2 - STATISTICA DESCRITTIVA E DISTRIBUZIONI

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1 - STATISTICA DESCRITTIVA E DISTRIBUZIONI. Varabl statstche e varabl casual semplc Varable statstca S suppoga che gl dvdu apparteet ad u seme be determato sao caratterzzat da u attrbuto X avete seguet requst: a) X può assumere forme dverse (X, X,, X ); b) è possble che dvdu dvers posseggao la stessa forma; c) og dvduo deve possedere almeo ua forma; d) esstoo almeo due dvdu co forme dverse. S può allora classfcare l seme secodo l attrbuto X, coè esamare tutt gl dvdu e determare l valore X dell attrbuto per oguo d ess. Il rsultato d tale classfcazoe è l seguete seme d valor, detto varable statstca: X F F K K F (.) dove F è la frequeza assoluta dell eveto, coè l umero d dvdu della popolazoe caratterzzat dal valore X ed è l umero delle forme dverse dell attrbuto. I pratca, ua varable statstca è l rsultato d ua classfcazoe o, pù geerale, d u espermeto cocluso se stesso, coè operato su ua popolazoe totalmete ota.

2 Varabl statstche e varabl casual semplc La successoe delle dverse forme o sempre può rappresetars co de umer maera mmedata; questa possbltà esste sempre però e cas relatv alle msure. Ioltre l argometo X può assumere o u umero fto d forme ( tal caso è detto dscreto) oppure può presetars co u umero fto d forme, tutte però coteute co cotutà u tervallo lmtato (a-b), ed allora è detto d tpo cotuo. Nella pratca però, s avrà sempre a che fare co argomet d tpo dscreto, gacché og rsultato d msurazo, per sesble che sa lo strumeto utlzzato, è sempre ua sere dscreta, ache se umerosa, d valor umerc che dfferscoo fra loro d quattà fte. Per ora s preda duque solo cosderazoe la successoe de valor argometal dscret d X. Idcado co N la somma delle frequeze assolute, che equvale al umero degl dvdu della popolazoe, s ha: F = = S possoo allora determare le frequeze relatve tal modo: N (.) Ovvamete s ha: F f = (.3) N = = f (.4) La varable statstca può scrvers ache sotto la seguete forma: X, F, N,..., F,..., N F N (.5) F = (.6) N che dffersce dalla precedete perché essa, alla successoe d frequeza assoluta F, è stata sosttuta la successoe d frequeza relatva f = F / N. Le eguaglaze: e F = N (.7) f = (.8) 3

3 Varabl statstche e varabl casual semplc o soo utl aggute, ma servoo ad esprmere la garaza che la popolazoe è stata aalzzata per tero e che tutt suo dvdu soo stetcamete rappresetat X. Esempo S vogla costrure la dstrbuzoe d frequeza relatva a 60 studet masch, pesat d chlo chlo. I valor soo seguet: Il peso maggore è d 84 kg e quello more è d 54 kg; l tervallo tra quest d = 30 kg. Ua scelta coveete dell ampezza della classe è d kg e, d cosegueza, put med delle class potrebbero essere 54.5, 56.5, ecc. Gl tervall d classe sarao qud d 54 55, 56 57, 58 59, ecc. Co questa scelta lmt delle class sarao 55.5, 57.5, 59.5, ecc. La varable statstca rsulterà così ordata: Peso (kg) Frequeza Tot. 60 4

4 Varabl statstche e varabl casual semplc Naturalmete s sarebbe potuta determare u altra dstrbuzoe d frequeza scegledo ua dversa ampezza delle class. Se s fosse fssata u ampezza d quattro chl s sarebbe otteuta la seguete tabella: Peso (kg) Frequeza Tot. 60 Rappresetazoe grafca d ua varable statstca semplce Della X s possoo dare alcu tp d rappresetazo grafche. S rporto, scala opportua, su d ua semretta, valor umerc dell argometo X, dopo averl dspost orde crescete; ess rsulterao percò tutt dstrbut sul segmeto. I corrspodeza d cascu valore s rport, drezoe ormale alla semretta, u segmeto d lughezza proporzoale alla frequeza totale F d quel valore argometale. S avrà così u dagramma d frequeza. I fgura è rappresetato l dagramma d frequeza relatvo all esempo. Fgura Dagramma d frequeza relatve all esempo 5

