Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza

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1 Uverstà degl Stud d Ferrara Corso TFA - A048 Matematca applcata Ddattca della matematca applcata all ecooma e alla faza 18 marzo 2015 Apput d ddattca della Matematca fazara Redte, costtuzoe d u captale, ammortamet e leasg Lug Tomas lug.tomas@ufe.t 1 Prerequst ddattc Captalzzazoe composta Progresso geometrche Fuzo espoezal ed equazo exp Logartm ed equazo log. Grafc d fuzo Strumet Uso della calcolatrce scetfca/fazara Foglo elettroco (Excel, Calc, GeoGebra,..) 2 1

2 Obettv d appredmeto Competeze Avere buoa padroaza de cocett d redta certa, sapedo come utlzzarlo e problem d costtuzoe d u captale e d ammortameto d u prestto Iterpretare problem fazar elaborado l cofroto tra soluzo possbl basate su mpostazo dverse Essere grado d rsolvere problem fazar eseguedo calcol modo mauale e co gl strumet d calcolo, sapedo presetare report umerc e grafc. Rsolvere problem fazar tpc applcado modell effcac medate gl strumet adeguat (Foglo elettroco: Excel, Calc, GeoGebra,..) 3 Obettv d appredmeto Coosceze Cocetto d redta certa Relazoe tra redte atcpate e redte postcpate 4 2

3 Obettv d appredmeto Abltà Saper operare e dvers regm determado parametr goco Saper rsolvere problem d captalzzazoe e d attualzzazoe e tre regm Saper applcare le regole a cas applcatv, effettuado smulazo dverse Utlzzare approprat support formatc per rappresetare grafcamete le legg fazare e usare gl strumet d calcolo pù adeguat 5 Le redte S dce redta qualsas successoe o flusso d somme d dearo, tutte da cassare o tutte da pagare, cascua dopo ua dversa durata. Le somme d dearo soo chamate rate. Le date s chamao scadeze. Itervallo d tempo tra due rate s chama perodo. 6 3

4 Le redte a rata costate mmedata postcpata Rate costat Perodo costate La prma rata scade alla fe del prmo perodo. Immedata sgfca che la decorreza s ha l prmo perodo. Postcpata: og rata scade alla fe d og perodo. 7 Classfcazoe delle redte Rspetto all mporto della rata: - Rata costate - Rata varable Rspetto al perodo (se costate) - Aua - Frazoata - Poleale Rspetto alla scadeza delle rate - Atcpata - Postcpata Rspetto alla durata - Temporaea - Perpetua Rspetto alla decorreza - Immedata - Dfferta 8 4

5 Motate d ua redta mmedata postcpata È la somma M de motat d cascua rata, calcolat a partre dalla loro scadeza e fo t =, coè fo alla scadeza dell ultma rata. 9 Calcolo del motate d ua redta mmedata postcpata Il calcolo forsce: M = R + Ru + Ru Ru ( 1 ) u 1 M = R ( 1+ u + u u ) = R u M = R = R s s fgurato, al tasso, postcpato 10 5

6 Valore attuale d ua redta mmedata postcpata È la somma VA de valor attual d cascua rata, calcolat a partre dalla loro scadeza e fo t = 0, coè fo a u perodo prma della scadeza della prma rata. 11 Calcolo del valore attuale d ua redta mmedata postcpata Il calcolo forsce: 2 VA = Rv + Rv Rv 2 1 v VA = R ( v + v v ) = Rv 1 v 1 v 1 (1 + ) VA = R = R = R a a fgurato, al tasso, postcpato 12 6

7 Motate d ua redta mmedata atcpata È la somma M de motat d cascua rata, calcolat a partre dalla loro scadeza e fo t =, coè fo alla scadeza dell ultma rata. 13 Calcolo del motate d ua redta mmedata atcpata Il calcolo forsce: 2 M = Ru + Ru Ru 2 u 1 M = R ( u + u u ) = R u u 1 ( ) 1+ 1 ( 1 s fgurato, al M = R + ) = R s tasso, atcpato 14 7

8 Valore attuale d ua redta mmedata atcpata È la somma VA de valor attual d cascua rata, calcolat a partre dalla loro scadeza e fo t = 0, coè fo alla scadeza della prma rata. 15 Calcolo del valore attuale d ua redta mmedata atcpata Il calcolo forsce: V = R + Rv + Rv Rv A v VA = R ( 1 + v + v v ) = R 1 v 1 v 1 (1 + ) VA = R u = R ( 1+ ) = R a a fgurato, al tasso, atcpato 16 8

