Matrici di massa degli elementi finiti

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1 Matrc d massa degl element fnt La matrce d massa può assumere due forme: una detta lumped o concentrata che assume valor dvers da 0 sulla sola dagonale prncpale, l altra consstent o dstrbuta che utlzza un metodo consstente con l campo d spostament nterno assunto In genere s commette un errore non grande nel consderare la matrce lumped S ha l vantaggo d una mnore occupazone d memora Nella rsoluzone delle equazon d equlbro (ntegrazone al passo) s può avere una consstente dmnuzone de temp d calcolo Infatt la lumped s nverte mmedatamente Non esste un metodo unvoco per passare dalla formulazone consstente a quella concentrata Il metodo pù comune prevede d sommare termn d cascuna rga sulla dagonale

2 Nella tabella che segue sono presentate le regole d ntegrazone pù comun per le matrc d massa S not che, per avere ntegrazone ottmale, occorre spesso un ordne pù basso rspetto a quello della matrce d rgdezza

3 Anals modale ale problematca ha senso solo per sstem lnear La rcerca degl autovalor d un sstema meccanco costtusce un punto d partenza fondamentale n quanto, oltre che a fornre nformazon crca le frequenze e mod propr, permette d costrure una base d calcolo per l comportamento dnamco complessvo È nteressante rmarcare come, anche per quegl element fnt ove s fornva la rgdezza n forma esatta (es. trave) la matrce d massa sa approssmata, per cu suddvdendo la dscretzzazone la soluzone s modfca e tende a convergere Come gà detto n precedenza, n genere s trascura nel problema agl element fnt la presenza dello smorzamento nella rsoluzone agl autovalor, salvo po ntrodurre successvamente uno smorzamento modale In alternatva, s costrusce una matrce d smorzamento proporzonale che garantsce mod d vbrare real C M K Esstono dverse forme canonche d presentare l problema, tutte equvalent A x B x A Bx 0 B 1 A Ix 0 La rcerca degl autovalor concde analtcamente con la rcerca degl zer del polnomo caratterstco p det A B

4 Ne problem meccanc non smorzat s ha: K Mu 0 Gl autovettor sono arbtrar a meno d un fattore d scala, ma s può t elmnare l arbtraretà attraverso una normalzzazone rspetto ad M u M u 1 t Gl autovettor sono ortogonal rspetto alla matrce d massa u M u 0 Consderando nfatt due autovalor dstnt, h k, s può scrvere K u h h M u h Premoltplcando la I per u k K u h h u k M u u k h K u k k e la II per u h K u M u u h k k k u h M u Sfruttando la smmetra matrc, s traspone ad esempo la II e s sottrae I k h h k k k h uk M uh 0 Che, nell potes h k, dmostra ortogonaltà Qund gl autovettor costtuscono una base completa del sstema stesso x 1 u1 u n un con x M u u M u x M u S può allora pensare ad un cambo d base, utlzzando la matrce U (nxn) U u u 1 un (Se normalzzat a 1)

5 S esamna l caso d rsposta armonca (ecctazone snusodale) M x K x f sent M U q K U q f sent x U q Premoltplcando per U U M U q U K U q U f sent I q U K U q U f sent Che fornsce un sstema rsolutvo dsaccoppato essendo 1 U K U Λ Come s potrebbe dmostrare... n I q Λ q U f sent Un mportante vantaggo acqusto con tale procedura è che s può decdere d utlzzare nel calcolo un numero mnore d frequenze propre rspetto ad n, troncando ove le frequenze dventano molto pù alte d quelle d ecctazone Rsolto nelle coordnate modal q s rtorna a quelle fsche con la x U q

6 Rapporto d Ralegh K Mu 0 u K u u M u 0 u u K u M u Se nvece d un autovettore s utlzza un vettore spostamento (compatble con vncol) R x x x K x M x Quanto pù x è prossmo a u, tanto pù R(x) è vcno a R Facendo ancora rcorso alla base modale R x x U q q U K U q q Λ q q U M U q q I q È nteressante rmarcare che x, la stma d 1 è sempre per eccesso x q 1 q q q 1 1 q q q q 1 n Pertanto, se vengono utlzzat una sere d x vettor d prova, l rsultante R(x) mnore è l pù vcno al prmo autovalore

7 Separazone autovalor e sere d Sturm S pens d costrure, accanto al problema autovalor orgnaro, un altra sere ottenuta utlzzando sottomatrc d M (m) e K (m) che elmnano le ultme m rghe e m colonne (Fscamente è come dre che s vncolano gl m gdl corrspondent) (m) (m) (m) K ( m) M u 0 (m 1) (m1) (m 1) (m 1) K M u 0 m m m 1 nm m1 m1 m1 1 nm1 La propretà d separazone afferma che confrontando due grupp d autovalor, ess sono separat nel senso che m m1 m m1 m m1 m1 m nm1 nm S dce che la sere de polnom caratterstc (le cu soluzon sono ) costruta facendo varare m è una sere d Sturm se vale la propretà d separazone Metod d rsoluzone del problema autovalor per alt numer gdl Non esstono soluzon analtche effcent, occorre rsolvere l problema n va approssmata medante terazon In alcun cas è convenente operare non con l sstema completo, ma con un sstema condensato medante la rduzone d Guyan (estesa anche alle masse)

