Incertezza di misura

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1 Icertezza d msura Itroduzoe e rcham Come gà detto rsultat umerc ottebl dalle msurazo soo trsecamete caratterzzat da aleatoretà è duque sempre ecessaro stmare ua fasca d valor attrbubl come msura al msurado; tale fasca d valor è data da u valore umerco accompagato da u valore d certezza e da u utà d msura l certezza deve duque essere opportuamete stmata, affché sa possble assegare msure compatbl. Le modaltà secodo le qual s deve operare l calcolo dell certezza d msura soo fssate dalla orma terazoale ISO 3005, recepta Itala come UNI CEI EN Guda all espressoe dell certezza d msura. Icertezza d msura

2 Icertezza Defzo Itoro lmtato del valore d u parametro, corrspodete agl elemet della fasca d valore assegatagl come msura UNI 4546 Parametro, assocato co l rsultato d ua msurazoe, che caratterzza la dspersoe de valor che possoo ragoevolmete essere attrbut al msurado VIM e UNI CEI EN GUM La Guda all Espressoe dell Icertezza adotta come vocabolaro metrologco d rfermeto quello proposto dal VIM; duque, ella GUM s fa rfermeto alla secoda defzoe d certezza sopra rportata. Icertezza d msura 3 Icertezza Nella GUM s dce che l certezza assocata alla msura è legata alla preseza d effett casual o geerale accdetal e d effett sstematc; a rgore, prma d stmare l certezza, quest ultm dovrebbero essere corrett, tuttava resta comuque u cotrbuto d certezza legato alla correzoe stessa. Esstoo molte possbl fot d certezza, fra le qual: - defzoe completa del msurado; - o rappresetatvtà della campoatura; - mperfetta coosceza delle gradezze d flueza; - rsoluzoe ed certezza trseca dello strumeto; - dstorsoe delle letture da parte dell operatore; - valor approssmat d costat, coeffcet, ecc.; - approssmazo ed potes semplfcatrc modell. Icertezza d msura 4

3 Secodo la guda le compoet dell certezza d msura possoo essere raggruppate due categore: A e B. Tale suddvsoe o è alcu modo da mettere relazoe co la dstzoe fra error sstematc ed error accdetal!!! A e B dcao esclusvamete la modaltà secodo la quale cotrbut d certezza soo valutat. I etramb cas s cosdera che le possbl msure costtuscao ua popolazoe, descrtta statstcamete da ua fuzoe d dstrbuzoe d probabltà. I etramb cas vee calcolata u certezza tpo u, cocdete co lo scarto tpo assocato a tale dstrbuzoe. Icertezza d msura 5 A s cosdera u campoe msure rpetute e qud s stma lo scarto tpo della dstrbuzoe stmata sulla base delle osservazo. dstrbuzoe osservata B o s cosdera u campoe! S potzza ua dstrbuzoe teorca sulla basa del grado d coosceza del feomeo e dell espereza. D cosegueza s stma uo scarto tpo. dstrbuzoe potzzata La dstzoe rguarda esclusvamete le modaltà secodo le qual cotrbut d certezza vegoo valutat. I dverse stuazo lo stesso cotrbuto può essere valutato secodo modaltà dfferet. Icertezza d msura 6 3

4 S parla d certezza composta per dcare l certezza assocata alla msura d ua gradezza otteuta msura dretta a partre dalla msura d altre gradezze alle qual essa è legata da ua forma fuzoale. Per stmare tale valore d certezza s utlzza la legge d propagazoe dell certezza cosderado varaze e covaraze assocate alle gradezze dpedet. S parla, fe, d certezza estesa. Ua volta calcolata l certezza tpo u, l certezza estesa è otteuta come k u, dove k è detto fattore d copertura soltamete è compreso fra e 3. I questo modo s costrusce u tervallo fducaro ad u opportuo lvello d fduca tpcamete 95%. Icertezza d msura 7 Modello della msurazoe I molt cas la msura da assegare al msurado Y o vee drettamete otteuta, ma vee rcavata dalla msura d altre N quattà X, X, X. Y è legata alle X da ua relazoe fuzoale f. X X Y f,...,, I smbol Y ed X soo rappresetatv d msurad; tuttava al fe della valutazoe dell certezza vegoo mpegat per defre corrspodet varabl casual per le qual s cosderao opportue dstrbuzo d probabltà. La fuzoe f va terpretata ell accezoe pù ampa possble: può essere ua forma fuzoale aaltca, u tabella emprca, u algortmo umerco,... X N Icertezza d msura 8 4

