CALCOLO DEGLI INDICI STATISTICI

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1 CALCOLO DEGLI INDICI STATISTICI Premessa Le formule d calcolo de prcpal dc statstc (parlamo sostazalmete d meda campoara e varaza campoara) dpedoo dal caso esame qud zamo col fare luce sulla possble casstca. Ua pccola premessa sul corso d probabltà e statstca. I tre gross argomet comuemete trattat u corso CPSM soo: Calcolo delle probabltà Statstca descrttva Statstca ferezale Il prmo ha come oggetto d studo le varabl aleatore ovvero quegl oggett teorc che c servoo come strumeto rappresetatvo d ua quattà a o cogta e la cu determazoe o msurazoe è soggetta a certezza e casualtà. Se parlamo d msurazoe d dat (come ad esempo la lughezza d ua vte prodotta da ua maccharo) l calcolo delle probabltà c auta ad dvduare u modello rappresetatvo che c forsce dcazo su rsultat che otterremmo da ua msurazoe PRIMA che questa msurazoe abba effettvamete luogo. Il secodo argometo vece tratta de campo d dat e c forsce dcazo su come trattare dat otteut DOPO aver effettuato ua msurazoe. Ad esempo se mpostamo u espermeto che cosste el laco rpetuto d ua moeta blacata la teora delle probabltà c drà che effettuado 00 lac og laco avrà probabltà ½ d esto testa e altrettato d esto croce. Sempre graze alla teora delle probabltà potremo ache potzzare che su 00 lac l 0% d quest darà come esto testa e l restate croce. Tutto questo seza aver acora effettuato effettvamete alcu laco. Dopo aver effettvamete effettuato 00 lac e trascrtto 00 est, la statstca descrttva c dce come trattare tal est ovvero come, ad esempo, calcolare la meda per verfcare se, effettvamete, abbamo otteuto testa ella metà de cas. Ife la statstca ferezale fuge da collegameto tra la statstca descrttva e la teora delle probabltà offredo degl strumet utl ad potzzare quale sa l modello teorco d rfermeto per rappresetare l feomeo le cu osservazo abbamo trattato co la statstca descrttva. Ad esempo, el caso del laco d ua moeta la cu blacatura o c è ota, la statstca ferezale può esserc d auto per dedurre da dat campoat e mapolat co le regole della descrttva l parametro cogto p oppure per sosteere (o smetre) u potes che o possamo aver avazato sulla blacatura. Itedo dre: predamo ua moeta e la osservamo commetado mmh, secodo me è truccata. Come faccamo a verfcare la ostra potes?

2 Prma d tutto formalzzamo l modello attgedo alla teora delle probabltà che c dce che ua varable aleatora che msura l esto del laco d ua moeta s comporta come ua beroullaa l cu parametro p rappreseta la probabltà d successo. Po dobbamo fare ua sere d campoamet suffcetemete umeros. Che so, lacamo la moeta 00 volte. Po, graze alla descrttva, calcolamo vare formazo tra cu la meda campoara degl est otteedo la frequeza co la quale l esto d successo (ad es. testa) s è presetato e 00 espermet. Dopodchè eseguamo de test applcado le formule suggerte dalla statstca ferezale per determare se, alla luce delle osservazo effettuate, l potes che la moeta sa truccata può essere sosteuta oppure o. Detto cò vedamo come cambao le formule d calcolo d meda e varaza a secoda che s rferscao all tera popolazoe (qud staremo lavorado co ua varable aleatora e parleremo d meda e varaza) o ad u suo campoe (qud saremo ell ambto della statstca descrttva e parleremo d meda campoara e varaza campoara). Ioltre, all tero d queste due macro categore, abbamo acora alcue dffereze che geerale dpedoo dal tpo d dat co qual stamo lavorado (dscret, cotu o qualtatv) e el caso d campo ache dal fatto che dat sao grezz o gà raggruppat class co ampezza del campoe ota o cogta. Calcolo della meda campoara per dat campoat S pes alla superfce d ua fgura geometrca qualsas: c è u solo modo per calcolare l area ma le formule d calcolo dfferscoo tra loro a secoda della forma della fgura. Ad esempo se la fgura è u quadrato d lato l la formula corretta è A= l metre se la fgura è u tragolo d base b e altezza h la formula ota a tutt è b h A =. Però c è ua formuletta geerale dalla quale tutte quelle partcolar dscedoo: A = dα dove S è la ostra superfce e dα è l elemeto d area. S Nel ostro caso o capta ulla d dverso: abbamo ua formula geerale che assume forme dverse a secoda del caso specfco al quale deve essere applcata. La formula geerale vsta a teora è la seguete: = = () Per come è scrtta, co pccol accorgmet, questa formula può essere applcata pratcamete a tutt cas possbl. Lettere e dc assumerao d volta volta sgfcat dfferet.