8 Da ANSYS m = master ; s = slave

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15 C - Calcolo degl autovalor medante la sere d Sturm Senza entrare n dettagl, s tratta d un metodo che utlzza la decomposzone d Cholesky A L L Quest ultma s può anche scrvere n questa forma A L Z L Dove termn sulla dagonale d L sono tutt untar e la Z è dagonale Partendo dal solto sstema K Mu 0 L Z L Lo s decompone nella forma d Cholesky S può dmostrare (da Sturm) che, fssato un valore d, l numero d autovalor n Z mnor d zero corrsponde agl autovalor mnor d A Facendo varare s possono dentfcare così gl ntervall ove cadono mnor d Una volta calcolat gl ntervall s determnano tutt valor con l metodo della secante applcato alla A() A 1 1 A A 1 A 1 A

16 D - Calcolo degl autovettor medante l metodo della terazone nversa Quando sono not gl autovalor, gl autovettor s possono determnare medante un procedmento teratvo basato su un vettore nzale assunto (ad esempo untaro) K u M u Prma stma 0 K M Rsolvendo n 1 s ha II stma 1 n 1 0 K M Convergenza se n 1 0 Lo shft consente una maggore veloctà d convergenza della soluzone quando l autovalore è pccolo S ottene modfcando l sstema nel modo seguente K u M u K Mu M u Valore d shft

17 Subspace teraton Non vene descrtto n dettaglo, è mglore del precedente per trattare grand problem agl autovalor ove non s vogla rdurre l sstema medante condensazone Block Lanczos Non vene descrtto n dettaglo, s applca su grand sstem, n partcolare quando le matrc sono sparse, rchede d memorzzare matrc molto grand Solutore non smmetrco S applca necessaramente quando le matrc da trattare sono non smmetrche, come nel caso d nterazone fludo-struttura Solutore per sstem smorzat È possble determnare autovalor ed autovettor non real, medante un algortmo che s basa sempre sul Block Lanczos

18 Rsposta armonca È la rsposta d un sstema forzato, ovvero la rsposta che s ha quando le condzon nzal non hanno pù effetto sulla soluzone (stazonaro) Per l calcolo è fondamentale sottolneare che, n condzon stazonare, sstem lnear rspondono uncamente alla medesma frequenza d ecctazone (eventualmente con un rtardo d fase domnato dallo smorzamento La soluzone qund è sempre rcercata nel domno delle frequenze a) Metodo dretto Partendo dal solto sstema (con smorzamento eventuale) M x C x K x Fsent La soluzone ha la forma x x sent 0 Ove sa x che F sono valor compless (ampezza e fase), sosttuendo 1 K C Mx F x0 K C M F 0

19 Ovvero l problema è, nel domno delle frequenze, analogo al problema statco, ma con una matrce d rgdezza che vara con e che noltre è composta da numer compless Il metodo è valdo quando la F ha poch termn n frequenza o quando l anals è estesa a poch termn d frequenza (ad ogn s deve nvertre l sstema (eventualmente complesso) Gl algortm d calcolo sono gl stess de sstem statc Qualche consstente vantaggo s può avere facendo precedere una condensazone d Guyan alla soluzone b) Metodo della sovrapposzone modale Ovvamente non s possono trattare sstem non lnear Operando nello spazo modale, cascun modo s comporta come un oscllatore solato ad 1 gdl, pertanto la rsposta complessva s ha sovrapponendo le rsposte d tutt mod (troncando quando la rsposta è rrlevante) In questo caso l calcolo deve essere preceduto da un anals modale

20 Per ogn modo vale (smorzamento vscoso) l seguente grafco d rsposta n n k F x n n n 1 tan

21 La stessa soluzone s può scrvere per l sstema completo, n forma compatta, avendo svolto l anals modale M x C x K x f sent I q U C U Λ q U f sen t Per cascun modo r s ha U r qr r f sen t c e, complessvamente xt r (se C dagonale, c r termne dagonale) n UrUr r1 Come s vede, occorrono vettor U r e le frequenze propre r r f sen t c Se nvece C non è dagonalzzata dalla U le soluzon modal non sono dsaccoppate e convene trattare l problema con, ad esempo l metodo d Duncan (ved lezon precedent) che però raddoppa la dmensone del problema r Il prncpale vantaggo del metodo d sovrapposzone modale è tutto lo sforzo computazonale è preventvo e po è facle avere dagramm d rsposta a molteplc frequenze, del tpo:

22 Rsposta spettrale L anals è sempre preceduta da un anals modale e qund s opera nello spazo modale S suppone d conoscere l contenuto (spettro) della forzante e s determna la rsposta del sstema La forzante può essere sa n termn d carch (forze vento, ) sa n termn d spostament mpost (terremot, ) S possono dstnguere due cas n cu lo spettro è unco per tutt punt d ecctazone (sngle pont response), oppure vara su cascun punto (multple pont response) L utlzzo della sovrapposzone modale è del tutto smle al caso precedente, ma s possono po fare molte scelte crca l modo n cu s sovrappongono tutte le frequenze ecctate Il punto è: tutte le rsposte avranno una fase tale da raggungere nella oscllazone tutt massm contemporaneamente?

23 a) Complete Quadratc Combnaton Method In questo metodo la rsposta è determnata facendo la radce quadrata della somma de quadrat delle rsposte a cascun valore della frequenza S scartano nella somma tutte le rsposte che non raggungono un prefssato valore d sogla S ottene un unco valore per la rsposta che consdera tutto lo spettro d carco assunto b) Groupng Method,... È analogo al precedente ma s raggruppano le frequenze n modo da ottenere una rsposta spettrale suddvsa n camp d frequenze c) Power Spectral Densty method In questo caso s consdera l problema n chave probablstca Non s parte dallo spettro de carch, ma dalla sua denstà d probabltà Per l elaborazone s utlzza la matrce d rsposta complessa ad una ecctazone untara H(j) S rsp S Hj forzante Modulo del valore complesso