsolzone nmerca d PDE Dscretzzazone operatore dfferenzale Sosttamo la dervate prma con l rapporto ncrementale Ottento dalle dfferenze n avant f ' f ( x ) ( x ) h f ( x ) perchè è lecta qesta approssmazone? 8

9 Rsolzone nmerca d PDE dfferenza n avant Taylor: + 9

10 Rsolzone nmerca d PDE Dfferenza all ndetro

11 Rsolzone nmerca d PDE dfferenza all ndetro Taylor: + Dervata prma: formla alle dfferenze all ndetro

12 Rsolzone nmerca d PDE dfferenza centrata

13 solzone nmerca d PDE Dfferenza centrata Taylor: 3

14 Rsolzone nmerca d PDE Dervata seconda: dfferenza centrata 4

15 Rsolzone nmerca d PDE 5

16 Rsolzone nmerca d PDE dfferenze fnte per la dervata prma: sntes IN AVANTI All INDIETRO CENTRATA 6

17 solzone nmerca d PDE dfferenze fnte per la dervata seconda Schema a 5 pnt,,,,, 7

18 Rsolzone nmerca d PDE dfferenze fnte per la dervata seconda no schema molto effcente pò essere ottento esprmendo la fnzone come combnazone degl otto pnt adacent, ovvero: 8 xx yy b,, k b k k -,, -,, + +, Schema a nove pnt 8

19 Case stdy : PDE ellttca D

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24 Case stdy : PDE parabolca D Lo schema FTCS v v dfferenze n avant (FT), per la dervata temporale dfferenze central (CS) per la dervata spazale, + T t tempo -,, +, valore noto valore ncognto + x - + 4

25 Rsolzone nmerca d PDE Schema FTCS v dfferenze n avant, per la dervata temporale v, k dfferenze central, per la derata spazale,, h,, Posto: r k h,, r,, r Al passo : ncognta qanttà note F( 5 )

26 Rsolzone nmerca d PDE schema FTCS = schema esplcto: F( ) la solzone al passo (+)k nel nodo dpende dalla solzone n 3 nod al passo temporale precedente k (schema marcante nel tempo s lvell) Lvello + tempo, + valore noto valore ncognto Lvello -,, +, 6

27 Rsolzone nmerca d PDE Case stdy : Eqazone del calore D schema FTCS Formlazone matrcale del metodo esplcto: Prodotto matrce (bdagonale) per vettore A 7

28 Rsolzone nmerca d PDE Sano: g t g t, f x x x x.5.5 x S ponga h=/, e s dano a k (passo temporale) valor: k ; ; 6 ; ; r= r=.6 r=. 8

29 Solzone deale Solzone nmerca t x=.3 r=. r=.6 r= La solzone è completamente errata per r= (ovvero per l valore pù alto d k, k==.). 9

30 3

31 Rsolzone nmerca d PDE lo schema FTCS La solzone nmerca non sempre è na bona approssmazone d qella attesa PERCHE? Analzzamo le font d errore e la loro propagazone 3

32 Rsolzone nmerca d PDE Che cosa abbamo fatto? Dscretzzato l operatore contno Sosttto le dervate con le dfferenze fnte Rsolto l problema dscreto Calcolato la solzone nmerca per ogn passo temporale Calcolato la solzone nmerca al crescere del passo temporale 3

33 Rsolzone nmerca d PDE Che cosa abbamo fatto? Dscretzzato l operatore contno Sosttto le dervate con le dfferenze fnte errore d troncamento analtco/dscretzzazone Rsolto l problema dscreto Calcolato la solzone nmerca errore d rondoff Calcolato la solzone nmerca al crescere del passo temporale errore d approssmazone 33

34 Rsolzone nmerca d PDE Che cosa abbamo fatto? Dscretzzato l operatore contno Sosttto le dervate con le dfferenze fnte CONSISTENZA Rsolto l problema dscreto Calcolato la solzone nmerca al varare del passo STABILITA Valtato la dstanza tra la solzone nmerca e qella attesa CONVERGENZA 34

35 Rsolzone nmerca d PDE Dscretzzazone Step : dscretzzare l domno, l operatore, la solzone. PDE dscretzzazone Problema dscreto 35

36 Rsolzone nmerca d PDE Step : analzzare consstenza, stabltà e convergenza dello schema nmerco PDE consstenza Problema dscreto Solzone deale convergenza stabltà Solzone nmerca 36

37 Rsolzone nmerca d PDE consstenza l modello nmerco deve approssmare l modello contno 37

38 Rsolzone nmerca d PDE convergenza la solzone nmerca deve approssmare la solzone del modello contno 38

39 Rsolzone nmerca d PDE Stabltà l metodo nmerco deve mpedre na crescta ncontrollata degl error dovt all applcazone del metodo e qell d rond-off 39

40 Lo schema FTCS per l eqazone del calore Analzzamo consstenza, stabltà e convergenza 4

41 consstenza Consderamo la solzone del problema dfferenzale calcolata ne pnt della grgla e calcolamo la dfferenza tra l problema dscreto T F ( / h, k, e l problema contno (la 'eqazone parabolca) ) k, h,