3 Ecco la legeda: è l smbolo utlzzato per rappresetare la meda del campoe (per covezoe le lettere muscole s usao sempre e solo per rappresetare le osservazo che soo a tutt gl effett de umer o l rsultato d operazo svolte su queste osservazo metre le lettere mauscole s rservao per rappresetare le v.a.) rappreseta l ampezza del campoe coè l umero d osservazo dspobl è la -esma osservazoe el caso d dat grezz oppure l valore scelto come rappresetate della -esma classe el caso d dat raggruppat e allora scrveremo (ma la smbologa o è uca: qualche autore usa - (dr) la probabltà è come l mltare: rede dffcle l facle attraverso l utle... -) è l umero d volte che l dato (oppure ) s preseta el ostro campoe. Nel caso d dat grezz è possble che tutt gl sao par a (vuol semplcemete dre che o abbamo dat rpetut cosa assa frequete el caso cotuo) metre se samo el caso d dat raggruppat o sarà altro che la frequeza assoluta della classe -esma è l umero d dat dstt el caso d dat grezz (e se dat soo tutt dstt tra loro cocde co ) oppure è l umero d class el caso d dat raggruppat U esempo ora è doveroso. Suppoamo d avere u campoe d osservazo:,,, 4, 4 Allora, secodo quato appea detto, sarà: = = = e = 4 = 3 e = Qud = ( ) Naturalmete essuo c mpedsce d cosderare tutt dat dstt e calcolare la meda el seguete modo: = = =, =, 3 =, 4 = 4 e = 4 = = 3 = 4 = = = da cu ( ) Ora vedamo cosa succede se dat c vegoo fort raggruppat class. Osservamo che usualmete dat dscret vegoo raggruppat class atural (ovvero og classe cocde co le sgole osservazo dstte) ma essuo c veta d usare u qualsas altro crtero d raggruppameto metre el caso cotuo o è possble raggruppare class atural e samo vece obblgat a sceglere u crtero dfferete.

4 Suppoamo d avere u campoe d dat raggruppat class atural co dstrbuzoe: 4 3 Da dat fort possamo dedurre =, rcavare = + = 3+ = e fe calcolare la meda esattamete come el prmo caso. Suppoamo ora che la dstrbuzoe o c vega forta attraverso le frequeze assolute ma attraverso le frequeze relatve f : 4 f Come procedamo questo caso cu l ampezza del campoe rsulta cogta e o deducble da dat? Co u semplce accorgmeto possamo adattare la formula () osservado che f =. Allora otteamo = = = = = = () f Applcado ostr dat alla () otteamo: = Notamo che essedo l ampezza del campoe cogta o potremo esplctarla a pedce d. Ife vedamo l ultmo caso. Suppoamo d avere acora a che fare co dat raggruppat class questa volta o atural le cu frequeze relatve soo dcate tabella: classe [, 4) [4, 7) f I questa stuazoe tpca del caso cotuo o potremo calcolare l valore putuale della meda ma potremo solo dare ua approssmazoe. Ifatt per otteere l valore corretto della meda dovremmo sapere come dat soo dstrbut all tero d og classe. Pochè tale formazoe c è preclusa, per prosegure dobbamo sceglere quale valore utlzzare come rappresetate d classe. Spesso vee utlzzato l valore cetrale dell tervallo. Ma alcu autor (o docet) suggerscoo l uso dell estremo sstro. Tale scelta è solo ed esclusvamete covezoale e dpede dal gusto dell autore (o docete che sa).

5 No useremo l valore cetrale che qud c accgamo a calcolare: 4+. = = e Ora possamo applcare la formula () = =. Naturalmete se avessmo avuto a dsposzoe dat grezz (possamo pesare che sao gl stess degl esemp precedet) avremmo potuto calcolare l valore esatto della meda ma asseza de dat grezz e co class costtute da ter tervall e o da sgol valor o c resta che effettuare ua approssmazoe l cu rsultato dpede dalla scelta arbtrara fatta sul rappresetate d classe. Calcolo della meda per varabl aleatore La casstca è assa meo complessa. Se la v.a. è dscreta la formula per l calcolo della meda (ved Ccchtell pag. ) è: µ = E X = p ( ) (3) La formula è detca a quella presetata el calcolo della meda d u campoe d dat dscret raggruppat class ota la frequeza relatva. (cfr formula ()). Camba solo la otazoe qud ecco ache questo caso la legeda: è l valore che la v.a. può assumere e corrspode all osservazoe p è la probabltà che la v.a. assuma propro l valore e corrspode alla frequeza relatva el caso d dat campoat ( ) Se la v.a. è cotua la formula d calcolo della meda dffersce da tutte quelle sora vste per la preseza dell tegrale al posto della sommatora: µ = E X = f ( ) d R Ioltre, al posto della fuzoe d probabltà p ( ) abbamo la fuzoe d destà f( ). La dffereza è sostazale e gustfca la dversa otazoe (adottata molt test ma o tutt). Ifatt el caso dscreto la fuzoe d probabltà è effettvamete ua probabltà ovvero: PX ( = ) = p ( ). Ivece el caso cotuo o a caso vee chamata destà fatt PX ( = ) = 0 f( ) Esemp d calcolo del valore atteso per v.a. dscrete o cotue che sao s trovao og testo. Calcolo della varaza campoara per dat campoat La formula geerale (co la stessa otazoe usata per la meda campoara) è: s = = (4) ( ) ()

