per il controllo qualità in campo tessile ing. Piero Di Girolamo

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1 edtg project M.R. Oofro ELEMENTI DI STATISTICA per l cotrollo qualtà campo tessle g. Pero D Grolamo

2 prefazoe PREFAZIONE I l cotrollo d qualtà el tessle-abbglameto, u sstema ecoomco globalzzato, che da u ecooma d scala, è sempre d pù avvato verso u ecooma della flessbltà, della qualtà e dell eccelleza, assume sempre d pù mportaza determate. Og tpo d prova vee eseguta secodo orme azoal, europee o terazoal. Nelle page che seguoo vegoo rportate le prcpal formule per l applcazoe de metod statstc, per poter asscurare al settore tessle u processo costate d ovazoe gl strumet teorc dspesabl per l matemeto e l mglorameto della compettvtà su mercat e garatre la qualtà come strumeto strategco d gestoe azedale. Allo scopo s rede ecessaro codurre gl operator verso la mplemetazoe d u modo uovo d pesare e gestre la produzoe e a procedere ella drezoe costtutva della dscpla, stoa co process d ovazoe, cercado d attgere da tutte le possbl fot d coosceza. Ife, desdero esprmere u vvo rgrazameto alla Presde dr.ssa Aa Coragga per averm sosteuto per l edtg/graphc project, alla collega Romaa Gormold, per averm coraggato a preparare degl apput per gl studet del corso d tesstura, sa duro che serale, e al dr. Fracesco Gatt per averm cosetto d allegare ua prova eseguta al damometro elettroco, e laborator del Tessle d Como 1 da Lu dretto. Gl esemp rportat spero sao suffcet a far compredere agl studet cocett espost e le metodologe segut per cotroll. 1 Laboratoro d Prova: Creato per offrre all utete ua sera e approfodta cosuleza sulla qualtà del prodotto tramte l elevata competeza e professoaltà dello staff tecco, l Laboratoro d Prova del Tessle d Como è ogg uo de pù attrezzat e complet del settore, sa a lvello azoale che terazoale. Apparecchature all avaguarda permettoo d esegure tutte le pù mportat prove (dverse cetaa) e determazo tecologche, fsche, meccache, chmche e ttoral su tessl e su prodott utlzzat ell dustra tessle, e d effettuare determazo de parametr d caratterzzazoe ecotosscologca e aals d dfettostà co rlasco d relazo tecche utlzzabl ell ambto d Certfcazoe del Prodotto.

3 3 troduzoe INTRODUZIONE P er statstca s tedeva orge la raccolta d dat demografc ed ecoomc d vtale teresse per lo stato. Da quel modesto zo essa s è svluppata u metodo scetfco d aals ora applcata a molte sceze, socal, atural, medche, gegerstche, ed è uo de ram pù mportat della matematca. Come esempo d dage statstca s cosder l seguete problema. Prma d og elezoe gl ext-poll tetao d dvduare quale sarà la proporzoe della popolazoe che voterà per cascua lsta: ovvamete o è possble tervstare tutt votat e qud s scegle come alteratva u campoe d qualche mglaa d utà, ella speraza che la proporzoe campoara sa ua buoa stma della proporzoe relatva alla popolazoe totale. Se l campoe è stato scelto correttamete e co crter adeguat s possoo avere fort speraze che la proporzoe campoara sarà crca uguale alla corrspodete proporzoe della popolazoe. Questo c cosete d stmare la proporzoe cogta P dell tera popolazoe medate la proporzoe p del campoe osservato: P = p ± e dove e dca u errore. La stma o è fatta co certezza; s deve coè ammettere la possbltà d essere cors u errore, poché può essere stato scelto u campoe o molto rappresetatvo: tale crcostaza la coclusoe potrebbe essere errata; s può percò avere soltato u certo grado d fduca elle cocluso. Le cocluso statstche duque soo sempre accompagate da u certo grado d certezza.

4 4 troduzoe Altr esemp d dage statstca possoo essere: l cesmeto della popolazoe talaa fatto dall ISTAT, lo studo d campo d pezz prodott da u azeda per l cotrollo della qualtà meda del prodotto, la spermetazoe d u uovo farmaco su u gruppo d persoe volotare. La statstca s può duque vedere come lo studo delle popolazo, lo studo della varazoe fra gl dvdu della popolazoe, lo studo de metod d rduzoe de dat. Le popolazo d cu s occupa la statstca o soo solo le popolazo umae come l esempo potrebbe far pesare. Le popolazo soo tese come aggregat d dvdu o ecessaramete vvet o materal: ad esempo, se s effettua u certo umero d msure, l seme de rsultat costtusce ua popolazoe d msure. Le popolazo che soo oggetto dello studo statstco evdezao sempre delle varazo al loro tero, ossa gl dvdu che le costtuscoo o soo tutt detc: compto della statstca è lo studo d tal varazo e d rdurre l volume de dat osservat, esprmedo l formazoe rlevate coteuta tal dat per mezzo d grafc e dcator umerc.

5 5 l cotrollo dustrale IL CONTROLLO INDUSTRIALE I cotroll tecc soo d vtale mportaza per l dustra e soo esegut: sulle merc (grezze o lavorate) che etrao ello stablmeto per verfcare se corrspodoo a dat cotrattual stablt; su prodott lavorazoe, per rdurre l pù possble gl scart; su prodott ft (collaud). I prm due tp d cotrollo hao ua motvazoe ecoomca e soo fatt ell teresse dell azeda. Il terzo tpo vee fatto dall azeda ell teresse del clete, per garatrgl ua fortura corrspodete alle promesse. Ne collaud è comuque ovvo l teresse dretto dell azeda per l buo ome de suo prodott. Come esemp cocret el campo tessle s possoo ctare rspettvamete la stma della fezza meda d u lotto d laa e la verfca, medate collaudo, della corrspodeza del ttolo d ua partta d flato rspetto al omale dcharato. I etramb cas, oggetto d msura è u umero d elemet, fbre o spole, estremamete lmtato rspetto all ettà del lotto o della partta.

