RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 gennaio 2009

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1 RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scrtta del gennao 009. Dte se l vettore (5/4,, ) è combnazone affne, conca o convessa de vettor (/, 0, ), (,, ) e (/, /, ). Il vettore (5/4,, ) è combnazone affne de vettor (/, 0, ), (,, ) e (/, /, ) con coeffcent /, / e 0.. Applcando l metodo d Fourer-Motzkn, rsolvete l seguente problema d programmazone lneare, esbendo la soluzone ottma (qualora essta) e l suo valore, ovvero classfcando l problema come nammssble o llmtato =,, z z z z Dall ultma tabella s ottene z 5. Poché l problema è d mo sarà z = 5. Dalla penultma tabella sosttuendo z = 5 s ottene = 0. Dalla terzultma tabella s ottene = / e dalla prma = 7/.. Dato l seguente problema (P) d programmazone lneare =,, sa y = (5/6, /) una soluzone ammssble per l problema duale assocato a (P). Scrvete l problema duale (D) d (P) e usando le condzon d complementartà dte se y è una soluzone ottma d (D). Il problema duale è: +

2 Le condzon d complementartà sono: ( + ) y = 0 ( + + / ) y = 0 ( y + y ) = 0 ( + y y ) = 0 ( y /y ) = 0 ma y + y y y y + y + y y 0 =, Sosttuendo valor y = 5/6, y = / s ottene = 0, = /6 e = 0/. Essendo una soluzone ammssble per l problema (P) s ha che y è soluzone ottma d (D) Meno tasse per tutt Nel mo paese le mposte s pagano con un mposta progressva, crescente per scaglon d reddto. S nza con una quota esente: se l reddto annuo lordo non supera non s paga nente; su ogn euro d reddto n pù, e fno a un totale d annu, s paga un alquota del 0%; sullo scaglone d reddto successvo, fno a 5.000, s paga l 5%; per ogn euro d reddto oltre s paga l 40%. Per fare un esempo, l mo reddto è d , e su quest pagherò la cfra seguente: 0, , , ,40( ) =.000. Per la vertà n famgla ttolar d reddto sono tre, ma mogle, ma suocera e l sottoscrtto: ma mogle prende.000 annu lord, e la pensone lorda d ma suocera conta per altr Ora l mo commercalsta sostene che le mposte da pagare corrspondono alla soluzone ottma d un problema d flusso a costo mo su un grafo opportuno. Ma o m chedo. Qual è questo grafo, e come s formula l problema?. E non può captare una soluzone nella quale o, ma mogle e ma suocera paghamo l alquota massma del 40% su tutto l nostro reddto? Il mo commercalsta dce che non è mportante, perché con un po d operazon d pvot s arrva sempre alla soluzone gusta. M fate vedere una d queste operazon? E la soluzone che temo o, è d base o no?. Lo stesso metodo, dce l commercalsta, può essere usato per dedurre le spese santare dal reddto d cascuno: nel mo caso, samo lber d decdere a ch attrbure le spese, che nell anno ammontano complessvamente a euro. Per trovare l modo pù convenente d dstrburle, tenuto conto che al massmo s possono dedurre.500 euro per persona fsca, l commercalsta dce che basta modfcare d poco l grafo. Come?. Il grafo ha tre nod sorgente a, b, c: uno per me, uno per ma mogle e uno per ma suocera. In cascuno d quest nod entra un flusso par al reddto corrspondente. V sono po altr quattro nod, corrspondent alla quota esente e alle tre alquote. I prm tre nod sono collegat agl altr quattro con degl arch n tutt mod possbl. V è nfne un nodo pozzo p al quale sono collegat second quattro nod, e dal quale fuoresce un flusso par alla somma de fluss d ngresso. Il generco arco j ha capactà par alla dfferenza tra lo scaglone d reddto assocato al nodo j e quello assocato al nodo j : per esempo, l arco a ha capactà (par al lmte superore del prmo scaglone); l arco a ha capactà par a (lmte superore del terzo scaglone) meno (lmte superore del secondo scaglone), coè 0.000; l arco b4 ha capactà nfnta n quanto non v è lmte superore al reddto del quarto e ultmo scaglone. Passare attraverso quest arch non comporta cost. Tutto l flusso che passa nvece per gl arch d tpo jp ha un costo c j corrspondente all alquota applcata allo scaglone j: ad esempo l arco 4p ha costo c 4 = 0,40. Quest quattro arch hanno capactà nfnta. Il problema s formula qund 0,0 p + 0,5 p + 0,40 4p a + a + a + a4 =

