TEORIA DELLA STIMA E DELLA DESCISIONE STATISTICA

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1 TEORIA DELLA STIMA E DELLA DESCISIOE STATISTICA STIMA A MASSIMA VEROSIMIGLIAZA Per determnare la stma a massma verosmglanza d un parametro θ, partendo da un campone d dat X, bsogna scrvere la denstà d probabltà f(x;θ) dpendente dal parametro ncognto θ. Successvamente s rcava la funzone d verosmglanza oppure l suo logartmo: L( θ ) f ( ; θ ) x ln[ L( θ )] ln[ f ( x ; θ )] Per procedere nella stma a massma verosmglanza, basta semplcemente verfcare che ln[l(θ)] sa dervable, calcolare la dervata prma e rcavare l valore d θ per cu s annulla: ln[ L( θ )] θ θ ˆ θ ML 0 Le stme a massma verosmglanza vengono n genere ndcate con Θˆ godono sono: Le stme Θˆ Le stme Θˆ ML ML sono consstent; sono asntotcamente effcent; ML. Le prncpal propretà d cu Se per l problema n esame esste uno stmatore effcente, esso è propro lo stmatore Θˆ Inoltre se ϕ(θ) è una funzone nvertble del parametro θ, la stma a massma verosmglanza d ϕ(θ), sarà propro ϕ ˆ θ ). ( ML ML

2 Esercz e Complement Eserczo. Determnare la stma a massma verosmglanza del valor medo e della varanza d un campone d dat X (x, x,, x ) gaussano (μ,σ ) Il prmo passo è d scrvere la funzone d verosmglanza: L ( x μ ) σ ( μ, σ ) ( ; θ ) f x e πσ passando al logartmo: ln[ L( μ, σ )] ln(π ) ln( σ ) σ ( x μ) le dervate parzal valgono: ln[ L( μ, σ )] μ σ ( x μ) ln[ L( μ, σ )] σ σ + 4 σ ( x μ) I valor per cu s annullano sono le stme a massma verosmglanza de parametr, rspettvamente: ˆμ ˆ σ ML x ML ( x ˆ μ ML ) che corrspondono alla meda e alla varanza camponara.

3 Modell e Metod per la Smulazone 3 Complemento. Per verfcare la bontà della stma ottenuta bsogna verfcare che le stme sano corrette. Per l valor medo s ha: E[ ˆ μ ML ] E[ x ] μ Poché l valor medo dello stmatore concde con l parametro da stmare, la stma s defnsce non polarzzata. Per verfcare se la stma del valor medo μˆ ML è una stma effcente bsogna confrontare la varanza della stma con l lmte d Cramer-Rao, a tal proposto è necessaro rcordare la dsuguaglanza d Cramer-Rao che nel caso specfco vale: σ Var[ ˆ μ ML ] ln[ f ( x; μ, σ )] E μ Per calcolare la varanza della stma μˆ ML bsogna esegure la seguente operazone: σ Var[ ˆ μ ML ] Var x Poché la varanza della stma concde con l lmte d Cramer-Rao, possamo concludere che la meda camponara μˆ ML ottenuta dalla stma a massma verosmglanza del valor medo d un campone dat gaussano è una stma effcente. Inoltre per quanto vsto prma è anche una stma non polarzzata e consstente, n defntva è la mglore stma possble che possamo ottenere per questo tpo d parametro. Questo rsultato è valdo sa se la varanza del campone è nota, e sa se è ncognta come n questo caso. Complemento. Le stesse verfche effettuate per la stma del valor medo possono essere effettuate per la stma della varanza del campone σˆ ML. Il rsultato della stma a massma verosmglanza suggersce d utlzzare la varanza camponara come stma della varanza d un campone gaussano. Purtroppo la varanza camponara non è una stma corretta nfatt:

4 4 Esercz e Complement E [ ] [ ] ˆ σ E ( x ˆ μ ) σ ML ML In questo caso la stma s dce polarzzata, e la sua polarzzazone b vale: b E [ ˆ σ ] ML σ σ uno stma non polarzzata è ad esempo: ˆ σ P ˆ σ ML Il lmte d Cramer-Rao, rchede un calcolo pù laboroso: ˆ b( σ ) ML + 4 ] σ σ ML Var[ ˆ σ ln[ f ( x; μ, σ )] E σ Per calcolare la varanza d σˆ ML. Consderamo la seguente varable: χ ˆ σ P σ S dmostra che questa varable ha una denstà d probabltà del Ch-quadro con grad d lbertà, e la sua varanza vale: Var χ [ ] ( ) pertanto:

5 Modell e Metod per la Smulazone 5 Var σ [ ˆ σ ] Var ˆ σ Var[ ˆ σ ] Var[ χ ] ML In defntva: P P Var 4 4 σ σ σ [ ] ˆ σ ( ) ML Confrontando questa espressone con l lmte d Cramer-Rao, appare evdente che la varanza camponara ha una varanza d stma sempre superore al lmte d Cramer-Rao, qund la stma a massma verosmglanza della varanza d un campone dat non è una stma effcente, ma tende al lmte d Cramer-Rao solo per. In questo caso la stma s dce asntotcamente effcente. Possamo replogare quanto detto dcendo che la stma a massma verosmglanza d un campone dat gaussano è la varanza camponara d σˆ ML, la quale rsulta essere una stma consstente(n quanto stma ML), una stma non corretta (perché polarzzata), ed una stma asntotcamente effcente. A questo punto è nteressante confrontare le propretà della varanza camponara con quelle della stma non polarzzata σˆ P determnata n precedenza : Var [ ˆ σ ] P 4 σ Poché la varanza d questa stma è maggore della varanza della stma σˆ ML, dobbamo concludere che la stma a massma verosmglanza della varanza d un campone d dat gaussano, sebbene sa una stma polarzzata, ha una bontà maggore d qualsas altra stma, poché è quella a varanza mnore.

6 6 Esercz e Complement Eserczo. Determnare la stma a massma verosmglanza del valor medo d una v.a. esponenzale negatva utlzzando l campone d dat X (x, x,, x ) Il prmo passo è d scrvere la funzone d verosmglanza: L( μ ) f ( ; μ) ( x + x + L+ x ) μ x e μ passando al logartmo: ln[ L ( μ )] ln( μ) L + μ ( x + x + ) x la dervata vale: ln[ L( μ)] + μ μ μ ( x + x + L + ) x Il valore per cu s annulla è la stma a massma verosmglanza del parametro: ˆμ ML ( x + x + L + x ) che corrspondono alla meda camponara. Anche la meda camponara è una stma non polarzzata, consstente ed effcente, qund la mglor stma per l valor medo d una v.a. esponenzale negatva