6 6 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E RELATIVI GRAFICI Q uado s raccolgoo de dat su ua popolazoe o su u campoe, valor otteut s presetao come u seme d dat dsordat; dat che o soo stat orgazzat, stetzzat o elaborat qualche modo soo chamat dat grezz. Descrveremo alcue tecche per orgazzare e stetzzare dat modo da poter evdezare le loro caratterstche mportat e dvduare le formazo da ess forte. I questo cotesto o è mportate se tal dat costtuscoo l tera popolazoe o u campoe estratto da essa. Cosderamo seguet esemp. Esempo 1 Rlevado co uo strumeto d msurazoe l umero d partcelle cosmche 40 perod cosecutv d u muto s ottegoo seguet dat Tabella 1 Esempo I seguet dat soo l rsultato d 80 determazo, ua data utà d msura, dell emssoe goralera d u gas quate da u mpato dustrale Tabella

7 7 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc Esempo 3 I uo stablmeto vegoo regstrat cas d malfuzoameto d ua maccha utesle cotrollata dal computer, e le loro cause. I dat relatv a u certo mese soo seguet Fluttuazo d tesoe 6 Istabltà del sstema d cotrollo Errore dell operatore 13 Strumeto usurato e o sosttuto Altre cause 5 Totale 48 Tabella 3 I cascuo degl esemp s osserva ua varable che è rspettvamete: l umero d partcelle rlevate u tervallo d u muto; la quattà d gas quate emesso u goro; la causa d u guasto verfcato. Della varable questoe abbamo u seme d osservazo regstrate (egl esemp vale, rspettvamete, 40, 80, 48), che costtuscoo dat da aalzzare. Le varabl oggetto d rlevazo statstche s classfcao el modo seguete: umerche (quattatve) dscrete varabl cotue o umerche (qualtatva) Ua varable s dce umerca se valor che essa assume soo umerc, o umerca altrmet; ua varable umerca s dce dscreta se l seme de valor che essa può assumere è fto, cotua se l seme de valor che essa può assumere è l seme R de umer real o u tervallo I d umer real. Le varabl degl esemp 1 e soo umerche, la varable dell esempo 3 è o umerca.

8 8 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc La varable dell esempo 1 è dscreta, perché l umero d partcelle osservate è sempre u umero tero maggore o uguale a zero; la varable dell esempo è vece cotua, perché la msura della quattà d gas emesso può essere u umero reale postvo qualuque. Per studare dat degl esemp precedet dvdamo dat stess class e determamo l umero d dvdu apparteet a cascua classe, detto frequeza della classe. Costruamo po la tabella d dstrbuzoe della frequeza, ossa ua tabella che raccogle dat secodo le class e le corrspodet frequeze. Esempo 4 Varabl umerche dscrete Nell esempo 1 la varable x osservata è ua varable umerca dscreta, che può assumere solo valor ter; poché valor assut soo umer ter 0, 1,, 3, 4, 5, 8, è aturale sceglere come class umer k = 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e cotare per og classe l umero d osservazo cu soo state rlevate esattamete k partcelle. I questo modo s costrusce la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza. Nella tabella la prma coloa dca la classe; la secoda la frequeza assoluta, detta ache semplcemete frequeza d classe, ossa l umero d osservazo che cadoo cascua classe. Classe Freq. assoluta Totale 40 Tabella 4

9 9 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc Nel caso della varable dscreta dell esempo 4, base alla tabella 4 della dstrbuzoe d frequeza, s può traccare l dagramma a barre rportato ella fg.1, otteuto dsegado rettagol co le bas cetrate el valore che defsce la classe e rportado ordata la frequeza assoluta Fg. 1 Esempo 5 Varabl umerche cotue Nell esempo la varable osservata è cotua. I valor de dat soo compres tra 6, e 31,8; l campo d varazoe R o rage de dat, coè la dffereza tra l pù grade e l pù pccolo, vale: R = 31,8 6, = 5,6 Sceglamo come class 7 tervall seguet apert a destra: Classe Freq. assoluta 5 x < x < x < x < x < x < x < 33 Totale 80 Tabella 5

10 10 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc Ua volta che dat soo stat raggruppat, cascu valore esatto de dat o è pù utlzzato: s rappresetao tutt dat apparteet ad ua certa classe co l suo puto medo, detto valore cetrale della classe. Il modo d sceglere le class o è uco: potremmo sceglere u umero dfferete d class, o class co estrem dvers; og caso le class o devoo sovrappors e devoo coteere tutt dat. L stogramma (altro modo molto usato per rappresetare grafcamete le formazo coteute ua tabella d dstrbuzoe d frequeza) corrspodete alla dstrbuzoe d frequeza studata ell esempo 5 (tabella 5) è quello della fg. e cosste u seme d rettagol adacet. Le bas de rettagol hao put med e valor cetral delle class; ordata è rportata la frequeza assoluta. Classe Valor cetral Freq. assoluta 5 x < x < x < x < x < x < x < Totale Tabella 6 Fg. Ua dstrbuzoe d frequeza può essere rappresetata grafcamete ache co u altro tpo d grafco: l polgoo d frequeza. Tale polgoo s ottee uedo fra loro put avet come ascssa l valore cetrale d og classe e come ordata l corrspodete valore d frequeza. Nella fg.3 rappresetamo l polgoo d frequeza per dat della tabella 6. La fg.4 rporta l polgoo d frequeza sovrapposto all stogramma della fg.3; questo grafco cosete d vedere, per lo stesso seme d dat, la relazoe fra due tp d grafco.

11 11 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc Fg. 3 Fg. 4 Suppoamo d prelevare da ua produzoe d tessut 15 campo costtut cascuo da 4 provette d tessuto e d sottoporre queste ultme ad ua prova d trazoe. I fg.5/a è rportato u esempo d come potrebbero presetars carch d rottura e dvers grupp; a prma vsta elle 15 sere d dat o s osserva essua partcolartà per quato rguarda la poszoe de rsultat lugo l asse de carch d rottura, az s ha l mpressoe d u assoluta rregolartà. Se però s ruscoo seme, ad esempo, dat de prm 5 grupp come fg.5/b, ovvero secod 5 come fg.5/c e s casellao 0 rsultat class d 1 kg cascua, s comca gà ad travedere u addesameto de put ua porzoe cetrale ed ua rarefazoe agl estrem; la cofgurazoe de due d 0 rsultat è aturalmete dversa, come è da atteders per campo così pccol. Il raggruppameto ulterore d tutt 60 dat come ella fg.5/d, cosolda la forma d questa dstrbuzoe apputta avvcadola ad ua cofgurazoe dotata d regolartà e smmetra; dspoedo d moltssm dat s sarebbe avuta ua dstrbuzoe co adameto pressoché cocdete co quella della curva tratteggata fg.5/d. Questa curva preseta u addesameto decso de valor toro al cetro ed ua rarefazoe agl estrem; la statstca c forsce l modello teorco per la curva d fg.5/d: la dstrbuzoe ormale o d Gauss, che storcamete fu mpegata per lo studo degl error d msura.

