Elemento Trave nel piano

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1 Il etodo degl Element Fnt Elemento Trave nel pano Dalle dpene del prof. Daro Amodo e dalle lezon del prof. Govann Santu.Cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana y θ v u θ v u ettore forze nodal U ettore potament nodal u x v Tre grad d lbertà per nodo (nel pano) Due nod per elemento Se grad d lbertà per elemento U K θ u v atre d rgdezza d elemento: 6 x 6 θ.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

2 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana Qu l problema è dentfare la ola matre d rgdezza [K]. I vettor {F} p e {F} ε alolano ome gà vto per l elemento ata. Per la trave pana, la matre [K] vene prma alolata n un tema d rfermento loale e po ruotata nel tema d rfermento globale. y y x T [ K] [ ] [ K ] [ ] α [K] matre d rgdezza nel tema globale [K ] matre d rgdezza nel tema loale [] matre d rotazone x.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent aal u U U Imponendo lo potamento nodale u, mantenendo vnolat tutt gl altr grad d lbertà dell elemento, generano le forze nodal U ed U U u U u A area della ezone lunghezza E odulo d Young.Cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

3 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent aal U U u U u U u In modo analogo è poble trovare poono trovare le part U ed U dovute queta volta al olo potamento u : Quete ono le U ed U total, omma de ontrbut dovut agl potament u e u agent ngolarmente:.cortee U U U u a relazone tra forze e potament nodal dell elemento può eere rtta n forma matrale u u U u Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent aal u U U A area della ezone lunghezza E odulo d Young a matre d rgdezza dell elemento trave, nel pano, ha dmenon 6x6. U u v Convene qund epandere la matre x, relatva alle ole omponent aal, n una matre 6x6. I oeffent non defnt ono per l momento null. U θ u v.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) θ

4 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal Per ndvduare le omponent fleonal dovrebbe proedere n modo analogo a quanto vto per le omponent aal: mponendo uno potamento alla volta oervano le forze he generano oneguentemente. In queto modo è poble ravare oeffent della matre [K], a patto d rolvere un problema pertato.. v θ v θ v θ Et.Cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal Convene nvee applare pù ondzon ontemporaneamente u una truttura otata e po uare l prnpo d ovrappozone degl effett. S onder una trave natrata ad un etremo e lbera all altro: θ v dove: lunghezza J omento d nerza della ezone E odulo d Young Applando all etremo lbero una forza, normale all ae della trave, otterrà uno potamento v, dato dalla nota relazone: ed una rotazone θ, data dalla relazone: v EJ ϑ EJ Convenzone per moment e rotazon: potv e antorar.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

5 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal Convene nvee applare pù ondzon ontemporaneamente u una truttura otata e po uare l prnpo d ovrappozone degl effett. S onder una trave natrata ad un etremo e lbera all altro: dove: θ v lunghezza J omento d nerza della ezone E odulo d Young Applando nvee un momento, valor dello potamento v e della rotazone θ ono alolat dalle relazon: v EJ ϑ EJ.Cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal S onder una trave natrata ad un etremo e lbera all altro. θ v dove: lunghezza J omento d nerza della ezone E odulo d Young Applando all etremo lbero a la forza he l momento ottengono lo potamento v e la rotazone θ v EJ EJ ϑ EJ + EJ Invertendo, medante empl paagg: 1EI 6EI v + θ 6EI v + 4EI θ.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

6 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal I oeffent alolat per l nodo, relatv a grad d lbertà v e θ, poono eere dunque epre n forma matrale: 1EJ v θ N.B. Anhe n queto ao le forze ono la quota parte dovuta agl potament pre n onderazone. Steo doro per alol delle dapotve ueve. Soltanto quando verrà onderata la matre d rgdezza ompleta le forze aranno quelle total.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal a forza ed l momento relatv al nodo e dpendent dallo potamento e dalla rotazone del nodo poono eere alolat utlzzando le equazon d equlbro: + da u rava mmedatamente he: 1EJ v ϑ Dall equlbro de moment ottene: + + 1EJ EJ ϑ v + ϑ v ϑ v +.Cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

7 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal Qund oeffent alolat per l nodo, relatv a grad d lbertà v e θ, poono eere epre n forma matrale: 1EJ EJ v θ.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal Per l nodo proede n modo analogo, a meno del dvero egno de moment e delle rotazon: Operando ome nel ao preedente gunge alla eguente relazone matrale: 1EJ θ v v θ In queto ao, applando all etremo lbero a la forza he l momento ottengono le eguent relazon per lo potamento v e la rotazone θ: v + EJ EJ ϑ + EJ EJ Convenzone per moment e rotazon: potv e antorar.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

