La tecnica delle funzioni modulanti.

Transcript

1 La ecca elle fzo ola. 2.. Irozoe. La ecca elle fzo ola è a ecca efcazoe che peree efcare processo.c. a parre a a sra sffceeee lga egl gress e elle sce, seza ecessare elle loro ervae. Iolre s raa a ecca efcazoe che opera reaee epo coo. Qesa ecca peree efcare sse epo-vara sa lear che o lear; rsla parcolaree apprezzabl s hao el caso sse po Haerse, caraerzza a a o learà saca sega a a pare leare. Verrà, sego, llsraa breveee la eora elle fzo ola e la sa applcazoe all efcazo sse lear co o seza raro e o lear po Haerse veere ache [5]

2 2.2. Le fzo ola. Qesa ecca, che rsale agl a 5, s basa sll lzzo parcolar fzo per olare le eqazo fferezal che caraerzzao l ssea, oeeo e cosse vaagg al po vsa ell efcazoe e paraer. S escrve l coporaeo el ssea esae eae a fzoe rasfereo el oo ella varable coplessa s el po: a + a s a s Gs, b + b s b s 2. che, el oo el epo, corrspoe al segee ssea eqazo fferezal lear c y è l sca el ssea, ere è l gresso: a b y. 2.2 S efsce fzoe olae a fzoe che goe elle sege propreà è a oppora cosae ea fesra efcazoe:. [, ] , ,, 2.5 Essoo verse fagle fzo che sosfao qese cozo, ra le qal le cosee fzo sple ve paragrafo

3 Iegrao el epo, s a fesra, l ssea eqazo fferezal che caraerzza l coporaeo el ssea fsco opo aver olplcao erab ebr per, s oee: y b a 2.6 I parcolare, egrao rpeaee per par e sfrao la propreà 2.5 ella fzoe, s pò re che la relazoe 2.6 eqvale a: y b a 2.7 I qesa espressoe o copaoo pù le ervae ell gresso e ell sca, a qelle ella. Defeo coeffce: y ˆ ˆ β α 2.8 che s possoo calcolare a parre all aaeo ell gresso e ell sca el ssea e alle ervae elle che soo oe, esseo oe le, s oee eqazoe leare algebrca le c coge soo paraer el ssea, che s vogloo efcare: b a α β

4 Le coge qese eqazoe, ovvero paraer a e b, soo ++2. Seza pera geeralà possao porre l valore o qes paraer, rceo a à le coge; sppoao qe che a. I og caso soo ecessare aleo ++ eqazo learee pee per eerare vocaee paraer. Per oeere l ero eqazo ecessaro c soo e possblà: la pra cosse ell sare verse fzo ola sllo sesso ervallo a srao; co la secoa s sa la sessa fzoe olae raslao l ervallo egrazoe lgo l veore e a è ache possble sare ervall egrazoe parzalee sovrappos, a pao che l ssea sa sffceeee eccao a eerare eqazo pee. Nel secoo caso s oee ssea algebrco le c eqazo soo oogeee, a è ecessaro veore a olo lgo se s vol prorre ero eqazo pee sffcee. E charo che, ella praca, sarà opporo avere ssea sovraeerao, per ovvare alla preseza srb e ror che scraee alererao le srazo. I qeso caso s pò rsolvere l ssea rovaoe la solzoe glore el seso e qara, a esepo per ezzo ella pseoversa; ao l ssea: A x b, 2. la sa solzoe co l eoo e qara è: x A A A b. 2. Alc vaagg el eoo elle fzo ola soo eve. Azo o è ecessaro, coe per alre ecche, cooscere le ervae e segal gresso e sca el ssea. I effe qese, ora, o soo spobl reaee e l loro calcolo araverso la ervazoe e rspev segal aplfca l rore a c soo affe, fcao spesso l eso ell efcazoe. U alro charo vaaggo è - 6 -

