Interpolazione. Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l andamento di un insieme di punti.

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1 Iterpolazoe Defzoe: per terpolazoe s tede la rcerca d ua fuzoe matematca che approssma l adameto d u seme d put. Iterpolazoe MATEMATICA Calcola ua fuzoe che passa PER tutt put Tp d terpolazoe Iterpolazoe STATISTICA Calcola ua fuzoe che passa FRA put Caratterstche e cofroto de due tp d terpolazoe Iterpolazoe Matematca Caratterstche: Seee pù precsa, quato tocca tutt put della dstruzoe, potree rsultare complessa se o mpossle da calcolare ; oltre la fuzoe calcolata potree rsultare molto complessa e d dffcle utlzzo. Applcazo: l terpolazoe matematca vee utlzzata, geometra aaltca, per l calcolo d ua retta passate per due put (Iterpolazoe leare) o d ua paraola passate per tre put o alleat (terpolazoe paraolca o d grado). Come procedere:. S dvdua aztutto la fuzoe polomale razoale tera a a a... a adatta ad terpolare l umero de put, sapedo che grado della fuzoe =(umero de put ) Ua retta (d grado) passa per put, ua paraola (d grado) passa per 3 put, ecc. S applcao le codzo d passaggo della fuzoe geerca per tutt put e s rsolve l sstema leare Esempo: U segate deve trasporre delle valutazo degl scrtt dell esame d stato da puteggo grezzo, formato percetuale, a puteggo fale, 5esm; vuole mateere le seguet corrspodeze: puteggo grezzo () puteggo fale () % 5% % 5 Determare la fuzoe terpolate =f(). Svolgmeto. S tratta d determare l equazoe d ua fuzoe d secodo grado =a²++c quato put da terpolare soo 3: A(;), B(,5;), C(;5). S costrusce u sstema mpoedo le codzo d passaggo della fuzoe per 3 put: passaggo per A: =c passaggo per B: =,5²a+,5+c passaggo per C: 5=²a++c Il sstema, rsolto, da la seguete fuzoe: =-²+3+ Nel caso cu l sstema rsult composto da u elevato umero d equazo è possle rsolverlo avvaledos d software adeguat: Derve (rsolve sstem lear), Ecel (mpostado u foglo per la soluzoe d sstem utlzzado delle formule matrcal). Nel caso cu v sao tat put alcu de qual magar co stessa ascssa ed ordata dversa. S rcorda che, per defzoe, ua fuzoe =f() è ua relazoe fra due varal che assoca ad og valore della uo ed u solo valore della. Paga d 7

2 Iterpolazoe Statstca Caratterstche: Seee possa semrare mprecsa ed approssmatva rspetto a quella Matematca permette d utlzzare fuzo puttosto semplc (es. retta) e soprattutto facl da terpretare! L t. Statstca è molto utle e seguet camp: Sere storche; rsolve prolem d Perequazoe Estrapolazoe Studo del tred Statstca varata: permette d aalzzare u legame fra due varal statstche L terpolazoe statstca cosste el trovare ua fuzoe che passa fra u seme d put modo che sa l pù possle vca a var put. Verrao prese esame terpolazo statstche co le seguet fuzo: Iterpolazoe leare: m q a Iterpolazoe paraolca: c Iterpolazoe espoezale: Iterpolazoe poteza: Metodo de mm quadrat ^ Caso leare: m q a a Questo metodo cosste el determare parametr della fuzoe terpolate prescelta modo che sa mma la somma de quadrat degl scostamet de put dalla fuzoe 3. La codzoe d accostameto è duque la seguete: ˆ terpolate) La codzoe d accostameto è la seguete: f m, q m q mma mma (La ŷ, teorca,) dca l valore calcolato sulla fuzoe S tratta duque d calcolare l mmo d ua fuzoe a due varal [f(m,q)]. S procede co la soluzoe del sstema che poe le dervate parzal prme ugual a zero per la rcerca d evetual put crtc: f ' f ' m q m q m q m m q q S ottee u sstema d prmo grado che ammette ua soluzoe: la fuzoe ha u puto crtco. Per verfcare se s tratta d u mmo s procede allo studo dell hessao: H valore ve ro valore teorco - ^ =scostamet o =f() M M L hessao è postvo; così come f '' mm :duque s tratta d u mmo relatvo. I pratca:per calcolare la retta terpolate a mm quadrat occorre aztutto calcolare le vare sommatore e rsolvere l sstema d prmo grado. I alteratva esstoo delle formule che s asao sugl scart dalla meda artmetca e calcolao m e q el seguete modo: Ua varale statstca cotee u seme d valor dedott dalle msurazo d u carattere quattatvo 3 S scegle d mmmzzare la somma de quadrat quato la somma degl scostamet semplc potree essere pccola (prossma allo ) pur preseza d grad scostamet: fatt scostamet postv adreero a compesars co scostamet egatv. Per superare questo prolema, dovuto a seg degl scostamet, s scegle d elevarl al quadrato modo d avere solo scostamet postv! Paga d 7

