Variazione approssimata del valore attuale

Transcript

1 arazoe approssmaa del valore auale Fabo Bell 0 Abbamo vso le prcpal propreà della durao e dvers mod d calcolarla var esemp, ra cu ol a cedola fssa. Roramo alla relazoe che lega la durao alla sesvà del valore auale rspeo al asso. Per pccole varazo del asso abbamo che l valore della dervaa e quello del rapporo cremeale soo molo vc, qud Iolre è geerale dell orde del puo perceuale, qud < < ; I prma approssmazoe possamo qud scrvere, ' D ', cu da, D D Esempo Fabo Bell 0 Coè prma approssmazoe la durao è par alla perda d valore perceuale per u aumeo de ass d u puo perceuale. erfchamo la boà d quesa approssmazoe co u esempo; cosdero u BTP co cedole aual del 4% e facco varare ass dal % al 0%. Per calcolare l valore auale ulzzamo la fuzoe AN d Ecel:

2 Esempo / Fabo Bell 0 Esempo /3 Se mmagamo che l lvello de ass odero sa par al 5%, possamo leggere ella abella che l valore auale è par a 9,8 soo la par, quao la cedola è solo del 4% mere l asso è del 5%. Abbamo gà calcolao var mod la durao d queso olo, oeedo D8,3596 a. Qud prma approssmazoe la perda perceuale del prezzo del bod quado ass salgoo da 5% a 6% dovrebbe essere par a -8,36% crca. Possamo valuare la boà d quesa approssmazoe calcolado la perda perceuale esaa, che è daa dal rapporo 0,06 0,05 0,05 Se vece ass scedoo abbamo 85,8 9,8 9,8 7,58 % 0,04 0,05 0, ,8 9,8 8,37 % Fabo Bell 0

3 Sgfcao geomerco della durao Geomercamee, la durao è proporzoale al coeffcee agolare della rea agee el puo alla fuzoe ; la formula approssmaa proposa o è alro che la approssmazoe della fuzoe co la rea agee el puo, corrspodee al lvello auale de ass samo sempre pozzado ua sruura per scadeza paa. Fabo Bell 0 Ala durao vs bassa durao Cofroamo ora grafcamee due ol, uo co bassa durao maury 3 a e uo co ala durao maury 30 a; eramb cas C4% e le cedole soo aual. La durao del prmo olo è crca,88 a, quella del secodo crca 6,88 a. Fabo Bell 0 3

4 Sessa durao Eramb ol pagao cedole del 4% e perao soo alla par se 4%; la curva del valore auale del reeale è molo pù claa, quao la sua durao è molo maggore, e qud è molo pù sesble alle varazo de ass. C chedamo ora come sarebbe queso grafco se cosderassmo due ol co la sessa durao. Come sarebbe? Per fare u esempo, cofroamo l reeale d cu sopra flusso co uo ZCB d maury 7 a molo vca qud a 6,88. Il valore rmborsao dopo 7 a, 93,97, è scelo modo che l suo valore auale al asso d mercao del 5% sa par a quello del reeale; qud samo cofroado due ol co lo sesso valore auale e la sessa durao, d cu uo paga cedole l reeale e l'alro lo ZCB a 7 a o. Fabo Bell 0 Sessa durao / Fabo Bell 0 4

5 5 Covessà Fabo Bell 0 Il grafco precedee c suggersce che la covessà della fuzoe valore auale possa gocare u ruolo mporae; qud calcolamo la dervaa secoda: fuzoe covessa. è ua effevamee la fuzoe qud 0, '' da cu, '' qud, ', > Covessà / Fabo Bell 0 I modo aalogo a quao fao per la durao, dvdamo eramb membr per l valore auale oeedo, '' qud rsula ; flusso del covessà d ome 0 prede l, quaà La. ' ' scrvere possamo pes e roducedo uovamee ' ' C w C w w >