5 Varabl statstche e varabl casual semplc Naturalmete ordata s possoo dcare, vece delle frequeze assolute, le corrspodet frequeze relatve. Questo tpo d grafco va bee soprattutto el caso d valor argometal dscret; s pes per esempo al laco d u dado: la varable può assumere solo u umero fto d valor. U campoe d 50 lac d u dado dà ua sere d umer che possoo assumere valor dscret, scché la rapresetazoe del tpo fgura è puttosto comoda. S ot fatt che ell esempo pes soo tutt umer ter. Quado però la sere de valor argometal è molto umerosa e compresa u tervallo assa lmtato, allora può essere coveete u altra rappresetazoe grafca della varable statstca. La sere de valor argometal rportata grafcamete su d ua retta vee suddvsa tat tervall o class, cascuo coteete u certo gruppo d valor argometal. Questo sarebbe utle ache el caso d u campoe d pes, quato l peso può assumere qualsas valore, per esempo 8,4 kg: o ha pù molto seso parlare allora d frequeza del valore argometale, ma è pù opportuo raccoglere le frequeze de pes etro ua certa classe e tabulare la frequeza assoluta e/o relatva. A maggor ragoe questo vale per valor argometal espress co dverse cfre decmal: che seso avrebbe segalare la frequeza d ua lughezza d,387 m? Sao,,, m put d separazoe, o lmt delle class che, per evtare ambgutà, è meglo o cocdao co valor argometal propr della varable statstca. S costrusca sopra og tervallo costtuto dal segmeto +, u rettagolo d area proporzoale al umero degl dvdu della popolazoe possesso d valore argometale compreso etro lmt, +. La fgura rsultate s chama stogramma. Può captare che l ampezza delle class cocda co l utà d msura delle e che vega mateuta costate. A volte, però, questo o accade ed è talvolta opportuo modfcare l ampezza delle class quella zoa cu le frequeze dmuscoo sesblmete. Questa rappresetazoe s avvale duque d rettagol per rappresetare le frequeze, per rcordare che le osservazo s rferscoo all tero ambto della classe e o solo al puto d mezzo. Pertato le altezze de sgol rettagol vao calcolate modo da rspettare la defzoe data dall stogramma. Sa y l altezza del rettagolo, allora: dove F è la frequeza assoluta e rettagolo F = y rappreseta la frequeza. Come al solto s può ache utlzzarla frequeza relatva: y F = (.9) è l ampezza dell tervallo; ovvamete l area del y f = (.0) 6

6 Varabl statstche e varabl casual semplc Esempo Idcado co m 0 l utà d msura delle (che può ache essere l tervallo d classe pù frequetemete utlzzato) e co k = 0 l umero d utà d msura coteuto ella classe d ampezza rettagolo d base m sarà: ' F y = k, l ordata y da assegare al Dove F rappreseta la frequeza assoluta degl dvdu preset ella classe d ampezza m. Così facedo l area totale sotto l stogramma sarà msurata da ΣF =N. Molto spesso, co u cambameto d utà ella scala delle ordate, le altezze de rettagol vegoo rappresetate co valor: ' F /N y = k Al dsotto dell stogramma vee allora a trovars u area ormalzzata, coè uguale a. I seguet dat rappresetao ua dstrbuzoe secodo class e l stogramma che se e rcava avedo assuto come utà d msura 0 =000. Dalla terza coloa s ha N=ΣF =7698. Class Ampezza delle class Frequeza ' k assoluta F y y ,4 3 0, , , , , , , , , , ,004 7

7 Varabl statstche e varabl casual semplc Fgura Istogramma relatvo alla dstrbuzoe Nella costruzoe degl stogramm ha mportaza otevole la scelta dell ampezza dell tervallo d cascua classe. Da questa scelta dpede a volte modo macroscopco la formazoe dell stogramma. L ampezza dell tervallo dovrà essere scelta, sa pure co ua certa arbtraretà, teedo coto d quest elemet fodametal: - dell estesoe del campo d varabltà dell argometo della varable; - del umero complessvo d dvdu compoet la popolazoe; - del grado d attedbltà delle rlevazo dell argometo stesso. Nel caso che l valore dell argometo propro d cascu dvduo sa otteuto medate msure, sarà utle rpartre l stogramma class l cu tervallo sa ferore alla sesbltà della msura stessa. La rappresetazoe medate stogramma co tervallo d ampezza uforme della varable statstca gà ordata class dell esempo mostra charamete come, al varare dell ampezza dell tervallo, camb sesblmete la forma dell stogramma corrspodete (ved Fgura 3). S può duque pesare che l umero delle class sa u ragoevole compromesso tra ua dstrbuzoe troppo dettaglata ed ua troppo stetca. Come detto precedeza, bsoga teere coto l umero d osservazo e la dspersoe de dat, modo che o v sao troppe o troppo poche class. Se s scegle d avere u ampezza costate, ua scelta del umero d class tra 5 e 0 rsulta soddsfacete. Ioltre l puto d mezzo delle class, che rappreseta u certo seso tutt valor del campoe ell ambto della classe, se possble, sarebbe coveete fosse u approprato umero tero. 8

