Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica 15 Gennaio 2015

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1 Iuzon d Probablà Laurea magrale n Maemaca 5 Gennao 5 Eerczo. pun S conder l equazone dfferenzale ocaca S dmor che dx = X d +, X = x. X = B + e x e B d è l unca oluzone. S mpo la verfca che ale oluzone è un proceo gauano. Morare che X = X nel eno d proce ndngubl dove X = e x + e. Poblmene, rponda alla domanda n due mod: a uando dreamene le defnzon e, a paando per l equazone da ee oddfaa. Calcolare meda e varanza d X. S verfch nolre che r E e B d e r B r dr = e r e d dr e mor come queo porebbe produrre un alra va per l calcolo d V ar X non compleare calcol, roppo lungh. v Deermnare che grado d hölderanà ha X. Sugg.: penare ad una oluzone veloce. Eerczo. pun Sa X n n una ucceone d v.a. ndpenden, d Bernoull, con P X n = = p n, P X n = = p n, dove p n,. Ponamo n = X X n per n, =. S oerv che è una ora d proceo d Poon a empo dcreo: pare da zero, aume valor ner non negav, aumenando ogn ano d un unà. Per ogn n, a F n la σ-algebra aocaa alle v.a. X,..., X n e a F la σ-algebra banale. Verfcare che n n non è una marngala n generale. S chama compenaore deermnco una ucceone a n n ale che n a n n a una marngala, nulla per n =. Trovare un compenaore e morare che è unco. Morare che n a n non è una marngala, n generale, e rovare un uo compenaore deermnco. Se τ è un empo d arreo a valor ner non negav, con E τ <, morare che E up n n τ <. S u la duguaglanza x x y + y che dcende da x x y + y. Eerczo 3. pun Sa Ω, F, P uno pazo d probablà u cu è defna una ucceone B,..., B,... d mo brownan ndpenden. Sa K : una funzone

2 lpchzana e lmaa con K =. equazon ocache Per ogn, conderamo l ema d d = K j= X j, d +, =, =,...,. Morare che, per ogn, l ema ha una ed una oluzone fore. Per ogn e per qua ogn ω Ω ndchamo con ω la mura d probablà u borelan d daa da = δ, ovvero defna da ω { } Card =,..., : ω B ω B = al varare de borelan B d. Scrveremo nel eguo ; queo è, n un eno opporuno che non erve qu precare, un proceo ocaco a valor nello pazo delle mure d probablà. Prea una funzone φ : regolare a upporo compao, conder l proceo ocaco a valor real, φ = φ x dx. Dmorare che, φ =, φ + +, φ d + φ x K x y dx dx d = φ,. Eamnamo ora l cao parcolare K =. Indcare con la legge, u u borelan d, d un moo brownano. Morare che, per ogn fao, la ucceone d v.a. = φ, converge a zero n meda quadraca e la ucceone d v.a., ϕ converge q.c. a, ϕ, per ogn funzone ϕ : regolare a upporo compao. Dedurre che, φ =, φ +, φ d.

3 Soluzon Eerczo. La oluzone ee ed è unca, nel eno fore, perché coeff cen ono lpchzan. Baa qund verfcare che quella daa è oluzone. Vale dx = e x e B d d e e B d = X d. Per la gauanà, bogna verfcare che, pre <... < n, l veore X,..., X n è gauano. Appromando l negrale con omme d emann, vede che l veore appromane X k,..., X k n è gauano perché raformazone lneare d un veore gauano una drbuzone d dmenone fna del moo brownano; po paa al lme n meda quadraca, conervando la gauanà. Per la formula d Iô, ovvero da cu d e B = e B d + e e B = e B d + e B = e e B d + e e. Souendo nella rova. Il econdo meodo rchede d verfcare che X oddfa l equazone rame la formula d Iô ed uare l uncà. Il cono a parre da è lunghmo ed è appuno quello ndcao nella econda pare della domanda. Invece, rovamo che E X = e x mmedaamene da l negrale ocaco è un ovva marngala e V ar X = e E e = e e d = e e = e. Alernavamene, uando la, avremmo X V ar X = E e x = E B e e B d = E B + e E e B d r = + e e r e d e r B r dr e E B dr e e d e B d 3

