MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Psicometria 1 - Lezione 2 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek
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1 MISURE DI TENDENZA CENTRALE Pscometra 1 - Lezoe Lucd presetat a lezoe AA 000/001 dott. Corrado Caudek 1
2 Suppoamo d dsporre d u seme d msure e d cercare u solo valore che, meglo d cascu altro, sa grado d catturare le caratterstche della dstrbuzoe el suo complesso, ovvero rappreset l valore pù tpco della dstrbuzoe. I altre parole, c propoamo d trovare l valore che, meglo d qualuque altro, c coseta d dovare l valore d ua delle utà d osservazoe che fosse tratta a caso dall seme delle ostre osservazo. Moda, Medaa, Meda artmetca, Meda geometrca Meda armoca
3 MODA La moda d ua dstrbuzoe d frequeze è l puto cetrale della classe d msure pù frequete. Dstrbuzoe zeromodale: essu valore ha ua frequeza pù elevata degl altr. Dstrbuzoe umodale: c è u solo valore co ua frequeza pù elevata degl altr. Es. [, 4, 1, 3, 7, 3, 5, 3] Dstrbuzoe bmodale: c soo due valor co ua frequeza pù elevata degl altr. Es. [7, 4, 7, 3, 7, 3, 5, 3] 3
4 Negl stogramm, la moda cocde co l puto cetrale della base del rettagolo co altezza maggore. Nelle curve d frequeza, la moda cocde co l valore corrspodete ad u massmo della curva (Fg. 1.17, p. 41). Affché ua dstrbuzoe sa bmodale è suffcete che v sao due massm. No è ecessaro che etramb abbao lo stesso valore. Dato che la moda dpede soltato dalla frequeza delle osservazo, è l uca msura d tedeza cetrale per dat scala omale. 4
5 LIMITI DELLA MODA U campoe può avere pù d ua moda. La moda è molto sesble alla gradezza e al umero degl tervall d classe. La moda può cambare maera cosderevole cambado gl tervall delle class. La moda d u campoe o forsce ua buoa stma della moda della popolazoe da cu quel campoe è stato tratto. 5
6 MEDIANA La medaa è l valore che occupa la poszoe cetrale quado le osservazo d u campoe soo ordate base al loro valore. Quado è dspar, la medaa corrspode al puteggo dell dvduo umero ( + 1)/. Quado è par, la medaa corrspode al valore termedo tra l puteggo dell dvduo umero / e l puteggo dell dvduo ( / )
7 6, 6.7, 3.8, 7, 5.8 I valor ordat soo 3.8, 5.8, 6, 6.7, 7 7
8 6, 6.7, 3.8, 7, 5.8, I valor ordat soo: 8
9 MEDIA ARITMETICA
10 Propretà 1. Se u seme d osservazo è costtuto da due sottosem dsgut d gradezza 1 e, e mede allora la meda dell seme totale sarà uguale a: x x e
11 Propretà. La somma degl scart d tutt putegg d u campoe dalla meda è uguale a zero. 1 ( )
12 DIFFERENZE TRA LA MEDIA E LA MEDIANA La meda rsete de cambamet effettuat agl estrem d ua dstrbuzoe, metre la medaa è sesble a quest cambamet. La meda è pù stable della medaa, ovvero vara d meo al passare da u campoe ad u altro. 1
13 ESERCIZIO Defte u seme d umer casual d gradezza 3 e u secodo seme d umer casual d gradezza. Dmostrate emprcamete la prma propretà della meda. Defte u seme d 5 umer casual, e dmostrate emprcamete la secoda propretà della meda. 13
14 RELAZIONE TRA MISURE DI TENDENZA CENTRALE E CURVE DI FREQUENZA 14
15 ASIMMETRIA POSITIVA moda medaa meda Nel caso d ua dstrbuzoe co asmmetra postva meda > medaa > moda 15
16 16
17 ASIMMETRIA NEGATIVA meda medaa moda Nel caso d ua dstrbuzoe co asmmetra egatuva meda < medaa < moda 17
18 18
19 SIMMETRIA moda medaa meda 19
20 ESERCIZIO Geerate u seme d umer d gradezza uguale a 6, tal da costture ua dstrbuzoe co asmmetra postva, co asmmetra egatva, oppure ua dstrbuzoe smmetrca. Calcolate la moda, la meda e la medaa e tre cas. 0
21 La meda d ua dstrbuzoe può essere accostata a cocett fsc d puto d equlbro o cetro d gravtà.,, 8, 8, 10, 10, 10, 15, 15, 18,
22 Dato che la somma delle devazo dalla meda è uguale a zero, se usamo la meda per dovare l valore d u osservazoe tratta a caso dal campoe, allora la meda degl error segat delle ostre stme sarà uguale a zero.