9 Motate d ua redta dfferta Ua redta è dfferta quado la prma rata o scade mmedatamete, coè o vee pagata etro l prmo perodo. Iutle dstguere tra redte dfferte postcpate e atcpate. Dffermeto = m. Il motate o camba. 17 Calcolo del valore attuale d ua redta dfferta Il calcolo del valore attuale forsce: 1 (1 + ) m V = R ( 1+ ) = R a m / A m / a fgurato, al tasso, dfferto m 18 9

10 Problem sulle redte: calcolo della rata Sappamo che ua redta mmedata, postcpata d 10 rate costat, semestral, t=0 equvale a 8000 euro. Calcola la rata al tasso semestrale del 2,6%. 1 (1 + ) VA = R = R a VA 0,026 R = = VA = 8000 = 916,80 euro 10 a 1 (1 + ) 1 (1 + 0, 026) 19 Problem sulle redte: calcolo del umero delle rate Sappamo che ua redta mmedata, postcpata a rate costat, semestral, t=0 equvale a 8000 euro co ua rata d 918,80 euro. Calcola l umero d rate semestral al tasso semestrale del 2,6%. 1 (1 + ) VA = R = R a A ( 1 (1 ) ) V = R + VA 1 (1 + ) = R VA VA (1 + ) = 1 log(1 + ) = log 1... R R 20 10

11 Problem sulle redte: calcolo del tasso d teresse Nello stesso esempo, chedamoc a quale tasso d teresse semestrale 10 rate postcpate mmedate d 918,80 euro equvalgoo ogg (t = 0) a 8000 euro. Dobbamo rsolvere, rspetto ad, l equazoe: V A 1 (1 + ) = R che equvale a trovare gl zer della fuzoe: 1 (1 + ) f ( ) = VA R 21 Problem sulle redte: calcolo del tasso d teresse Per trovare lo zero della fuzoe 1 (1 + ) f ( ) = VA R s può procedere per terpolazoe leare o co uo de metod d aals umerca (ad esempo bsezoe)

12 Problem sulle redte: calcolo del umero delle rate caso o tero Il prestto d euro ogg può essere saldato co versamet d 1200 euro a partre dall ao prossmo. Quat devoo essere versamet se l tasso è del 2,5 auo? Facedo l calcolo s trova ~9,46. Poché rsulta o tero, covee sceglere o 9 rate oppure 10 rate. Rfacedo l calcolo, per 9 rate s trova R=1254,57 euro, e per 10 rate s trova R =1142,59 euro. 23 Ua applcazoe delle redte: calcolo d TAN e TAEG: lteracy fazara per l cttado Può captare egl opuscol formatv e elle pubblctà rguardat bee vedut a rate, d leggere le parole TAN e TAEG, ad esempo TAN = 5 % e TAEG = 5,87%.. Che sgfcato hao queste sgle? 24 12

13 TAN E l acromo d tasso auale omale. E l tasso d teresse che rede l prezzo d u bee equvalete alla successoe d rate ecessare per pagarlo. Se l perodo delle rate è dverso dall ao, s moltplca l tasso perodale otteuto questo modo per l umero d rate prevste u ao. 1 (1 + ) k V = R k TAN = k k 25 TAEG (è obblgatoro dcarlo per Legge) E l acromo d tasso auale effettvo globale e s calcola come l TAN, ma teedo coto però ache de cost ammstratv (costo dell struttora C, e commsso d casso c). L evetuale calcolo e passaggo dal tasso perodale al tasso auale, s calcola a regme composto. 1 (1 + k ) V C = ( R + c) k k TAEG = ( 1+ k )

14 TAN e TAEG u esempo U garage del valore d euro vee acqustato co mutuo ququeale TAN del 5%. Le rate postcpate soo versate semestralmete. a) Determamo la rata R e l tasso effettvo. b) Calcolare l TAEG el caso cu la baca rcheda 400 euro d spese zal e, og semestre, 3 euro per la polzza asscurazoe atcedo e 2 euro per le spese d casso. 27 TAN e TAEG u esempo a) Il tasso perodale 2 = 2,5%. Il tasso effettvo auo = 5,06%. Calcolamo la rata rsolvedo l equazoe V A 1 (1 + ) = R S ottee R 4570,35 euro og semestre