5 Le quattà X soo ach esse de msurad, che possoo a loro volta essere otteut drettamete ella forma fuzoale devoo retrare ache correzo e fattor d correzoe d error sstematc. Dalla relazoe f s rcava ua stma del msurado, dcata co y, otteuta a partre da stme delle N gradezze X, dcate co ormalmete s cosderao le mede. y f,,..., La relazoe sopra rportata è approssmata e vale a rgore solo el caso leare. Per og quattà d gresso è possble procedere al calcolo della relatva certezza tpo u medate valutazo d categora A oppure B; ua volta stmate le u, s può procedere al calcolo d uy secodo u metodo opportuo, spegato dalla orma. N Icertezza d msura 9 Se s cosdera u certo modello per la msura d ua gradezza Y, del tpo Y f X X,...,, è ecessaro procedere ad ua detfcazoe de fattor X che abbao flueza su Y. S devoo dvduare tutt fattor che abbao effett sgfcatv sulla msura d Y. È dffcle dvduare la preseza d og fattore e detfcare l effetto, quato s crea u crcolo vzoso per cu u fattore può essere dvduato dal mometo cu se e rleva l effetto, ma se s gora la preseza del fattore o se e può emmeo valutare l effetto. fattor d certezza soo coteut elle procedura d msura allo stato dell arte, che escludoo sulla base dell espereza quell trascurabl! es. lughezza d u maufatto L LT [ + α 0 ] Icertezza d msura 0 X N 0 T 5

6 Icertezza tpo: valutazoe d categora A Data ua certa quattà X, sottoposta a msurazoe, è possble procedere attraverso osservazo rpetute. Idcado co k l valore assuto da X og osservazoe, la msura da assegare ad X come msura è dato dalla meda artmetca delle osservazo meda campoara per X. k La varaza della popolazoe delle msure vee stmata sulla base de valor k costtuet l campoe osservazo rpetute attraverso la varaza campoara. k s k k Icertezza d msura La varaza della meda è data dalla seguete relazoe ed dca quato bee la meda campoara stm la meda della popolazoe. s s L certezza tpo d categora A assocata alla msura d è data da: s u s Caso partcolare: Nota: elemeto presete ell espressoe dell tervallo fducaro per la meda, costruto a partre da u campoe d elemet. Nel caso d msurazoe be caratterzzata e sotto cotrollo statstco, se è stmata per la popolazoe ua varaza cumulata s p, allora se soo state esegute osservazo covee comuque stmare l certezza come: s p u Icertezza d msura 6

7 Icertezza tpo: valutazoe d categora B La valutazoe dell certezza d categora A preseta de lmt che possoo essere rassut due put: - comporta l predere cosderazoe u umero elevato d dat spermetal, medate qual stmare l certezza tpo; - comporta la ecesstà che l campoe sa rappresetatvo delle caratterstche della popolazoe: v deve essere ua opportua varazoe de parametr che fluezao la popolazoe delle msure. I molt cas è da preferrs ua valutazoe dell certezza d categora B, effettuata sulla base d formazo dfferet da campo d dat rlevat e da aalzzars statstcamete. Le replcazo cosetoo geerale d stmare ua parte del cotrbuto d certezza complessvo legato ad u sgolo fattore. Icertezza d msura 3 Nella caso s proceda alla stma, per ua gradezza, dell certezza assocata u, seza mpegare dat spermetal relatv ad osservazo rpetute, s rcorre ad ua valutazoe d categora B d u sulla base d u gudzo scetfco, basato su tutte le formazo ote relatvamete a. Tal formazo possoo compredere: - dat d msurazo precedet; - espereza o coosceza geerale del comportameto e delle propretà de materal e strumet d teresse; - specfche tecche del costruttore; - dat fort certfcat d taratura o altr; - certezze assegate a valor d rfermeto pres da maual. Ua valutazoe d categora B è tato valda quato ua d categora A, soprattutto quado quest ultma è basata su u umero rdotto d osservazo rpetute. Icertezza d msura 4 7