42 FTCS: CONSISTENZA,,, / h k ) F ( T k h, x h x h,,,, x h x h,,,, t k t k,,,, T, 4 4,, x h t k x t

43 FTCS: CONSISTENZA Lo schema FTCS è consstente d ordne (,) nelle potes n c la solzone del problema contno ha dervate lmtate 43

44 convergenza La dfferenza E,,, tra la solzone dl problema contno e qella del problema dscreto tende a zero (n norma)

45 FTCS: CONVERGENZA E,,, ) r( re r)e ( re E,,,,,.,,, x h x h,,,, x h x h,,,, t k t k,,,, ) t h, θ (x x k) θ t, (x t k re r)e ( re E,,,, E,,, Sosttendo nel problema dscreto

46 FTCS: CONVERGENZA ) t h, θ (x x k) θ t, (x t k re r)e ( re E,,,,,, ) t h, θ (x x k) θ t, (x t km E r E r) ( E r E,,,, r M E r km r, max, km r r) ( M T km km km - Se h, k anche M

47 FTCS: convergenza Lo schema FTCS è convergente se r è mnore d / 47

48 stabltà Pertrbamo la condzone nzale: v_ = _ + e o Detta v la solzone del problema contno pertrbato ( corrspondente a v_), la dfferenza n norma tra le solzon, s mantene lmtata e v

49 FTCS : STABILITA - Schema FTCS:, r, ( r), r, Cascn passo temporale s pò esprmere In forma matrcale 49

50 FTCS: STABILITA - Schema FTCS:, r, ( r), r, Α r r r r r A r.. r b r..,,.. N, Formlazone matrcale dello schema esplcto FTCS =,,. 5

51 FTCS: STABILITA 5 b A b Ab A b ) A(A - b b A b A b A e e A Per c: A M e v e

52 A FTCS: STABILITA?.... r r r r r r r r Α /, 4 /, ) ( A r r r r r r r r r Lo schema FTCS è stable se r è mnore d / 5

53 CONSISTENZA Lo schema FTCS è consstente CONVERGENZA Lo schema FTCS è convergente se r è mnore d / STABILITA Lo schema FTCS è stable se r è mnore d / 53

54 3. Rsolzone nmerca d PDE Case stdy : osservazone lo schema esplcto FTCS è stable, consstente e convergente se: r k h k h Qesta lmtazone sl passo temporale pò essere molto restrttva (perché h <). ad es. se h=. k =.5 se T= = 54

55 Case stdy : altr schem alle dfferenze fnte lo schema BTCS e lo schema d Crank Ncolson de esemp d schem d tpo mplcto 55

56 Case stdy : schema BTCS 56

57 Dscretzzazone operatore t xx v dfferenze all ndetro (, ) per la varable temporale (BT: Backward n Tme) t, k, O( k) v dfferenze central n (, +), per la varable spazale (CS: Centered n Space) xx, h,, 57 O(h )

58 Dscretzzazone operatore 58,,,,, h k Lo schema BTCS dà orgne all eqazone r r r,,,, ) ( passo + passo

59 BTCS: Al varare d e =,N- s ha n sstema d N- eqazon n N- ncognte: A b A r r r r r r r r.. r r Smmetrca, trdagonale, a dagonale domnante 59

60 BTCS: anals Lo schema BTCS è consstente (ordne (,)) Lo schema è convergente Lo schema è stable 6

61 Case stdy.: rsolzone della PDE parabolca con lo schema d Crank Ncolson (947) 6 6

62 Dscretzzazone operatore v t xx dfferenze central n ( (+/), ) per la varable temporale (FT: Forward n Tme) T t R t, ( k /, ) O( k h ) k h x x +/ + k - + 6

63 Dscretzzazone operatore 63,,,,,,,, h h k Il peso θ è : <θ, qando θ= s ottene lo schema esplcto t xx v dfferenze centarl n ( (+/), ) per la varable temporale (FT: Forward n Tme) v Meda pesata delle dfferenze central n (, +) e (, ), per la varable spazale (CS: Centered n Space)

64 t xx Dscretzzazone dell operatore: CN,,,,,,,, h h k 64 se θ=.5 s ha lo schema d Crank Ncolson: O(k+h) r r r r r r,,,,,, Schema a lvell : 3 ncognte (lvello +) e 3 qanttà note (lvello )

65 CN: n metodo mplcto Al varare d e s ha n sstema d N- eqazon n N- ncognte: A b A r r r r r r r r.. r r Smmetrca, trdagonale, a dagonale domnante 65 65

66 CN: n metodo mplcto b ( ) ( ) B c B r r r r r r r r.. r r Smmetrca, trdagonale, a dagonale domnante 66

67 CN: anals CN è consstente (d ordne (,)) CN è convergente CN è stable 67

68 n confronto: esplcto (FTCS) vs mplcto (CN) Sano: g t g t, f x ESPLICITO: h=/, k=/ r=. IMPLICITO: h=/, k=/ r= x x x.5.5 x t x=.5 r=. r= CN: mplcto 68