7 Modell e Metod per la Smulazone 7 Eserczo.3 Sa λ l numero medo d chamate rcevute n un ora n una centrale telefonca. Ipotzzando che l numero effettvo d chamate orare sa modellable con una varable aleatora dscreta d Posson, con valor medo par a λ, e d avere a dsposzone osservazon ndpendent del fenomeno, determnare: La stma a massma verosmglanza del parametroλ. La polarzzazone della stma ottenuta; Verfcare la consstenza e l effcenza della stma ottenuta Rcordamo che una v.a. dscreta d Posson a funzone massa d probabltà par a : p n n λ λ e n! noltre: E [ n] Var[ n] λ Il prmo passo è d scrvere la funzone d verosmglanza, sosttuendo opportunamente la funzone denstà d probabltà con la funzone massa d probabltà, perché questa volta l problema rguarda una v.a. dscreta, ed l campone delle osservazon è (n,n,n ): L( λ ) p, λ n λ e n! λ λ n n! e λ passando al logartmo: ln[ L( μ)] ln( λ) n ln( n!) λ la dervata vale:

8 8 Esercz e Complement n L )] ( ln[ λ λ λ Il valore per cu s annulla è la stma a massma verosmglanza del parametro: ML n ˆλ Per verfcare se la stma è corretta (non polarzzata): [ ] λ λ ML n E E ] [ ˆ La stma ottenuta medante la tecnca a massma verosmglanza è la meda camponara, e rsulta essere una stma corretta. Poché s tratta d una stma ML è anche consstente. Per verfcare se la stma è effcente bsogna calcolare la varanza della stma e confrontarla con l lmte d Cramer-Rao. Poché per potes le osservazon sono ndpendent, la varanza s può calcolare come l prodotto delle sngole varanze: [ ] n Var Var ML λ λ ] [ ˆ Il lmte d Cramer-Rao è: n E n E n E p E Var ML λ λ λ λ λ λ λ λ, ] [ ] ln ] ˆ [ Poché la varanza della stma concde con l lmte d Cramer-Rao la stma è effcente.

9 Modell e Metod per la Smulazone 9 Eserczo.4 S consder un espermento che può avere solo due rsultat: successo o nsuccesso e che essere rpetuto volte. Ipotzzando che la probabltà dell evento successo sa par a p, e che durante le prove dell espermento l evento favorevole s è verfcato k volte, determnare una stma non polarzzata del parametro p e verfcarne la consstenza. La varable aleatora dscreta che descrve l eserczo è una v.a. bnomale la cu funzone massa d probabltà vale: ) ( ) ( k k k p p k p Charamente la funzone massa d probabltà è funzone del parametro p, noltre è anche la funzone d verosmglanza, qund per determnare la stma ML è suffcente dervare p k.: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k k p p k k p kp k p p k dp d dp dp dp p dl la dervata s annulla per k p dp p dl ML p p ML ˆ 0 ) ( ˆ poché s tratta d una v.a. bnomale l valor medo e la varanza d k sono: p kp k E k k 0 ] [ ) ( ] [ ] [ ] [ p p k E k E k Var Verfchamo se la stma ML è una stma polarzzata:

10 0 Esercz e Complement E[ k] E[ pˆ ML ] p La stma ML del parametro p è una stma corretta. Var[ pˆ ML Var[ k] ] p( p) Poché: lm Var [ pˆ ] 0 ML La stma ML del parametro p è una stma consstente.

11 Modell e Metod per la Smulazone DISTRIBUZIOE ORMALE STADARD La dstrbuzone normale standard s ndca con Φ(z), e la sua espressone vale: Φ( z x z) e π dx La funzone Φ(z), rappresenta l area sottesa ad una curva gaussana d valor medo nullo, e varanza untara. Questa espressone permette d calcolare la probabltà degl event X z, quando X è appunto, una v.a. gaussana a meda nulla, e varanza untara. Φ (z) z 3.5 x Ogn v.a. gaussana X (μ,σ ), può essere normalzzata alla v.a. gaussana standard Z medante la trasformazone: μ Z X σ In appendce, nella tavola A., vene rportata la tabella con valor d Φ(z). Anche se la curva è defnta nell ntervallo ]-,+ [, n pratca assume valor sgnfcat nell ntervallo [-3.5, +3.5]. Per questo motvo nelle tabelle vengono rportat soltanto n questo ntervallo. Inoltre poché la curva gaussana è una funzone smmetrca, la funzone Φ(z), gode della seguente propretà: Φ ( z) Φ( z) Pertanto la tabella rporta soltanto valor nell ntervallo [0, +3.5].

12 Esercz e Complement Eserczo.5 Medante l utlzzo della tavola statstca Tav. A (che rporta valor della dstrbuzone normale standard), calcolare la probabltà che la v.a. gaussana X (4,4), assuma valor tra 3 e 5. La prma operazone da effettuare è normalzzare la v.a. X alla gaussana standard, e successvamente e segure l calcolo della probabltà. In pratca: Pr { 3 < X < 5} Φ Φ Φ(0.5) Φ( 0.5) Φ(0.5) [ Φ(0.5) ] Dalla tabella s ha: Φ(0.5) 0.695, s ha: { 3 < X < 5} Pr Eserczo.6 La quanttà d carburante, n mglaa d ltr, rchesta settmanalmente ad una stazone d servzo, può essere schematzzata come una v.a. gaussana X (0,6). Sapendo che la stazone vene completamente rfornta all nzo d ogn settmana, s chede d calcolare la capactà C del serbatoo, n modo che la probabltà d esaurre l carburante nella settmana rsult 0.0 Poché la probabltà che l carburante rchesto dalla stazone super la capactà del deposto deve essere 0.0, s ha: { X > C} 0 Pr 0. e poché: C 0 Pr 4 { X > C} Pr{ X < C} Φ 0. 0 da cu:

13 Modell e Metod per la Smulazone 3 0 Φ C Dalla tabella s ha: C 0.33 C 9,3 4 Qund la capactà del serbatoo deve essere crca d 9,3 mglaa d ltr. Complemento.3 Le varabl aleatore gaussane godono d alcune mportant propretà, tra le qual, rcordamo che due v.a. gaussane ncorrelate sono anche ndpendent. Un altra propretà rguarda la somma d due v.a. gaussane In partcolare se una v.a. V è combnazone lneare d due v.a. gaussane X e Y ncorrelate V ax + by E una v.a. gaussana con seguent parametr: μ aμ + bμ V X Y V X σ aσ + bσ Y Questo rsultato può essere esteso anche alla combnazone lneare d v.a. gaussane. Se nvece le due v.a. non sono ncorrelate, le relazon date sopra non sono valde. el caso d due v.a. gaussane correlate con grado d correlazone par a ρ può essere nteressante calcolare le probabltà condzonate X Y e Y X. In questo caso valgono le seguent relazon: E σ X [ X Y y] μ + ρ y μ ) Var X σ Y ( Y [ X Y y] σ ( ) ρ X

