MODELLI PER DATI SU RETICOLO (LATTICE DATA)

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1 Schema degl argoment trattat MODELLI PER DATI SU RETICOLO (LATTICE DATA) -Indc global d autocorrelazone; -Defnzone d strutture d vcnato -Modell SAR -Modell CAR 2 Dat su retcolo S ntendono dat su aree (regolar e rregolar). S consdera l processo spazale { Z( s) : s D} Il domno D={s,s 2,,s n } è fsso e dscreto (non casuale e numerable). St spazal sono rfert ad aree o regon. Quando le forme sono rregolar: dat regonal L attrbuto Z può essere contnuo o dscreto. I dat sono dpendent: a) dat osservat n st vcn tendono ad assumere valor sml (autocorrelazone postva) o valor dfferent (autocorrelazone spazale negatva) b) la dpendenza tra due osservazon decresce al crescere della dstanza tra punt d osservazone 3 Matrc d prossmtà L elemento (,)-esmo della matrce d prossmtà spazale W, ndcato con w, quantfca la dpendenza spazale tra le regon e e consderate conguntamente, le w costtuscono una struttura d vcnato sull ntera area consderata. Caso pù semplce: matrce d connettvtà bnara w se le regon e sono confnant = altrment Essa conduce ad una matrce W smmetrca, nfatt w =w e s fssa w =. 4

2 Matrc d prossmtà Estensone, coè l dea che l vcnato ncluda regon che sono vcne e non solo adacent. In questo caso le regon con w = sono chamat q-nearest neghbors della regone. In questo caso la matrce d prossmtà non è necessaramente smmetrca w se l centrodedellaregone è uno de q = pù vcnal centrodedellaregone altrment 5 Matrc d prossmtà Invece d defnre un certo numero d vcn, possamo defnre vcn come funzone parametrca della dstanza. Per esempo se d ndca la dstanza (Eucldea, o n altre metrche) tra centrod delle regon e, s possono defnre: w se d < = δ altrment -α d α > = altrment Per qualche potenza α. Entramb gl approcc conducono a matrc smmetrche. Un altro esempo: defnre una struttura d vcnato basata sulla frazone de confn condvs delle regon. w l = l se le regon e altrment dove l è la lunghezza del confne tra e e l è l permetro della 6 regone. Matrce W non smmetrca w sono confnant Indc global d autocorrelazone Msura d somglanza de valor ne st e con pes che tengono conto della vcnanza tra st. w smlar w Meda pesata tra le somglanze tra le osservazon spazal. Due matrc d nteresse: quella de pes e quella de valor d somglanza. C è arbtraretà su come s scelgono queste due matrc. La msura d smlartà dpende dalle varabl casual che defnscono le osservazon. Indce d Moran (95) E una varazone del test del rapporto d verosmglanze ed è uno de mglor test per modell d correlazone partcolar sotto la normaltà dstrbutva della varable casuale. sml = ( Z( s ) Z )( Z( s ) Z ) Il tutto è dvso per la varanza camponara osservata nelle Z(s ). w ( Z( s ) Z)( Z( s ) Z) I = 2 σ w I è una varable casuale avente dstrbuzone defnta dalle dstrbuzon e dalle nterazon spazal. E(I)=-/(N-). 7 Se I>E(I) allora st vcn tendono ad essere sml. La correlazone spazale è postva e aumenta n funzone d I-E(I). 8

3 9 Indce d Geary In questo caso la proposta è d una msura d smlartà del tpo: Il rapporto d contgutà d Geary: Anche c è una varable casuale con E(c)=. Se c>e(c) st sono conness ad altr con valor dssml. c= perfetta correlazone spazale postva c= ndpendenza spazale c=2 perfetta correlazone spazale negatva 2 ( ( ) ( )) sml Z s Z s = 2 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ) w Z s Z s N c w Zs Z = 2 c Esemp d dat su retcolo (dsponbl su R) Pacchetto R spdep SIDS (rsposta unvarata su retcolo rregolare) Cresse, 993 dataset ncsds d R Studo la dstrbuzone terrtorale delle mort nfantl mprovvse n North Carolna ( valor sono contegg), organzzazone de dat che segue la geografa della zona (rregolare). PEPPER FIELD (rsposta bnara su retcolo regolare) Chadoeuf et al, 992 (fle pepper.txt) Altr dataset Prma fase: rappresentazone grafca de dat SIDS SIDS DATA NORTHING EASTING number of SIDS SIDS DATA 979 square root transformed NOTHING EASTING number of SIDS 2 PEPPER FIELD DISEASE INCIDENCE Pepper data x y