6 Propreà della covessà edamo le prcpal propreà della covessà: C, w s raa d ua meda poderaa, esaamee come la durao; pes soo gl sess, le quaà d cu facco la meda soo savola dao che e s msurao a, la covessà s msura a al quadrao. la covessà d uo ZCB d maury T è par a TT essedo ua meda poderaa, la covessà gode della propreà d eralà; per u flusso qualsas co scadeza T è perao compresa ra 0 e TT essedo ua meda poderaa, la covessà gode della propreà assocava: la covessà d u porafoglo è par alla meda poderaa delle covessà de sgol ol co pes par a valor aual de sgol ol esaamee come per la durao d porafoglo. Fabo Bell 0 Esemp d calcolo della covessà U caso cu è parcolarmee semplce calcolare la covessà è quello della reda perpeua, dove possamo ulzzare la relazoe '' osservae che ache la covessà è omogeea rspeo agl mpor qud possamo porre R, oeamo '' 3 ', '', 3 C, C, ; dao che, qud Fabo Bell 0 6

7 Esemp d calcolo della covessà / I geerale o essoo formule semplc e covee procedere dreamee calcolado pes e po la meda poderaa. Rvedamo l osro esempo: Fabo Bell 0 Aaloga probablsca Al osro flusso fazaro fazaro corrspodoo de pes w arbu a cascua scadeza. Se mmagamo che ques pes rappreseo delle probablà, coè se cosderamo ua varable casuale X per cu P X w abbamo che la durao o è alro che la meda d X: D, w E[ X ] Fabo Bell 0 7

8 Aaloga probablsca / La covessà vece è daa da C, w w E[ X ] E[ X ] la covessà è qud legaa al momeo secodo della varable X, ed è ao maggore quao maggore è la dspersoe de fluss oro al loro valore medo espresso dalla durao. Tol co bassa covessà soo ol cu pes soo cocera oro alla durao; ol porafogl co ala covessà soo porafogl cu fluss soo molo dspers aoro alla durao ad esempo, porafogl "barbell" che hao molo peso sulle scadeze molo core e molo lughe, e poco peso su quelle ermede. Fabo Bell 0 Rassumedo Rassumamo due rsula fodameal della aals d sesvà: ' D, ' ' C, La sesvà del valore auale rspeo al asso clazoe della curva è proporzoale alla durao; la durao corrspode alla meda pesaa delle scadeze; ol pù lugh soo pù sesbl. La dervaa secoda del valore auale rspeo al asso covessà della curva è proporzoale alla covessà; la covessà corrspode alla dspersoe de pes oro alla loro meda; ol co fluss pù dspers hao curvaura maggore. Fabo Bell 0 8

9 Sessa durao, dversa covessà Toramo all'esempo cu cofroamo u BTP reeale co cedola auale del 4% co uo ZCB d maury 7 a. La covessà dello ZCB è preso calcolaa: 7*8306 a^. La covessà del reeale vee vece crca 46, > 306 verfcae co Ecel! Fabo Bell 0 L' mmuzzazoe fazara Il problema della mmuzzazoe fazara o pù geerale dell' asse lably maageme ALM può essere descro queso modo: daa ua sere d fluss usca pagame a cu devo fare froe le lables, deermare u porafoglo d ol avà, asses che m cosea d fare froe a ques pagame a prescdere da movme de ass d eresse coè che m mmuzz dal rscho d asso. Se dchamo co l flusso degl asses e co y quello delle lables a cu devo fare froe, mmagamo che al empo 0 ogg soo mmuzzao: 0, 0 y, coè al momeo valor aual de due fluss cocdoo; o voglamo cosrure u porafoglo modo che se ass cambao da a ', allora, ' y, ' Fabo Bell 0 9

10 L' dea uva L'dea uva della mmuzzazoe fazara è coeua ell'ulmo grafco che abbamo vso: u porafoglo mmuzza u flusso y se ha lo sesso valore auale, la sessa durao e ua maggore covessà. Nella prossma lezoe precseremo quesa dea araverso cosdde eorem d mmuzzazoe. Fabo Bell 0 Teorem d mmuzzazoe Abbamo vso che l problema della mmuzzazoe fazara cosse el cosrure u porafoglo d asses che cosea d fare froe a de fluss usca predeerma, da dalle lables y. Per essere mmuzzae, l porafoglo deve soddsfare due codzo: 0, 0 y,, ' y, ' Deve coè avere ogg lo sesso valore auale al asso d mercao e olre, caso d cambameo de ass d eresse da a ', deve coservare og caso u valore auale superore a quello delle lables. Abbamo vso che la dea uva è cosrure u porafoglo che abba la sessa durao delle lables durao machg e ua covessà maggore. I eorem d mmuzzazoe precsao qual suazo quesa sraega fuzoa. Fabo Bell 0 0