3 m q m ; L equazoe della retta terpolate può essere scrtta come: m questo evdeza l passaggo della retta per l puto ;, detto arcetro della dstruzoe. Esempo: Calcolare e rappresetare grafcamete la retta terpolate a mm quadrat seguet put: Svolgmeto: Covee svluppare calcol per le vare sommatore taella (faclmete adattale ad u foglo elettroco) come segue: prmo metodo secodo metodo grafco ² (-M ) (-M ) (-M )(-M ) (-M)² teorco 3 3 -,5-3,33 5,,5 3, 5-3,5 -,33,7,5,7 -,5 -,33 3,5,5 5,3 7 3,5,7,33,5, 9 7,5,7,7,5 7,95,5 3,7 3,3,5,5 somma , 3,5 meda 5,5,3 Prmo metodo: mposto e rsolvo l seguete sstema: 5m 33q 3 33m q 3 Secodo metodo: applcado le formule s ottee: 5 m,5 ; q,3,55,5, 7 3,5,5, L equazoe della retta terpolate è duque 7 L ultma coloa della taella serve per calcolare alcu put della retta e potere fare l grafco: teorco Caso leare partcolare: q La codzoe d accostameto è la seguete: f q q mma Paga 3 d 7

4 S ottee faclmete q Dalla formula s deduce u mportate propretà della meda artmetca: La meda artmetca de valor osservat rede mma la somma de quadrat degl scart. Per questo motvo s utlzza la meda artmetca per depurare error d msurazoe (dovut al caso) che s commettoo msurado pù volte la stessa gradezza. Caso paraolco: a c La codzoe d accostameto è la seguete: f a,, c a c mma S tratta duque d calcolare l mmo d ua fuzoe a tre varal [f(a,,c)]. S procede co la soluzoe del sstema che poe le dervate parzal prme ugual a zero per la rcerca del puto crtco (mmo relatvo, questo caso): f ' f ' f ' a c a a a c c c a a a 3 3 c c c S ottee duque u sstema d prmo grado (tre equazo e tre cogte) che ammette ua soluzoe. Esempo: Calcolare e rappresetare grafcamete la paraola terpolate a mm quadrat per seguet put: Svolgmeto: Covee svluppare calcol per le vare sommatore taella (faclmete adattale ad u foglo elettroco) come segue: grafco ² 3 ² teorco , 5, 5, , ,.7.73.,3 somma S mposta e s rsolve l seguete sstema :.a.59 5c.97.59a 5 33c 33 5a 33 c 39 otteedo la seguete fuzoe =,² -,33 + 9,5 =, -,33 + 9,5 Per la soluzoe d u sstema d questo tpo covee usare Cramer e, comuque, avvalers d teorco uo strumeto formatco (foglo elettroco, Derve) Paga d 7 teorco

5 Caso espoezale: a I questo caso, azché utlzzare la codzoe d scostameto, è coveete rcodurre l terpolazoe al caso leare. E suffcete operare l applcazoe del logartmo a tutta l equazoe della fuzoe espoezale e procedere co ua sosttuzoe d varal: l la applcado le propretà del logartmo s ottee: l l a l procededo co la sosttuzoe d varale t s ottee ua fuzoe leare co varal,t. l a l l t Esempo: Calcolare e rappresetare grafcamete la fuzoe espoezale terpolate a mm quadrat per seguet put: Svolgmeto: Covee svluppare calcol per le vare sommatore taella (faclmete adattale ad u foglo elettroco) come segue: grafco t=l ² t teorco 3,,,9 3,, 3,,39 5,55 3, 5, 3 9,,9,79 7,9,7 9,,37,3 somma 35 9, 3,7 Impostado e rsolvedo l sstema s ottee: l a =,979; l =,95,979,95 e duque e, 5 a ; e, La fuzoe terpolate espoezale ha equazoe,5, teorco Caso poteza: a Ache questo caso, azché utlzzare la codzoe d scostameto, è coveete rcodurre l terpolazoe al caso leare. E suffcete operare l applcazoe del logartmo a tutta l equazoe della fuzoe poteza e procedere co ua sosttuzoe d varal: l la applcado le propretà del logartmo s ottee: l l l a l procededo co le sosttuzo d varal l t e s t l a s s ottee ua fuzoe leare co varal s,t. Esempo: Calcolare e rappresetare grafcamete la fuzoe poteza terpolate a mm quadrat per seguet put: Svolgmeto: Paga 5 d 7

6 Covee svluppare calcol per le vare sommatore taella (faclmete adattale ad u foglo elettroco) come segue: grafco s=l t=l s² st teorco 3,,,,,59 3,9,,,7 3,39,39,39,9,9,3 5,79, 3,, 5,,3,79 5,3,3,3,,,7 5,7,7 somma, 9, 7,9, Impostado e rsolvedo l sstema s ottee: l a =,95; =,373,95 e duque a e, 59 La fuzoe terpolate poteza ha equazoe,373,373 teorco Valutazoe otà dell terpolazoe Cofroto fra dverse fuzo terpolat Per poter gudcare la qualtà d u terpolazoe statstca, ovvero per capre QUANTO la fuzoe terpolate s avvca a put della dspersoe, esstoo degl dc d scostameto. Il pù mportate è l dce d scostameto quadratco che s calcola co la seguete formula: I ˆ ˆ U valore d I dca u uo accostameto., L dce d scostameto, calcolato su pù fuzo che terpolao gl stess put, permette d capre quale delle stesse s adatta meglo: ovvamete quella co l dce d scostameto ferore! Esempo: Calcolare le terpolat leare e paraolca; valutare e cofrotare le otà delle terpolazo. valor teorc ŷ retta paraola retta paraola 7,,35 5,3,3 5 5, 5,5,,3 5,7,,,3 5,33,7,77,,99 5,59,9,,3,,,3 somma ,7,7 Paga d 7

7 a =, m=,39 = -,33 q=,355 c = 7,3 I retta,57 paraola,3 La paraola s adatta duque meglo della retta (come s può osservare ache el grafco sottostate); oltre, essedo l dce d scostameto della paraola ferore a, quella paraolca è ua uoa terpolate a mm quadrat. paraolca leare Paga 7 d 7