4 Strutture d vcnato (Besag, 974) la struttura d vcnato defnsce l modo con cu st sono conness tra loro s defnsce un grafo non orentato G=(V,W) dove V è l retcolo e W è una matrce smmetrca, bnara, d dmenson n n e con elemento generco w Esemp d vcnato ) Connessone della torre Grafo non orentato y vcnato della torre Besag (974): Spatal nteracton and the statstcal analyss of lattce systems (wth dscusson). J.R. Statstcal Socety B, 36, x 3 4 2) Connessone della regna Grafo non orentato 3) connessone della torre d ordne e 2 connessone della torre vcn fno al secondo ordne vcnato della regna y x 5 6

5 Sed d contee n North Carolna (retcolo rregolare) Il grafo non orentato per l North Carolna con 4 vcn Grafo del vcnato NN k=4 per dat SIDS y 5 5 north x 7 east 8 Il grafo non orentato per l North Carolna con 8 vcn Grafo del vcnato NN k=8 per dat SIDS Note su dat su retcolo S deve tener conto che non è possble osservare una realzzazone del processo tra due punt nel retcolo. north Vengono propost metod semplc per modellare la struttura d probabltà d Z(s). Per semplctà Z(s) vene consderata unvarata. Per dat d tpo geostatstco vale che: Krgng assume che s campon da una superfce contnua e lo scopo è prevedere n st n cu non c sono osservazon. Per dat su retcolo non c sono obettv d tpo prevsvo. Funzon d covaranza spazale sono basate sulla dstanza tra osservazon. Qund l concetto d dstanza deve essere rvsto per dat lattce east 9 2

6 Strutture spazal Strutture d larga scala Vettore delle mede per dat su retcolo Strutture d pccola scala Pes del vcnato per process su retcolo 2 Obettv dell anals spazale per dat su retcolo Quantfcare la natura dell assocazone tra una varable spazale rsposta, Z(s), e un nseme d covarate spazal. Z(s)=X(s)β+ε(s) Le usual assunzon fatte sul modello d regressone classco vengono a mancare (n partcolare quella sull ncorrelazone de resdu). C s avvcna al concetto de modell autoregressv d sere storche. S ncorpora (nel modello d regressone) l dea d smlartà spazale trattando le osservazon della varable rsposta ne st del domno come covarate agguntve del modello con parametr che msurano l assocazone spazale. Il modello autoregressvo nduce una struttura d covaranza partcolare per la dstrbuzone congunta d varabl. 22 Obettv dell anals spazale per dat su retcolo Le assunzon che sono alla base de modell autoregressv spazal sono: la dpendenza tra le osservazon (se esste) è d tpo lneare; nessuna osservazone è predcble con certezza conoscendo solo qualcuna delle altre. In generale modell AutoRegressv spazal possono essere vst come caso partcolare de modell lnear. La partcolartà rsede n come vene costruta la matrce V. Due approcc alla modellazone de dat su retcolo SAR: Smultaneos AutoRegressve model CAR: Condtonal AutoRegressve model Entramb quest modell vengono vst rfert ad una dstrbuzone gaussana (modello auto-normale) 23 24

7 SAR: Smultaneous AutoRegressve Models A partre dal modello: Z( s ) = X( s )' β + ε ( s ) l modello SAR ncorpora l approcco autoregressvo scrvendo la struttura d errore come: N ε ( s ) = bε ( s ) + ν ( s ) = dove: -b = non regredsce ε(s ) su se stesso; -b rappresentano parametr d dpendenza spazale, poché ess msurano l contrbuto delle altre osservazon (ε(s ), ) alla varazone d ε(s ) -ν(s ) sono termn d errore ndpendent e a meda nulla ~(,σ 2 I). SAR: Smultaneous AutoRegressve Models Il modello della forma: Zs ( ) = Xs ( )' β + ε( s) = Xs ( )' β + b ε( s) + vs ( ) Caso partcolare: tutt b = samo nel caso d modello d regressone con error ncorrelat. Se s usa la relazone ε ( s) = Z( s) X( s)' β, sosttuendo s ha: Zs ( ) = Xs ( )' β + b( Zs ( ) xs ( )' β) + ν( s) = (Whttle, 954). N SAR: Smultaneous AutoRegressve Models In forma matrcale: (I-B)(Z-X β)=ν dove B è una matrce nxn contenente parametr d dpendenza spazale. La matrce d covaranza d Y è qund: Σ Z = ( I B) Σ ( I B ) T ν Condzone necessara è che (I-B) - essta. 27 SAR: Smultaneous AutoRegressve Models Per rdurre l numero d parametr d dpendenza spazale s parametrzza la matrce B n funzone delle nformazon sulla prossmtà e l autocorrelazone defnte prma. Zs ( ) = Xs ( )' β + ρ w( Zs ( ) Xs ( )' β) + ν( s) N Un caso partcolare: B=ρW dove w = se l sto è vcno al sto e w = altrment (è la matrce d prossmtà). Il modello dvene qund: Z = Xβ + ε ε = ρwε + v Z = Xβ + ( I ρw) v 28

