Variabili casuali. Esempio. Variabili casuali discrete. W discreto. W continuo. V.C. discreta. V.C. discreta o continua

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1 //7 arabl casual Ua varable casuale X e ua fuzoe defta sullo spazo campoaro W che assoca ad og eveto W u uco umero reale. X Ua varable casuale può essere classfcata come dscreta o cotua. Ua varable casuale dscreta può assumere u seme dscreto (fto o umerable) d umer real. W semp: somma de putegg el laco d due dad, umero d pezz dfettos u lotto, varazoe goralera el redmeto d u ttolo, umero d prodott d u certo tpo vedut goralmete u partcolare puto vedta Ua varable casuale cotua può assumere tutt valor compres u tervallo reale. W dscreto W cotuo.c. dscreta.c. dscreta o cotua arabl casual dscrete Ua varable casuale dscreta X è caratterzzata dalla sua fuzoe d probabltà che assoca ad oguo de valor la corrspodete probabltà P(X= ). La fuzoe d probabltà deve verfcare le due propretà: Ua varable aleatora dscreta può ache caratterzzars attraverso la sua fuzoe d rpartzoe che fa corrspodere a valor le probabltà cumulate P(X): La fuzoe d rpartzoe verfca le seguet propretà: F() è o decrescete X, PX P lm F F F() è cotua a destra PX PX w e lm F w sempo Corrspodeza tra evet e valor della varable casuale X={somma de putegg}, ella prova laco d due dad X P() F()

2 //7 Rappresetazoe grafca della fuzoe d rpartzoe per l esempo del laco d due dad F(),8,,, arabl casual cotue Ua varable casuale cotua X è caratterzzata dalla sua fuzoe d destà, f() tale che l area sottesa alla fuzoe, u tervallo, è par alla probabltà che X assuma u valore quell tervallo: P a X b f d a La fuzoe d destà deve verfcare le propretà: f f d La probabltà che la v.c. assuma u partcolare valore è. Ua v.a. cotua può ache caratterzzars attraverso la fuzoe d rpartzoe: F P X f w dw La fuzoe d rpartzoe verfca le propretà gà vste precedeza; oltre per v.a. cotue, essa è assolutamete cotua. b sempo S cosder la v.a. X che può assumere tutt valor dell tervallo reale [a ; b] modo che tutt sottotervall d uguale ampezza abbao la stessa probabltà. La fuzoe d destà è La fuzoe d rpartzoe è Fuzoe d destà d probabltà f F b a a b a se a; b altrmet se a se a; b se b Fuzoe d rpartzoe alore atteso d ua v.a. Il valore atteso d ua v.c. X, è defto come se la v.c. è dscreta se la v.c. è cotua Il valore atteso d ua fuzoe Y = g(), della v.a. X, può essere calcolato come: X P X f Y g d Y g P f d se la v.c. è dscreta se la v.c. è cotua 7 8

3 //7 sempo v.a. dscreta X={somma de putegg}, ella prova laco d due dad sempo v.a. cotua S cosder la v.a. X defta ell tervallo [a ; b] vsta prma X P() F() b b a X f d d f a b a b b b a b a a a a b X araza d ua v.a. La varaza d ua v.c. X, è defta come A secoda del tpo d v.a., la precedete defzoe dveta X X P X X f X X X d se la v.c. è dscreta se la v.c. è cotua La varaza può essere, modo equvalete, defta come: X X X S defsce devazoe stadard d X, la radce quadrata della sua varaza Meda e araza d ua combazoe leare Sa Y ua combazoe leare d ua v.c. X, ossa Y = a+bx, dove a e b soo delle costat. S possoo allora dmostrare le seguet propretà: Y a bx b X Poedo a = -(X) e b = /SD(X), s ottee ua varable aleatora Y stadardzzata, ossa, co valore atteso e devazoe stadard. X X Y SD X X Y a bx a bx Y Y SD X