11 Sruura per scadeza Osservamo azuo che fora abbamo sempre pozzao che l asso fosse lo sesso per ue le scadeze. Nella realà ovvamee ass dpedoo dalla scadeza, a vole ache modo rlevae; ad esempo spesso ma o sempre ass «a luga» soo pù eleva d quell «a breve». La curva che rappresea l asso d redmeo d u gruppo omogeeo d obblgazo fuzoe della duraa prede l ome d sruura per scadeza de ass d eresse erm srucure of eres raes o semplcemee erm srucure. Mol de rsula che abbamo vso possoo essere eses al caso d ua sruura o paa. Idcado co l asso relavo al perodo [0, ], la durao dvea D w. Fabo Bell 0 Bloomberg - <WB> Fabo Bell 0

12 Bloomberg - <WB> Fabo Bell 0 Bloomberg - <IYC> Fabo Bell 0

13 Bloomberg - <IYC> Fabo Bell 0 Bloomberg - <I40> Fabo Bell 0 3

14 Bloomberg - <I40> Fabo Bell 0 Teorema d Fsher e Wel Il eorema d Fsher e Wel c dce che la sraega d durao machg fuzoa ache se la sruura de ass d eresse o è paa, purché s muova co uo shf parallelo e purché le lables da coprre cossao d ua usca sgola sao coè cocerae u'uca daa. Eucamolo precsamee. Sa r0, la sruuraper scadezaal empo0, o ecessarameepaa l asso r0, dpededallascadeza.sa l flussodeglassese y la lably cosuada u'uscasgola y [ y; T],e sa 0 0 y. Ses ha uoshf parallelodellasruuraper scadeza r'0, r0, Z,co Zo dpedeeda, s ha mmuzzazoe elsesoche' ' y se D D y T. Fabo Bell 0 4

15 Teorema d Fsher e Wel / No dmosramo queso eorema; esso c dce che el caso d usca sgola, per coprrc da shf parallel arbrar della sruura per scadeza è suffcee la codzoe d durao machg. No è ecessaro fare alcua rchesa sulla covessà del porafoglo degl asses, perché dao che la usca è coceraa u'uca scadeza T, la sua covessà sarà auomacamee ferore rspeo a quella degl asse. Rspeo all'esempo della vola scorsa l eorema c dce che l'mmuzzazoe vale ache se la sruura per scadeza zale o è paa, purchè s muova per shf parallel. Fabo Bell 0 Esempo Abbamo due asses, uo ZCB a 0 a e uo ZCB a 5 a eramb d valore omale 00; ass d mercao al momeo soo cosa e par al 5%. oglamo cosrure u porafoglo mmuzzae per uo ZCB a 7 a, sempre d valore omale 00 coè abbamo ua usca sgola d mporo 00 ra 7 a. Il eorema d Fsher e Wel c dce che se realzzamo u porafoglo de prm due ZCB che abba lo sesso valore auale e la sessa durao dello ZCB a 7 a, allora samo mmuzza rspeo a shf parallel. S ha: ZCB0 ZCB 5 ZCB 7 00,05 00,05 00, ,39 78,35 7,068 Fabo Bell 0 5