12 1 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc a Fg. 6 La dstrbuzoe ormale b c d Fg. 7 Dstrbuzo ormal che dfferscoo: a. per la meda b. per lo scarto c. per ambedue parametr. Fg. 5 Carco d rottura d provette rcavate da tessuto La gradssma maggoraza delle dstrbuzo d caratterstche tessl s terpreta molto bee co la dstrbuzoe ormale che costtusce u utle modello. Ua dstrbuzoe ormale è completamete cooscuta quado sao ote due sole gradezze: la meda e lo scarto tpo σ. Come s osserva ella fg.6 la meda è

13 13 dstrbuzoe d frequeza e relatv grafc l ascssa dell ordata massma (vertce della curva), lo scarto tpo equvale al segmeto d ascssa delmtato dalle proezo de put d flesso (sstro e destro) dalla meda. I fg.7 soo rportate dstrbuzo ormal che dfferscoo tra loro per la meda, per lo scarto tpo o per ambedue parametr; s potrà otare come ad u valore pù elevato dello scarto tpo corrspoda ua maggore dspersoe ella dstrbuzoe de dat. La dstrbuzoe ormale gode della seguete propretà. Se ua certa msura appartee ad ua popolazoe che segue la legge ormale s ha ua probabltà del: 68,7% che essa o s dscost dalla meda u seso o ell altro per pù d uo scarto tpo; 95,45% che essa o s dscost dalla meda per pù d due volte lo scarto tpo; 99,73% che essa o s dscost dalla meda per pù d tre volte lo scarto tpo. Ua probabltà del 99,73% è molto vco alla certezza, e rsulta pertato che pratca ua dstrbuzoe ormale la totaltà delle osservazo è compresa u tervallo par a se volte lo scarto tpo.

14 14 parametr ver ua popolazoe PARAMETRI VERI DI UNA POPOLAZIONE S e s osservao tutt gl elemet d ua popolazoe s può rcavare la meda vera X della popolazoe co la formula: X x = = 1 dove co x soo state dcate le sgole osservazo. Lo scarto tpo vero σ della popolazoe è espresso dalla relazoe: σ = = 1 ( x X ) l quadrato dello scarto tpo σ è detto varaza vera della popolazoe. Lo scarto medo y è la meda semplce degl scart dalla meda x pres valore assoluto: y = = 1 x x L rregolartà leare I è l rapporto % tra lo scarto medo e la meda: I y = 100 x Il coeffcete d varazoe percetuale vero CV è dato dal rapporto tra lo scarto tpo vero σ e la meda vera X moltplcat per 100. CV σ = 100 X

15 15 parametr ver ua popolazoe DISTRIBUZIONE NORMALE O DI GAUSS Fra le destà d probabltà cotue, la pù mportate è la destà d probabltà ormale, d solto detta semplcemete dstrbuzoe ormale o ache dstrbuzoe d Gauss, oore del matematco Carl Fredrch Gauss ( ), che dede mportat cotrbut allo studo d questa dstrbuzoe. Le msure d ua gradezza (varable aleatora) s dstrbuscoo secodo la curva d Gauss se u umero molto grade d cause, dpedet fra loro, flueza la msura della varable e l effetto d og causa è molto pccolo rspetto alla somma d tutt gl effett preset; questo avvee ua produzoe dustrale cotrollata. La dstrbuzoe d probabltà d Gauss ha ua forma a campaa ed è smmetrca rspetto al valore medo (fgura 8). La destà d probabltà ormale, o dstrbuzoe ormale o d Gauss, è defta dalla fuzoe: f 1 x x 1 ( ) σ ( x) = e σ π Fg. 8 f(x) x x S dmostra che x e σ soo rspettvamete l valore medo e lo scarto quadratco medo della varable aleatora x dstrbuta secodo la dstrbuzoe ormale. Il massmo valore della fuzoe vee assuto el puto d ascssa x ed è 1 y max = ed è versamete proporzoale a σ. σ π

16 16 parametr ver ua popolazoe La dstrbuzoe ormale è completamete dvduata da parametr x e σ, ossa corrspodeza d og valore d x e σ rmae specfcata ua dversa curva ormale. Pù grade è σ, maggore sarà l accuratezza della msura. Nella fg. 9 s rportao grafc della dstrbuzoe ormale per u dato valore d x e per dvers valor d σ: a partà d valor medo le varazo della forma caratterstca a campaa della curva dpedoo essezalmete dal valore dello scarto quadratco medo, che dà formazo su come valor soo pù o meo cocetrat toro alla meda: fatt facedo varare σ s ottegoo curve pù o meo appattte. Nella fg.10 s rportao vece grafc della dstrbuzoe ormale per u dato valore d σ e per dvers valor d x: questo caso le varazo del valore d x comportao solo ua traslazoe della curva. f(x) 0. 8 σ = 0.5 x = f(x) 0.4 σ = Fg. 9 σ = 1 σ = x x=3 x = x = x Fg. 10

17 17 dc d poszoe e d dspersoe INDICI DI POSIZIONE E DI DISPERSIONE D efamo alcu dc umerc utl per descrvere de dat umerc e la loro dstrbuzoe d frequeza; tal dc predoo l ome d meda, medaa, moda, varaza e scarto quadratco medo o devazoe stadard e msurao l cetro e la dspersoe de dat. S osservo seguet stogramm d fg.11: Fg. 11 Il prmo grafco mostra ua dstrbuzoe smmetrca, cetrata attoro a 4, valore per cu la frequeza è massma; la secoda dstrbuzoe è acora cetrata attoro a 4, ma per valor lota da 4 le frequeze soo pccole; la terza dstrbuzoe o è smmetrca, ma ha ua coda a destra pù luga che a sstra; la quarta è decrescete e o smmetrca, co alcu valor dspers lotao dagl altr. Gl dc che trodurremo servoo per msurare quattatvamete alcue delle caratterstche osservate qualtatvamete quest grafc esemplfcatv.

