Algoritmi e Strutture di Dati (3 a Ed.) Ricerca tabù. Alan Bertossi, Alberto Montresor

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1 Algortm e Strutture d Dat (3 a Ed.) Rcerca tabù Alan Bertoss, Alberto Montresor

2 La tecnca della rcerca locale passa attraverso una sequenza S 0, S 1,..., S m d soluzon, fno ad arrestars su un ottmo locale S m. Nel passaggo da una soluzone S t alla soluzone successva S t+1, è applcata una certa regola d trasformazone. Un modo equvalente d descrvere tale procedmento corrsponde ad effettuare una mossa, tra un certo nseme d mosse possbl, n modo da selezonare S t+1 nell ntorno d S t. Denotato con M = {µ 1,..., µ p } l nseme delle mosse possbl, l ntorno I(S t ) al passo t-esmo è defnto come: I(S t ) = {S : S è ottenble da S t applcando una mossa µ M}. In questo modo, l ntorno I(S t ) dpende dall ultma soluzone S t e dall ntero nseme M delle mosse possbl. In generale, però, s può defnre l ntorno n modo che dpenda dalla sequenza S 0, S 1,..., S t d soluzon e da un sottonseme M d M. In altr termn, alcune delle soluzon n I(S t ) non possono essere selezonate perché le rspettve mosse µ sono probte. Un semplce modo per probre alcune mosse consste nell ntroduzone d un parametro T d probzone, che determna per quanto tempo una mossa µ rmarrà probta dopo la sua esecuzone. La tecnca d rcerca tabù fssa è ottenuta mantenendo costante l parametro T per tutta la durata della rcerca. In questo modo la scelta della soluzone S t+1 è effettuata nell nseme I P (S t ) I(S t ) delle soluzon permesse, che sono ottenbl coè da S t applcando una mossa che non è stata usata durante le ultme T terazon. In dettaglo, sa last [µ ] l terazone t nella quale è stata usata per l ultma volta la mossa µ (con last [µ ] nzalzzato a ) e s ndchno con µ 1 la mossa nversa d µ e con c(s) l costo della soluzone S. Allora, s ha l seguente crtero, detto della mglore mossa permessa : I P (S t ) = {S: S è ottenble da S t con una mossa µ M tale che last [µ 1 ] <, t T } S t+1 = S I P (S t ) tale che c(s) c(s ) per ogn S I P (S t ). S not che, poché c sono mosse probte, non è detto che c(s t+1 ) c(s t ), coè, l costo della soluzone può peggorare ed è così possble sfuggre da un mnmo locale, purché T sa scelto oculatamente. Charamente, se T = 0, allora non c sono ma probzon e s rottene la rcerca locale. In lnea d prncpo, maggore è T, maggore è la dversfcazone, coè maggore l numero d terazon prma che s rvst per la seconda volta la stessa soluzone. Però, T non può essere troppo grande, altrment tutte le mosse dventano presto probte e la rcerca s blocca. In generale, l valore d T deve garantre l esstenza d almeno due mosse permesse per cascuna terazone (altrment la rcerca non è neanche nfluenzata dal costo c(s) delle soluzon). Supponamo che una soluzone S sa ndvduata da una strnga d n bt e che la mossa µ conssta nel complementare l bt -esmo, 1 n. S not che ogn mossa è dempotente, coè l nversa d ogn mossa è uguale a se stessa: µ 1 = µ. Date due strnghe X ed Y, sa H(X, Y ) la loro dstanza d Hammng, ovvero l numero d bt corrspondent che sono dvers nelle due strnghe. In tal caso, T n 2 garantsce che c sano sempre almeno due mosse permesse. Se sono esegute solo mosse permesse, allora è facle dmostrare che l mnmo ntervallo R d rpetzone è 2(T + 1). In altr termn, se S t+r = S t, allora R 2(T +1). La dmostrazone è mmedata poché, quando un bt è complementato, resta congelato per le prossme T terazon. Esempo 1 (Probzon e dversfcazone). Sa la funzone da mnmzzare c(s) uguale al numero ntero la cu rappresentazone bnara è data propro da S (n tal caso, la soluzone ottma S è data dalla c Alan Bertoss, Alberto Montresor. Algortm e Strutture d Dat.