4 //7 Teorema d Chebyshev Sa X ua varable casuale e k u valore reale postvo, allora vale la seguete dsuguaglaza: P X X k SDX Idpedetemete dalla dstrbuzoe della v.c., la probabltà che X assuma valor dstat dalla meda pù d k devazo stadard è al pù /k k Modell d v.a. dscrete: v.a. uforme Ua v.a. uforme dscreta X assume valor ter compres u certo tervallo [a,a+s-], cascuo co la stessa probabltà. ee dcata come X UD(a,s). La fuzoe d probabltà d ua uforme dscreta è: se a; a s P s altrmet Meda e varaza d ua uforme dscreta soo rspettvamete: s s X a e X, sempo: X UD(,8) X, X, X, 9 SD P(),,,8,,,, 7 8 Modell d v.a. dscrete: v.a. d Beroull Ua v.a. Beroullaa, dcata come X Beroull(p) assume solo due valor, o, rspettvamete co probabltà p e -p. La fuzoe d probabltà d ua v.a. d Beroull è: P X p p per, Meda e varaza d ua Beroullaa soo rspettvamete: X p e X p p Tutte le prove che producoo solo due possbl rsultat geerao v.c. d Beroull: l laco d ua moeta, l superameto o meo d u certo lvello d flazoe, l aumeto o meo della quotazoe d u ttolo, l acqusto o meo d u certo prodotto, la dfettostà o l tegrtà d u certo pezzo Modell d v.a. dscrete: v.a. Bomale La v.a. Bomale è ua dstrbuzoe dscreta che s utlzza quado s è preseza d prove dpedet (es. estrazo co rpetzoe o estrazo da ua popolazoe fta), cascua prova ha solo due est possbl, dcat come successo e successo (es. dfettoso/o dfettoso, aumeto/decremeto, acqusto/macato acqusto), e la probabltà p (es. tasso d dfettostà) d osservare u successo ua sgola prova rmae costate per tutte le prove. Ua v.a. Bomale s dca come X Bomale(p;) e la sua fuzoe d probabltà è: P X p p per,,, e p

5 //7 Ua v.a. Bomale può essere otteuta cosderado la somma d v.c. d Beroull, dpedet e detcamete dstrbute: semp d Bomale dove X Beroull(p), dpedetemete per og. X X X X X,, Bomale(7;,) Meda e varaza d ua Bomale soo rspettvamete: X p e X p p,, Bomale(;,) Ua v.a. Bomale è caratterzzata dalle seguet propretà: Il valore atteso e la varaza crescoo al crescere d ; Per p=, la dstrbuzoe è smmetrca rspetto al valor medo (/); Per la dstrbuzoe tede ad essere smmetrca rspetto al valor medo. 7,,, sempo U dustra che produce tapp d sughero sa che l tasso d dfettostà de macchar a dsposzoe è del %. Per cotrollare goralmete che tale tasso rmaga varato, l resposable del cotrollo d qualtà og goro estrae tapp a caso tra quell prodott e osserva quat d ess rsultao dfettos. È pù probable che s trov ad osservare solo tappo dfettoso o essu tappo dfettoso? qual è vece la probabltà d osservare? 9 Idchamo co: p la probabltà d produrre u tappo dfettoso; l umero d tapp estratt; X l umero d tapp dfettos tra quell estratt. Le formazo a dsposzoe soo: p =,; = ; oglamo calcolare P(X = ), P(X = ) e fe P(X = ).!! P( X ) p p,,,8!!!!!! ( ),, P X p p,77!!!!!! ( ),, P X p p,887!!!!