18 18 dc d poszoe e d dspersoe Defzoe 1 S defsce meda artmetca o meda campoara d dat x 1, x,.. x la quattà 1 x = = 1 x S cosder u seme d dat x 1, x,.. x e le defzo ad ess relatv. Il valore x costtusce ua stma della meda vera X. Per og valore x della varable x s defsce lo scarto dalla meda: s = x x che dca l grado scostameto del sgolo valore x dalla meda x. S dmostra faclmete che la somma S degl scart dalla meda è ulla. Ifatt: S = s = ( x x) = x x = 1 = 1 = 1 = 1 = x x = 0 Esempo 6 Meda de dat x = 5 = 14.

19 19 dc d poszoe e d dspersoe Defzoe La medaa M d u seme d dat ordat orde d gradezza crescete è l valore cetrale de dat, se l umero d dat è dspar, o la meda artmetca de due valor cetral, se l umero de dat è par. Questa defzoe della medaa asscura che lo stesso umero d dat cade sa a sstra che a destra della medaa stessa. L uso della medaa come dce per descrvere le caratterstche de dat ha lo svataggo d dover prma rordare dat orde crescete. Esempo 7 a. Medaa de dat Dat ordat orde crescete Medaa b. Medaa de dat Dat ordat orde crescete M = Medaa M = = 13 U ulterore dce utle è la moda, deotata co ~ x. Defzoe 3 La moda ~ x d u seme d dat è l valore o la classe a cu corrspode la massma frequeza assoluta.

20 0 dc d poszoe e d dspersoe La moda può o esstere o o essere uca; quado è uca, la dstrbuzoe è detta umodale, quado c soo pù mode è detta bmodale o multmodale. Esempo 8 a. Moda dell seme d dat L seme ha moda x ~ = 7. 3, 3, 5, 4, 7, 7, 7, 9,, 1 b. Moda dell seme d dat L seme ha due mode x ~ = 3 e x ~ = 7. 3, 3, 3, 5, 4, 7, 7, 7, 9,, 1 c. L seme d dat 3, 5, 4, 7, 8, 6, 9,, 1 o ha moda, perché og dato s preseta ua sola volta. L ultmo caso mette rlevo u problema:la moda o è utle quado dat soo tat e per la maggor parte dvers tra loro; tal cas la moda può o esstere o essere lotaa dal cetro dell seme de dat. Per questa ragoe la moda è poco utlzzata. Meda, medaa e moda soo dett dc d poszoe o dc d tedeza cetrale, perché descrvoo attoro a quale valore è cetrato l seme de dat. La medaa è preferble alla meda quado s vogloo elmare gl effett d valor estrem molto dvers dagl altr dat: la ragoe è che la medaa o utlzza tutt dat, ma solo l dato cetrale o due dat cetral.

21 1 dc d poszoe e d dspersoe Esempo 9 Sa dato l seguete seme d 0 dat, che rappresetao l peso alla ascta ( g) d 0 bamb at ua settmaa ua clca Tabella 7 La meda de dat è ( ) x = = 341g 0 S può osservare che 9 dat soo mor della meda e 11 maggor. Come gà osservato, uo de lmt della meda come msura della tedeza cetrale è che essa è molto sesble a valor de dat che cadoo agl estrem dell tervallo d varabltà; questo seso può o rappresetare bee la collocazoe de dat. Se ad esempo l prmo bambo fosse u ato prematuro del peso d 500 g, la meda avrebbe l valore x = 310 g e tal caso 7 dat sarebbero mor della meda e 13 maggor. La medaa questo caso è M = 345 Metre per l seme d dat assegat zalmete è M = 355

22 dc d poszoe e d dspersoe L esempo mostra che c è sempre u rscho a rassumere u seme d dat co u sgolo umero. Gl dc d poszoe o tegoo coto della varabltà esstete fra dat; v soo dstrbuzo che, pur avedo la stessa meda, soo molto dverse fra loro. I dat de seguet sem hao la stessa meda ( x = 60 ) A = ( ) B = ( ) C = ( ) Ma gl sem soo molto dvers; l prmo è composto da dat tutt ugual, metre l secodo preseta la maggor dffereza tra l valore mmo e l valore massmo. Idc sgfcatv per la msura della varabltà d ua dstrbuzoe d frequeza soo la varaza e lo scarto quadratco medo, detto ache devazoe stadard. Defzoe 4 S defsce varaza, o ache varaza campoara, la quattà dove x dca la meda de dat. s 1 = 1 = l ( ) x x Defzoe 5 S defsce scarto quadratco medo o devazoe stadard la radce quadrata della varaza. s = 1 1 ( x x) = 1

23 3 dc d poszoe e d dspersoe Lo scarto quadratco medo o scarto tpo o devazoe stadard costtusce ua stma corretta dello scarto tpo vero σ della popolazoe da cu è stato estratto l campoe. Ne calcol pratc per determare la sommatora presete ella radce quadrata covee servrs della seguete dettà algebrca: ( x x) = x ( x ) per cu le espresso dello scarto tpo dvetao: 1 s = x 1 1 s = x ( x ) ( x ) se 30 se > 30 Lo scarto quadratco medo è detto dce d dspersoe o dce d varabltà, perché msura la dspersoe de dat attoro alla meda. I valor d s es, poché msurao l effettva varazoe assoluta presete u seme d dat, dpedoo dall utà d msura degl stess. I partcolare lo scarto quadratco medo s msura la dspersoe de dat co la stessa utà d msura della meda de dat, cosa che o accadrebbe co la varaza; questa è la ragoe prcpale per cu lo scarto quadratco medo è pù usato della varaza. La meda e lo scarto quadratco medo soo due dc d poszoe e d dspersoe pù usat; uo de motv prcpal è che la dstrbuzoe ormale è defta term d quest due parametr.