23 MEDIA GEOMETRICA G 1 log G log 1 La meda geometrca è pù sesble della meda artmetca alle varazo d testà pù pccole, e meo sesble alle varazo d testà pù elevate (es. p. 51). 3
24 . ovvamete, può essere usata solo per valor x postv. 4
25 INDICI DI POSIZIONE 5
26 INDICI DI POSIZIONE Quatl Ragh percetl Put z 6
27 Quatl I quatl s rferscoo ad ua suddvsoe part ugual de dat ordat. Ua suddvsoe de dat ordat 4 class avet frequeze ugual produce quartl. m max Il prmo quartle è l utà d osservazoe che ha la propretà d avere sotto d sé u quarto de dat della dstrbuzoe. Il secodo quartle è uguale alla medaa. 7
28 Ua suddvsoe de dat ordat 10 class avet uguale frequeza produce decl. Il prmo decle è l utà d osservazoe che ha la propretà d avere sotto d sé u decmo de dat della dstrbuzoe. Ua suddvsoe 100 class d frequeza uguale de dat ordat produce cetl. Il prmo cetle è l utà d osservazoe che ha la propretà d avere sotto d sé u cetesmo de dat della dstrbuzoe. 8
29 Per calcolare quatl s usa lo stesso procedmeto usato per l calcolo della medaa. Per calcolare l 4 percetle, per esempo, s ordao dat seso crescete, e s determa se esste u valore che abba sotto d sé l 4% de dat della dstrbuzoe. Se tale valore o esste, ua procedura d terpolazoe leare vee usata per trovare l valore esatto del percetle cercato. 9
30 Ragh percetl S defsce rago R d ua data utà d osservazoe l umero che dca la poszoe che quell osservazoe occupa ell seme ordato a cu appartee. Es. R 30 sgfca che l osservazoe questoe occupa l tretesmo posto ella sere ordata delle osservazo che costtuscoo l campoe. I ragh percetl s calcolao come: R p ( x) 100 Dove k è l umero d osservazo co valore more o uguale a. k 30
31 Put z o put stadard z s I put z c dcoo quate devazo stardard separao l osservazoe cosderata dalla meda. La dstrbuzoe de putegg stadardzzat ha sempre meda uguale a zero e devazoe stadard uguale a 1. La trasformazoe put z o camba la forma della dstrbuzoe. 31
32 Dmostrazoe d z 0 z z s z 1 ( ) s 0 3
33 Statstche descrttve Puteggo Puteggo z Vald (lstwse) N Meda Varaza Asmmetra Curtos Statstca Statstca Statstca Statstca Errore std Statstca Errore std 48 10,00 6,766,038,343 -,961, ,9E-16 1,000,038,343 -,961,
34 MISURE DI DISPERSIONE 34
35 Le msure d dspersoe esprmoo la tedeza delle sgole osservazo d ua dstrbuzoe d allotaars dalla tedeza cetrale, ovvero la varabltà de dat. La dspersoe esprme la botà o la povertà della tedeza cetrale quale descrttore d ua dstrbuzoe. [7, 8, 10, 1, 13] [1,, 10, 18, 19] 35
36 36
37 Come s può quatfcare la varabltà d ua dstrbuzoe? 37
38 GAMMA (CAMPO DI VARIABILITA ) Gamma max - m [5,, 7, 11, 3, 6, ] Gamma
39 DIFFERENZA INTERQUARTILICA DQ Q 3 - Q 1 SEMIDIFFERENZA INTERQUARTILICA SQ Q Q
40 VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD 40
41 Lo scarto tra cascua osservazoe d ua dstrbuzoe e la meda è dato da: d S potrebbe pesare che l dce pù semplce per descrvere la varabltà de dat sa la meda degl scart dalla meda. Problema: ( ) d 0 Soluzoe: elevare gl scart al quadrato 41
42 Varaza: meda degl scart dalla meda elevat al quadrato. S 1 ( ) 4
43 Esempo d calcolo della varaza 43
44 44 [, 3, 6, 9, 15] ) (15 7) (9 7) (6 7) (3 7) ( S 5 (8) () 1) ( 4) ( 5) ( S S
45 Devazoe stadard: radce quadrata della varaza. S 1 ( ) 45
46 S 1 ( ) S
47 47 ( ) S Formula alteratva per la varaza + + S + S + S
48 S ( ) 48
49 ESERCIZIO Per seguet dat, calcolate la meda, la varaza e la devazoe stadard. Per l calcolo della varaza usate etrambe le formule presetate precedeza
50 I precedeza abbamo defto u puto z come z s e abbamo dmostrato che la meda d ua dstrbuzoe stadardzzata è uguale a 0. z z 1 ( ) s s 0 50
51 Dmostramo adesso che la varaza d ua dstrbuzoe stadardzzata è uguale a 1. S z ( z z ) z S z ( ) S S S 1 S z 1 51