14 B 4 Esercz e Complement E σ Y [ Y X x] μ + ρ x μ ) Var Y σ X ( X [ Y X x] σ ( ) ρ Y Eserczo.7 Un operao A per compere un lavoro mpega un certo tempo( n mnut) T A schematzzable con una v.a. gaussana con parametr (0,9). Un secondo operao mpega un tempo( n mnut) T B schematzzable con una v.a. gaussana con parametr (00,6). I due opera nzano l lavoro contemporaneamente ed n manera ndpendente.quale è la probabltà che l operao A fnsca l lavoro prma dell operao B La coppa d varabl T A e T A sono due una coppa d v.a. gaussane ndpendent. Pertanto la varable D T A - T A è ancora una v.a. gaussana con parametr (8,5): Pr 5 { T < T } Pr{ ( T T ) 0} Pr{ D 0} Φ A B A B Eserczo.8 S supponga che l altezza(cm) d un gruppo molto numero sa una v.a gaussana X (70,00). Mentre l peso(kg) sa espresso da una v.a gaussana Y (75,00). Poché le v.a. X e Y s rferscono allo stesso gruppo d persone sono correlate (ρ 0.8) Quale è la probabltà che scelta una persona a caso pes meno d 75 Kg?. Quale l peso medo delle persone alte 80 cm? Quale è la probabltà che una persona alta 80 cm pes meno d 75 Kg? La prma domanda rguarda soltanto la v.a. Y pertanto: { Y 75} Φ( 0) 0. 5 Pr

15 Modell e Metod per la Smulazone 5 La seconda domanda mplca l calcolo del valor medo condzonato E[Y X 80] E σ Y [ Y X 80 ] μ (80 μ ) (80 70) Kg Y X 83 σ X La devazone standard della v.a. condzonata Y X, vale: σ Y X Y σ ρ ( ) Qund la rsposta alla terza domanda è : Pr {( Y X 80) 75} Φ Φ

16 6 Esercz e Complement STIMA PER ITERVALLI La stma per ntervall, consste nel determnare se l valore del parametro θ da stmare rcade n un certo ntervallo, che vene defnto ntervallo d fduca della stma. Il problema vene formulato nel seguente modo { B < θ < } γ Pr B Dove BB e B B sono due varabl statstche, l cu valore è completamente determnato dal campone dat X, mentre γ vene detto lvello d ncertezza. Rcordamo due rsultat mportant della teora della stma: ) Quando l parametro da stmare è l valor medo μ d un campone dat gaussano, la stma per ntervall vene formulata nel seguente modo: t t Pr X S < μ < X + S γ dove X e S sono rspettvamente la meda e la varanza camponara. Le varabl B e BB nel caso specfco sono varabl t-student con grad d lbertà ( dmensone del campone). )Quando l parametro da stmare è la varanza del campone l problema vene formulato nel seguente modo: S Pr x S < σ < γ x I valor x e x s determnano faclmente dalle tavole del χ mponendo le condzon: γ { χ x } Pr{ χ x } Pr γ

17 Modell e Metod per la Smulazone 7 Eserczo.9 Dato un campone d dat X d dmensone 00, estratto da una popolazone avente scarto quadratco medo σ 5.. Ipotzzando che la meda camponara sa X.6 costrure un ntervallo d fduca al 95% per la stma del valor medo della popolazone. L eserczo consste nel determnare un ntervallo entro quale rtenere accettable la stma del parametro μ, con un lvello d ncertezza γ Poché la varanza del campone è nota l problema può essere formulato semplcemente nella forma: { z < μ < z } Pr Grafcamente s ha la seguente stuazone: regone d rfuto regone d accettazone X z γ σ μ X + z γ σ Per determnare la regone d accettazone [z,z ] bsogna qund calcolare la varable z γ medante la conoscenza del lvello d ncertezza γ. Dalla tabella della dstrbuzone normale standard, s rcava: { z < Z < z } Φ( z ) [ Φ( z )] Φ( z ) 0.95 Φ( z ) z. 96 Pr γ γ γ γ γ γ γ Dal valore d z γ s ottene l seguente ntervallo d fduca: Pr X z γ σ < μ < X + z γ σ Pr.6.96 < μ < μ.6

18 8 Esercz e Complement Eserczo.0 Consderato l campone dat X ( 80), rportato n tabella, determnare un ntervallo d fduca al 99% per la stma del valor medo L eserczo è molto smle a quello precedente, bsogna però fare attenzone al fatto che questa volta la varanza non è nota. La prma operazone da compere è calcolare la meda e la varanza camponara: X x 8.8 S ( x X ) 3.96 Il problema vene formulato nel seguente modo: tγ tγ Pr X S < μ < X + S γ ( 40) Anche n questo caso l problema s rconduce al calcolo d una varable t γ, medante le tavole statstche. Questa volta bsogna utlzzare le tavole della dstrbuzone t-student, poché la varanza del campone dat non è nota. { t < T < } γ 0. 0 Pr γ t γ Poché 80, è necessaro conoscere la dstrbuzone t- Student con 79 grad d lbertà. ella tabella a dsposzone, questo valore non è rportato. Qund s può procedere n dvers mod, l prmo è utlzzare l

19 Modell e Metod per la Smulazone 9 valore pù vcno rportato nella tabella, e qund dalla rga della dstrbuzone con 80 grad d lbertà s legge t γ.638, d conseguenza s rcavo l ntervallo:.638 Pr < μ < μ 0.47 Un secondo metodo è l approssmazone gaussana, tanto pù valda quanto pù grande è. Per 79, è ragonevole poter utlzzare tale approssmazone: { z < Z < z } Φ( z ) [ Φ( z )] Φ( z ) 0.99 z Pr γ γ γ γ γ γ Pr < μ < μ Eserczo. S consder l seguente campone dat X ( 5): [0.060, 0.08, 0.056, 0.075, 0.09, 0.074, 0.07, 0.074, 0.080, 0.064, 0.068, 0.085, 0.078, 0.07] S determn un ntervallo d fduca al 95% per la stma del valor medo e della devazone standard. Calcolo della meda e della varanza camponara: X x S ( x X ) Per la stma del valor medo utlzzamo le tavole della dstrbuzone t-student con 4 grad d lbertà, poché l lvello d ncertezza è γ 0.05, s ha t γ.45: Pr < μ < μ

20 0 Esercz e Complement Per la stma della varanza, s ha: S Pr x S < σ < γ x I valor x e x s determnano dalla tabella del χ faclmente mponendo le condzon: γ { χ x } Pr{ χ x } γ Pr Pertanto x 6.9 e x 5.69, da cu: Pr S x S 5 5 < σ < γ Pr 0.09 < σ < σ 0.05 x Complemento.4 E mportante notare, che se dmnusce l lvello d ncertezza γ, l ntervallo d fduca aumenta. Questo che apparentemente è un rsultato postvo, deve far rflettere. Perché l aumento della fduca nella stma, sgnfca che la stma è poco attendble, perché pù è ampo l ntervallo n cu s cerca un parametro, e pù facle è trovarlo. Qund una buona stma, è una stma con un lvello d ncertezza basso ed un ntervallo d fduca molto stretto.