16 α 6,39 β 78, ,068 7,068 Esempo / Idchamo co α e co β le quaà rspeve de due ol; la codzoe d uguale valore auale dvea α 6,39 β 78,35 7,068 la codzoe d uguaglaz a della durao dvea α 6,39 β 78, coè α 6,39 β 78,35 α 6,39 β 78,35 7 abbamo qud l ssema α 6,39 β 78,35 7,068 α 6,39 β 78,35 che ha soluzoe ,068 7,068 α 0,463, β 0,544 Fabo Bell 0 mmuzzae che soo da da C 0,4 0 0,6 30 ZCB a 7 a, che è par a Esempo /3 Possamo ache calcolare pes de due ZCB el porafoglo α 6.39 wzcb0 40% 7,068 β 78,35 wzcb5 60% 7,068 fa 0,4 0 0,6 5 7; olre possamo calcolare la covessà del porafoglo mmuzzae come 6 e verfcare che è maggore d quella dello Fabo Bell 0 6

17 Teorema d Redgo Il eorema d Redgo c dce che el caso d usce mulple possamo acora coprrc da shf parallel fesm cosruedo u porafoglo d asses che abba sessa durao e maggore covessà: Sa r0, la sruura per scadeza al empo 0, o ecessaramee paa l asso r dpede dalla scadeza.sa l flusso degl asses e y la lably soo ammesse usce mulple. Se s ha r'0, r0, Z,co Z o dpedee da el seso che ' ' y se 0 y, D D y C C y uo shf parallelofesmo della sruura per scadeza 0, s ha mmuzzazoe Fabo Bell 0 Teorema d Redgo / Il eorema d Redgo c dce che la dea "sessa durao, maggore covessà" vale ache el caso d usce mulple, purché l movmeo della sruura per scadeza sa uo shf parallelo fesmo. A dffereza del eorema d Fsher e Wel, dcamo che la mmuzzazoe queso caso è solo locale, quao vale per pccol sposame parallel della sruura per scadeza. ee aurale cheders se è possble cosrure porafogl che sao mmuzza rspeo a shf arbrar o ecessaramee parallel della sruura per scadeza; la rsposa è evdeemee egava. Il puo è capre che msura movme della sruura per scadeza sao degl shf parallel; vedremo a olo d esempo u'aals emprca alla fe della lezoe. Fabo Bell 0 7

18 Omzzazoe d porafoglo Il eorema d Redgo c suggersce come sraega d mmuzzazoe la rcerca d u porafoglo che abba u valore auale e ua durao fssae quelle delle lables e la massma covessà possble. Se dchamo co sgol ol dspobl, e co w pes corrspode, l problema d massmzzazoe della covessà d porafoglo dvea w C ma s.. w, w 0 w s.. w D D y I queso caso la fuzoe obevo covessà d porafoglo è leare elle varabl decsoal pes; ache due vcol somam de pes e durao soo lear e perao s raa d u problema d programmazoe leare. Fabo Bell 0 Esempo Cosderamo 3 ol: ZCB a 5 a, ZCB a ao, BTP deceale cedole aual 4%. Durao e covessà de sgol ol soo calcolae queso foglo: Fabo Bell 0 8

19 Esempo / Aggugamo le varabl decsoal pes de re ol, elle celle verd e calcolamo la durao d porafoglo meda pesaa delle durao de sgol ol: Fabo Bell 0 Esempo /3 Allo sesso modo calcolamo la covessà d porafoglo: Fabo Bell 0 9

20 Esempo /4 oglamo ora massmzzare la covessà co vcol sulla somma de pes e sulla durao, che poamo par a 7. Ulzzamo l Rsoluore Solver d Ecel: Fabo Bell 0 Esempo /5 Fabo Bell 0 0

21 Esempo /5 Il rsoluore ha rovao ua soluzoe che corrspode a u porafoglo composo da 8,47% d ZCB a ao e da 8,53% d BTP a 0 a. Iuvamee, per massmzzare la covessà l rsoluore ha cosruo u porafoglo del olo pù coro ZCB a ao, durao e del olo pù lugo BTP a 0 a, durao 8,36, ralascado l olo ermedo ZCB a 5 a. Dalla eora della programmazoe leare sappamo che dao che c soo due vcol d uguaglaza, se l problema ammee soluzoe oma allora ammee ua soluzoe oma co solo due pes o ull soluzoe d base. Il fao che l porafoglo omo sa composo da solo due ol o è qud accdeale ma del uo geerale per queso po d problema. Fabo Bell 0