52 Esempo umerco d calcolo della meda e della varaza d ua dstrbuzoe stadardzzata [, 3, 6, 9, 15] 5
53 S sqrt() z 1 (-7)/S z (3-7)/S Meda (z 1 + z + z 3 + z 4 + z 5 + )/5 0 z 3 (6-7)/S z 4 (9-7)/S z 5 (15-7)/S Varaza (z 1^+ z ^+ z 3^+ z 4^+ z 5^)/5 1 53
54 Perché la varaza è calcolata e term degl scart delle sgole osservazo dalla meda, azché da altre msure d tedeza cetrale? La varaza assume l more valore possble quado vee calcolata a partre dalla meda. Il metodo che ha la propretà d mmzzare la somma delle devazo al quadrato è detto prcpo de mm quadrat. 54
55 55 ( ) C S C ( ) ( ) ( ) + C S C ( ) ( )( ) ( ) + + C C S C ( ) ( ) ( ) ( ) + + C C S C
56 S C ( ) + ( C ) ( ) ( ) C + S C ( ) + ( ) 0 + C S C S + ( C ) Dato che ( C) è elevato al quadrato, deve essere maggore o uguale a zero. D cosegueza, sarà maggore o uguale a S. S C 56
57 COEFFICIENTE DI VARIAZIONE Il coeffcete d varazoe è defto come l rapporto tra la devazoe stadard e la meda: V S L dce d varaza relatva è uguale al quadrato del coeffcete d varazoe: V rel S 57
58 MISURE DI FORMA Le dstrbuzo d frequeza umodal possoo essere smmetrche, asmmetrche postve o asmmetrche egatve, co dvers grad d curtos (dstrbuzo mesocurtche, platcurtche, leptocurtche). Come s può quatfcare l grado d asmmetra e d curtos d ua dstrbuzoe? 58
59 ASIMMETRIA 59
60 Asmmetra postva: moda medaa meda Meda - medaa > 0 moda medaa meda 60
61 Asmmetra egatva: meda medaa moda Meda - medaa < 0 meda medaa moda 61
62 MISURE ASSOLUTE DI ASIMMETRIA 6
63 (1) La dffereza tra la meda e la medaa, e tra la meda e la moda. Queste dffereze sarao egatve el caso d asmmetra egatva, ulle el caso d smmetra, e postve el caso d asmmetra postva. 63
64 () La dffereza tra la medaa e due quartl: ( Q Md) ( Md ) 3 Q 1 Questa dffereza sarà egatva el caso d asmmetra egatva, ulla el caso d smmetra, e postva el caso d asmmetra postva. 64
65 (3) Il mometo cetrale d terzo orde. S defscoo come momet cetral d orde r, valor m r : m r 1 ( ) r Il mometo d secodo orde è la varaza. Il mometo d terzo orde è egatvo el caso d asmmetra egatva, ullo el caso d smmetra, e postvo el caso d asmmetra postva. 65
66 MISURE RELATIVE DI ASIMMETRIA 66
67 Le dffereze (1) e () rapportate alla devazoe stadard. L dce g 1 d Fsher: m g 3 1 m 3 m S 3 3 L dce g 1 è egatvo el caso d asmmetra egatva, ullo el caso d smmetra, e postvo el caso d asmmetra postva. 67
68 Il grado d asmmetra è trascurable se 0 < g1 < 1 Il grado d asmmetra è moderato se 1 < g 1 < 1 Il grado d asmmetra è elevato se g 1 > 1 68
69 Ua dstrbuzoe smmetrca ha: (1) meda uguale a zero? () varaza uguale a zero? (3) asmmetra uguale a zero? I ua dstrbuzoe smmetrca, qual soo ugual? (1) la meda e la medaa () la meda e la moda (3) la medaa e la moda (4) tutte le precedet 69
70 CURTOSI 70
71 La forma d ua dstrbuzoe, oltre che da momet, dpede dal grado d addesameto de valor attoro alla meda. La msura d questo addesameto s chama curtos. 71
72 Il grado d curtos s msura soltamete medate l dce g d Fsher: g 4 m m 3 L dce g è uguale a zero el caso della curva ormale, o gaussaa, è maggore d zero per curve pù accetrate della ormale (leptocurtche), è more d zero per curve meo accetrate della ormale (platcurtche). 7
73 Le seguet dstrbuzo hao uguale varaza, stesso grado d asmmetra, ma dverso grado d curtos. 73
74 MISURE DI TENDENZA CENTRALE RELAZIONE TRA MISURE DI TENDENZA CENTRALE E CURVE DI FREQUENZA INDICI DI POSIZIONE MISURE DI DISPERSIONE MISURE DI FORMA 74
Lezione 4. La Variabilità. Lezione 4 1
Lezoe 4 La Varabltà Lezoe 4 1 Defzoe U valore medo, comuque calcolato, o è suffcete a rappresetare l seme delle osservazo effettuate (o l seme de valor assut dalla varable statstca); è ecessaro qud affacare
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