5 che s rce l problea ell efcazoe e paraer el ssea alla rsolzoe ssea leare eqazo algebrche. Iolre l efcazoe avvee oalee epo coo: l so ecche epo screo copora spesso alc proble, coe la scela epo capoaeo correo, la ffcolà el passaggo a oello epo coo eqvalee o la ffcolà el are a coeffce el oello sgfcao fsco. Esse ache alro vaaggo qesa ecca, coè la sa rseca robsezza al rore. Dfa l operazoe egrazoe vsa sopra è, sosaza, a covolzoe ra segal gresso o sca e la fzoe olae o a sa ervaa: ~ y τ y τ τ τ y τ τ 2.2 per le propreà elle fzo ola: τ, par τ τ, spar 2.3 e q: ~ y τ y τ τ 2.4 I freqeza qeso eqvale a flraggo qes segal araverso flro avee coe rsposa plsva : - 7 -

6 Fgra 2.. Propreà flraggo elle fzo ola Qeso flro è po passa-basso e la sa freqeza aglo pee sa a qale fzoe olae s è scela sa all apezza ella fesra egrazoe

7 2.3. Le fzo sple. Nel corso egl a soo sa propos vers p fzo ola, c rporao alc esep: Shbro 954: π s 2.5 Loeb e Cahe 963: F, F C 2.6 Pchov e Chayev 973: 6 λ 4 3 e λ 2.7 I qeso lavoro s è lzzao parcolare geere fzo ola: le fzo sple, rooe a Malesky el 978. S coser l segee grppo + fzo ola: { },,,..., 2.8 ove - 9 -

8 . 2.9 Nel caso elle sple s efsce: δ ˆ 2.2 o δ ca la fzoe ela Drac, è l ore ella fagla fzo sple, ere ˆ è eo epo caraersco ella fzoe sple. A parre alla 2.2 le alre fzo el grppo s oegoo per egrazo sccessve: ˆ k ˆ k..., k,,..., [, ˆ] 2.2 Dalla 2.2 s pò rcavare l espressoe aalca elle fzo sple, coè: g ˆ ˆ ˆ g δ ˆ, ˆ! ˆ,,,...,, [ ˆ, ˆ], alrove

9 Fgra 2.2. I pr 6 grpp fzo ola po sple. S o che, fssa l ore e l epo caraersco, s eera copleaee a fagla fzo elle qal, per coe soo efe, s cooscoo le ervae sccessve fora chsa. Le fzo sple gooo e pora propreà:. og sooervallo [- ˆ, ˆ ], per,,2,,-, le fzo soo polo grao - ve

10 2. s coporao coe flr passa-basso. La secoa propreà s pò rlevare osservao agra Boe elle fzo ola. I Fgra 2.3 è rporao l agraa relavo all apezza. Fgra 2.3. Dagraa Boe ell apezza elle fzo sple

11 2.4. Scela e paraer Scela el segale gresso. Nella procera efcazoe è olo porae l segale che vee foro gresso al ssea. Ifa qeso eve essere ale a eccare sffceeee l ssea sesso, allo scopo evezare e le caraersche; perao è ecessaro lzzare segale che, a lao abba a esesoe sperale par aleo alla baa caraersca el ssea, all alro eve spazare s o l rage possbl valor gresso qeso soprao el caso sse o lear. pcaee l gresso che vee scelo per effeare l efcazoe è a seqeza gra apezza casale. La raa casc grao eve essere all crca gale al epo ecessaro al ssea per aare a rege, oo a avere forazo sa rgaro al so coporaeo rasoro che sl so coporaeo a rege. Il ero gra eve essere ale a garare ero eqazo pee sffcee ve paragrafo Scela ell ore elle fzo sple. Se l ssea a efcare è ore, l ore elle fzo ola o pò essere ferore a. Ifa qeso oo s ha la cerezza che sa ervable aleo vole e che q sao be ef coeffce el ssea leare 2.9. Occorre eere ache presee che, oveo po pleeare l eoo co calcolaore, la fzoe egraa o pò essere scoa. S coser per esepo a fzoe che passa a A a A corrspoeza el epo ; charaee l egrale ella fzoe pee a. ava se l egrale vee calcolao ercaee co la forla e rapez, per ervallo egrazoe a cavallo, l rslao è sepre llo, peeeee alla poszoe all ero ell ervallo: fa coa solo l valore ella fzoe agl esre ell ervallo egrazoe. Da qeso esepo s capsce che fzo ola