21 Modell e Metod per la Smulazone TEST DI IPOTESI STATISTICHE S chamano test d potes statstche (o prove d accordo) tutt que procedment att a verfcare, per mezzo dello studo d campon, se sono accettabl o meno delle potes fatte sulla legge d dstrbuzone d una varable. ella sua forma pù generale l test delle potes statstche vene formulato nel seguente modo: S defnsce una varable H (funzone del campone dat X) detta statstca del test; S defnsce un ntervallo d fduca entro l quale devono essere verfcate le potes; Se n corrspondenza del partcolare campone osservato la varable H assume un valore esterno all ntervallo d fduca, l potes fatta vene rfutata. Qund formalmente l problema vene formulato n manera analoga al calcolo dell ntervallo d fduca per la stma de parametr: { h < H < } γ Pr h Se l valore d H, ottenuto dal campone n esame, cade all nterno dell ntervallo [h,h ] non è ragonevole rfutare l potes, che può essere accetta con una certa cautela dervante dal lvello d ncertezza γ. Un test molto mportate è l test del χ (Ch-quadro), che vene utlzzato, per verfcare se un campone dat X osservato segue una dstrbuzone unforme. Per condurre l test s suddvde l ntervallo della varable unforme potzzata n s part e s determna la varable R che rappresenta l numero d element del campone che assumono un valore compreso nella -esma parte, valor (R, R, R 3, R S ). Poché sulla varable n esame vene fatta l potes sulla sua dstrbuzone, n ogn ntervallo dovrebbe cadere un numero d valor par a : (p, p, p 3,, p S ). La statstca del test V vene calcolata nel seguente modo: V S ( R p ) p Fssato un certo lvello d ncertezza γ, dalle tabelle del χ con s- grad d lbertà, s può rcavare x γ tale che Pr { χ xγ } γ

22 Esercz e Complement A questo punto possamo formulare un test d potes statstche del tpo: Pr { 0 < V < x } γ γ dove l ntervallo [0, x γ ] defnsce la regone d accettazone. L potes verrà rfutata se l valore d V ottenuto da un partcolare campone, è esterno alla regone d accettazone. Eserczo. Gl ncdent d auto avvenut n un anno su un tratto d strada sono ndcat per ogn mese nella seguente tabella: MESE GE FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT OV DIC n ncdent S vuole provare con un lvello d ncertezza γ 0.0, l potes che la probabltà evento ncdente non dpenda dal partcolare mese n cu accada. L potes che l numero d ncdent non dpenda dal mese, s traduce defnendo una v.a. dscreta X, che sa unformemente dstrbuta nell ntervallo [,], con vettore delle probabltà: p, p, p 3,, p S /. Per verfcare se l numero degl ncdent segua questa legge d dstrbuzone utlzzamo l test del χ defnendo la varable V: V S ( R p ) p L ntervallo de defnzone della dstrbuzone n esame, vene suddvso charamente n dodc part s Al posto d R sosttuamo l relatvo numero d ncdent nel relatvo mese, mentre la dmensone del campone s ottene sommando tutt valor della tabella: R 300 p 5 A questo punto samo n grado d calcolare l valore d V:

23 Modell e Metod per la Smulazone 3 V ( 5) R Dalle tabelle del χ rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.0 x 4. 7 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 99%. Eserczo. S supponga d effettuare 00 lanc con una moneta e d ottenere 45 volte testa. Verfcare medante l test del χ che la moneta non sa truccata. Se la moneta è perfettamente smmetrca la varable X che esprme l rsultato del lanco, può assumere due valor con probabltà par a p 0.5,,. Assocamo ad l rsultato testa e a l rsultato croce: R 00 p 50 V S ( R p ) p (45 50) 50 (55 50) + 50 (5) 50 Dalle tabelle del χ con grado d lbertà, s rcava che x γ è sempre maggore d, per ogn γ >0.3. Qund l potes d smmetra sulla moneta può essere accettata con un lvello d ncertezza par a 0.3

24 4 Esercz e Complement Eserczo.3 S supponga d effettuare al calcolatore l espermento del lanco d un dado. L espermento vene rpetuto 0 volte ottenendo seguent rsultat: Valore Rsultato Per poter verfcare se la smulazone condotta rproduce fedelmente la realtà, analzzamo l rsultat ottenut. Medante l test del χ s vuole verfcare che la sequenza d dat ottenut sa unforme nell ntervallo [,6] con un lvello d ncertezza γ 5% Questo tpo d verfca è molto frequente, nell anals degl Input d un smulazone. In pratca lo scopo è verfcare che la sequenza casuale generata al calcolatore segua la dstrbuzone desderata. el caso specfca bsogna verfcare che la sequenza s unforme nell ntervallo [,6] 6 R 0 p 0 S V ( R p ) p (5 0) 0 (7 0) + 0 (5 0) + 0 (3 0) + 0 (4 0) + 0 (6 0) Dalle tabelle del χ con 5 grad d lbertà rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.05 x. 07 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%.

25 Modell e Metod per la Smulazone 5 Eserczo.4 Durante l esecuzone d una smulazone è prevsto generare una sequenza d 50 numer casual tra [0,9]. Per poter verfcare la corretta generazone della sequenza casuale, vene suddvso l ntervallo [0,9] n 0 part e s effettua l conteggo d quant valor cadono nel sngolo ntervallo, e s ottene la seguente tabella: Valore Rsultato Medante l test del χ s vuole verfcare che la sequenza d dat ottenut sa unforme nell ntervallo [0,9] Analogamente all eserczo precedente: 0 R 50 p 5 V S 0 ( R p ) ( R 5) p Poché non vene fatta nessun rfermento al lvello d ncertezza sceglamo due valor γ (5%,%) Dalle tabelle del χ con 9 grad d lbertà rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.05 x γ γ Pr { χ x } γ 0.0 x. 666 γ γ In entramb cas non è possble accettare l test. Se s analzza attentamente la tabella s vede che per γ 0.5%, s ottene x γ Il test n questo caso può essere accettato anche se lo scarto è mnmo. E opportuno rcordare, che n questo caso è poco sgnfcatvo accettare l test, n prmo luogo perché lo scarto è mnmo, ma soprattutto perché l potes è verfcata con un lvello d ncertezza molto basso, e qund con un ntervallo d fduca molto ampo. Abbamo pù volte rbadto, che quando l ntervallo d fduca è molto ampo è poco sgnfcatvo accettare un test d potes statstche.