8 SAR: Smultaneous AutoRegressve Models Affnché l modello sa specfcato correttamente s rchede che (I- ρw) sa non sngolare (qund nvertble). A tal fne s pongono delle condzon su W e ρ (n partcolare sugl autovalor d W). STIMA DEI PARAMETRI NEI MODELLI SAR S assume che dat sano dstrbut come una dstrbuzone Gaussana multvarata. S rparametrzza la matrce d varanza Σ v =σ 2 V, la matrce d varanza covaranza del modello SAR: Σ SAR = σ 2 (I- B) - V(I- B T ) - = σ 2 V SAR (θ) I parametr β, σ 2 e ρ vengono stmat con l metodo d massma verosmglanza. 29 STIMA-SAR (lag model) A fn della stma d m, B e Σ ν, n questo caso utlzzeremo solo la verosmglanza: /2 n v 2 T T { μ I v I μ } I B L= exp ( z ) ( B) Σ ( B ) ( z ) Σ π 2 S not che Cov(v,Z)=E(vZ t )=Σ v (I-B) - che è dversa da zero. Gl error non sono ndpendent dalle osservazon a dfferenza d quanto accade nelle sere temporal, noltre cò mplca che gl stmator de mnm quadrat non sono necessaramente consstent. 3 CAR: Condtonal AutoRegressve Models Alternatvo al modello SAR Consste nella specfcazone d dstrbuzon condzonate d ogn osservazone Z(s ) dat valor osservat n tutt gl altr punt del domno: f(z(s ) Z - ). Anche per questo tpo d modello dobbamo dre che Z(s ) dpende solo da suo vcn. Il modello CAR s ottene specfcando meda e varanza [ ] EZs ( ) Z = Xs ( )' β + c( Zs ( ) Xs ( )' β ) = [ ( ) ] Var Z s Z σ 2 = N I parametr d dpendenza spazale c sono generalmente specfcat per mezzo della struttura d vcnato, coè c =, c se 3 s єn e altrment CAR: Condtonal AutoRegressve Models Il passaggo da dstrbuzon condzonate alla dstrbuzone congunta avvene nel contesto del Teorema d Hammersley e Clfford (Besag, 974) che descrve le condzon necessare per un nseme d dstrbuzon condzonate a defnre una dstrbuzone congunta valda. Nel caso d dstrbuzon condzonate gaussane cò s traduce nella condzone Σ CAR =(I- C) - Σ c dove Σ c =dag[σ 2,, σ 2 n]. Per garantre che questa matrce d varanzacovaranza sa smmetrca, mponamo l vncolo: σ 2 c = σ 2 c Cas partcolar: - C=φH - Σ c = σ 2 I o una versone pesata Σ c = σ 2 V dove, per esempo, V=dag(v,,v n ). 32

9 Stma e nferenza con modell CAR S consdera un modello gaussano con meda Xβ e matrce d varanza-covaranza defnta come n precedenza. Parametrzzamo la matrce dagonale Σ c come Σ c =σ 2 V c, la matrce d varanza-covaranza del modello CAR può essere scrtta come: Σ CAR = σ 2 (I- C) - V C = σ 2 V CAR (θ) dove θ è l vettore contenente tutt parametr d dpendenza spazale c e parametr d V c Relazone tra CAR e SAR La dfferenza prncpale de modell CAR e SAR per dat gaussan sta nella dversa defnzone d Σ Z. Nel pù semplce de cas: Σ Z = σ 2 (I-ρW) - per l modello CAR e Σ Y = σ 2 (I-ρW) - (I-ρW ) - per l modello SAR Il modello SAR è un caso partcolare del modello CAR: Ponendo Σ c = Σ Z -σ 2 I, allora qualche modello SAR può essere scrtto come modello CAR con C=B+B -BB Generalmente l passaggo da CAR a SAR non è mmedato Pù semplce mplementare modell CAR n una struttura MCMC Stma e nferenza da modell CAR Gaussan S consderano Σ C =σ 2 I e parametr d dpendenza spazal possono essere scrtt come funzone d un sngolo parametro spazale d autocorrelazone (per esempo C=ρW) Gl stmator de mnm quadrat de parametr SAR non sono consstent, mentre quell de modell CAR lo sono. Qund mnm quadrat generalzzat pesat possono essere utlzzat per stmare tutt parametr del modello CAR: β è stmato con GLS con Σ(θ)=Σ CAR =Σ CAR (ρ) e ρ è stmata utlzzando OLS. La struttura condzonata del CAR fornsce mmedatamente predttor pù effcent (n termn d MSE) 35 Stma e nferenza con modell CAR In un modello gaussano con meda Xβ e matrce d varanza-covaranza defnta come n precedenza. Parametrzzamo la matrce dagonale Σ c come Σ c =σ 2 V c, così la matrce d varanza-covaranza del modello CAR può essere scrtta come: Σ CAR = σ 2 (I- C) - V C = σ 2 V CAR (θ) dove θ è l vettore contenente tutt parametr d dpendenza spazale c e parametr d V c. Al contraro d cò che accade per l modell SAR gl stmator de mnm quadrat de parametr del modello CAR sono consstent. Vengono qund utlzzat mnm quadrat generalzzat rpesat. 36

