SECONDA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA CLEA gennaio 2005 COMPITO C2

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1 Cogome Numero d matrcola SECONDA PROVA INERMEDIA DI SAISICA CLEA geao 00 Nome COMPIO C A f della valutazoe s terrà coto solo ed esclusvamete d quato rportato egl appost spaz. Al terme della prova, è OBBLIGAORIO cosegare l presete foglo ed l foglo d brutta DI CUI NON SI ERRÀ CONO AI FINI DELLA VALUAZIONE. APPROSSIMARE UI I CALCOLI ALLA QUARA CIFRA DECIMALE Sao e Y due varabl aleatore dpedet etrambe dstrbute secodo la dstrbuzoe Normale co valore atteso par a e varaza par a. a Calcolare P<< put b Calcolare PY> put P < < P < < a P 0. < < Φ Φ b W P W Y ~ N,0 W > P > Φ S cosder l seguete vettore aleatoro \Y Calcolare la dstrbuzoe d ZY put 6 0 Z Forre la defzoe d campoe beroullao. put U campoe costtuto da varabl aleatore dpedet ed detcamete dstrbute come la popolazoe d parteza.. Sa,, u campoe beroullao estratto da ua popolazoe ormale co meda µ e varaza par a. La seguete fuzoe campoara µ è ua statstca? Motvare la rsposta. put No perché la meda µ o è ota

2 . Sa ua varable aleatora co dstrbuzoe ormale d meda e varaza e sa,, u campoe beroullao estratto da. a Dmostrare, esplctado l procedmeto seguto, che è uo stmatore dstorto per. put E E b Calcolare l errore quadratco medo d tale stmatore. put EQM D V V D V EQM c A partre da costrure uo stmatore o dstorto per. put per dstorto o stmatore è uo 6. Forre la defzoe d tervallo d cofdeza per u geerco parametro. put Sa,..., u campoe casuale estratto da ua popolazoe caratterzzata da ua fuzoe d rpartzoe, F, dczzata da u parametro R Θ. S cosdero due statstche:,..., e,..., tal che: < ; Θ < < P dove 0 < < è ua costate ota. Allora l tervallo aleatoro, vee detto tervallo d cofdeza aleatoro per al lvello -.

3 7. Da ua popolazoe ormale co meda µ e varaza vee estratto l seguete campoe,, 6, 0, 0. a Scrvere l espressoe dell tervallo d cofdeza geerco per µ al 0%. puto z σ ; z σ.6 ;.6 b Calcolare gl estrem dell tervallo d cofdeza per µ al 0% corrspodeza del campoe osservato. puto 8.6 ; ;.7 c Sulla base de rsultat precedet, calcolare la lughezza dell tervallo se l campoe osservato fosse stato d ampezza 0. Cosderate uovamete u lvello d cofdeza del 0% put. σ l z poché l uovo campoe ha dmesoe doppa rspetto a quello precedete σ σ l l z z Sa ~Nµ,σ co etramb parametr o ot. a Avedo osservato l seguete campoe,, 8, 0 accettereste o rfutereste ad u lvello 0.0 l potes H 0 : µ cotro l potes alteratva H : µ?? put Scrvere l espressoe della regoe d rfuto e motvare la rsposta sc R µ 0 > t s C.66 t R <.8 s C ; >.8 s C questo caso R <.8.66 ; >.8.66 R Poché { < 0,000 ; >.0} R accetto

4 . Da ua popolazoe Beroullaa d parametro vee estratto u campoe d ampezza. Al fe d verfcare l potes 0.8 cotro l potes alteratva 0. s cosdera u test caratterzzato dalla seguete regoe d rfuto :,,, R a Calcolare la probabltà d errore d prma spece. put P H R P b Se l campoe osservato fosse 0, 0, 0, quale sarebbe la vostra decsoe? Motvare la rsposta. puto Rfuto poché < 0 Sao e Y due varabl aleatore cotue la cu relazoe può essere spegata attraverso u modello leare, del tpo Y β 0 β ε Scrvere l espressoe degl stmator degl stmator de mm quadrat d β 0 e β. put Y Y Y Y 0 ˆ ˆ ˆ β β β