69 Case stdy : sntes schema FTCS: esplcto, I ordne, condzonatamente stable Schema BTCS : mplcto, I ordne, ncondzonatamente stable schema d Crank-Ncholson mplcto, II ordne, ncondzonatamente stable 69

70 Case stdy : sntes Schem esplct Ad ogn passo temporale la solzone n cascn nodo dpende esclsvamente da valor calcolat al passo precedente Schem mplct Ad ogn passo temporale la solzone n cascn nodo dpende da valor del passo precedente e da valor del passo corrente 7

71 Case stdy : sntes Schem esplct Ad ogn passo temporale l calcolo della solzone comporta n prodotto matrce vettore (costo O(N^) Schem mplct Ad ogn passo temporale l calcolo della solzone comporta la rsolzone d n sstema (nversone d matrce : costo O(N^3)) 7

72 3. Rsolzone nmerca d PDE La scelta deve tener conto esplct Mnor costo comptazonale ad ogn passo Condzonatamente stabl Informazon Local (ovvero natralmente decomponbl) mplct Maggor costo comptazonale ad ogn passo Incondzonatamente stabl Informazon Global (ovvero non decomponbl natralmente) 7

73 In generale La scelta deve tener conto Accratezza Ordne dello schema Stabltà / consstenza/convergenza Costo comptazonale Nmero d pass Complesstà comptazonale rchesta dal calcolo della solzone ad ogn passo 73

74 Case Stdy n. 3 Dscretzzazone d n operatore ellttco medante dfferenze fnte 74

75 Case Stdy n. 3 Dscretzzazone d n operatore ellttco medante dfferenze fnte Eqazone d Laplace/Posson x, y xx yy 75

76 Case stdy : l opratore ellttco 76

77 Step :dscretzzazone del domno x, y xx x, y gx, y yy n D s D d=n c= y a=, h b=m h x retcolo costtto da rette parallele agl ass cartesan, eqspazate con passo: h b a m 77 d c n

78 tep.: Ordnamento delle ncognte Esempo: D,, n m 4 y 4 3 (,4) (,3) (,4) (,4) (3,4) (4,4) (,3) (,3) (3,3) (4,3) (,) (,) (,) (3,) (4,) (,) (,) (,) (3,) (4,) (,) (,) (,) (3,) (4,) 3 4 x Ordnamento Lesscografco: S ordnano le ncognte partendo dal prmo nodo n basso a snstra e S procede verso destra, termnata la rga s passa alla sccessva rga n alto 78

79 79 approssmando le dervate parzal nel pnto (, ) medante dfferenze central s ottene l problema: m g g n g g n m f h h n n m m,,,,,, ;,,,,,,,,,,,,,,,,, con, approssamzone d, Step : Dscretzzazone dell operatore

80 Step : Dscretzzazone dell operatore l eqazone: s pò rscrvere nella forma:,,,, h h,,,, 4,,, h f, Tale eqazone convolge l valore d nel nodo (, ) e ne 4 nod adacent f, Schema a 5 pnt,,,,, Il problema dfferenzale è rcondotto ad n sstema d eqazon lnear d dmensone (n- )(m-), nelle ncognte, 8

81 Step 3: Rsolzone nmerca Il sstema d eqazon lnear rslta trdagonale a blocch h h h h h h h h h f f f f f f f f f

82 strttra della matrce 8

83 83 Posto A 3 v v v v 3,,3 Il sstema s pò rscrvere nella forma: 3 3 v v v A I I A I I A dove: I è la matrce dentca d ordne 3

84 In generale, s ha l sstema: M dove: M è na matrce trdagonale a blocch, con n- blocch slla dagonale prncpale, A è na matrce trdagonale scalare d dmensone (m-)(n-), e v sono vettor d dmensone m- Inoltre, la matrce M ha le segent caratterstche: v v v v è trdagonale a blocch blocch d cascna dagonale sono gal tra loro è smmetrca è a dagonale domnante v 84

85 3. Rsolzone nmerca d PDE 64/64 APPROFONDIMENTI Nmerazone delle ncognte 85

86 86 Le precedent caratterstche d M s perdono (ttte o n parte) se l domno D non è n rettangolo. y x 3/4 3/ M Esempo:, , 4 3,, D

87 Esempo: La matrce M è: D ,,,, v v v è trdagonale a blocch è smmetrca è a dagonale domnante Ma non ha la strttra a blocch gal 87

88 Case Stdy n. 4 Dscretzzazone d n operatore perbolco medante dfferenze fnte 88

89 Case Stdy n. 4 Dscretzzazone d n operatore perbolco medante dfferenze fnte Eqazone perbolca D a t x 89

90 Dscretzzazone d na PDE con l Metodo a volm fnt Case stdy: Eqazone del trasporto a t x 9