RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 12 febbraio x2

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1 RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scrtta del febbrao 009. Dte se l vettore (,, ) è combnazone affne, conca o convessa de vettor ( ½,, ), (0, 5, 0) e (,, ). Il vettore (,, ) è combnazone affne de vettor ( /,, ), (0, 5, 0) e (,, ) con coeffcent, 0 e.. Rsolvete l seguente problema d programmazone lneare con l metodo d Fourer-Motzkn, esbendo la soluzone ottma (qualora essta) e l suo valore, ovvero classfcando l problema come nammssble o llmtato. ma =,, z z z Non avendo lmtazon sul valore d z dall ultma tabella segue che l problema è llmtato.. Dato l seguente problema (P) d programmazone lneare mn =,, sa = (4/, 6/) una soluzone ammssble del suo duale. Scrvete l problema duale (D) d (P) e, usando le condzon d complementartà, dte se è una soluzone ottma d (D). Il problema duale è: ma =,

2 Le condzon d complementartà sono: ( + / + /) = 0 ( 5/ + 5 ) = 0 ( + 5/ ) = 0 ( / ) = 0 (/ + 5 ) = 0 Sosttuendo valor = 4/, = 6/ s ottene * = * = 0 e * =. Essendo * una soluzone ammssble per l problema (P) s ha che è soluzone ottma d (D). 4. Veccho West Al, Bll e Crag sono reduc dalla rapna alla Natonal Bank, che ha fruttato un bel malloppo: verdon. Al è l capo e vuole per sé almeno l doppo d quanto prenderanno nseme Bll e Crag; Crag vuol prendere almeno tre quart d quello che prenderà Bll, e comunque vuole prendere pù che può. Bll porta l problema n forma canonca, trova la soluzone ottma e mette mano alla pstola. Perché? Rspondete facendo la stessa cosa che ha fatto Bll (la pstola no, però ). Semplce. Indcate con a, b e c le part d Al, Bll e Crag l PL s scrve ma c a + b + c = 00 b 4c < 0 a + b + c < 0 a, b, c > 0 Con due varabl d slack lo s porta n forma standard, e una varable auslara basta a defnre l problema auslaro per determnare una forma canonca: S ha: mn a + b + c + = 00 b 4c + = 0 a + b + c + z = 0 a, b, c > 0 Con un pvot n rga e colonna s ottene a b c z a b c z corrspondente alla soluzone d base (degenere) a = 00, b = c = 0. La tabella canonca del problema è Operando un pvot n rga e colonna s ha a b c z

3 a b c z / / / / 00 La soluzone è ottma e fornsce a = 00, c = 00. Bll s trova fuor base, nsomma non becca un soldo: pertanto 5. Domno S voglono dsporre tessere del domno sulla scacchera raffgurata qu sotto. Ogn tessera occupa due celle quadrate della scacchera, e s guadagnano o perdono punt a seconda del colore delle celle coperte: una cella banca fa perdere punt, una grga ne fa guadagnare e una nera. Formulate l problema d dsporre le tessere senza farle ma sovrapporre e massmzzando l punteggo ottenuto. Po rsolvetelo col metodo del smplesso su ret. Basta assocare alla scacchera un grafo G con nod {,,, 5} corrspondent alle celle della scacchera. Ogn arco corrsponde a una coppa d celle adacent ed ha come peso la somma de relatv puntegg. Ad esempo, assocando numer crescent alle celle da snstra verso destra e dall alto n basso, l arco pesa + = 4, l arco 67 pesa = e così va. S not che l grafo è bpartto, dal momento che è prvo d ccl dspar: l nseme de nod par e quello de nod dspar sono evdentemente stabl Il problema è un matchng d peso massmo, che s rformula come flusso a costo mnmo aggungendo un nodo sorgente s e un nodo pozzo p, gl arch sj (j par) e jt (j dspar) con capactà untara, e un arco d rtorno ts con capactà llmtata (questa costruzone è necessara n quanto l grafo non ammette un matchng perfetto). L orentamento degl altr arch sarà da nod par a nod dspar (ved fgura). Il costo degl arch che convolgono s o t è par a 0, quello degl altr arch par alla somma de puntegg degl estrem cambata d segno, e l problema consste nel calcolare una crcolazone d costo mnmo. Sccome la matrce de vncol del problema è totalmente unmodulare ogn soluzone d base rsulterà ntera e, dal momento che gl arch aggunt hanno capactà untara, avrà valor 0-: come è facle verfcare, l sottovettore corrspondente agl arch della grgla è caratterstco d un matchng d G. Una base corrsponde a un qualunque nseme d arch che forma un albero rcoprente G. Ad esempo s può sceglere come base nzale l nseme B 0 corrspondente agl arch a tratto grosso nella fgura seguente (a snstra). Una soluzone ammssble d base s ha ponendo 6 =,6 = = 45 = =, =,4 =