3 b + b + b + 4 =.000 c + c + c + 4 =.000 a + b + c = p a + b + c = p a + b + c = p a4 + b4 + c4 = 4p p + p + p = < 5.000, < 0.000, < j > 0 = a, b, c per ogn arco j. Effettvamente quella descrtta è una soluzone ammssble, corrspondente a a4 = , b4 =.000, c4 =.000, 4p = e j = 0 per tutt gl altr arch j. È anche una soluzone d base (degenere), n quanto le j non fssate alla sogla o alla capactà dell arco j non superano le n = 7 (n = numero d nod del grafo). Per verfcarne la non ottmaltà basta calcolarne l costo rdotto. S procede qund al calcolo de potenzal assocat a nod n una base assocata alla soluzone data. Sccome una base corrsponde a un albero rcoprente, essa deve contenere 7 arch. Bsogna qund aggungere tre nuov arch agl arch con flusso postvo n modo da non formare ccl: ad esempo a, a, a. In generale potenzal y devono soddsfare le equazon y j y = c j per gl arch j appartenent alla base, coè y y a = 0 y y a = 0 y y a = 0 y 4 y a = 0 y 4 y b = 0 y 4 y c = 0 y p y 4 = 0,4 Ponendo arbtraramente a 0 l potenzale y 4 del nodo 4 s ha n sequenza: y p = 0,4, y = y = y = y a = y b = y c = 0. Con quest valor s verfca ad esempo che l costo rdotto c è par c + y y p = 0,4. Inserendo l arco p n base s forma l cclo {a, p, 4p, a4}. Sommando alla soluzone corrente la crcolazone a = p = 5.000, 4p = a4 = s ha che la varable a esce dalla base n quanto l flusso corrspondente satura la capactà dell arco. La nuova soluzone mglora evdentemente quella precedente d 0, Semplcemente aggungendo un nuovo nodo pozzo q dove confluscono tre arch uscent da nod a, b e c. La domanda nel nodo q è fssata a (par alla somma da dedurre per le spese medche), e ogn arco q ha capactà.500, sogla 0 e costo d attraversamento nullo. È evdente che ogn flusso che pass attraverso l arco q verrà dedotto, a fn dell mposta, dal reddto complessvo della persona fsca. 5. Cronache marzane Alfa, Beta e Gamma sono tre mercant marzan che, per rfornre propr negoz, s sono ncontrat a fare affar su un paneta nterno d Betelgeuse. Alfa ha un bel carco d lofon, Beta un astronave pena d ysotop e Gamma può fornre un gran numero d zbaldon. Dopo lunga contrattazone tre s accordano come rportato nella tabella seguente, dove l ncroco tra la rga e la colonna j fornsce l numero d oggett che deve fornre a j n cambo d un oggetto fornto da j a : ad esempo, n cambo d un ysotopo fornto da Beta, Alfa deve dargl,5 lofon (ncroco tra rga e colonna ), e n cambo d uno zbaldone fornto da Gamma, Alfa gl dovrà dare 0,4 lofon (ncroco tra rga e colonna ). La rga sotto la tabella ndca l numero d lofon, ysotop e zbaldon stvat da tre marzan nelle rspettve astronav. Alfa Beta Gamma Alfa,5 0,4 Beta 0,8,4 Gamma, 0,5 dsponbltà Xlofon Ysotop Zbaldon Cascun marzano può ovvamente fornre agl altr due un quanttatvo d oggett non superore alla propra dsponbltà. Alfa s chede se ruscrà a scambare tutta la propra merce. Formulate l problema come programmazone lneare usando varabl j che ndcano l numero d oggett che fornsce a j e