8 Alcue possbl stuazo.... È forta u certezza estesa I ed è dato l fattore d copertura k: l certezza tpo u è data da: I u k. S sa che valor attrbubl a soo dstrbut ormalmete e vee data la probabltà che s trov u certo tervallo d ampezza a co u opportuo lvello d fduca. Per esempo se s cosdera u tervallo fducaro al 95% a cu corrspode z.96, allora l certezza tpo u è stmable come: a a u z.96 f α 5% p z.96 -a a 95% Icertezza d msura 5 z 3. Se s può rteere che le msure sao dstrbute uformemete dstrbuzoe rettagolare, ovvero se la probabltà d avere u qualsas valore all tero d u tervallo a,b è dversa da zero e costate, metre è ulla la probabltà d avere valor fuor da tale tervallo, allora l certezza tpo è data da: b a u Nel caso cu s cosder u tervallo smmetrco rspetto alla mglor stma d X dcata co, d semampezza a, s ottee: a u 4. Nel caso d dstrbuzoe tragolare d semampezza a, s ha: 3 a u 6 Icertezza d msura 6 8

9 I alcu cas la sgola gradezza è soggetta ad ua varabltà che può essere rteuta perodca; tpcamete accade per varazo atural d temperatura ed umdtà oppure vbrazo od oscllazo dotte Ad esempo per quato cocere la temperatura, se s cosderao msure che s protraggoo per tutto l arco delle 4 ore ambete o codzoato, s può rteere che la temperatura var secodo ua susode d perodo 4 h e ampezza a. A questa tpologa d gradezze è assocata ua dstrbuzoe ad U fra valor -a e +a. S rcava ua varaza per tale dstrbuzoe data da: [u.m.] a u tempo [s] Icertezza d msura [u.m.] f S fa rfermeto alla relazoe Icertezza tpo composta y f,...,, L certezza tpo assocata alla stma y del msurado Y è otteble compoedo opportuamete le certezze tpo assocate alle stme delle quattà X. Tale certezza è detta certezza tpo composta e s dca co u c y. Tale certezza è ua stma della dspersoe de valor che ragoevolmete possoo essere attrbut al msurado Y attoro al valore d msura y. S possoo cosderare due cas: gradezze d gresso X dpedet oppure gradezze d gresso X terdpedet o correlate. N Icertezza d msura 8 9

10 CASO : quattà d gresso X dpedet. L certezza tpo composta u c y assocata alla stma y d Y è la radce quadrata della varaza composta u c y, data da: u y c N f chamata legge d propagazoe dell certezza. Nella relazoe cascua u è u certezza tpo stmata per le gradezze d gresso secodo valutazoe d categora A o d categora B. La relazoe è otteuta semplcemete come svluppo sere d Taylor trocato al prmo orde della fuzoe f; tale svluppo è operato corrspodeza della N-upla costtuta dalle stme,,, N delle quattà d gresso X. Icertezza d msura 9 u Tale relazoe vale duque a rgore solo el caso leare; rsulta approssmata e cas cu f sa ua fuzoe o leare delle X. Se la o leartà è sgfcatva s rcorre all utlzzo d ua relazoe otteuta da uo svluppo sere co term d orde superore, rportata ella orma. f f I term rappresetao le dervate parzal calcolate corrspodeza delle stme, qud corrspodeza della -upla,,, N. Tal term vegoo deft coeffcet d sesbltà e dcat co c possoo ache essere determat spermetalmete o umercamete. La varaza stmata u c y è data dalla somma de term c, oguo de qual rappreseta l cotrbuto d varaza dato su y dalla varaza relatva ad og terme. Cò s può tradurre ell equazoe: N N uc y [ c u ] u y Cotrbuto alla varaza d y dovuto alla varaza sul sgolo gresso. Icertezza d msura 0 X 0