26 6 Esercz e Complement Eserczo.5 ell anals dell accadmento d un certo evento, s è msurato che l evento nelle ultme 90 settmane s è verfcato secondo l seguente campone dat: d event per settmana 0 3 o pù d settmane n cu s è verfcato Dalla tabella, s evnce che sono 5 le settmane n cu non s è verfcato, mentre sono 3 le settmane n cu s è verfcato una volta, e 6 le settmane n cu s è verfcato volte, etc. Verfcare medante l test del χ che la frequenza degl evento segua una dstrbuzone d Posson con parametro λ 0.4 con lvello d ncertezza γ 5% L espermento n esame consste nell osservare, n un ntervallo temporale ben defnto (0,t) par ad una settmana l verfcars d un dato evento. In generale ogn osservazone è ndpendente dalle altre, e qund ogn occorrenza dell evento è ndpendente dalle altre, noltre da dat osservart la frequenza delle occorrenze dell evento sembra puttosto regolare Qund è lecto supporre, che l occorrenza d questo evento segua una dstrbuzone d Posson. Per calcolare valor delle probabltà p bsogna utlzzare la formula d Posson: p n n λ λ e n! da cu: p p p e.4 0! e.4! e.4! p 3 ( p0 + p + p ) Charamente nel nostro caso sebbene l ndce parte da zero (p 0, p, p, p 3 ), queste probabltà vanno lette come (p, p, p 3, p 4 ) perché l ndce della sommatora del calcolo della statstca del test V parte da :

27 Modell e Metod per la Smulazone 7 V 3 ( R p ) ( ) ( 3 4.3) ( ) p Le ultme due probabltà sono state accorpate, poché la somma delle loro probabltà assolute è mnore d 5 è qund sono nnfluent per l test (p *904.84, p *900.7) le abbamo sommate e consderate come un unco caso (p ). Questa è una regola emprca per asscurars che la statstca del test sa una v.a. del χ. Dalle tabelle del χ con grad d lbertà rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.05 x γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%. Eserczo.6 S potzza che l numero d dfett d present su un crcuto stampato segue una legge d Posson. Su un campone d 60 crcut pres a caso s msurano le seguent frequenze d dfett: dfett 0 3 o pù d crcut n cu è sono present dfett Verfcare medante l test del χ che la frequenza degl evento segua una dstrbuzone d Posson con lvello d ncertezza γ 5% Poché n questo caso non vene fatta nessuna potes sul parametro della dstrbuzone utlzzmo un valore stmato. Dalla teora è noto che la meda camponara è corrsponde alla stma a massma verosmglanza del valor medo d un v.a. d Posson, pertanto: ˆ λ da cu:

28 8 Esercz e Complement p p p e.75 0! e.75! e.75! p 3 ( p0 + p + p ) Anche n questo caso convene accorpare le ultme due probabltà. Questo s poteva anche vedere, dalla tabella nzale, nfatt perché l test sa sgnfcatvo, n ogn ntervallo -esmo, n cu s dvde l campone dat è bene che cadano al meno 0 valor. Unendo le ultme due colonne ottenamo : V 3 ( R p ) ( ) ( 5.6) ( ) p Poché l valor medo della varable d Posson è stato stmato dal campone, non bsogna utlzzare la dstrbuzone del χ con grad d lbertà ( come s dovrebbe perché la statstca del test è stata calcolato con s 3), ma quella con un grado d lbertà, perché bsogna anche consderare l ncertezza della stma effettuata, qund dmnure grad d lbertà del numero d parametr stmat dal campone dat (n questo caso solo l valor medo), pertanto rcavamo x γ tale che Pr { χ x } γ 0.05 x γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%.

29 Modell e Metod per la Smulazone 9 Eserczo.7 Osservando gl arrv n un centro d servzo, s regstrano seguent valor: che rappresentano temp d nter-arrvo delle rcheste d servzo al sstema. Verfcare medante l test del χ che la dstrbuzone de temp d nter-arrvo segua una legge esponenzale negatva. ell anals de sstem a coda, questo tpo d verfca è necessara per poter decdere d adottare un modello markovano per descrve l sstema. Poché abbamo soltanto un campone dat X osservato senza nessuna potes calcolamo la meda e varanza camponara: X x.3 S ( x X ).88 Se temp d nter-arrvo fossero esponenzal, ogn arrvo è ndpendente dal precedente, è s può potzzare che gl arrv sono unformemente dstrbut all nterno dell ntervallo d osservazone. Questo sgnfca che se suddvdamo la sequenza complessva d 30 valor n s 6 ntervall, n ogn ntervallo devono cadere 5 valor della sequenza. Se suddvdamo l ntervallo [0,] n 6 part ottenamo seguent sottontervall con rspettv valor d sogla: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

30 30 Esercz e Complement Il problema va trasportato ad una dstrbuzone esponenzale, qund dobbamo traslare valor d sogla secondo la formula: [ U ( )] E( x).3ln x E contare n ogn ntervallo quant valor cadono: *** * ***** ** ** * * ** * * * * * ** * * * * * * charamente per effetto della trasformazone d varable gl ntervall non sono della stessa lunghezza, ma n ogn caso dovrebbero cadere 5 valor n ogn ntervallo (potes d unformtà). Poché s osservano de valor dvers n ogn ntervallo, effettuamo l test del χ con un lvello d ncertezza del 5% per verfcare l potes: 6 R 30 p 5 V 6 ( R p ) ( 4 5) ( 5 5) ( 6 5) ( 5 5) ( 8 5) ( 5) p Poché abbamo utlzzato, un valore stmato del valor medo della dstrbuzone esponenzale, bsogna utlzzare la tavola del χ con 4 grad d lbertà: Pr { χ x } γ 0.05 x γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%.

31 UMERI PSEUDO-CASUALI GEERATORI DI SEQUEZE PSEUDO-CASUALI Un generatore congruente lneare, ha la seguente espressone X n+ ( ax n + c) mod m Il parametro a è detto moltplcatore mentre c ncremento, m è l valore rspetto al quale s esegue l operazone d modulo. In partcolare se c 0, l generatore vene detto moltplcatvo. Il termne nzale dell algortmo X 0 è detto seme ed è un numero ntero. Per ottenere dalla sequenza numerca X n una sequenza d valor dstrbuta tra [0,] è suffcente la seguente operazone U n X n m La sequenza ottenuta è perodca al pù d perodo m, n partcolare s dce che ha perodo peno se l suo perodo è propro m, e cò s verfca quando sono verfcate le seguent condzon: Se m e c sono prm tra loro; Se m è dvsble per un numero prmo b, per l quale deve essere dvsble anche a ; Se m è dvsble per 4, allora anche a deve essere dvsble per 4. Oltre a queste verfche è necessaro anche verfcare l unformtà della sequenza medante l stogramma (anals qualtatva) e medante l test del χ (anals quanttatva). Dopo aver ottenuto una sequenza pseudo-casuale è possble ottenere altre dstrbuzon medante le trasformazon d varabl aleatore, o medante l metodo della reezone-accettazone. Appare evdente che maggore è l perodo della sequenza ottenuta, e maggor sono le probabltà d aver ottenuto un buon generatore. Poché per ottenere un perodo molto elevato bsogna utlzzare valor d m molto elevat, almeno m 35, e d conseguenza anche valor d a molto grand, questo sgnfca che bsogna avere elaborator elettronc con notevol capactà d calcolo. Bsogna anche consderare lo scopo per cu s svolge la smulazone, nfatt se non sono necessare sequenze molto numerose s possono utlzzare anche generator con valor pù bass.