12 scoe possoo corre a error erc coserevol. Dalla Fgra 2.2 s oa che peeeee all ore le fzo sple e,- soo scoe, esseo l a a seqeza ela Drac, l alra a seqeza gra, e perao o possoo essere prese coserazoe. I coclsoe l ore ella fagla fzo sple scela eve essere aleo Scela el epo caraersco. La scela el epo caraersco elle fzo sple ˆ, e cosegeza ella fesra egrazoe ˆ, fleza aera eerae le propreà flraggo elle fzo ola. Sceglere epo roppo pccolo plcherebbe avere flraggo a baa olo larga e q a sffcee soppressoe elle copoe rore. Al coraro, epo roppo grae copora l rscho flraggo alee selevo a elare pare elle copoe freqezal el segale. U bo coproesso è sceglere a fesra egrazoe ello sesso ore graezza ella cosae epo oae el ssea

13 2.5. Sse co raro. Se preao coserazoe ssea leare co raro τ, la sa eqazoe caraersca el oo el epo è: a + y A τ b 2.23 ove rappresea la fzoe a grao. Se s applcasse reaee la ecca elle fzo ola, a parre a qesa eqazoe, l ssea algebrco che s oerrebbe sarebbe o leare. Per ovvare a qeso coveee soo sa propos vers approcc: Pchov e Chayev 973: so ell approssazoe Paè Rao 976: approcco ral a error, cercao zzare l errore sll sca el ssea Balesro, La, Sa 2: l raro è vso coe cobazoe leare see rar o Veao pù el eaglo qes lo approcco. Ua qalqe fzoe g, soo oppore poes, pò essere scra coe cobazoe leare a base fzo {f }, coè: g h f I qesa sazoe è charo che la fzoe è corasa a paraer h, perao per efcare g è sffcee sare qes paraer. Coserao coe fzoe a sare l ere ella 2.23 coeee l raro:

14 τ A g 2.25 Ua possble base per la rappreseazoe qesa fzoe è aa a see fzo a grao co rar o: f τ 2.26 Fgra 2.4. Base fzo per rappreseare raro La g pò cosegeza essere paraerzzaa coe: h A g τ τ 2.27 Il ssea escro alla 2.23 vea, lao la soaora 2.27 a q er: + q y b h a τ

15 Aesso l veore e paraer cog che chaao λ è coso, olre che a coeffce a e b, ache a paraer che caraerzzao l raro, h : λ { a, b, h }, λ q Il veore λ pò essere sao applcao la sessa ecca vsa al paragrafo 2.2, coè olao l eqazoe 2.28 co a fzoe olae. Il ssea che s oee è ssea leare algebrco λ, coè ++q+2 coge; vece, se s fosse olaa reaee la 2.23, s sarebbe oeo ssea o leare ++3 coge, coè coeffce a e b e l raro τ. Ua vola sa coeffce h, è possble rsalre al raro cogo τ a parre alla 2.27, che el oo Laplace vea: A e τ s q h e τ + s 2.3 Da qesa s oegoo le relazo: A τ q q h h τ + q h 2.3 la pra relazoe è evee se s cosera l le per ovvero l le per s ella 2.3. ella 2.27, E possble osrare veere [5] che coeffce h soo capo a fzoe saplg ceraa el raro cogo τ:

16 A h τ τ sc 2.32 Pù geerale s pò coserare ssea aco co rar lpl, coè ssea che soosà alla segee eqazoe: + p k k k y b A a τ 2.33 Il raro pò, ache qeso caso, essere rappreseao sfrao a base rar o: q p k k k h A g τ τ, 2.34 e, ache qesa sazoe, s pò osrare che: p k k k A h τ τ sc Per sare rar s lzza l segee algoro:. Vee fssao ervallo epo c s aga sao coe rar cog τ k, ovvero s efscoo, q e τ. 2. S esege l efcazoe eae l algoro elle fzo ola. 3. S aalzza la srbzoe egl h per vare l ero e rar cog prese e la loro poszoe ell ervallo. 4. S assegao ov valor a q e τ, oo che le fzo saplg o sao sovrappose

17 5. S rpee l efcazoe, glorao la sa e paraer

18 2.6. Sse Haerse. Veao ora coe è possble eseere la ecca ella fzo ola al caso ell efcazoe sse Haerse ve Capolo, coè sse cos a blocco o leare saco sego a blocco leare aco, coe llsrao Fgra 2.5. Fgra 2.5. Ssea Haerse Sppoao azo che la o learà sa po poloale o approssable a poloo: f c Iolre, coe s è gà eo, la o learà eve essere saca, coè: f La Gs rappresea la fzoe rasfereo el blocco leare el oo ella rasforaa Laplace: Y s G s X s

19 Sppoao che l blocco leare sa caraerzzao a ero pol e a ero zer e che q obbesca alla segee relazoe: y b x a 2.39 L efcazoe el ssea cosse ello sare coeffce a e b ella pare leare e c ella o learà. Se coserao l pro ebro ella 2.7 preva soszoe co l ovo gresso ella pare leare x e applchao la 2.36, oeao: l l c a c a 2.4 Cosegeeee la 2.7 vea: l y b c a 2.4 Defeo coeffce: y ˆ ˆ β α 2.42 s oee l eqazoe leare algebrca: - 3 -

20 l a c α b β 2.43 I coeffce ell eqazoe soo o, peeo all gresso e all sca el ssea, alla fzoe olae e ella se ervae, e graezze oe. Per efre oo voco paraer el ssea, poao che la pare leare abba gaago saco aro poeo: a b 2.44 I qeso oo l eqazoe 2.43 è + +l coge gl b, gl l c e gl l proo a c. Per oeere pù eqazo agao raslare la fesra egrazoe lgo l asse e ep. I qeso caso la sra egl gress o porà rare eo epo + +l ; ava, coe evezao ache el paragrafo 2.2, è opporo avere elle sre gresso e sca raa sperore oo a oeere ssea sovraeerao; così, sfrao l aggor ero forazo, e rsolveo l ssea el seso e qara, è possble rrre l effeo el rore che sarà scraee presee. I coeffce possoo essere calcola co eqazo aaloghe alle S o che così s possoo calcolare reaee b e c, ere gl a soo globa e proo a c. Q gl a evoo essere calcola esplcaee veo qes proo per gl oppor coeffce ella o learà

21 2.7. Sofware lzzao. I qeso lavoro, l efcazoe co la ecca elle fzo ola, sarà saa a lbrera fzo MALAB realzzaa a L.Sa e esesa al caso sse Haerse a D.Corsa. La fzoe prcpale è la segee: f_o_ha: Paraer gresso.. : apezza ella fesra efcazoe 2. p : ero pol ella Gs 3. z : ero zer ella Gs 4. g : grao ella o learà poloale 5. oefle : oe fle.a c sao prese re varabl, eoae, e y. Qese ovrao coeere, rspevaee, gl sa capoaeo e le relave sre ell gresso e ell sca el ssea. Paraer sca.. : veore coeee coeffce sa el eraore ella Gs. 2. e : veore coeee coeffce sa el eoaore ella Gs 3. lc : veore coeee coeffce poloal ella o learà. S o che coeffce soo eleca ore crescee per grao e aca qello relavo al grao zero percò o soo espress reaee forao MALAB, ovvero forao copable co la fzoe polyval. Fzoaeo. La fzoe f_o_ha cosrsce l ssea algebrco 2.43, lo rsolve co l eoo ella pseoversa, coe 2., e ressce paraer el ssea così rova