24 4 dc d poszoe e d dspersoe Esempo 10 I seguet dat soo temp d esecuzoe d ua certa operazoe msurat mut: 0,6 1, 0,9 1,0 0,6 0,8 Calcolamo la meda e la devazoe stadard. x = 0, 6 + 1, + 0,9 + 1, , 6 + 0,8 = 0,85 mut Per la devazoe stadard s dspogoo dat ella seguete tabella 8: x ( x x) 0,6 0,065 1, 0,15 0,9 0,005 1,0 0,05 0,6 0,065 0,8 0,005 Totale 0,750 Tabella 8 ( x x s = 1 ) 0,750 = = 0, mut Esempo 11 Per la partecpazoe a ua gara d matematca ua scuola deve formare ua squadra d 6 studet; co ua selezoe prelmare, attraverso u test co u puteggo massmo d 100 put, sulla base della meda de mglor 6 putegg rsultao tre squadre a par merto. Co quale crtero può essere scelta la squadra da madare alla gara? Squadra Putegg degl studet A B C Tabella 9

25 5 dc d poszoe e d dspersoe La somma de putegg otteut da cascua squadra è 489; la meda artmetca per le tre squadre vale x = 81,5 e o è qud u crtero utlzzable per scelta; calcolamo lo scarto quadratco medo: squadra A squadra B squadra C x x x x x x Tabella 10 Squadra A Squadra B Squadra C s = x 1 ( x ) 1 = s = x 1 ( x ) = s = x 1 ( x ) = = 7,06 = 7,6 = 7,8 Squadra Scarto quadratco medo A 7,06 B 7,6 C 7,8 Tabella 11

26 6 dc d poszoe e d dspersoe Utlzzado l crtero dello scarto quadratco medo, la squadra da vare alla gara è la squadra A, che ha l more scarto quadratco medo. Esempo 1 I vot tretesm rportat da 5 studet u esame soo rportat ella seguete tabella. Idvduare qual studet s dscostao dal voto medo per pù d ua volta oppure due volte lo scarto quadratco medo. Numero studete Voto Numero studete Tabella Voto Elaborado dat s ottegoo seguet rsultat: x = 1,40 s = 6,1 x s = 15,19 x + s = 7,61 x s = 8,98 x + s = 33,8 Tutt vot appartegoo all tervallo [ x s, x + s], coè o v è essu voto che s dscosta dalla meda per pù d due volte lo scarto quadratco medo; c soo

27 7 dc d poszoe e d dspersoe vece 11 vot che o appartegoo all tervallo [ x s, x + s ], ossa s dscostao dalla meda per pù d ua volta lo scarto quadratco medo. Per rappresetare la stuazoe può essere utle u dagramma (fgura 1), co l quale s dvduao pù faclmete gl studet che retrao ella fasca delmtata da valor x s, x + s. x med + s x med + s x med x med s x med s Fg.1 Defzoe 6 Il coeffcete d varazoe CV è defto da: s CV = 100% x

28 8 dc d poszoe e d dspersoe Il coeffcete d varazoe esprme lo scarto quadratco medo come percetuale della meda ed è dpedete dall utà d msura usata, poché la meda e lo scarto quadratco medo soo espress ella stessa utà d msura (c dca se ua dstrbuzoe è pù varable d u altra rspetto alla meda). Esempo 13 Sa dato u campoe d 00 pacch d cu soo ot l peso e l volume. Calcolado la meda e lo scarto quadratco medo delle due msure s ottegoo seguet valor: Peso medo: Scarto quadratco medo del peso: x p = 9Kg s p = 1, 5Kg Volume medo: Scarto quadratco medo del volume: x v =,7m s v = 0,6m 3 3 Cofrotare la varabltà del peso e del volume e dre quale de due è pù varable rspetto alla meda. Sccome l peso ed l volume soo espress utà d msura dverse, occorre predere cosderazoe la varabltà relatva delle osservazo, calcolado l coeffcete d varazoe. Per l peso l coeffcete d varazoe è: CV 1,5 = 100% = 16,67% 9 Per l volume l coeffcete d varazoe è: CV = 0,6 100% =,%,7

29 9 dc d poszoe e d dspersoe Pertato, rspetto alla meda, l volume de pacch è pù varable del peso. Defzoe 7 Meda geometrca S defsce meda geometrca de valor x, x,... x, quel umero G che 1 sosttuto a valor x (tutt postv e o ull) lasca varato l loro prodotto: x x... x = G G... G = G 1 da cu s rcava la formula della meda geometrca semplce: G = x1 x... x Nel caso d valor x co frequeze o pes y, s ha: x y 1 1 y y y1 y x... x = G G... G y = G y + y +... y 1 da cu s rcava la formula della meda geometrca poderata: N y1 y y G = x1 x... x dove: = N = = 1 y Per l calcolo della meda geometrca s utlzzao formule otteute dalle due defzo precedet medate logartm che le trasformao ua meda artmetca, rspettvamete, semplce e poderata. Usado logartm s ottee: logg = log x1 + log x log x e: logg = y log x y log x N y log x

30 30 dc d poszoe e d dspersoe S utlzza la meda geometrca quado dat varao progressoe geometrca. S dce progressoe geometrca, ua successoe d umer tal che l rapporto fra og terme e l precedete ha sempre lo stesso valore che s dce ragoe. Se la ragoe è maggore d 1, la progressoe s dce crescete (es. 4, 1, 36, 108,. cu la ragoe è 3). La meda geometrca s usa elle prove d flesso-abrasoe su tessut rgd (accoppat) e pell (metodo Bally).

31 31 la stma statstca LA STIMA STATISTICA D ovedo determare per esempo la fezza meda d u lotto (popolazoe) d fbre d laa, sarebbe assolutamete mpesable procedere all aals de dametr d tutte le fbre del lotto, perché s tratterebbe d esamare mlard d fbre. S rcorre allora alla osservazoe d poche cetaa d fbre che rproducao la composzoe del lotto (campoe casualzzato). I tal codzo è possble però effettuare solo ua stma della fezza meda dell tero lotto: è questo l problema cetrale della statstca, la stma de parametr got della popolazoe, qualuque essa sa, medate u campoameto. PRECISIONE DELLA STIMA Gl dc d poszoe e d dspersoe esamat precedetemete c cosetoo d fare delle stme de parametr ver d ua popolazoe e queste avrebbero poco teresse se o s stablsse l grado d precsoe della stma. È ecessaro duque sapere l affdameto d ua stma e determare l tervallo etro l quale, co ua certa probabltà, è coteuto l valore vero del parametro. Il metodo della stma statstca coduce alla determazoe d u toro blaterale ± Δ della meda del campoe, detto tervallo d fduca, tale da coteere la meda vera del lotto co ua probabltà predefta P, grade a pacere. Il lvello d probabltà P può essere scelto a pacere; pratca s possoo usare seguet valor: P = 90% (talvolta ammesso) P = 95% (cosglato) P = 99% L tervallo sopra defto, corrspode alla ozoe tutva d precsoe d ua msura spermetale.