32 3 Esercz e Complement Eserczo. Dato l seguente generatore congruente lneare (LCG), calcolare la sequenza pseudo-randomca generata e verfcare l unformtà,medante la tecnca dell stogramma. LCG (a 3, X 0 3, m 7). Calcolamo la sequenza X n : X 3X 0 mod(7) X 3X mod(7) 6 X 3 3X mod(7) 4 X 4 3X 3 mod(7) 5 X 5 3X 4 mod(7) X 6 3X 5 mod(7) 3 X 7 3X 6 mod(7) U n X 7 n [ ] suddvdamo l ntervallo [0,] n 6 ntervall e contamo quant valor cadono n ogn sngolo ntervallo: I [0, 0.67, 0.333, 0.500, 0.667, 0.833, ] R [,,,, 0, ]

33 Modell e Metod per la Smulazone 33 Eserczo. Rpetere l eserczo precedente con m 4 Calcolamo la sequenza X n : X X mod(4) 9 X X mod(4) X X mod(4) 3 X X mod(4) X X mod(4) X X mod(4) X X mod(4) 5 X X mod(4) X X mod(4) X X mod(4) X X mod(4) 3 X X mod(4) X X mod(4) 9 X X mod(4) U n [0.649, 0.986, , 0.357, 0.074, 0.43, 0.649, 0.986, , 0.357, 0.074, 0.43, 0.649, 0.986] R [4,, 0, 3,, 3] Il rsultato non è molto ncoraggante, qund la scelta d aumentare l perodo non basta per mglorare, l generatore, nfatt abbamo ottenuto una sequenza con un perodo molto basso, nfatt l numero prmo per cu è dvsble m è 7, mentre a- non è dvsble per 7.

34 34 Esercz e Complement Eserczo.3 Dato l seguente generatore congruente lneare (LCG: a 7, c 43, X 0 7, m 00), verfcare al calcolatore, l unformtà medante la tecnca dell stogramma e l test del χ con un lvello d ncertezza del 5% Prma d generare la sequenza al calcolatore bsogna fare alcune verfche prelmnar su parametr del LCG: Se m e c sono non hanno dvsor comun, sebbene m non sa un numero prmo; Sa m 00 che a 6 sono dvsbl per (numero prmo) Sa m 00 che a 6 sono dvsbl per 4 Qund possamo concludere che la sequenza generata avrà perodo peno. D seguto rportamo prm 3 (la sequenza completa ha lunghezza 00): X n+ ( ax n + c) mod m X X 7X mod(00) U 0.0 m X X 7X + 43 mod(00) 77 U 0.77 m X 3 X 3 7X + 43 mod(00) 53 U m Per mplementare l test del χ è possble suddvdere l ntervallo [0,] n s 0 part, per ognuna d queste part p 0.: 0 R 00 p 0 Il vettore delle varabl R [5, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0,0, 5] Poché c sono gel ntervall n cu non cadono valor, effettuamo l aggregazone, calcolando l test su 4 con 5 valor:

35 Modell e Metod per la Smulazone 35 V 4 ( R p ) ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) p Medante la tavola del χ con 3 grad d lbertà: Pr { χ x } γ 0.05 x γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%. Bsogna n questo caso fare attenzone perché l test del χ condotto n questo modo è falsato. Infatt osservando l vettore R è possble notare che c sono degl ntervall n cu sono concentrat molt valor, ed altr vuot, questo basta per concludere che la sequenza generata non può essere utlzzata come sequenza pseudocasuale n una smulazone perché l generatore LCG scelto non è affdable: Istogramma della sequenza casuale d 00 con s 0 Questo eserczo mette n rsalto un forte lmte del test del χ, quando vene utlzzato per verfcare l comportamento d un generatore LCG per questo motvo, la verfca s accompagna molto spesso con l stogramma e ad altr tp d verfche pù sgnfcatve che saranno llustrate nelle pagne seguent.

36 36 Esercz e Complement Eserczo.4 Data la seguente sequenza d numer pseudocasual U n [0.44, 0.8, 0.4, 0.05, 0.93] verfcare l unformtà medante l test d Kolmogorov-Smrnov con un lvello d ncertezza par al 5% Il campone dat dsponble è molto pccolo ( 5), qund l test del χ manera sgnfcatva. In questo caso s prefersce l test KS: La prma operazone da compere è ordnare valor del campone osservato: non può essere condotto n F 0 0 (0.05) 0.0, F (0.4) 0.40 F (0.44) 0.60 F (0.8) 0.80 F (0.93) E opportuno rcordare che una varable aleatora che segue una legge d dstrbuzone unforme nell ntervallo [0,] è descrtta dalle seguent curve: f(x) X F(x) X 0 x 0 Denstà d Probabltà Dstrbuzone d Probabltà x Per mplementare l test KS bsogna utlzzare la curva Dstrbuzone d Probabltà (la curva d destra): 0 0 F X ) F ) F X ) F ( X ) ( ( ) X ( X ( ) ( ( ) X ( ) Il punto d massma dstanza dalla curva potzzata è l della tabella qund X () 0.4, per cu la statstca del test è D 0.6. Se ponamo un lvello d ncertezza par a γ 0.05, le tabelle (K S) curva

37 Modell e Metod per la Smulazone 37 fornscono per 5, un valore d γ 0.56, poché la statstca del test D è mnore d questo valore, l potes fatta (sequenza osservata unforme) può essere accettata. Test d Kolmogorov-Smrnov Curva osservata -> <- Curva teorca F(x) x Interpretazone grafca del test d Kolmogorov-Smrnov Complemento. Il test d Kolmogorov-Smrnov, a dfferenza del test del χ, analzza la forma della legge d dstrbuzone, pertanto è pù potente nel caso d campon con poch valor. Il test del χ è pù doneo ad analzzare la denstà de punt all nterno degl ntervall n cu suddvdamo l ntervallo d defnzone della varable, e molto spesso è necessaro accompagnare questo test medante un anals fatta con l stogramma. Quando la sequenza pseudocasuale è molto numerosa l test KS dventa molto laboroso ma con l attuale dsponbltà d calcolator elettronc, è possble mplementare entramb test al calcolatore, pertanto quando s genera una sequenza pseudocasuale unforme, è consglable effettuare tutte le verfche prma d accettare l generatore ed utlzzarlo per una smulazone.

38 38 Esercz e Complement Complemento. La verfca dell unformtà della sequenza pseudocasuale non è l unca verfca da effettuare, per accettare un LCG. Una verfca molto mportante e necessara è quella della correlazone tra valor della sequenza. Questo tpo d verfca è molto pù complessa, ma è necessara perché un generatore LCG che supera test d unformtà non può essere utlzzato se valor della sequenza non sono ncorrelat. Questa condzone non s può ottenere e qund è suffcente che la correlazone sa molto bassa. Un test molto potente che vene condotto per verfcare la bontà de generator LCG è l test spettrale, che sfrutta una partcolare propretà de generator LCG. Quest generator presentano una struttura a retcolo, se ad esempo suddvdamo la sequenza n trple, ed analzzamo la dsposzone de valor n uno spazo trdmensonale osservamo una fgura del tpo: Generatore moltplcatvo IBM RADU( LCG: a 65539, c 0, X 0, m 3 ), 968 Il generatore LCG n fgura è noto come RADU, ed è stato mplementato dalla IBM su propr sstem nel 968. Come s vede dalla fgura, valor della sequenza s dspongono su de pan ( questa è una dretta conseguenza della struttura a retcolo de generator congruent lnear). Se pan non sono equdstant, sgnfca che v sono delle zone dell ntervallo [0,] a maggore denstà d valor, e soprattutto che c è una elevato correlazone tra valor della sequenza. Pensamo ad esempo ad un generatore che smul l lanco del dado, se prendamo rsultat a valor sngol è auspcable che ogn valore abba una percentuale par ad /6, mentre se prendamo valor della sequenza a coppe desderamo che ogn coppa abba una percentuale par a /36 e cos va. Da questa consderazone nasce l dea d verfcare la correlazone e l unformtà della sequenza medante la dstanza tra pan d cu è formato l retcolo. Se l anals è condotta su due dmenson pan s rducono a delle rette, mentre se l anals vene condotta per dmenson k > 3, pan dventano degl perpan non pù rappresentabl grafcamente, ma n ogn caso la