10 Alcune note su modell CAR Popolartà d questa classe d modell con lo svluppo de metod MCMC. Poché lo scopo fnale è quello d defnre una dstrbuzone congunta, Markov Random Feld permettono per mezzo d specfcazon local d gungere alla dstrbuzone congunta. La probabltà congunta potrebbe rsultare mpropra (avere ntegrale non fnto) anche se tutte le condzonate sono propre. Per questo motvo è necessaro rspettare le condzon d H-C. Modell spazal automodell (Besag) qz ( ) = zgz ( ) + β zz < S assocano le probabltà condzonate: PZ ( = z Z = z; ) = exp z g ( z ) + z PZ ( = Z = z; ) La dstrbuzone condzonata appartene alla famgla esponenzale Es. Autonormale, AutoPosson, Autologstco, { β } Il modello AutoNormale Il modello autonormale s può scrvere come: 2 ( ) Z Z = z, N cy, σ Le dstrbuzon condzonate sono compatbl con l Teorema d H-C e qund danno la dstrbuzone congunta: T p( z,..., zn) exp Z ( I C) ΣcZ 2 dove Σ c =dag[σ 2,, σ 2 n] e l vettore μ=(,,). Posto Σ Z =(I- C) - Σ c allora T p( z,..., zn) exp Z ΣZZ 2 Modello Autologstco La varable Z assume solo due valor (per comodtà e ) Z = ( ) se dat fossero ndpendent: ( Z ) p = Pr = #s ( Zp) = p ( p) # Pr n pˆ = z = freq. relatva degl n = s 39 4

11 X X X Dstrbuzone d una varable Bnara nello spazo p =.9 INDIPENDENZA SU RETICOLO Y 5 4 p =.5 Modello Autologstco Z, Z n sono varabl casual che assumono valor e. exp α βx + Pr{ Z = Z = z; } = Pr{ Z = Z = z; N} = exp α βx Se sono soddsfatte le condzon del teorema d HC, la dstrbuzone congunta rsulta verde = blu = Y p =. 2 4 n n Pr( z) = cost exp α z + β z z 2 = = :c = Y Approcco dell econometra spazale Applcazon nell ambto fnanzaro; Attenzone a test d eteroschedastctà; Test d Breush-Pagan Approcco dell econometra spazale Il modello spazale SAR gà vsto può essere rportato; Z = Xβ + ρwz + ε Vene modfcato l test d Moran (c s sposta da pes bnar smmetrc a pes standardzzat per rga); L aspetto chave è decdere se l processo generatore de dat presenta una struttura SAR sugl error (cò che abbamo appena vsto) oppure su component rtardate spazalmente. Il modello spazale d Durbn è: Z = Xβ + WXγ + ρwz + ε Ulteror varant tengono conto sa dell autocorrelazon spazal che l eteroschedastctà (attenzone alla multcollneartà) 43 44

12 Bblografa Utle Per la parte d dat su retcolo(n ordne d charezza): Schabenberger e Gotway (25). Statstcal Methods for spatal data analyss. Chapman & Hall. Qualche paragrafo del captolo, dvers paragraf del captolo 6 Cresse (993). Statstcs for spatal data, Wley captol 6,7. Per approfondment e charment n Econometra Spazale: Anseln (999), Spatal Econometrcs (a dsposzone su nternet) Per collegament alla parte n laboratoro Bvand, Pebesma e Gomez-Rubo (28). Appled Spatal Data Analyss wth R. Sprnger. Captol 9 e. 45