3 terazone t S t T+1 2(T+1) c(s t ) H(S t, S 0 ) Fgura 1: Correlazone tra probzone T e dversfcazone H(S t, S 0 ). Nell esempo, T = 3. strnga nulla). Come llustrato nella Fg. 1 per n = 8, s assuma d partre propro da S e sa T = 3. All terazone 0 la mossa che dà l mnmo valore della funzone c è quella che complementa l bt meno sgnfcatvo. All terazone 1, l bt meno sgnfcatvo è probto (l perodo n cu un bt è congelato, perché la rspettva mossa è probta, è mostrato n nero) e qund la mglore mossa permessa consste nel cambare l penultmo bt meno sgnfcatvo, e così va. S not che la dstanza d Hammng è crescente nelle prme T + 1 terazon e che la massma dstanza d Hammng è raggunta all terazone T + 1. Successvamente, la dstanza decresce ed all terazone 2(T + 1) s rpete la soluzone nzale. S not comunque che le soluzon vstate nelle prme T + 1 terazon (quando la dstanza cresce) sono dverse da quelle vstate nelle successve T + 1 terazon (quando la dstanza decresce). In questo modo, non s perde tempo a rvstare soluzon gà vstate (a parte la soluzone nzale). Vedamo come progettare una semplce eurstca d rcerca tabù fssa per la BISEZIONE, dove l parametro T d probzone è fornto come dato d ngresso alla procedura e rmane nalterato durante la computazone. Probzone fssa Consderamo una eurstca d rcerca tabù fssa per la BISEZIONE dove una soluzone S = (V 0, V 1 ) è ndvduata da una strnga d n bt e la mossa µ consste nel complementare l bt -esmo, 1 n, come nell Esempo 1. In questo modo, V 0 è rappresentato dagl ndc de bt a 0, V 1 dagl ndc de bt ad 1, e la mossa µ può essere ndvduata specfcando semplcemente l ndce. S not che, per defnzone, la soluzone S non è necessaramente ammssble. Infatt, poché una mossa consste d fatto nello spostare un nodo da V 0 ad V 1 o vceversa, non è detto n generale che V 0 ed V 1 abbano la stessa cardnaltà. Solo se cò avvene, coè se V 0 = V 1 = n/2, allora la soluzone S è ammssble. Nel seguto, verrà utlzzato un parametro d probzone frazonale T f tale che T = nt f, n modo da normalzzare la probzone rspetto ad n. Inoltre, vene usata come contatore d terazone una varable globale t accedble e modfcable da tutte le procedure. Analogamente, c mn è una varable globale che ndca l costo c(s mn ) della mglore soluzone ammssble S mn ncontrata durante la rcerca. S assume che tale varable sa nzalzzata dalla procedura mn-max-greedy (). Anche last è un vettore globale, tale che last[] regstra l ultmo valore della varable d terazone t per l quale l nodo è stato spostato da un nseme all altro. Infne, sono usate due varabl n 0 ed n 1 tal che n 0 = V 0 e n 1 = V 1. La seguente procedura bsectonfxed() rceve come parametr la probzone frazonale T f ed l numero d terazon da esegure. S assume che una soluzone ammssble d partenza sa stata ndvduata c Alan Bertoss, Alberto Montresor. Algortm e Strutture d Dat.

4 con mn-max-greedy. La procedura bsectonfxed() sposta un nodo alla volta. L ndce k ndvdua l sottonseme V k nel quale aggungere l nodo tolto da V 1 k. Il nodo è determnato dalla funzone bestmove() n accordo al crtero della mglore mossa permessa, coè n modo che last[] < t T e l costo c sa l pù pccolo possble spostando da V 1 k a V k (cò può essere fatto effcentemente utlzzando una struttura d dat a cestn (bucket). Se la soluzone S = (V 0, V 1 ) è ammssble ed l costo c(s) è mnore del costo c mn della mglore soluzone fnora trovata, allora vene regstrato l costo della nuova soluzone. bsectonfxed(real T f, nteger teratons) T nt f for nteger j 1 to teratons do k f(n 0 > n/2, 1, 0) nteger bestmove(1 k) V k V k {} V 1 k V 1 k {} last[] t t t + 1 f n 0 = n 1 and c(s) < c mn then c mn c(s) A causa della struttura stessa del problema della BISEZIONE, è bene non sceglere valor d T f maggor d 1/4. Infatt una strnga bnara ed l suo complemento (con gl zer e gl uno tra loro scambat) ndcano d fatto la stessa soluzone, con due nsem della partzone scambat. Pertanto, un valore d T f > 1/2 comporterebbe che, dopo essere partt con una soluzone, s raggungerebbe dopo T + 1 terazon una partzone pù vcna al complemento che a quella d partenza. La scelta d T f < 1/4 elmna queste oscllazon tra una soluzone ed l suo complemento. Una scelta ragonevole del parametro teratons è nvece 100n. Prove spermental hanno mostrato come la scelta d T f abba un effetto crucale sulla soluzone trovata: una scelta azzeccata porta a buone bsezon, mentre una scelta sbaglata porta a bsezon scadent. Probzone randomzzata Per evtare d dover provare e rprovare manualmente svarat valor d T f eseguendo rpetutamente la procedura bsectonfxed() fno a selezonare l valore d T f buono, s possono semplcemente effettuare delle scelte casual! S ottene così la procedura probablstca bsectonrandom(). bsectonrandom(nteger teratons, nteger ndvduale) t 0 whle t < teratons do mn-max-greedy t end t + ndvduale whle t < t end do T f random(1, 25)/100 bsectonfxed(t f, n) c Alan Bertoss, Alberto Montresor. Algortm e Strutture d Dat.

5 Il parametro teratons fornsce l numero complessvo d terazon, mentre ndvduale ndca l numero d terazon d ogn sngola fase, che rparte dopo aver rchamato mn-max-greedy (se ndvduale = teratons allora avvene una sola fase). Ogn n terazon vene scelto casualmente un nuovo T f. In questo modo, s evta d sceglere un cattvo valore d T f e mantenerlo per molte terazon. Al contraro, s contnua a sceglere sempre valor dvers d T f, che sono mantenut per poche terazon. Prove spermental hanno mostrato che, sceglendo ndvduale = 10n ed teratons = 100n, le soluzon trovate da questa rcerca tabù randomzzata sono paragonabl a quelle trovate dalla rcerca tabù fssa nella quale s us l mglor valore d T f! In altr termn, molt valor casual usat per poco tempo danno gl stess rsultat del mglor valore possble usato a lungo. Per trovare soluzon ancora mglor del problema della BISEZIONE, s può mpegare una rcerca tabù reattva, dove la messa a punto del parametro T f è effettuata automatcamente dalla procedura stessa, sempre usando la randomzzazone, tenendo conto delle propretà del grafo n ngresso e dello spazo delle soluzon. I dettagl non sono qu rportat e possono essere repert nell artcolo ctato nella bblografa. c Alan Bertoss, Alberto Montresor. Algortm e Strutture d Dat.