39 Modell e Metod per la Smulazone 39 dstanza è calcolable. Il test spettrale, consste nel calcolare per ogn dmensone k >, la dstanza mnma tra pan e d effettuare una normalzzazone tale che s ottene una varable 0<S<. Se S è molto vcno ad, la correlazone è abbastanza bassa perché gl perpan sono quas equdstant, se nvece S è molto vcno a zero allora c degl perpan molto vcn tra loro e qund la sequenza generata ha una elevata correlazone. Un rsultato molto nteressante del test spettrale, è che S non ha lo stesso valore per tutte le dmenson. D seguto s rportano alcun esemp d LCG molto comun ed rspettv test spettral. LCG: a , c 0, X 0, m 3 Il test spettrale è stato condotto fno ad 8 dmenson (k 8) con l seguente rsultato: k S Questo generatore analzzato n dmenson sembra buono, ma po presenta un elevata correlazone gà per valor della sequenza dstant pù d due valor (k > 3). Grafcamente: Su generator LCG vengono fatte numerose prove ed poché quest generator dpendono molto da loro parametr tanto che un pccolo cambamento d uno d ess può provocare la totale modfca della sequenza generata l parametr (a, c, X 0, m) vengono nella pratca determnat n manera esaustva rpetendo per ogn scelta, l test spettrale ed test d unformtà.

40 40 Esercz e Complement Unx ASI-C : LCG: a , c 345, X 0 345, m 3 Il test spettrale è stato condotto fno ad 8 dmenson (k 8) con l seguente rsultato: k S BCSLIB: LCG: a 5 5, c 0, X 0, m 35 Implementato nel lnguaggo SIMULA : k S

41 Modell e Metod per la Smulazone 4 APPLE: LCG: a 5 3, c 0, X 0, m 35 Implementato da Apple Computers : k S Fshman-Moore: LCG: a , c 0, X 0, m 3 - Implementato da Apple Computers : k S

42 4 Esercz e Complement Complemento.3 Un altra mportante classe d generator d sequenze pseudocasuale è costtuta da generator congruent nvers denomnat ICG (propost da Euchenauer e Lehr nel 986), la cu formula è: X ( a X n+ + n c) mod m U n X n m Questa classe d generator è molto meno sensble alla varazone de parametr rspetto a generator LCG. Purtroppo non avendo una struttura regolare non è possble mplementare l test spettrale, possamo n ogn caso analzzare una fgura bdmensonale che c dà una msura della correlazone, prendendo punt a coppa e dsponendol su d un pano. Questa operazone è analoga a quella vsta n precedenza per generator LCG, per qual è stato possble msurare la correlazone graze alla struttura a retcolo ( che n un pano ha come effetto d dsporre le coppe d valor su delle rette parallele), per un generatore ICG s ottene una fgura del tpo: Oltre a classc test llustrat, esstono molt altr tp d test emprc che s effettuano su generator d sequenze pseudocasual per verfcarne le prestazon: come ad esempo verfcare che un generatore unforme smul correttamente delle varabl aleatore ndpendent ed dentcamente dstrbute n [0,]

43 Modell e Metod per la Smulazone 43 SEQUEZE PSEUDO-CASUALI O UIFORMI La generazone d sequenze pseudocasuale unform n[0,], è soltanto l prmo passo della generazone d numer casual. Infatt una volta ottenuta una sequenza che smul n manera accettable una v.a. unforme n [0,] bsogna determnare delle sequenze che rappresentno bene anche altre varabl aleatore. Esstono dverse tecnche per ottenere varabl aleatore con denstà d probabltà nota da una sequenza numerca pseudocasuale. egl esercz propost d seguto saranno llustrat alcun esemp. Eserczo.5 Data una sequenza d numer pseudocasual U n n [0,], determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone unforme n [b,b+a] Consderamo la seguente varable Y Y au + b la funzone nversa è : Y b U g ( Y) a Qund la dstrbuzone della v.a. unforme n [a,b]: F Y 0 y ( y) a < y < b b < y < b + a y > b

44 44 Esercz e Complement Eserczo.6 Data una sequenza d numer pseudocasual U n n [0,], determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone esponenzale negatva Indchamo con E la v.a. esponenzale, e rflettamo sulla seguente legge d corrspondenza: E ln( U ) la funzone nversa è : U g ( E) e E Qund la dstrbuzone della v.a. esponenzale: y F ( y) e y 0 E Sebbene samo cer d aver utlzzano un generatore molto affdable per generare la sequenza pseudocasuale U n convene sempre effettuare de test d verfca, come l test del χ oppure l test d Kolmogorov-Smrnov per verfcare che la v.a. generata segua la curva desderata, molto semplce è suffcente una verfca medante stogramma:

45 Modell e Metod per la Smulazone 45 Eserczo.7 Data una sequenza d numer pseudocasual U n n [0,], determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone d Webull con parametr (β,δ ) Questo eserczo è molto smle al precedente. La funzone denstà d probabltà della v.a. d Webull è: f X ( x) e x β δ β x δ δ β La funzone dstrbuzone d probabltà vale: F ( x) e X β x δ ponendo U g ( ) ( X ) X δ [ ln U ]β Confrontamo l stogramma con parametr (δ, β ) con la curva reale (δ, β ) per un anals qualtatva, ma è possble anche effettuare anals pù consstent medante l test del χ oppure l test d Kolmogorov-Smrnov: 50.8 Denstà d probabltà della v.a. d Webull b f(x) b b x

46 46 Esercz e Complement Complemento.4 Con l metodo della trasformazone d varabl aleatore è possble anche generare varabl aleatore gaussane. Osservando la probabltà congunta d due v.a. gaussane ndpendent X e Y s ha: + ) ( ) ( ), ( y x Y X XY e y f x f y x f π Consderamo la seguente trasformazone n coordnate polar: Y X R + Θ X Y g arctan Le varabl X e Y s ottengono dalle varabl R e Θ medante la seguente trasformazone nversa: cos Θ R X sn Θ R Y La denstà d probabltà congunta d R e Θ è: Θ ), ( r R e r r f π θ con le sngole denstà d probabltà margnal : 0 ) ( r re r f r R π θ π θ 0 ) ( Θ f