15 TAN e TAEG u esempo b) V = euro R= 4570,35 euro = 10 rate C= 400 euro c=5 euro asscurazoe e spese d casso S rsolve per tetatv l equazoe: S trova TAEG 5,51%. + ( ) 1 (1 ) k V C = R + c k 29 Rate costat Perodo costate Le redte perpetue La prma rata scade alla fe del prmo perodo. Perpetue sgfca che tede all fto Postcpata: og rata scade alla fe d og perodo

16 Calcolo del valore attuale d ua redta perpetua postcpata No ha seso calcolare l motate. 1 v 1 (1 + ) VA = R = R = R a se V = R = R = R a 31 Costtuzoe d u captale Voglamo costture, ad es., u captale d euro tra 6 a regme composto del 2% semestrale. Ua prma possbltà potrebbe essere vestre ogg l valore attuale d questo captale. L altra possbltà, pù teressate, è vestre og se mes ua somma costate d 7455,96 euro. Questa s chama costtuzoe graduale d u captale 32 16

17 Pao d costtuzoe d u captale Nel caso de versamet rateal costat s usa complare ua tabella, che costtusce l pao d costtuzoe graduale del captale (foglo Excel). Perodo Rata Fodo zale Iteress Fodo fale , , , ,96 149, , , ,04 301, , , ,00 33 Pa d ammortameto Soo ua mportate applcazoe delle redte. Ammortameto = processo medate l quale l debtore resttusce l prestto (u fazameto) Pao d ammortameto = rpartzoe el tempo e scadezaro de versamet S= mporto prestato R h = rata C h = quota captale I h = quota teress D h = debto che rmae dopo aver versato C h = umero delle rate k = tasso d teresse 34 17

18 Ammortameto graduale Tra le vare possbltà quella pù utlzzata è l ammortameto graduale a quote captal costat (ammortameto talao), poco usato co rata costate, o ammortameto fracese, l pù usato 35 Ammortameto talao A quote captal costat (ammortameto talao), poco usato, perché all zo le rate soo maggor. Ved foglo Excel quota captale = C1 = C2 =... = C = C C = S S debto resduo = Dh = ( h) S rata = R = C + I R = + D h h h h k h

19 Ammortameto fracese A rate costat: è l pù usato pratca. E detto ache progressvo. Rate costat e quote captale decrescet. Ved foglo Excel k rata = R1 = R2 =... = R = R R = S 1 (1 + ) 1 (1 + k ) debto resduo = Dh = R quota captale = C = R I h h h 1 1 (1 + k ) C = R I = R R = R + h k ( 1 ) h h k k k k h 1 37 Leasg Il Leasg è u cotratto co cu u soggetto, spesso u azeda, ottee uso da u altro soggetto u bee per u certo perodo. L azeda che rceve l bee s chama locatara. L azeda che cocede l uso del bee, mateedoe la propretà s dce locatrce. L azeda locatrce è spesso ua socetà fazara specalzzata questo tpo d cotratt e acqusta l bee da u produttore dcato dal locataro

20 Leasg U cotatto d Leasg prevede seguet elemet: Il pagameto d cao specfc d R L atcpo, all atto della cosega del bee, d ua somma A Il versameto, alla fe del cotratto, d u rscatto P. 39 Schema del Leasg Il pagameto d cao specfc d R L atcpo, all atto della cosega del bee, d ua somma A Il versameto, alla fe del cotratto, d u rscatto P

21 Leasg: equvaleza fazara 1 (1 + k ) V = A + R + P (1 + k ) V = valore del bee oggetto del leasg k 41 Leasg: problema 1 Ua mpresa ha stpulato u cotratto d leasg, durata 3 a, maccharo del valore d euro. 36 cao mesl, 6 vegoo atcpat e u rscatto d 5000 euro. Tasso dello 0,75% mesle. Trovare l mporto R del caoe mesle. 1 (1 + k ) V = A + R + P (1 + k ) k S trova crca R=2934,52 euro 42 21

22 Leasg: problema 2 U professosta ha cocluso u cotratto d leasg d u autovecolo del valore d euro. 35 cao mesl d 232 euro. Atcpo d 6500 euro. Rscatto fale d euro da versare dopo u mese dall ultmo caoe. Qual è l tasso applcato? 1 (1 + k ) V = A + R + P (1 + k ) k ( + 1) 43 Leasg: problema 2 S devoo trovare gl zer della seguete fuzoe 1 (1 + k ) f ( ) = V A + R + P (1 + k ) k ( + 1) Impostado u foglo d calcolo, s vede che lo zero s trova tra 0,30% e 0,35%. Iterpolado s ottee crca 0,326% mesle, che equvale a u tasso auo d quas l 4%