4 dove po e d = e d. Per arrvare qu va verfcaa l denà della domanda: E e B d e r B r dr = e r e r d dr r = e r e d + e rd dr r r = e r e d dr perché degn la regone r,, con r r er e rd dr = er e rdr d. v E quello del brownano, perché due proce dffercono per un proceo dfferenzable. Eerczo. Per rcorrenza, n n è adaao e negrable. Vale, per n, E n F n = E X n F n + n = E X n + n = p n + n. Qund n n è una marngala olo e p n = per ogn n, coè e è dencamene nulla. Se ponamo a n = p p n per n, a =, allora, per n, E n a n F n = p n + n a n = n a n qund a n n è un compenaore. Vcevera, e a n n è un compenaore, allora, per n, E n a n F n = n a n ma E n a n F n = p n + n a n, qund a n = a n + p n. Unamene al fao che dev eere a = per eere un compenaore, la ucceone a n n è unvocamene deermnaa. Ponamo Y n = X n p n per n, Y =, coì abbamo n a n = Y Y n per n. Vale n E n a n F n = E Y Y n F n = E Y Y j F n = n j= j= n Y Y j + E Yn + Y n Y F n = = n a n + E n Yn + Y E Y n = n a n + p n p n = 4

5 n quano E Y n =, E Y n = pn p n + p n p n = p n p n. In defnva, copramo che d nuovo n a n non è una marngala e modulo l fao ovvo che è negrable ed adaaa b n = n p p = è un compenaore. Il proceo n τ a n τ è una marngala, qund per la duguaglanza d Doob E up n τ a n τ 4E M τ a M τ = 4E M τ a M τ b M τ + 4E b M τ = 4E b M τ avendo uao l fao che anche n τ a n τ b n τ è una marngala, nulla n zero. Sccome E up n τ E up n τ a n τ + E up a n τ baa dmorare che ee una coane C > ale che E b M τ C e E a M τ C ndpendenemene da M, ed applcare l eorema d convergenza monoona. Vale b n = n = p p n, a n n, qund Eerczo 3. Poo X =,..., X,, l equazone per X, equazone dfferenzale ocaca n, ha la forma E b M τ E M τ E τ < E a M τ E M τ E τ <. X, dx = b X d + dove B è un moo brownano n e b : ha componen b x,..., x n = K x x j. j= 5

6 Vale, poo x = x,..., x n, x = x,..., x n b x b x L K K x x j K x x j j= x x j x x j j= L K x x + L K C x x x j x j qund b è lpchzano e per un noo eorema abbamo eenza ed uncà fore. Per la formula d Iô, dφ Vale, φ = d, φ = E = = φ d = φ = = K j= = φ φ + φ d, qund K j= X j, j= d + φ X j, d + φ x K x y dx dx + φ, =,j= E I ermn m ono null, per una noa formula. Qund = E φ, = = =, φ d + φ + φ d. φ + E φ, d φ. = = = φ. φ j, j. φ d 6

7 Oervamo po che proce = B ono mo brownan ndpenden, qund, ϕ = = ϕ = = ϕ B converge q.c. per la legge fore de grand numer a Dall denà E ϕ B = ϕ x dx =, ϕ., φ =, φ +, φ d + = φ, deducamo la e, per convergenza n probablà d ogn ermne. A que ulmo propoo oervamo che la convergenza n meda quadraca mplca quella n probablà rfera, quella q.c. mplca quella n probablà rfera a, φ e φ, a =, φ ed nfne la convergenza ω-q.c. d, φ a, φ ϕ = φ, per ogn, mplca la convergenza, ω-q.c. d, φ a, φ, qund la convergenza -q.c., per q.o. ω per Fubn-Tonell; ccome, φ è unformemene lmao da φ, per l eorema d convergenza domnaa oene che qund anche n probablà., φ d converge ω-q.c. a, φ d, 7