32 3 la stma statstca DETERMINAZIONE DELL INTERVALLO DI FIDUCIA Devoo essere dstt due cas, a secoda che lo scarto tpo vero σ o l coeffcete d varazoe vero CV della dstrbuzoe della caratterstca esame sao ot, oppure debboo essere stmat a partre dalle osservazo. Nel prmo caso l tervallo d fduca vee calcolato medate la formula: uσ Δ = ± Il valore d u da serre ella formula dpede dal lvello d probabltà prescelto: per P = 90% u = 1,645 per P = 95% u = 1,960 per P = 99% u =,576 Nel secodo caso vee usata la stma spermetale dello scarto tpo s, rcavata dalle osservazo, luogo del valore vero, ma goto σ. L tervallo d fduca vee calcolato co la formula: Δ = ± ts dove l fattore t dpede, oltre che dal lvello d probabltà prescelto, dalla umerostà del campoe (tabella 13).

33 33 la stma statstca Tabella 13 Fattore t / Numerostà del campoe P=90% P=95% P=99%

34 34 la stma statstca Esempo 14 Da u lotto d laa s è estratto u campoe, costtuto da 500 fbre. S soo msurat dametr delle 500 fbre co u mcroscopo a proezoe e s è calcolata ua fezza meda del campoe x =,66 μ. Per espereza s coosce che l coeffcete d varazoe del dametro delle fbre d laa è sempre assa vco al 5%, per cu (cosderado co u approssmazoe X = x ) s ha: CV σ = 100 x CV x 5.66 da cu s rcava: σ = = = 5. 66μ Scegledo P = 95%, l tervallo d fduca sarà: uσ Δ = ± = ± 500 = ± 0.50 μ S può cocludere che, co ua probabltà del 95%, la fezza meda vera del lotto d laa cade ell tervallo,66 ± 0,50 μ ovvero ell tervallo d estrem,16 e 3,16 μ Itervallo d fduca Questo tervallo può ache o coteere la meda vera, ma abbamo u grado d fduca del 95% che lo cotega. I altre parole, se applchamo rpetutamete su tutt campo d uguale ampezza estrabl dalla popolazoe la formula precedete per calcolare l tervallo d fduca, l 95% degl tervall d fduca coterrà la meda vera della popolazoe. Esempo 15 Dovedo determare la ressteza alla trazoe d u tessuto s soo fatte = 0 osservazo x, su altrettate provette ed rsultat soo stat rportat espress kg el seguete prospetto (tabella 14):

35 35 la stma statstca Tabella 14 x x x = x = La stma x, della meda vera della popolazoe è: x x = = = 73.90Kg 0 Per la determazoe della stma s dello scarto tpo (o devazoe stadard) effettuamo seguet calcol: ( x x) = x ( x ) 1478 = = kg s = ( x x) = = Σ kg 1 19

36 36 la stma statstca La stma del coeffcete d varazoe è: s CV = = = 6.16 % x L tervallo d fduca, per u lvello d probabltà P = 95%, rsulta: ts Δ = ± = ± = ±.13Kg S può cocludere che la meda vera della ressteza alla trazoe del tessuto esame, co ua probabltà del 95%, cade ell tervallo d estrem 71,77 kg e 76,03 kg Esempo 16 Calcolo per determazoe del ttolo medo, dell rregolartà leare e del coeffcete d varazoe d u flato. Tabella 15 Itervallo d fduca Ttolo Ne Scart dalla meda Quadrat degl scart Applcado le regole defte precedeza s ha:

37 37 la stma statstca Σx 16,8 Ttolo Ne medo = x = = = 1, x x = 1 5,80 Meda degl scart = y = = = 0, y 0,58 Irregolartà leare = = 100 =,67% x 1,68 Σ x x ( ) Devazoe stadard = s = = = 0, s 100 0,6713 Coeffcete d varazoe = CV = = 100 = 3,096% x 1,68 S può osservare che la somma degl scart della meda è uguale a zero; qualora fosse dverso da zero o soo stat commess error d calcolo, oppure s è effettuata u approssmazoe sulla meda. Esempo 17

38 38 la stma statstca Calcolo per la determazoe del dametro medo (fezza), della devazoe stadard, del relatvo coeffcete d varazoe d fbre d laa e dell tervallo d fduca della meda co ua probabltà del 90%, del 95% e del 99%. Tabella 16 Φ μ x Freq. f x f Scart dalla meda Quadrat degl scart dalla meda Quadrat per frequeza I valor della fezza (dametro) soo stat suddvs class e frequeze. La meda è data dal rapporto tra la sommatora de prodott delle mede delle class per le frequeze dvso per l umero delle prove: Σx 438 Meda = x = = = 1,91μ 00 Σ x ( ) Devazo stadard (o scarto tpo) = s = = = 4, 046 x s Coeffcete d varazoe = CV = = 100 = 18,46% x 1,91

39 39 la stma statstca Per determare l tervallo d fduca al 90%, al 95% e al 99% s applca la seguete formula: u s Δ = ± Δ = ± = ± 0.47 Δ = ± = ± 0.56 Δ = ± = ± S può osservare che, restado varata l ampezza del campoe, all aumetare del grado d fduca cresce l ampezza dell tervallo d cofdeza, ossa la stma dveta meo precsa.