6 Quato vsto sora per la meda campoara s applca par par alle formule per l calcolo della varaza campoara ovvero uca formula che prede forme dverse a secoda de cas. Abbamo u uca dffereza el caso d dat raggruppat class o atural ota la frequeza relatva. Allora la formula s modfcherà el seguete modo: s = = = f = = = ( ) ( ) ( ) (6) L ultmo membro della (6) mette evdeza l fattore correttvo rsulta charo dopo lo studo degl stmator. l cu sgfcato Co qualche passaggo che omettamo le formule () e (6) possoo essere scrtte u formato pù semplce da calcolare: e s = = (a) s f = = (6a) Calcolo della varaza per varabl aleatore Nel caso dscreto la formula è la seguete: Var X = ( µ ) p ( ) (7) Osservamo che questo caso l fattore correttvo è assete Se la varable aleatora è cotua la formula s modfca el seguete modo: Var = ( µ ) ( ) X f d R A rguardo valgoo le medesme cosderazo avazate per la meda. (8) Ache questo caso co alcu passagg s pervee ad ua forma pù semplce da calcolare delle formule (7) e (8) che possamo stetzzare ell uca seguete propretà della varaza: Var E E ( ) X = X X (9) Osservazoe fale Cocludamo la trattazoe co u mportate cosderazoe. Abbamo parlato d meda e varaza e d meda campoara e varaza campoara, la prma coppa rferta alle varabl aleatore e la secoda a campo d dat. I etramb cas abbamo a che fare co dc, ovvero umer che forscoo dcazo sulla poszoe e la dspersoe della dstrbuzoe della v.a. o

7 dell stogramma delle frequeze campoate. Le aaloge che abbamo evdezato tra le formule d calcolo degl dc d u campoe d dat e gl dc d ua varable aleatora soo solo formal e o a caso gl dc esamat hao om dvers e due cas (osservazo e v.a.). Questa osservazoe prede cossteza o appea s scopre che ache per le varabl aleatore esstoo cocett d meda campoara e d varaza campoara. Per semplctà lmtamo le cosderazo alla meda. Per charre aaloge e dffereze tra la meda campoara d u campoe d dat ( la meda d ua v.a. (E X ) e la varable aleatora meda campoara ( ), X ) comcamo col otare che assocata ad og osservazoe c è ua varable aleatora X. Al solto X m cosete d fare prevso su rsultat d ua osservazoe PRIMA che questa sa effettvamete avveuta metre l esto è cò che m rmae della v.a. DOPO aver effettuato l osservazoe. E se al posto d ua sola osservazoe e abbamo u tero campoe d ampezza? Cotueremo ad avere u uca legge determata dal feomeo esame ma le varabl aleatore sarao ach esse umero d ovvero ua per og osservazoe. = Qud assocata ad u campoe d dat { } abbamo o ua ma u tera famgla d v.a. { X } =. Pochè queste v.a. aleatore rappresetao osservazo (geeralmete dpedet) del medesmo feomeo tal v.a. vegoo dette d... ovvero dpedet e detcamete dstrbute. E se dopo aver estratto u campoe e voless calcolare la meda campoara? Bee: così come alle spalle del sgolo dato ho la sgola v.a. e alle spalle d u campoe d dat ho ua famgla d v.a., alle spalle della meda campoara otteuta combado opportuamete dat del campoe ho ua varable aleatora otteuta combado al medesmo modo la famgla d v.a. I altre parole alle spalle della meda campoara aleatora meda campoara X = = X = = ho la varable Suppoamo d avere l solto maccharo che produce vt. Scuramete tra le specfche forte dal produttore c sarao dcazo sulla meda e la varaza della lughezza delle vt prodotte (lughezza che possamo mmagare dstrbuta come ua gaussaa). Suppoamo oltre d essere tezoat a calcolare la meda campoara della lughezza d u campoe costtuto da vt. Allora questa stuazoe avremo tre oggett be dstt: la meda η parametro dell uca legge, dettata dalle specfche, che govera l feomeo esame. la meda campoara calcolata tramte dat campoat la v.a. meda campoara costruta a partre dalla famgla d varabl aleatore rappresetat altrettate osservazo.