4 mostrate come portarlo n forma canonca medante l smplesso, avvando l calcolo d una prma soluzone d base. Con la notazone suggerta è mmedato scrvere ma αβ + αγ αβ + αγ =,5 βα + 0,4 γα < 000 βα + βγ = 0,8 αβ +,4 γβ < 000 γα + γβ =, αγ + 0,5 βγ < 000 αβ, αγ, βα, βγ, γα, γβ > 0 Il problema s pone faclmente n forma standard aggungendo 6 varabl d slack w,, w 6 > 0 e rsolvendo un problema auslaro nel quale s mzza w 4 + w 5 + w 6 : αβ αγ βα βγ γα γβ w w w w 4 w 5 w La base nzale è degenere. Eseguendo un operazone d pvot n qunta colonna s fa uscre w 6 dalla base: αβ αγ βα βγ γα γβ w w w w 4 w 5 w 6 4, , , , , , , 0 0, , 0 Un analoga operazone n prma colonna fa uscre w 4 : αβ αγ βα βγ γα γβ w w w w 4 w 5 w 6 0,76,4 0 0, , 0 0, , , ,6,6 0 0, ,8 0 0, ,5,5 0, 0 0, , 0 0,04 0 0,6 8,4 0 0, ,8 0, 0 0, 0 0, , 0 Infne eseguendo un pvot n quarta colonna s può far uscre dalla base la varable w 4 ottenendo una prma soluzone d base per l problema orgnale ( calcol sono puttosto complcat e non vengono rprodott). A partre dalla base ottenuta s può ottenere la soluzone ottma renserendo la funzone obettvo nzale con coeffcent nelle prme due colonne e 0 altrove. Rsolvendo s vene a sapere che Alfa potrebbe pazzare tutt e 000 suo lofon vendendone 500 a Beta e rmanent a Gamma. In questo modo anche Beta ruscrebbe a dsfars d tutt suo ysotop: 800 andrebbero ad Alfa e gl altr 00 a Gamma. Quest ultmo nvece ruscrebbe a vendere solo 750 de suo 000 zbaldon: tutt ad Alfa e nessuno a Beta. 6. Due ret Due dtte devono costrure una rete raccoglendo un nseme N d nod n due sottoret complete. Per ogn coppa d nod, j è noto l costo c j sostenuto per congungerl con un lnk. Formulare come programmazone lneare 0- l problema d assegnare a cascuna dtta la realzzazone d una sottorete n modo che la dfferenza tra le lunghezze complessve de lnk usat nelle due sottoret sa ore possble.

5 S possono usare le seguent varabl d decsone 0-: = se e solo se l nodo è assegnato alla dtta j = se e solo se l lnk j è realzzato dalla dtta y j = se e solo se l lnk j è realzzato dalla dtta Con questa notazone vncol s scrvono: j < ( + j )/ j > + j se non s assegnano entramb nod alla dtta, questa non l collega se s assegnano entramb nod alla dtta, questa l deve collegare y j < ( + j )/ se l nodo (o j) è assegnato alla dtta, la dtta non lo collega a j (a ) y j > j se nessuno de due nod è assegnato alla dtta, la dtta l deve collegare S not che la seconda coppa d vncol s ottene dalla prma sosttuendo ( ) a e ( j ) a j. La dfferenza tra cost d collegamento, n valore assoluto, è par a D = Σ,j N c j j Σ,j N c j y j Mnmzzare tale valore corrsponde a mzzare la varable reale D con gl ulteror vncol D > Σ,j N c j j Σ,j N c j y j D = Σ,j N c j y j Σ,j N c j j