40 40 ote su propretà meccache NOTE SU PROPRIETÀ MECCANICHE Forza d rottura (carco d rottura): è la massma forza sopportata da u materale tessle ua prova d trazoe codotta fo a rottura. S esprme cetnewto (cn) per fbra e flat ed Newto (N) per tessut el S.I.. Relazoe tra cetnewto e gramm, Newto e chlogramm cetnewto = gramm٠0,981 Newto = chlogramm٠9,81 Esempo: u flato d ttolo Nm = 40 ha u carco d rottura d 150 g. calcolare l valore cetnewto. cn = 150٠0,981 = 147,15 Elastctà: è la capactà d ua fbra d racqustare le dmeso zal dopo che ha subto ua deformazoe ed è stato elmato l carco che l ha provocata. Allugameto: u materale tessle d lughezza L, posto trazoe dveta L 1 ; l allugameto è dato dalla dffereza L 1 L. Vee espresso mllmetr. Allugameto percetuale: è l allugameto (L 1 L) rapportato alla lughezza zale L del campoe, moltplcato per 100. A % = L1 L 100 L

41 41 ote su propretà meccache Allugameto d rottura: è l allugameto rlevato corrspodeza della forza d rottura. Vee espresso %. Calcolo della meda: avvee calcolado la meda d pù carch d rottura med e de rspettv coeffcet d varazoe. Esempo 18 Su u flato d ttolo N m = 40 soo state fatte due sere d prove damometrche: prove, carco d rottura medo ( F 1 ) = 150 g coeffcete d varazoe (CV 1 ) = 1%, scarto tpo s 1 = 18 g prove, carco d rottura medo ( F ) = 170 g coeffcete d varazoe (CV ) = 18%, scarto tpo s = 30,6 g. S vuole calcolare la meda de carch d rottura med e de coeffcet d varazoe. Il carco d rottura medo è: F1 1 + F F = = = g Per calcolare la meda de coeffcet d varazoe s calcola la meda delle varaze. Le varaze valgoo: la loro meda vale quato segue: s 18 1 = = 34 s 30.6 = = s1 1 + s S = = = 73. 4g

42 4 ote su propretà meccache Lo scarto tpo s ottee estraedo la radce quadrata d S. S = 73.4 = 7. 06g Il coeffcete d varazoe medo: CV = = 16.57% Teactà (o dce d ressteza): dca la capactà d resstere alla trazoe d ua fbra o d u flato. E dato dal rapporto tra la forza d rottura cn ed l ttolo tex. S esprme cn/tex utà S.I.. ESEMPIO 19 Flato d ttolo Nm = 50 (tex 0) ha carco d rottura d 150 g. Calcolare la teactà ,981 = = cn 150 teactà 7,35 = = 7,5gr / tex tex 0 0 Fg. 13

43 43 ote su propretà meccache Lughezza d rottura: rappreseta la lughezza deale d flo, occorrete per produrre la rottura del flo stesso per effetto della forza geerata dal propro peso. S esprme km. R(lughezza d rottura) = = F Nm 1000 dove : F = Forza d rottura gramm; Nm = Ttolo metrco del flato. Esempo 0 Calcolare la lughezza d rottura d u flato Nm = 50 e carco d rottura d 150 g R = = 7, 5km 1000 E da otare che co le utà d msure tradzoal base alle qual forza e peso hao ambedue le dmeso d ua forza, la teactà assume la dmesoe d F lughezza; fatt la teactà è data da ua forza (F), dvsa per l ttolo tex ( ) L (peso dvso lughezza): F teactà = = L F L Il valore d lughezza d rottura km e d teactà cocdoo (come s vede dagl esemp ).

44 44 ote su propretà meccache Lavoro d rottura Rappreseta l eerga rchesta per gugere alla rottura del campoe. Nella fg.13 è rappresetato dall area OAB compresa tra la curva e l asse degl allugamet dvso per L. Essedo l area compresa fra la curva e l asse degl allugamet/l relatvamete smle all area del tragolo OAB, prma approssmazoe l lavoro d rottura vale: L 1 = carco d rottura tex * allugameto lughezza del campoe Fg. 14

45 45 ote su propretà meccache Modulo elastco (d Youg) I fg. 13 s ota che ella parte zale della curva carco/allugameto v è ua relazoe fra carco ed allugameto (tratto rettleo) e s rfersce alla deformazoe del materale tessle a carch bass, coè a carch che corrspodoo alle sollectazo d lavorazoe e d uso. I questo tratto l rapporto tra carco e allugameto è costate e prede l ome d modulo elastco. Il modulo elastco è dato dalla tagete dell agolo compreso tra l tratto rettleo della curva e l asse delle ascsse. Nel tratto rettleo della curva l materale ha u comportameto elastco, coè togledo l carco, l materale rtora alla sua lughezza zale. Dopo questo tratto l materale subsce uo servameto po ua deformazoe plastca e qud la rottura. CARATTERISTICA DINAMOMETRICHE DELLE PRINCIPALI FIBRE Teactà (g/de) Allugameto Modulo d Youg (g/de) ambetato umdo ambetato umdo ambetato Cotoe Lo Laa Vscosa Acetato Polammdca 6: Polestere Polacrlca Tabella 17

46 46 ote su propretà meccache Osservado grafc della fgura 14 s può otare che le curve co tedeza verso l alto dcao ua rgdtà della fbra (es. lo); le curve co tedeza orzzotale dcao ua tedeza alla deformazoe sotto trazoe (es. acetato, laa). L mportaza d cooscere l modulo d Youg è data dal fatto che da esso dpedoo alcue delle prcpal caratterstche de prodott fal, qual la rgdtà e la stabltà dmesoale, che aumetao al suo crescere, metre la resleza (è la capactà che ha u tessuto d rpredere l propro spessore dopo essere stato sottoposto per u certo perodo d tempo ad u determato carco), la ressteza della fbra all asola e al odo, la ressteza alla flessoe, all usura e alla lacerazoe dmuscoo. Le caratterstche damometrche per le vare fbre soo rportate ella tabella 17. ALLEGATI Rsultat d ua prova d trazoe eseguta e laborator del Tessle d Como co damometro elettroco.

47 47 allegat *** DINAMOMETRO ELETTRONICO AUTOMATICO A D F *** - TESSILE DI COMO - LABORATORIO DI PROVA - Veerdì h :18 OPZIONE A - - RIASSUNTO DATI STATISTICI PRINCIPALI Nm = 1000 tex Campoe Numero org pta 1568 Sstema d ttolazoe TEX Ttolo medo 4.84 Lughezza zale del provo 500 mm Veloctà d trazoe 5000 mm/m Fodo scala della forza 5 N Fodo scala dell' allugameto 50 % Forza d pretesoe.4 cn Caduta d forza massma % 5.0 % FS I gramm F Nm = Ttolo metrco 1000 N. PROVE TITOLO FORZA ALLUN. LAVORO TENACITÀ LUNGHEZZA DI ROTTURA TEMPO T. cn % cn*cm cn/te Km sec BOBINA CV % I.C. 95 % + / BOBINA CV % I.C. 95 % +/ BOBINA CV % I.C. 95 % +/ BOBINA CV % I.C. 95 % + / BOBINA CV % I.C. 95 % +/ BOBINA CV % I.C. 95 % +/ BOBINA CV % I.C. 95 % +/ BOBINA CV % I.C. 95 % +/ BOBINA CV % I.C. 95 % +/ BOBINA : LO CV % I.C. 95 % +/ TOTALI COEFF. DI VARIAZ. % INT. CONF. 95 % +/

