6. LA CONCENTRAZIONE

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1 UNIVESITA DEGLI STUDI DI PEUGIA DIPATIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FOMAZIONE Corso d Laurea Sceze per l'ivestgazoe e la Scurezza 6. LA CONCENTAZIONE Prof. Maurzo Pertchett Statstca socale

2 La cocetrazoe è u aspetto della dsuguaglaza che cocere esclusvamete ue caratter uattatv cosddett trasferbl. U carattere è detto trasferble se ha seso mmagare che ua utà statstca possa cedere tutto o parte del carattere posseduto ad u'altra utà statstca. E' trasferble la varable la cu testà globale o ua sua parte sa attrbuble (ache solo dealmete) ad ua sola o a poche utà. Soo varabl trasferbl: eddto, Drtt d possesso, Quote d mercato, Stato d salute; Varabl o trasferbl soo uelle che rguardao aspett trsec delle utà: altezza, peso, età. Se valor della varable soo lvell raggugbl da ualsas utà ed ha u seso la loro somma o aggregazoe allora lo studo d cocetrazoe è plausble. La cocetrazoe s rappreseta attraverso: u dce che msura l grado d cocetrazoe del carattere; Sa dato u carattere X, esso s dce che ha u alto grado d cocetrazoe se molta parte della sua complessva testà è dstrbuta tra u umero rdotto d utà statstche. S parla d: cocetrazoe ulla (o eudstrbuzoe) uado tutte le utà possedoo l carattere ella stessa msura; Per esempo, se la rcchezza d ua data collettvtà s trova per molta parte ad essere posseduta da u umero esguo d dvdu, metre tutt gl altr e soo prv, o poca e posseggoo, s dce che uella rcchezza è fortemete cocetrata. I dat statstc delle rcchezze dvdual presetao tal caso de valor ull, de valor bass e de valor molto elevat, co scart rlevat l'uo all'altro e la relatva successoe sarà percò caratterzzata da ua grade varabltà. Per cotro, se la rcchezza totale d uella collettvtà fosse rpartta part ugual fra tutt gl dvdu, sgol valor della rcchezza dvduale formerebbero ua successoe d dat costat. Nulla sarebbe tal caso la varabltà e ulla la cocetrazoe. S suppoga d dsporre d uattà o egatve (dette testà) poste orde o decrescete: x (1) x () x () x () ( per le ual l'testà totale x ) otteute dall'osservazoe d u carattere X (reddto, patrmoo, etc.) che goda della propretà della trasferbltà, tale per cu s possao presetare le due stuazo lmte: l dagramma d Lorez. l'eudstrbuzoe, ovvero le testà soo ugual tra loro : x 1 x x x / ; la cocetrazoe massma, ovvero tutta l'testà è addesata su ua sgola osservazoe, coscché: x 1 x x x 0 e x. S defscoo frazo ulate delle freueze delle prme utà statstche le uattà: 1 p ovvero p 1 p p S defscoo oltre, frazo ulate dell'testà relatva posseduta dalle prme utà statstche le seguet uattà: 6. LA CONCENTAZIONE cocetrazoe massma uado ua sola utà possede l'tero ammotare del carattere. 1 x 1 +x +..+x x (1) x (j) x (j) x (j) j1 ovvero 1 j1 j1. 1

3 La somma detto rapporto d cocetrazoe d G. S tratta d u dce varable tra 0 e 1 : è 0 el caso d eudstrbuzoe; è 1 el caso d massma cocetrazoe; che forsce ua msura stetca della cocetrazoe d u carattere trasferble. I preseza d dstrbuzo co modaltà raggruppate class, per la msura del grado d cocetrazoe s usao le seguet formule: Δ μ ovvero l rapporto tra la dffereza semplce meda e l suo massmo, dove Δ è uguale a: k1 '( ')(x +1 x ) Δ el caso d massma cocetrazoe apportado al suo massmo s ha l'dce ormalzzato N, ovvero: N ( p ) è 0 el caso d eudstrbuzoe; è > 0 el caso d cocetrazoe; è a p è ua msura assoluta della cocetrazoe e l suo valore: ( p ) oppure N ( p ) p () e l'altra che utlzza l metodo detto de trapezz la cu espressoe è: k1 1 (p +1 p )( + +1 ) 0 max Dalla defzoe d eudstrbuzoe e d cocetrazoe d u carattere uattatvo (trasferble) emerge modo evdete l'essteza d u legame fra uest cocett e la varabltà. La stuazoe d eudstrbuzoe cocde charamete co ua stuazoe d varabltà ulla. Metre all'aumetare della cocetrazoe aumeta la varabltà e vceversa. Fssato l'ammotare complessvo A d u carattere (trasferble), è possble determare la dstrbuzoe d freueze che ha la massma varabltà rspetto ad ua data msura (varaza, dffereza semplce meda, etc.). S può dmostrare faclmete che tale dstrbuzoe è propro uella d massma cocetrazoe, coè uella cu dvdu posseggoo 0 e u solo dvduo possede l'ammotare complessvo A. Il cocetto statstco d omogeetà è per cert vers aalogo a uello d eudstrbuzoe o cocetrazoe ulla: dfatt, u collettvo è detto omogeeo rspetto ad u dato carattere se tutte le sue utà presetao la medesma modaltà del carattere. Grafcamete la cocetrazoe s rappreseta come s è detto attraverso l dagramma d Lorez che cosete d mettere rapdamete a cofroto ua stuazoe d cocetrazoe realmete osservata co la stuazoe deale d eudstrbuzoe, oché d calcolare alcue msure stetche della cocetrazoe.