8 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal Sfruttando anora le ondzon d equlbro ha: D oneguenza oeffent alolat per l nodo, relatv a grad d lbertà v e θ, poono eere epre n forma matrale: 1EJ EJ v θ.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: omponent fleonal I oeffent d rgdezza fleonal poono eere rappreentat n una matre 4 x 4 ome egue 1EJ 1EJ v EJ θ 1EJ 1EJ v EJ θ.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

9 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: atre d Rgdezza d Elemento, rfermento loale Ora ono not tutt oeffent d rgdezza dell elemento e può eere rtta l ntera matre d rgdezza dell elemento. U u U 1EJ 1EJ 1EJ 1EJ EJ v θ u v N.B. termn null ndano he non v è aoppamento tra forze aal e momento flettente e tra forze aal e taglo. Queto è prevto dalla teora elementare della trave. EJ θ.cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Traformazon d oordnate a matre d rgdezza ottenuta è rtta nel tema d rfermento loale. Per alolare la matre nel tema globale è neearo eegure l prodotto matrale: T [ K] [ ] [ K ] [ ] Dove [] è la matre d rotazone, he può eere rtta n funzone dell angolo α he dpende dalle oordnate nodal dell elemento, rtte nel tema globale. y x y y α ar tan x x y y y y y.cortee x x α x x N.B. Nel ao dell ata pana l rfermento loale è ruotato rpetto al globale attorno all ae z, he reta omune a due tem Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) x

10 Introduzone al alolo trutturale matrale Traformazon d oordnate a matre d rotazone [] rtta nel pano, per due grad d lbertà d tralazone ed uno d rotazone, ha la forma: a trapota rava molto emplemente ambando le rghe on le olonne: [ ] T [ ] oα enα enα oα 1 oα enα enα oα 1 oα enα enα oα 1 oα enα enα oα 1.Cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Traformazon d oordnate Il prmo prodotto matrale: Abbrevazon: [ K ] [ ] oα enα oα enα enα oα 1 oα enα enα oα 1.Cortee 1EJ 1EJ EJ 1EJ 1EJ EJ 1EJ 1EJ 1EJ 1EJ 1EJ EJ 1EJ 1EJ 1EJ Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) EJ

11 Introduzone al alolo trutturale matrale Traformazon d oordnate Il eondo prodotto matrale: Abbrevazon: [ ] [ ] T [ K ] [ ] oα enα 1EJ 1EJ 1EJ 1EJ EJ 1EJ 1EJ 1EJ 1EJ EJ 1J A + 1J A 1J A 1J A + oα enα enα oα 1 oα enα enα oα 1 E J A 1 1J A + 1J 1J A A + 1J 1J A + A 1J 1J A + A 4J 1J A + 1J A 1J A 1J A + J J 4J.Cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1) Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: atre d Rgdezza d Elemento, rfermento globale a matre d rgdezza 6 x 6 d un elemento trave nel pano è dunque: 1J A + 1J A 1J A 1J A + J A 1 1J A + J 1J 1J A + A 6 E [ K] 1J A 1J A + 4J 1J A + 1J A J 1J A + 1J A 1J A 1J A + J 4J Per alolarla è neearo onoere la aratterta elata del materale e dat geometr dell elemento:.cortee lunghezza A area della ezone J omento d nerza della ezone E odulo d Young y y α ar tan x x Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)

12 Introduzone al alolo trutturale matrale Trave pana: tato d deformazone e tenone nell elemento ettor deformazone e tenone nell elemento { ε} { σ} a loro dentfazone è pù omplea rpetto al ao gà vto dell ata, dal momento he non è poble determnare a pror ezon e punt rt. E dpendono nfatt dalle aratterthe d olletazone agent ull elemento: avrà qund n generale {ε}{ε(x)}, {σ}{σ(x)}, on x orentata ome l ae della trave. p Nella onfgurazone d equlbro, per ogn ezone ndvduata dall aa x, ono note le aratterthe d olletazone agent (gà eprmbl n termn d potament nodal una volta determnata la matre d rgdezza [K]), e gl eventual arh dtrbut e deformazon nzal. E pertanto poble dentfarne gl effett (n ampo elato vale anhe l p..e, per u poono valutare un effetto alla volta e po ommarl), utlzzando la teora della trave..cortee Progettazone eana agl Element Fnt (a.a. 11-1)