Lezione 9. Moduli finitamente generati.

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Antonia Mauro
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1 Lezoe 9 Moul faee geera. Rchaao prelaree u porae eucao ell algebra leare. Propozoe 9. Sa K u capo e a C c )... a) la arce C è verble e e olo e e C 0 ; b) l ea leare oogeeo ua arce a coeffce K. Allora c 0... ) equazo coge ha olo la oluzoe baale e e olo e e C 0. Veao coe la Propozoe 9. caba e ouce al capo K u aello couavo uaro A. Sa ) ua arce a coeffce A. C c... Propozoe 9.2 La arce C è verble e e olo e Dorazoe: Se C è verble ee C ' ua arce CC ' I eeo I la arce eà. Allora per l Teorea Be e C è verble. e I e CC') e C e C'. a coeffce A ale che Segue che e C è verble. Vcevera uppoao che e C a verble. Allora eo per og... C l copleeo algebrco c C la arce C C C ' e ) ).. è la arce vera C. Pra eucare l proo rulao è ule rourre alcu er e bol. Per ce ore ore l eerae ua ooarce C. Se ale ooarce è foraa all erezoe elle rghe c... e elle coloe c... chereo l ore co [ ]. Deoereo olre co M l eale A geerao a or ore C.

2 Propozoe 9.3 Il ea leare oogeeo *) c 0... ) equazo coge ha olo la oluzoe baale e e olo e zero. e C o è u vore ello Dorazoe: Se allora la e è ovva. Suppoao qu che a >. Suppoao appra che e C a u vore ello zero e provao che l ea *) ha ua oluzoe o baale. S ha che A M ) Ae C) 0). Se A M ) 0) e b A M ) b 0 allora bc 0 per og... qu b... b) è ua oluzoe o baale *). Suppoao allora che A M ) 0). Sa a { A M ) 0)}. Allora. Sa b A M + ) b Allora b A M ). Poao upporre a eo peruare rghe e coloe che b [ ] Sa D la ooarce C foraa alle rghe e alle coloe c Per og... + coerao l copleeo algebrco D. S ha + + c 0 [ ] e e + Segue che + b c 0 per og. Qu b... b ) è ua oluzoe *). Poché + [ ] ha b 0 + e uque ale oluzoe è o baale. Vcevera uppoao che ea ua oluzoe Y... ) o baale *). Poao upporre che Dea C * la arce aggua C ha e C) Y C * CY 0 a cu parcolare ec 0. Cò prova che e C è u vore ello zero. Propozoe 9.4 Sa M u A-oulo lbero rago. Sa N u uo oooulo lbero rago. Allora. Dorazoe: Sa u...u ua bae M e a v...v ua bae N. Eoo c A al che cu per og... v. Poché v...v oo learee pee u A per og a... a A a v 0 a 0 per og.... )

3 Ora: a v a c u a c ) u. Qu a v 0 a c 0 per og.... Perao la ) equvale alla eguee cozoe: l ea leare oogeeo c 0... ) 2) equazo e coge ha olo la oluzoe baale. Suppoao per auro che Rcrvao 2) ella fora <. + c c... ) 3) Poao 0 per +... e oeao c 0... ) 4) u ea leare oogeeo equazo coge che ha per poe olo la oluzoe baale. Allora per la Propozoe 9.3 poo ) egue che e C o è u C c... vore ello zero A. Coerao A M N le localzzazo A M N rpeo 2 all ee olplcavo {...} poao +. Eeo v 0 + ee u ce ale che c + 0. I 3) e 0 per og Oeao coì: c c +... ) 5) c A pao efcare c co 5) è u ea leare o oogeeo) equazo coge a coeffce A. Il eerae ella arce coplea e coeffce è che è verble A. Qu applcao la regola Craer è facle cocluere che 5) ha ua oluzoe... ) a. Allora... eveeee o baale. Poao upporre che Sa c c +... )

4 e qu c c+ c ) ovvero ) è ua oluzoe 0. Cò couce la corazoe cercaa. 4). Ea o è baale perché La Propozoe 9.4 c force la oluzoe ell Eerczo 4.5 b): e ooorfo evo allora I f è u oooulo lbero A rago qu f : A A è u. L poe coeua ella Propozoe 9.4 che N a u oooulo lbero è ua eceara precazoe. Ifa geerale l oooulo u oulo lbero o è lbero coe orao egue Eep 9.5 a) Nell aello Z l eale [ 2] ) o è u oo- Z -oulo lbero Z. Ifa eu eleeo queo eale è lbero. b) Nell aello K [ l eale ) o è u oulo lbero u K [. Ifa eu ee avee u olo eleeo K [ è u ea geeraor e eu ee avee pù u eleeo è lbero. Nell Eepo 9.5 a) l aello o è egro ell Eepo 9.5 b) l aello o è a eal prcpal. I realà quao valgoo erabe le propreà l poe che N a u oooulo lbero può eere roa alla Propozoe 9.4. Propozoe 9. Sa A u PID e a M u A-oulo lbero rago. Sa N u uo oooulo. Allora N è lbero rago. Dorazoe: Sa l applcazoe u...u ua bae M. Per og... a M Au k ϕ : M A a e k a k u k k e efao che è eveeee u ooorfo oul. Per og... ϕ N) è u eale A; poché A è u aello a eal prcpal ee c A ale che ϕ M N) c ). Sa olre M M N ale che ) c c 0 Y J è ua bae N. Provao azuo che Y è u ea geeraor uppoeo per auro che ea ϕ. Sa J { }. Provao che allora { } z N ale che z A. S ha che z M N N. Sa î l o ce per cu ee J z M ˆ N ale che z A. Allora z a k u k e ϕ ˆ z) aˆ Iolre J ˆ k ϕ z) c ) ϕ )) co ˆ M ˆ N. Se ˆ J allora c ˆ 0 e ϕ z) 0 corazoe. ˆ ˆ ˆ ˆ Qu ˆ J e z) ϕ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ϕ per qualche A. Ora z ˆ M ˆ N a ϕ ˆ z ˆ ) 0.

5 Perao z ˆ M ˆ N. Iolre z ˆ A. Cò corace la alà î. Abbao J coì provao che Y è u ea geeraor N. Per provare che è u ee lbero uppoao che Sa { J} J a 0 a A) a. Allora 0 ϕ a ) ϕ a + a ) ϕ a ) a c. Eeo J c 0 e eeo A egro egue che a 0. Per uzoe fa ceee prova che a 0 per og J <. Oervazoe 9.7 Nella orazoe ella Propozoe 9. abbao ulzzao la prcpalà ell aello per provare che l ee Y è u ea geeraor l egrà per provare che Y è u ee lbero. L eucao ella Propozoe 9. vale ache el cao cu l oulo M o a faee geerao: baa aaare la ora orazoe aueo che ua bae a czzaa u u ee bee orao. Oervazoe 9.8 Ulzzao la Propozoe 9. ee a uleror argoe algebra leare è poble provare l Teorea foaeale ruura per oul faee geera u o a eal prcpal ecoo l quale og oulo faee geerao u u PID ecopoe ella oa rea oooul geera a u eleeo oooul cclc). Eo force parcolare u eorea ruura per grupp abela f ve Algebra 2 Teorea 27.). Eerczo 9.9* Sa M u A-oulo e a N u uo oooulo. Se M/N e N oo faee geera ache M è faee geerao. J <

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