47 Modell e Metod per la Smulazone 47 In defntva R è una varable aleatora d Raylegh mentre Θ è una varable aleatora unforme n [0,π]. Poché samo n grado d generare solo varabl aleatore unform n [0,] l nostro obettvo è d manpolare le espresson appena calcolate per rcavare una legge d trasformazone che permetta d rcavare le v.a. gaussane X e Y da v.a. unform U n [0,]. La denstà d Raylegh è una legge esponenzale qund è molto semplce verfcare che dalla dstrbuzone d probabltà d R: F ( r) R r 0 f R ( r) dr e r r 0 s rcava la seguente trasformazone, che permette d esprmere una v.a. R d Raylegh n funzone d una v.a. unforme n [0,] : ( ) R ln U la varable Θ è unforme n [0,π], e nell eserczo.5 abbamo vsto come s operano le trasformazon d v.a. unform, qund defnte due v.a. unform n [0,] U e U la trasformazone che consente d ottenere due v.a. gaussane ndpendent X e Y è: X Y ( U ) cos( π ) ln U ( U ) sn( π ) ln U

48 48 Esercz e Complement SEQUEZE PSEUDO-CASUALI DISCRETE La generazone d varabl aleatore dscrete è molto semplce, basta rcordare la defnzone d una v.a. d Bernoull. Questa v.a. può assumere solo due valor 0 ed, rspettvamente con probabltà ( p) e p. L dea è quella d determnare una regola che c aut a passare da una varable contnua unforme n [0,] alla v.a. d Bernoull. Se fssamo un valore d sogla par a p ed eseguamo un test defnendo una varable B tale che: 0 B U > U p p Ottenamo una v.a. d Bernoull. Allo stesso modo s procede per qualsas v.a. dscreta come vedremo negl esercz che seguono. Eserczo.7 Data una sequenza d numer pseudocasual unforme n [0,] U, determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone dscreta p n [0.5, 0.3, 0.] La v.a dscreta defnta nella tracca dell eserczo può assumere solo tre valor [0,,] e rspettvamente con probabltà p 0 0.5, p 0.3, p 0., partendo da una v.a. unforme s può ottenere semplcemente con seguente test: B n 0 0 < U < U < U

49 Modell e Metod per la Smulazone 49 Eserczo.8 Data una sequenza d numer pseudocasual unforme n [0,] U, determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone bnomale con parametr p e La v.a Bnomale ha funzone massa d probabltà: p n n p q n ( n) p + q 0.35 Massa d probabltà della v.a. bnomale Pn Xn Massa d probabltà della v.a. Bnomale per 5, p0.8 Ed esprme la probabltà che un evento s realzz n volte n un espermento rpetuto volte. Per, la v.a. bnomale s rduce ad una v.a. d Bernoull. Questo c suggersce d generare una v.a. d Bernoull e d rpetere l espermento e contare l numero d volte che s verfca l evento favorevole. Un possble algortmo è rportato d seguto: Bnomale (,p) for :00 sum0;%nzalzzazone for j: f(u < p);%generazone d una v.a. d Bernoull sumsum+; end end Bsum+;%B rappresenta una v.a. Bnomale h(b)h(b)+;%complazone dell stogramma end

50 50 Esercz e Complement Eserczo.9 Data una sequenza d numer pseudocasual unforme n [0,] U, determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone geometrca con parametro p La v.a. dscreta geometrca è defnta come l numero d prove k da effettuare prma che s abba l evento favorevole, l quale ha probabltà p d accadere. Pr( successo dopo k prove) p( p) k 0.35 Massa d probabltà della v.a. geometrca Pn Xn - Dstrbuzone geometrca (k 0, p 0.3) Qund per generare una v.a. geometrca basta semplcemente, generare una v.a. U, defnre l evento favorevole come: U < p e contare l numero prove del test fno al prmo evento favorevole (rcordamo che l prmo campone della v.a. geometrca vale p: p 0 p). for :000 geo 0; %ntalzone whle U>p & geo+<k %steppng through the dstrbuton geogeo+; %geo è la v.a. geometrca end h(geo+)h(geo+)+; %complazone stogramma end La v.a. geometrca è defnta per n 0,,,. In realtà la sequenza vene generata per un numero fnto d valor k. Poché la somma d tutt element della sequenza deve essere, è possble soprattutto negl ultm termn (coda della dstrbuzone) che valor della sequenza generata non concdano con quella teorca.

51 Modell e Metod per la Smulazone 5 Complemento.5 Alle volte per generare una v.a. dscreta occorre esamnare attentamente le sue propretà. Ad esempo la v.a. d Posson ha funzone massa d probabltà: p n n λ λ e n! 0.5 Massa d probabltà della v.a. d Posson Pn Xn Massa d probabltà d una v.a. bnomale negatva con λ 7 Partre dalla funzone massa d probabltà per generare la v.a. può essere complcato, qund è opportuno sfruttare alcune propretà. Ad esempo una propretà molto mportante d cu gode una v.a. d Posson è la propretà dell unformtà degl event. Tutt gl event che s susseguono nell ntervallo d osservazone (0,t) hanno nter-temp esponenzal, qund ndcando con e una successone d v.a. esponenzal con valor medo /λ s ha: n e t < n+ e l valore d n esprme l numero d event accadut nell ntervallo (0,t) e qund segue una dstrbuzone d Posson. Rcordando l espressone che lega la v.a. esponenzale a quella unforme, s può generare la v.a. d Posson drettamente da sequenze unform n [0,] U n+ U < e λt n U

52 METODO MOTE CARLO CALCOLO ITEGRALE Il metodo Monte Carlo consste nel rpetere numerose volte un espermento per conteggare l numero d volte che s verfca un evento (un partcolare rsultato dell espermento) rspetto al numero totale d volte che s rpete l espermento. In questo modo è possble calcolare una stma della probabltà dell evento: {} Pr ε ( ε ) tot Dove con (ε) abbamo ndcato l numero d volte che s verfca l evento ε. Questo metodo è molto usato ne problem, ove s conosce una formulazone matematca, ma non resce a determnare una soluzone per va analtca. Il metodo Monte Carlo, può essere mpegato sa n problem d natura probablstca, e sa n problem d natura non aleatora. Infatt graze al forte mpulso che ha avuto l nformatca negl ultm decenn, e alla possbltà d generare varabl casual al calcolatore, negl ultm decenn questo metodo è stato molto mpegato per determnare soluzon approssmat d equazon non rsolvbl per va analtca. L dea che è alla base, nasce dalla relazone ntegrale che defnsce la probabltà d un evento: Pr {} ε Pr{ ( ε ) x} X f ( x) dx x X Da un espermento defnto su uno spazo campone Ω, è sempre possble defnre una varable aleatora X con funzone d denstà d probabltà f X (x), tale che la probabltà dell evento ε, possa essere determnata medante l calcolo d un ntegrale defnto. Questo sgnfca calcolare la probabltà d un evento medante l calcolo d un area. 0