La media aritmetica. La sua individuazione si basa sulla logica della trasferibilità di un carattere. Se la funzione f( ) corrisponde alla somma:

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1 La meda artmetca La sua dvduazoe s basa sulla logca della trasferbltà d u carattere. ( ) = ( µ µ ) f,, f,, volte Se la fuzoe f( ) corrspode alla somma: = µ + µ + + µ volte = µ µ X= = La meda permette d valutare quato cascua osservazoe è lotaa dalla stuazoe d rpartzoe equa del carattere X

2 Modaltà d calcolo Successoe d testà: µ X= Dstrbuzoe d frequeze: Frequeze assolute µ X = k Frequeze relatve k X= f µ Dstrbuzo class: µ X = k ˆ dove ˆ + = è l valore cetrale dell -esma classe Il calcolo de valor cetral troduce u approssmazoe perché equvale ad attrbure ua rpartzoe uforme delle frequeze all tero d cascua classe.

3 Esempo Carattere NUMERO DI BOTTIGLIE Successoe d testà: = µ = = = = Dstrbuzoe d frequeze: 3, 9 7 N. bottgle f 3 0,0 4 0, ,0 4 0,7 0,37 4 0,3 Totale 30 k k = µ = = f = ( 0, 0 ) ( 0, 3 ) = + + ( 3 0, 0 ) ( 0, 3 ) = = 3, 9 7 3

4 Carattere PREZZO CH, class equampe (prm 0 cosumator) Classe c f,9,77,73 3 0,,77,8,8 0 0,8,93,89 3 0,,93,0,97 0,,0,09,0 9 0,4 Totale 0 c 0 +, 9 +, 7 7 c = = =, 7 3 +, 7 7 +, 8 c = = =, 8 c. k = + + = k k k c (, ) + (, 8 0 ) + + (, 0 9 ) µ = = = 0, 9 8 k ( ) ( ) ( ) µ = c f =, 7 3 0, +, , 0 0, 4 =, 9 8 4

5 Propretà della meda artmetca I) Iteraltà µ ( ) X ( ) La meda assume u valore sempre compresa tra l mmo e l massmo della dstrbuzoe Dm: per =,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ X ( ) ( ) ( ) ( )

6 II) Propretà Barcetrca µ = X scarto relatvo all -ma osservazoe ( ) X µ = 0 Dm: ( ) La somma degl scart dalla meda è ulla ossa scart egatv e postv s compesao µ = µ = µ = X X X = = = 0

7 III) Leartà ( α, β) R trasformazoe leare Y =α±βx X Y Esempo: α = β = Y = + X 4 Propretà: Y = α + βx Se Y è ua trasformazoe leare d X, la meda d Y s può otteere medate la stessa trasformazoe leare applcata alla meda d X: µ Y = α + βµ X X Y µ = = µ Y = = 3 3 µ Y = + µ X = + = 3 Corollar: a) β = : Y = α + X µ Y = α + µ X b) α = 0 : Y = βx µ Y = βµ X 7

8 ESEMPIO Il prodotto MM è acqustato al prezzo medo d,0. La casa produttrce tede rmodulare prezz d vedta: per og acqurete l uovo prezzo Y sarà determato cosderado ua base d parteza mma par a, (α) a cu adrà agguta ua percetuale del veccho prezzo X par al 0% (β). Quale sarà l uovo prezzo medo? Veccho prezzo (X) Nuovo prezzo (Y) Y = α + β X µ Y = α + β µ X,99,99 α =, β = 0,,99,09,09,09 Y =, + 0, X µ =, + 0, µ = Y =, + 0,, 0 =, 9 X,09,09,3 Meda:,0,9

9 S può, coè, evtare d costrure la sere de uov prezz Y medate la trasformazoe leare: Y =, + 0, X per po calcolare la meda artmetca: y =y =y =, + 0,,99=,898 3 y = = y =, + 0,,09=, y =,+ 0,,3=,9 9 9, 898 +, , 9 µ = y = =, 9 Y 9 9

10 IV) Assocatvtà Ipotes: le utà statstche soo suddvse grupp (geerat, ad esempo, dalle modaltà d ua secoda varable) G = umero d grupp = umerostà dell -esmo gruppo (,.,G) = G ( = ) suddvsoe delle testà G grupp d umerostà,,g µ X = µ G La meda geerale è uguale alla meda delle mede de grupp poderate per le umerostà d cascu gruppo 0

11 Se sappamo solo che: Grupp µ Bar 9 Coloal 4 9 D. Automatco 4 4 Supermarket 4 8 Totale 30 =,, G G = umero d grupp = 4 Applcado la propretà assocatva: ( µ ) + ( µ ) + ( µ ) + ( µ ) µ = µ = G bar bar col col da da sm sm ( ) + ( ) + ( ) + ( ) µ = = 9 = 4,

12 j Rvedtore.bottgle bs 9 Bar Coloal j Rvedtore.bottgle bs 4 D. Automatco 3 8 S.market 3 N = = = 30 Meda geerale: 4 3 = = 9 9 µ = = = 4, 3 30 Mede d gruppo: µ bar = bar = 4 = 9 bar bar µ col = col = 3 = 4 9 col col µ da = da = = 4 4 da da µ sm = sm = 3 = 4 8 sm sm

13 V) Mmzzazoe della somma degl scart al quadrato ( ) δ = m se e solo se δ = µ Il rsultato della somma de quadrat degl scart da u qualsas valore δ ragguge l suo valore mmo solo se δ cocde co la meda artmetca µ ( ) ( ) ( ) ( ) δ = µ + µ δ = µ + µ δ = ( ) ( ) µ δ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = µ + µ δ + µ µ δ = ( ) ( ) ( ) ( ) = µ + µ δ + µ δ µ = µ δ = 0 δ = µ ( ) ( ) = µ + µ δ Questa quattà è ulla solo se δ = µ 3

14 Come sceglere tra meda e medaa?. La medaa è u dce robusto: o subsce l flueza d valor aomal Se occorre u dce che tega coto d tutt valor, s utlzza la meda Se o s vuole che valor estrem fluezo l valore dell dce, allora s utlzza la medaa. La medaa mmzza la somma degl scart valore assoluto: c = m c = Me La meda mmzza la somma degl scart al quadrato: ( ) c = m c = µ Qud 4

15 Qud La meda permette d valutare quato cascua osservazoe è lotaa dalla stuazoe d rpartzoe equa del carattere X, ossa d partà tra tutte le utà ( ) = ( µ µ ) f,, f,, volte La medaa permette d rsolvere problem d dstaza da u cetro Esempo: La dtta XXX ha 3 utà local alla perfera d Roma dsposte lugo u rettleo alle seguet dstaze dall etrata cttà: 800 metr, Km, Km. La dtta tede costrure u uovo stablmeto, fortore d matere prme cu farao capo le tre utà. A quale dstaza dall etrata cttà bsoga poszoale tale stablmeto se s vuole mmzzare la spesa per l trasporto delle matere prme? 800 m Km Km La soluzoe è: Me = km Etrata cttà utà utà stablmeto utà