11 Icertezza d msura CASO : quattà d gresso X correlate. Se le X quattà gresso hao u grado d correlazoe o trascurable, allora è ecessaro teere coto delle covaraze, attraverso l applcazoe della seguete espressoe della legge d propagazoe dell certezza:,, j N j N j N j N j N j c u f f u f u f f y u + + Dove term u, j rappresetao le covaraze fra le mede de term e j. Se s cosderao due mede campoare e che stmao le mede delle popolazo relatve a due quattà m ed r rspettvamete, calcolate su coppe d msurazo smultaee d q ed r, elle stesse codzo d msurazoe, s ha: k k k r r q q r q s r q u,, q r Icertezza d msura Icertezza estesa La orma dca che ua volta valutata l certezza tpo composta u c y, s pass alla defzoe d u tervallo che, ad u dato lvello d fduca P, cotega valor che ragoevolmete possoo essere attrbut al msurado Y. S deve coè estedere l valore d certezza tpo rcavato modo da determare u tervallo fducaro al lvello d fduca P. I tal modo s defsce l valore dell certezza estesa Uy assocata alla msura y assegata al msurado Y. Vale la relazoe k è detto fattore d copertura e d orma deve assumere valor compres fra e 3. y u k y U c

12 I partcolare: el caso l msurado X vega msurato per osservazo rpetute e l certezza assocata sa duque cosderata attraverso ua valutazoe d categora A, determare l certezza estesa cocde co defre u tervallo fducaro per la meda. I tal caso k cocde co l valore della varable t d Studet assuto corrspodeza d - grad d lbertà e d ua probabltà -α/ dove -α è l lvello d fduca cosderato; el caso partcolare d msura dretta d u msurado Y, dpedete da N quattà d gresso X, se la dstrbuzoe d Y può essere cosderata ormale, allora: - k l lvello d probabltà è % - k 3 l lvello d probabltà è % Icertezza d msura 3 Tuttava, geerale, se s vuole stmare l certezza estesa assocata alla msura dretta d ua quattà Y dpedete da N quattà d gresso X, s deve cosderare, al fe d calcolare l fattore d copertura k, la dstrbuzoe t d Studet, co u umero d grad d lbertà opportuo ed l lvello d probabltà scelto. Il umero d grad d lbertà da cosderars per Y è dato dalla relazoe d Welch-Satterthwate, rportata ella GUM: ν eff N 4 uc y 4 u y ν dove: υ eff dca l umero d grad d lbertà effettv da attrbure alla dstrbuzoe t per Y; υ dca l umero d grad d lbertà assocato a cascu cotrbuto X ; u y cocde co l prodotto c u ; u c y è l certezza composta stmata per Y. Icertezza d msura 4

13 Nota su grad d lbertà Per og cotrbuto d certezza d categora A l umero d grad d lbertà υ da cosderare è uguale al umero de dat cosderat a cu va sottratto l umero d vcol cosderat.se ad esempo la stma della msura da assegare alla quattà X è otteuta da u campoe d msure, s dovrao cosderare - grad d lbertà l vcolo è dato dalla stma, attraverso dat del campoe, della meda campoara assegata come msura. Per cotrbut d categora B s assega u umero d grad d lbertà tpcamete 5, 30, 50, 00 fuzoe del lvello d credbltà che s può attrbure alla fote de dat. Se è assegato u valore d certezza strumetale, el caso cu o sao dcharat lvello d fduca e grad d lbertà co cu tale valore è stato otteuto, l cotrbuto d certezza s calcola come metà del valore d certezza strumetale dcharato; el computo de grad d lbertà c s comporta prudezalmete cosderado 5 grad d lbertà. Questo modo d procedere è favore d scurezza, ovvero porta a sovrastmare l certezza complessva. Icertezza d msura 5 Esempo d calcolo S cosder l caso della seguete msura dretta d lughezza. L0 LT [ + α0 T ] * L T : valore assuto dalla lughezza alla temperatura T; L 0 : valore assuto dalla lughezza a 0 C; α: coeffcete d dlatazoe termca del materale. Per quato cocere la msura della lughezza soo ot seguet dat: accuratezza: A 8 µm data come semampezza d ua dstrbuzoe rettagolare; rpetbltà: Rp 5 µm data come scarto tpo della meda calcolato su 0 replcazo rsoluzoe: r 4 µm. l valore d msura da assegare a L T è stmato 800 mm; coeffcete d dlatazoe termca da mauale α C - ; l valore d msura da assegare alla temperatura è 5 C s cosdera la temperatura varable susodalmete sulle 4h co semampezza a.5 C. Icertezza d msura 6 3