5 SECONDA PROVA INERMEDIA DI SAISICA CLEA geao 00 Cogome Numero d matrcola Nome COMPIO D A f della valutazoe s terrà coto solo ed esclusvamete d quato rportato egl appost spaz. Al terme della prova, è OBBLIGAORIO cosegare l presete foglo ed l foglo d brutta DI CUI NON SI ERRÀ CONO AI FINI DELLA VALUAZIONE.. Sa data la seguete fuzoe: k 0 < < f 0 altrove S determ l valore d k modo tale che f sa ua fuzoe d destà d probabltà put. f k 0 0 k f d 0 k d k 0 k. Ua moeta regolare vee lacata due volte. Ad og testa vee assocato u puteggo par a metre ad og croce u puteggo par a 0. Idcata co la varable aleatora somma de putegg e co Y la varable aleatora prodotto de putegg calcolare a la dstrbuzoe margale d. put 0 b la dstrbuzoe coguta d e Y. put \Y 0 0 / 0 / 0 0 /

6 . Sa ua popolazoe Beroullaa d parametro 0.. S cosder u campoe beroullao d ampezza estratto da questa popolazoe. Determare la dstrbuzoe d probabltà d S. puto S ~Bomale;0.. Dato u campoe beroullao d ampezza estratto da ua popolazoe, defre l mometo campoaro d orde. puto. M,. Da ua popolazoe ~ Uforme -, vee estratto u campoe beroullao d ampezza. a Proporre uo stmatore o dstorto per E. put Lo stmatore cercato è b Proporre uo stmatore o dstorto per. put E E d cosegueza lo stmatore o dstorto per è 6. Forre la defzoe d stmatore cosstete meda quadratca. put Sa,,,, ua successoe d stmator per, dove,,. S dce che la successoe, o pù brevemete, è cosstete meda quadratca per se: lm E 0 Θ 7. S cosder l campoe,, 6, 8 estratto da ua popolazoe dstrbuta secodo ua legge ormale d meda µ e varaza σ etrambe o ote. a Costrure u tervallo d cofdeza al % per la meda µ. put.. s C 6. sc s.. ; C t 0. t ;..8.0;. 6

7 b Sulla base del campoe osservato accettereste o rfutereste l potes H 0 :µ0 cotro l potes H :µ? 0 al lvello 0.0? Motvare la rsposta. put. Accetto poché l valore 0 appartee all tervallo d cofdeza c Come camberebbe la rsposta la puto precedete se l lvello d sgfcatvtà del test fosse par a 0.00? Motvare la rsposta. put Cotuere ad accettare, l tervallo d cofdeza cosderato dveterebbe pù ampo e coterebbe al suo tero l tervallo precedete. 8. S cosdero due popolazo dpedet, ~Nµ, e Y~Nµ,. Vee estratto u campoe d ampezza dalla prma popolazoe ed u campoe d ampezza dalla secoda popolazoe. Scrvere l espressoe geerca della regoe d rfuto, ad u lvello, per testare l potes che le due mede sao ugual cotro l potes alteratva che le due mede sao dverse. put R :, L,, y, L, y : y > z. Ua socetà produttrce d artcol sportv vuole lacare u uovo tpo d sc sul mercato. Al fe d valutare se l vestmeto sarà profcuo regala a u campoe d 00 sportv l uovo tpo d sc. D quest solo esprmoo u parere egatvo sul prodotto. a S cosder la proporzoe p d sportv, dell tera popolazoe, che esprmerao parere egatvo sul prodotto. Costrure l tervallo d cofdeza al 0 % per p. put z / ; z / ; ;0.07 7

8 b Quale valore dovrebbe assumere affché la lughezza dell tervallo cosderato sa ferore a 0.? Scrvere l procedmeto seguto put l z / 0. z / < < 0.87 > 0.87 > 0.0 < Utlzzado l software ECEL s è studata la dpedeza leare tra le varabl e Y otteedo seguet rsultat: a Forre le stme de coeffcet del modello d regressoe leare d Y su. put β 0.6 β.0 b Sulla base delle formazo forte tabella è possble accettare ad u lvello 0.0 l potes che l coeffcete agolare della retta sa uguale a zero? Motvare la rsposta. put p-value,678e- Poché p-value< l potes vee rfutata. 8