48 48 allegat *** DINAMOMETRO ELETTRONICO AUTOMATICO A D F *** - TESSILE DI COMO - LABORATORIO DI PROVA - Veerdì h :18 OPZIONE B - ALTRI DATI STATISTICI PARTICOLARI Campoe Numero org pta 1568 Sstema d ttolazoe TEX Ttolo medo 4.84 Lughezza zale del provo 500 mm Velocta' d trazoe 5000 mm/m Fodo scala della forza 5 N Fodo scala dell' allugameto 50 % Forza d pretesoe.4 cn Caduta d forza massma % 5.0 % FS Lmt d plaus. della forza cn Lmt d plaus. dell allug % OLTRE I MODULO FORZA m. FORZA max. ALL. m. ALL. max. LIMITI ( 4. 0 %) cn/tex cn cn % % cn BOBINA BOBINA BOBINA BOBINA BOBINA BOBINA BOBINA BOBINA BOBINA BOBINA TOTALI *** TABULATORE *** ALL % ALL % ALL % ALL % ALL % BOBINA 1 cn BOBINA cn BOBINA 3 cn BOBINA 4 cn BOBINA 5 cn BOBINA 6 cn BOBINA 7 cn BOBINA 8 cn BOBINA 9 cn BOBINA 10 cn TOTALI cn

49 49 allegat *** DINAMOMETRO ELETTRONICO AUTOMATICO A D F *** - TESSILE DI COMO - LABORATORIO DI PROVA - Veerdì h :18 OPZIONE C - DIAGRAMMA LINEARE Campoe Numero org pta 1568 Sstema d ttolazoe TEX Ttolo medo 4.84 Lughezza zale del provo 500 mm Velocta' d trazoe 5000 mm/m Fodo scala della forza 5 N Fodo scala dell' allugameto 50 % Forza d pretesoe.4 cn Caduta d forza massma % 5.0 % FS Lmt d plaus. della forza cn Lmt d plaus. dell allug %

50 50 allegat *** DINAMOMETRO ELETTRONICO AUTOMATICO A D F *** - TESSILE DI COMO - LABORATORIO DI PROVA - Veerdì h :18 OPZIONE C - DIAGRAMMA LINEARE Campoe Numero org pta 1568 Sstema d ttolazoe TEX Ttolo medo 4.84 Lughezza zale del provo 500 mm Velocta' d trazoe 5000 mm/m Fodo scala della forza 5 N Fodo scala dell' allugameto 50 % Forza d pretesoe.4 cn Caduta d forza massma % 5.0 % FS Lmt d plaus. della forza cn Lmt d plaus. dell allug %

51 51 postfazoe POSTFAZIONE I l cotrollo d qualtà tessle sotttede la preseza d dfett su tessut, ma ell era del mercato globale, la qualtà deve essere somo oltre che d buoa produzoe, ache d buo marketg, d buoa dstrbuzoe, d buoa vedta, d buoa comucazoe, d buoa promozoe, d buo servzo, d buo postvedta, ecc.; solamete co tutte queste caratterzzazo la qualtà dveta totale. Qualtà o deve solamete sgfcare per l mpresa asseza d dfett, ma al cotraro abbodaza d preg; essa dveta l plu su cu marketg e vedta devoo basare la loro azoe d peetrazoe del mercato, soprattutto laddove la cocorreza è pù accata. Compto del cetro d cotrollo de tessut è pù precsamete l esame delle pezze che l acqurete gl fa pervere dal produttore, co lo scopo d dvduare, segare, cotare e classfcare ormalmete come pccol, med, grad dfett rveut. La pezza sarà po accettata co l evetuale applcazoe d scot proporzoal alla classfcazoe data a dfett a copertura de dfett trovat, o respta. A dspetto del motto zero dfett scelto per dcare l raggugmeto d elevata effceza ella produzoe, l sstema o s propoe d elmare totalmete dfett, ma d tercettare l massmo umero, prma possble. La totale elmazoe potrebbe comportare vece u aumeto de cost, o u rsparmo per l tera flera 1. Gl strumet per rdurre le qualtà egatve soo essezalmete razoal, orgazzatv, d pafcazoe, d cotrollo, d effceza, d motvazoe e cetvazoe delle persoe, oltre che d cotuo motoraggo sul clete e su compettor. 1 Mara Rosara Massafra Tessut serc sotto la lete. Ed. Fraco Agel

52 5 bblografa BIBLIOGRAFIA Nereo Charotto, Il tessle mcroscopa-fbre apparecch e prove d aals, Busto Arszo M. Garetto, Laboratoro d Statstca co Excel. Lezo ed esercz. Quadero 13 Novembre 00 G. Sgrs, - Metodologa e statstca, ITIS d Setfco P. Carcao Como Lucao Pavese, - Defzoe e formule d uso correte campo tessle, - Bella Mara Rosara Massafra, - Tessut serc sotto la lete. - Ed. Fraco Agel Ampelo Bucc, - L mpresa gudata dalle dee. Ed. Domus Accademy E. Corbell, S. Savolo La scommessa del Made Italy Ed. ETAS

53 53 dce INDICE Prefazoe Itroduzoe 3 Il cotrollo dustrale 5 Dstrbuzo d frequeza e relatv grafc 6 Parametr ver d ua popolazoe 14 Dstrbuzoe ormale o d Gauss 15 Idc d poszoe e d dspersoe 17 Meda artmetca 18 Medaa 19 Moda 19 Varaza Scarto quadratco medo Coeffcete d varazoe 7 Meda geometrca 9 La stma statstca 31 Precsoe della stma 31 Determazoe dell tervallo d fduca 3 Note su propretà meccache 40 Forza d rottura 40 Relazoe tra cetnewto e gramm 40 Elastctà 40 Allugameto 40 Allugameto percetuale 40 Allugameto d rottura 41 Teactà 4 Lughezza d rottura 43 Lavoro d rottura 44 Modulo d Youg 45 Allegat 47 Postfazoe 51 Bblografa 5

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