4 (arch colorat, varabl non fssate agl estrem) e = 4 = 6, = 6, = =, = 4,5 = 0 (arch ner, varabl fssate all estremo nferore). La dsposzone delle tessere assocata a questo matchng, d peso 6, è vsble nella fgura a destra Un operazone d pvot comporta l ntroduzone d un arco entrante n base, con conseguente formazone d un cclo da elmnare selezonando un opportuno arco uscente. L arco entrante va scelto n base a cost rdott: ad esempo rsulta favorevole nserre l arco (0, 5). Il cclo ntrodotto è formato da quest arco e da (6, 7), (8, 7), (8, 9),(0, 9, (6, ), (, ), (, ), (4, ), (4, 5). L operazone conduce alla nuova soluzone ndcata nella fgura successva, d peso, che tuttava non rsulta ancora ottma (può ad es. essere mglorata ponendo a 0 la varable 45 ). 6. Domno (la vendetta) Stavolta parlamo del domno classco: sulla solta scacchera voglamo dsporre le ben note tessere rettangolar, contrassegnate a due estrem da numer compres tra e 6. Ogn tessera occupa una coppa d celle adacent alla scacchera va poszonata accostando un suo lato a quello d un altra gà poszonata (due tessere possono anche avere lat lungh nteramente concdent) può essere accostata a un altra solo se numer corrspondent a uno degl estrem che s toccano sono ugual La sola dfferenza col domno tradzonale è che, sccome numer sulle tessere sono quell arab, le tessere non possono essere capovolte: ognuna ha coè ben assocato l suo numero d snstra e l suo numero d destra, ed è qund dentfcata da una coppa ordnata (a, b). Indchamo le celle della scacchera con de numer nter (ved fgura) e supponamo d voler usare una varable 0- up per dre che la tessera u = (a, b) è stata poszonata sulla coppa d celle p = (, j) con l numero d snstra, a, posto sulla cella e l numero d destra, b, posto sulla cella j (per convenzone supponamo sempre < j).

5 Come s esprme un vncolo che obblgh la varable assocata a p = (, 8) e u = (4, ) a rspettare l terzo requsto? Indchamo con Q(j) l nseme delle coppe d celle adacent q = (w, z) con z adacente a j, z, w < z Ad esempo, con rfermento alla fgura e alla coppa p = (, 8) s ha Q(8) = {(, 7), (, ), (4, 9)} Analogamente ndchamo con R(j) l nseme delle celle r = (w, z) con w adacente a j, w, w < z. Sempre con rfermento alla fgura s ha qund R(8) = {(7, ), (, 4), (9, 4)} Sano po S(k) e T(k) gl nsem delle tessere della forma s = (, b) e t = (b, ), rspettvamente, con qualsas. Nel nostro caso, b =, s ha S() = {(, ), (, ), (, ), (4, ), (6, )} T() = {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6)}. Defnamo n modo analogo Q(), R(), S(a) e T(a) relatvamente all adacenza alla cella e a tessere della forma s = (, a) e t = (a, ). Nel nostro esempo s ha qund Q() = {(7, ), (9, 4), (7, 8)} R() = {(8, 9), (, 7), (4, 9)} S(4) = {(, 4), (, 4), (, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)} T(4) = {(4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6)} Il vncolo deve costrngere up a valere 0 se non v è alcuna tessera s o t n poszone q o r opportuna: up < Σ q Q(j), s S(b) qs + Σ r R(j), t T(b) rt + Σ q Q(), s S(a) qs + Σ r R(), t T(a) rt