14 Al fe d valutare la msura da assegare ad L 0 s deve procedere alla determazoe d u valore d msura y e d ua coessa certezza estesa Uy, dove y è l msurado L 0 Il valore d msura s ottee dall espressoe d * L 0, sosttuedo gl opportu valor per L T, α, T. I valor soo fort ell eleco de dat, s ha duque: -6 - L LT [ + α0 T ] 800mm [ C 0 5 C] mm 0 Il calcolo dell certezza combata assocata al valore d msura d L 0 e dell certezza estesa vee svolto medate tabella opportua. Icertezza d msura 7 Msura d lughezza a 0 C L0 LT [ + α0 T] Dat: LT 800 [mm] Accuratezza 8 [µm] [mm] α.50e-06 [/ C] Rproducbltà 5 [µm] [mm] T 5 [ C] Rsoluzoe 4 [µm] [mm] Varab. T.50 [ C] ampezza y [mm] Varable Icertezza g.d.l. sesbltà Smbolo Valore Note Categora s a u c u yc u ν u 4 y/ν u y/uc y LT 8.00E+05 Accuratezza B 8.00E+00.3E+0.00E+00.3E E % u.m. [ µm] Rproducbl. A 5.50E+0.00E+00.50E E % Rsoluzoe B.00E+00.33E+00.00E+00.33E E-0.% α.50e-06 Da mauale B.00E-08.33E E+06.3E E % T 5 Oscllate B.50E E E+00.5E E % uc y somma 8.99E+0 00% ucy [µm] Dervate: g.d.l Y P 95% + α 0 T k.0 LT Uy [µm].960% Y LT 0 T α Y αl T T - Icertezza d msura 8 4

15 Note per l calcolo dell certezza Se vee forto u valore d certezza strumetale ad esempo attraverso u dagramma d taratura per ua dato strumeto d msura medate l quale s sa assegata la msura d ua delle gradezze dpedet X, dalle qual la msura d Y dpede, s possoo verfcare dverse stuazo. A - Vee assegato u lvello d fduca P-α e vee assegato l umero d osservazo rpetute che soo state mpegate per valutare l tervallo assegato come certezza strumetale; tal caso l fattore d copertura k è mmedatamete determable e cocde co l valore assuto dalla varable s Studet t co - g.d.l. corrspodeza d u lvello d probabltà P t -α/,-. Noto l valore k dall certezza strumetale estesa s rcava l valore d scarto tpo s, che va trattato come certezza d categora A, co assegat - g.d.l. B - Vee assegato l lvello d fduca P, ma o vee detto ulla rguardo al umero d osservazo effettuate. I tal caso s rcava l fattore d copertura k potzzado ua dstrbuzoe ormale luogo d quella d Studet. S rcava duque lo scarto tpo s, che va trattato come certezza d categora A, co assegat 5 g.d.l. per covezoe. Icertezza d msura 9 C - No vegoo assegat é l valore d probabltà P é l umero d osservazo rpetute esegute. S procede come el caso B, tuttava per rcavare k s dvde l valore d certezza estesa semplcemete per. Aalogamete s procede per altre caratterstche metrologche assegate: rpetbltà, rproducbltà, stabltà. Per accuratezza, rsoluzoe, steres, error d zero, ecc. s procede d orma co valutazo d categora B. Icertezza d msura 30 5

16 Bblografa G. Barbato, Msurare per decdere, Progetto Leoardo, Bologa Captol 8, 9, 0 UNI CEI ENV 3005, Guda all espressoe dell certezza d msura 3 6

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