6 //7 Dstrbuzoe d probabltà della varable " d tapp dfettos osservat. P(X) X Modell d v.a. dscrete: v.a. d Posso Ua v.a. d Posso, dcata come X Posso(l) può assumere qualsas valore tero. La fuzoe d probabltà d ua v.a. d Posso è: l e l PX,,, l! Meda e varaza d ua Posso soo rspettvamete: X l e X l La dstrbuzoe d Posso è adeguata per approssmare v.a. che rappresetao cotegg: l umero d persoe che arrvao ad uo sportello u certo tervallo d tempo, l umero d error d batttura ua paga, l umero d cdet u tratto stradale, l umero d rmbors chest u goro ad ua compaga asscuratva I geerale, ua v.a. dscreta che rappreseta l umero d volte che s realzza u certo eveto aleatoro u dato tervallo (d tempo o d spazo) può essere approssmata bee da ua Posso se, suddvdedo l tervallo tat sottotervall, valgoo le seguet codzo La probabltà d osservare esattamete u eveto el sottotervallo è costate La probabltà d osservare pù d u eveto el sottotervallo è par a zero Il verfcars d u eveto u sottotervallo è dpedete dal verfcars d u eveto u altro sottotervallo,,,,,, semp d v.a. d Posso Posso() Posso() Posso(7) Ua v.a. d Posso è caratterzzata dalle seguet propretà: Se X Posso(l ) dpedetemete per og =,,, allora X Posso(l +l + +l ), dove X = X +X + +X. La v.a. Bomale al crescere d e per p pccolo, tede ad ua v.a. d Posso co parametro l = p.,,,

7 //7 Modell d v.a. cotue: v.a. uforme Ua v.a. Uforme cotua X, dcata come X U(a;b), può assumere valor sull tervallo reale lmtato [a;b], modo che tutt sottotervall d uguale ampezza abbao la stessa probabltà. La fuzoe d destà è se a; b f b a altrmet Meda e varaza d ua uforme soo rspettvamete: a b a b X e X sempo: X U(;),, f,,,,, -, -,,,,,7,,, Modell d v.a. cotue: v.a. Normale Ua v.a. Normale (o Gaussaa) X, dcata come X N(m;s ), può assumere valor su tutto l asse reale. La fuzoe d destà è f ep s p Meda e varaza d ua ormale soo rspettvamete: La Normale gode delle seguet propretà: Og trasformazoe leare d ua v.a. Normale è acora ua v.a. Normale La somma d v.c. Normal dpedet è acora ua v.c. Normale co meda e varaza par, rspettvamete, alla somma delle mede e delle varaze delle v.c. Normal. m m s s X m e X s,7, semp d v.a. Normal s Se la v.a. X ha ua dstrbuzoe ormale co parametr m e s, allora Z = (X- m)/s è acora ua v.a. Normale co meda e varaza. La v.a. Z è ota come Normale stadardzzata e s dca come Z N(;)., N(;), s s, s,, -, -, -,,,,, m= m= m= m= m= m= La fuzoe d destà della Normale stadard è f z ep z p,,,,,9, -,,,,,, 7, 7, -,9,,9 8

8 //7 La fuzoe d rpartzoe d ua v.a. Normale stadard vee geere dcata come ( ), ossa F z P( Z z) z I valor della fuzoe d rpartzoe d ua Normale stadard soo tabulat e questo semplfca calcol delle aree sottese dalla fuzoe d destà. sempo: Calcolo dell area sottesa ell tervallo [-,], 977, 9 9 SMPIO U dustra che produce compoet sta valutado la possbltà d forre ua grossa dtta. I macchar soo settat per produrre compoet co u dametro d mm, tuttava o tutt pezz prodott hao esattamete la stessa dmesoe. È oto vece che l dametro de pezz prodott segue ua dstrbuzoe ormale co meda mm e devazoe stadard,mm. La dtta che dovrebbe acqustare quest pezz può utlzzare esclusvamete compoet co u dametro compreso tra 9 e mm. S vuole stablre se almeo l 9% della produzoe d compoet cotr le ecesstà della dtta Destà della varable "dametro" Idchamo co X la varable dametro : Destà stadardzzata m X m m P9 X P s s s 9 P Z P Z,,, 9

