( ) 2 i 1 X. n(n + 1) a) si determini se sono corretti; b) per quelli non corretti, si calcoli la distorsione d;

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1 ESERCIZIO 5. Sa (X, X,, X ) u campoe casuale geerato da ua v.c. X f(x; θ) per la quale è oto che E(X) θ e Var(X). S cosdero 3 stmator d θ: X ; X ; ( ) X 3 a) s determ se soo corrett; b) per quell o corrett, s calcol la dstorsoe d; ( + ) c) sapedo che, qual è, tra gl stmator corrett, l mglore per 3 + θ? d) e quale l mglore tra 3? Soluzoe a) Per stablre se, e 3 soo corrett occorre calcolare l loro valore atteso e cofrotarlo co l parametro θ cogto. Essedo uguale propro alla meda artmetca, è sez altro corretto: E( ) θ Per quato rguarda s ha: E E( X) θ θ (+ ) + + θ Ife per 3 : 0 se è par E( 3) ( ) E( X) θ ( ) θ se è dspar θ Qud possamo cocludere che gl stmator e soo corrett, metre 3 è dstorto. b) La dstorsoe d 3 può essere calcolata come: θ se è par θ θ se è dspar ( 3) E( 3) d

2 c) La scelta è lmtata a due stmator e, d cu passamo a cosderare l effceza relatva: ( ) eff ( ) EQM EQM Essedo e etramb corrett, l loro errore quadratco medo cocderà co le loro varaze: 3 Dal cofroto tra le due quattà emerge che: eff ( ) EQM EQM quattà che è uguale ad se ed è sempre maggore d quado >. S può, duque, cocludere che, per quato assurdo che possa sembrare, se estraessmo u campoe d ampezza (coè d ua sola osservazoe) sarebbe per o dfferete utlzzare o. Questo, d altra parte, s verfca ( + ) faclmete perché per le due varaze 3 + soo ugual. Se, vece, è maggore d <, qud è mglore d. S ot, oltre, che eff( ) tede a crescere all aumetare d, l che dmostra che pù è grade l campoe pù dobbamo preferre a. d) Bsoga calcolare l errore quadratco medo d 3, qud la sua varaza: 3 Var Var X Var X Cofrotamo 3 co l mglore tra e, ossa.

3 ra stmator scegleremo quello co errore quadratco medo more. Sappamo che: EQM. Dal mometo che la dstorsoe d 3 assume valor dvers a secoda se l campoe sa d umerostà par o dspar, EQM( 3 ) deve essere calcolato per etramb cas: EQM + + θ d θ 3 se è par se è dspar I etramb cas scegleremo, vsto che / è more sa d ( + θ ) sa d ( + 4θ ); s ot, oltre, che l errore quadratco medo d tede a rdurs all aumetare d, metre quello d 3 all aumetare d cresce. 3

4 ESERCIZIO 5. S cosdero due stmator corrett e co varaze: e ( 0,7 + 34, 8) ( + ). S suppoga d utlzzare e su due campo d umerosà ed. Quato deve essere ampo l campoe su cu s utlzza affchè la sua precsoe sa equvalete a quella d relatvamete ad u campoe d 0 utà? Soluzoe Assumedo come msura d precsoe d uo stmatore la sua varaza, utlzzare su u campoe d 0 utà sgfca avere ua precsoe par a: 0, Basta, duque, porre ache la varaza d uguale a 0, e rsolvere l uguaglaza rspetto ad : da cu: ( 0,7 + 34, 8) ( + ) 0, ( + ) 0,7 + 34,8 0 0,7 + 34, Dal mometo che l deomatore è sempre postvo, l uguaglaza va rsolta rspetto al umeratore:

5 ale relazoe è u equazoe d secodo grado ell cogta, che è soddsfatta per due valor: 5 ± ± ± 53 4,5 ( ) 4 4 d cu, aturalmete, quello egatvo o è ammssble. L ampezza campoara deve ecessaramete essere u umero tero, qud l valore 4,5 va arrotodato all tero pù grade (dato che valor compres tra 4 e 4,5 dao ua precsoe more d 0,). L ampezza campoara che cosete a d asscurare la stessa effceza che ha su u campoe d 0 utà è, duque, 5 utà. 5

6 ESERCIZIO 5.3 Sa (X, X, X 3, X 4, X 5 ) u campoe casuale d ampezza 5, geerato da ua v.c. X f(x) co meda µ e varaza. S cosdero due stmator per µ: 5 x X 5 e 0, X + 0, X + 0,4 X3 + 0, X4 + 0, X 5. a) S verfch la correttezza d e ; b) quale de due è pù effcete? Soluzoe a) È oto che la meda artmetca campoara è uo stmatore corretto della meda della popolazoe µ. Per quato rguarda s ha: ( ) E E 0, X 0, X 0,4 X 0, X 0, X ( 3) ( 4) ( 5 ) 0, E X + 0, E X + 0, 4 E X + 0, E X + 0, E X 0, µ+ 0, µ+ 0, 4 µ+ 0, µ+ 0, µµ Possamo, duque, cocludere che e soo etramb stmator corrett per µ. b) Rspodamo a tale questo calcolado l effceza relatva d e : ( ) eff ( ) EQM EQM qud calcolado EQM ed etrambe ulle. EQM, essedo le loro dstorso Dal mometo che è la meda artmetca campoara: EQM 0, 5 6

7 Per quato rguarda, vece, : ( ) EQM Var Var 0, X 0, X 0,4 X 0, X 0, X ( 3) ( 4) ( 5) 0, Var X + 0, Var X + 0, 4 Var X + 0, Var X + 0, Var X 0, 0 + 0, ,6 + 0, , 0 0,6 Qud: 0,6 eff ( ),3 > 0, Questo vuol dre che è pù effcete d. 7

8 ESERCIZIO 5.4 Sa (X, X,, X ) u campoe casuale geerato da ua v.c. X f(x; θ) per la quale è oto che E(X) θ e Var(X). S cosder lo stmatore: ( ) X a) s verfch se è corretto per θ; b) s calcol l errore quadratco medo d. Soluzoe a) E E ( X ) E X E X E θ è dstorto e la sua dstorsoe è uguale a: + + d E θ θ θ ( ) θ b) Per l calcolo dell EQM è ecessara la varaza d : Var V ar X Var X Var X Var 0 ( ) perché. Per cu: EQM Var + d + ( ) θ 8

9 ESERCIZIO 5.5 Sa (X, X,, X ) u campoe casuale geerato da ua v.c. X B(; π). S cosder lo stmatore d π: X a) stablre se è uo stmatore corretto per π; b) calcolare l errore quadratco medo d. Soluzoe a) Rcordado che la v.c. Bomale ha valore atteso E(X) π e varaza Var(X) π(- π), s ha che: ( ) ( ) E E X E X π Bsoga dedurre che o è uo stmatore corretto per π, e preseta ua dstorsoe par a: d E π π π π Ioltre cosderado che π è propro l valore atteso d X, s può dedurre che sarebbe uo stmatore corretto della meda d X (ossa del umero medo d success della v.c. Bomale). b) Per l calcolo dell errore quadratco medo d è ecessaro cooscere la sua varaza: Qud: Var Var ( X ) π( π ) Var X π( π) + π( π ) + π ( ) π( π ) + π ( + ) EQM Var d π π + π + π π π + π π π + π 9