4 Tale dagramma, che trova forma medate u sstema d ass cartesa cu sulle ascsse soo rportate le somme progressve delle freueze e sulle ordate soo rportate le somme progressve delle corrspodet testà del feomeo, vee ad essere rappresetato da ua curva crescete, avete la cocavtà rvolta verso l'alto, detta curva d cocetrazoe. Esemp d calcolo Seza freueze x x ' ' p ordat / x /x (p ) 3.408,6 1.39, ,50 1 0, 0,051 0, , , ,10 0,50 0, 0, 1.807,60.014, ,8 3 0,375 0,08 0, ,18.685, ,86 4 0,500 0,318 0,18.685, , ,48 5 0,65 0,458 0, , , ,97 6 0,750 0,610 0, , , , 7 0,875 0,794 0, , , ,78 8 1,000 1, ,78 8 3,500 0,936 eddto mesle d 8 dvdu N N max max (p ) Il valore d ( p ) (p ) p od ache p 0,936 3,500 : è p o ache (p ) è 0 el caso d eudstrbuzoe; è > 0 el caso d cocetrazoe; 0,68 el caso d massma cocetrazoe (p ) 0,936 7 max 0,68

5 Seza freueze eddto mesle d 8 dvdu N eddto mesle d 8 dvdu (p ) N od ache max p N 3.047, , , 0, 0, , ,1950 0,50 0,50 0, , ,95 3 0,375 0,375 0, , , ,500 0,500 0, , , ,65 0,65 0, , , ,750 0,750 0, , , ,875 0,875 0, , , ,000 1, , ,500 0,000 (p ) N od ache max p : (p ) 0,000 0,000 o ache (p ) max p 3, ,00 1 0,00 1 0, 0,000 0, 0,00 1 0,00 0,50 0,000 0,50 0,00 1 0,00 3 0,375 0,000 0,375 0,00 1 0,00 4 0,500 0,000 0,500 0,00 1 0,00 5 0,65 0,000 0,65 0,00 1 0,00 6 0,750 0,000 0,750 0,00 1 0,00 7 0,875 0,000 0, , ,78 8 1,000 1, ,78 8 3,500 3,500 : è 0 el caso d eudstrbuzoe; Il valore d ( p ) è > 0 el caso d cocetrazoe; x ordat è 0 el caso d eudstrbuzoe; Il valore d ( p ) è > 0 el caso d cocetrazoe; x ordat x ' è p el caso d massma cocetrazoe max x ' ' ' (p ) è p el caso d massma cocetrazoe max (p ) 3,500 1,000 o ache (p ) max p 3,500 7 p / (p ) p / x /x x /x (p ) 0,000 0,000 (p ) 3,500 1,000

6 Co freueze e class d modaltà class d reddto azede (x +1 x ) ' ( ') ' ( ') e oltre totale Δ 38,6 107,8 Δ μ k1 μ 107,8 () x 0,358 ' ( ')(x +1 x ) * * ' ( ')(x +1 x ) 38,6 μ x ,90 Seza freueze co l metodo de trapez x x 0 0 0, , , , ,10.014, , , , , , , , , , , , ,78 8 k1 1 (p +1 p ) ( + +1 ) x /x p +1 p 0,000 0, 0,051 0, 0, 0, 0,08 0, 0,318 0, 0,458 0, 0,610 0, 0,794 0, 1, ,766 0,34 0 S determa co Δ/μ p / 0,000 0, 0,50 0,375 0,500 0,65 0,750 0,875 1, ,051 0,176 0,333 0,55 0,775 1,068 1,405 1,794 (p +1 p )( + +1 ) 0,006 0,0 0,04 0,066 0,097 0,133 0,176 0,4 0,766 x (x +1 x ) ' ( ') ' ( ') ' ( ')(x +1 x ) x

7 Δ μ Δ 3.8,10 0, ,7 μ k ,7 ' ( ' ) (x +1 x ) * () * μ 6.73,33 3.8,10 Seza freueze co l metodo de trapez (p p +1 p + +1 p )( + x p +1 x / x /x +1 ) 0 0 0,00 0 0,000 0,000 0,50 0,3 0, ,50 0,3 0,50 0,691 0, ,500 0,468 0,50 1,194 0, ,750 0,76 0,50 1,76 0, ,000 1, ,9586 k1 1 (p +1 p ) ( + +1 ) 1 0,9586 0,041