9 //7 SMPIO U puto vedta d ua catea d fast food ha comcato ad offrre u servzo d cosega past a domclo. Per battere la cocorreza l propretaro ha decso d offrre l pasto grats a clet che rcevoo la cosega co u rtardo eccessvo. Dato l attuale marge d proftto, l propretaro coclude che è possble offrre u umero d past grats par al,% delle ordazo. Sapedo che l tempo d cosega s dstrbusce approssmatvamete maera ormale co meda par a m. e devazoe stadard par a m., l propretaro vuole determare u lvello sogla per l tempo d attesa, oltre l quale forre l pasto grats, modo tale che l umero d past grats offert o super l,% delle ordazo Destà della varable "tempo d cosega" =? Idchamo co X la varable tempo d attesa e co la sogla da determare: X m m m, P X P P Z s s s, P Z,9 Dalle tavole della dstrbuzoe ormale otteamo: Qud m,9 e,9 s m,9 9,8 s, Destà stadardzzata, - - -,9 Perché la dstrbuzoe ormale è così mportate? Molt feome tedoo aturalmete ad avere ua dstrbuzoe campaulare be approssmable co ua dstrbuzoe ormale. Ossa è u modello teorco che s adatta bee a molt dat emprc. È faclmete trattable da u puto d vsta matematco. I molte applcazo, cocluso basate sull assuzoe d ormaltà de dat o soo seramete affette da scostamet dalla ormaltà coteut. Ma soprattutto Bacoota da March co l mmage d Carl Fredrch Gauss e la fuzoe d destà ormale. Deve la sua mportaza all essteza del teorema del lmte cetrale. Il teorema del lmte cetrale Sao X,, X, varabl casual dpedet e detcamete dstrbute (..d.) co meda (X ) = m e varaza (X ) = σ etrambe fte. Sa S = X + +X, la loro somma avete meda (S ) = m e varaza (S ) = σ. Allora per, S tede a dstrburs ormalmete. U eucato equvalete del teorema stablsce che, posto X X e restado valde le codzo eucate sopra, s ha che la varable X m Z s coverge, per, ad ua Normale stadard. SMPIO Sao X,, X, varabl beroullae dpedet co detca probabltà d successo p (qud (X ) = p e (X ) = p(-p)). Abbamo vsto che la loro somma S = X + +X s dstrbusce come ua varable bomale co meda (S ) = p e varaza (S ) = p(-p). I vrtù del teorema del lmte cetrale, per, S tede a dstrburs ormalmete.

10 //7 Applcazo del teorema Modell d v.a. cotue: Ch-quadrato Ua v.a. Ch-quadrato X, dcata come X c (g), può assumere valor ell tervallo [;]. La fuzoe d destà è f Meda e varaza d ua Ch-quadrato soo rspettvamete: X g e X g e per g g Ua v.a. c (g) s può otteere come somma de quadrat d g v.a. Normal stadardzzate dpedet, ossa c g Z Z g Z g 7 8 semp d v.a. Ch-quadrato Modell d v.a. cotue: t d Studet, c Ua v.a. t d Studet T, dcata come T Studet(g), può assumere valor ell tervallo [- ;]., c 8 c c Ua v.a. T Studet(g) s può otteere come rapporto tra ua v.a. Normale stadardzzata e la radce quadrata d ua v.a. Ch-quadrato dvsa per suo grad d lbertà, ossa, T Z Y g,, 7,,,, All aumetare d g la dstrbuzoe tede ad ua N(g;g) dove Z N(,) e Y c (g). 9

11 //7 Ua varable aleatora doppa (X,Y) è ua fuzoe defta sullo spazo campoaro W, che assoca a og rsultato ua coppa d umer real (,y). Ua v.a. doppa è completamete defta dalla sua fuzoe d probabltà coguta o dalla sua fuzoe d destà coguta, a secoda che sa dscreta o cotua. I caso d dpedeza s deve avere: Caso dscreto Caso cotuo Ce sulle v.a. doppe P f, y PPy, y f f y Il valore atteso d ua combazoe leare d p v.a. è dato da metre la varaza è dove Meda e varaza d combazo lear d v.a. Cov X a X a X è la covaraza tra X e X j. a p X p X a X a X a p X p p p p X a X aa jcovx, X j j X, X s X X X X j X, X j j j Dove e come studare Lbro d testo: S. Borra, A. D Cacco (), Cap. 9 (escluso paragrafo 9.8.) Svolgere serctazoe. Svolgere restat esercz el fle sercz d probabltà.ls.