8 Varabl statstche e varabl casual semplc Il problema della scelta dell tervallo cu suddvdere la scala de valor argometal per la costruzoe dell stogramma perde la sua mportaza qualora s pass dalla rappresetazoe della varable statstca a quella della varable statstca cumulata Fgura 3 Istogramm relatv alla stessa popolazoe, co dverso tervallo d classe Varable casuale Ua varable casuale, a dffereza d ua statstca, o è l rsultato d u cesmeto su ua popolazoe ota, besì ua varable lmte, caratterzzata da u certo umero d valor argometal, per oguo de qual s può defre ua frequeza lmte (probabltà), che è sempre al d là d og operazoe effettvamete eseguta. I pratca ua varable casuale è u modello d comportameto de dat relatv ad u certo espermeto; tale comportameto vee descrtto medate la fuzoe d dstrbuzoe d probabltà. La probabltà è u ete che, come s è vsto, s può defre assomatcamete, a pror, metre la frequeza è u dce che msura rsultat emprc, defto a posteror base a espermet gà effettuat. L stogramma ha lo scopo d cofrotare rsultat d u espermeto, rappresetat medate ua varable statstca, co ua fuzoe destà d probabltà: deftva s cofrota u campoe co l modello della popolazoe da cu s mmaga sa stato estratto. Fora, ell ambto delle varabl statstche, l smbolo f stava ad dcare le frequeze relatve ed l smbolo F le frequeze assolute. Nell ambto vece delle varabl casual s utlzzerao f() e F() co sgfcat del tutto dvers: l prmo, come s vedrà d seguto, dcherà la fuzoe destà d probabltà, metre l secodo la fuzoe dstrbuzoe d probabltà. Ua varable casuale a ua dmesoe è ua dstrbuzoe d probabltà, l cu seme d valor argometal S sa rappresetable sulla retta reale e tale che sa defta la probabltà per og seme del tpo: ( ) { } S I 0 0 = (.) La varable casuale a ua dmesoe sarà percò caratterzzata dalla fuzoe: F ( ) P( I( )) = (.) 0 0 9

9 Varabl statstche e varabl casual semplc F( 0 ) prede l ome d fuzoe d dstrbuzoe e gode delle seguet propretà: a) F( 0 ) è defta per og 0 reale e rsulta 0 F( 0 ) ; b) lm F( 0 ) = 0 ; 0 - c) lm F( 0 ) = ; 0 + d) F( ) F( ),. Ua varable casuale s dce dscreta se l seme S è formato da u umero dscreto d put, su cu s è cocetrata la probabltà; se vceversa la probabltà che assuma u sgolo valore umerco è sempre zero, allora la varable s dce cotua. Nel prmo caso la fuzoe d dstrbuzoe F() è ua fuzoe a grad co dscotutà corrspodeza a valor argometal, el secodo caso F() è cotua. Seza dare ua dmostrazoe rgorosa d queste propretà vedamo come esse sao d facle compresoe attraverso u esempo che, per ragoe d semplctà, vee presetato zalmete per varabl dscrete. Esempo 3 S suppoga d avere ua varable aleatora dscreta che può assumere solo cque valor; le probabltà d otteere sgol valor soo raccolte ella tabella seguete: X P S vada ora a costrure la fuzoe d dstrbuzoe cumulatva, teedo presete che: F(X) = P ( X < ) = P(X = ) dove la dsuguaglaza < sotto l sego d sommatora sgfca che questa è estesa a tutt gl feror ad. < 30

10 Varabl statstche e varabl casual semplc Per cu abbamo 0 F() = 0 O < F() = 0.5 < F() = 0.5 < 3 F() = < 4 F() = 0.9 > 4 F() = Il grafco d tale fuzoe è duque l seguete: 0,9 0,80 0,5 0, La fuzoe d dstrbuzoe d ua varable dscreta qualsas è sempre ua fuzoe dscotua a grad, cu salt soo localzzat e put corrspodet a valor possbl d questa varable e soo ugual alle probabltà d quest valor. La somma d tutt salt d fuzoe è par a uo. Esempo 4 S defsca ua dstrbuzoe d probabltà tra e +, per mezzo della relazoe: P (a b) = (arctg b - arctg a) π La corrspodete fuzoe d dstrbuzoe rsulta: 3

11 Varabl statstche e varabl casual semplc A mao a mao che aumeta l umero d valor possbl della varable aleatora e dmuscoo gl tervall tra d ess, l umero d salt dveta sempre pù grade e salt stess pù pccol. La curva della fuzoe, zalmete a grad, s avvca così ad ua fuzoe cotua, caratterstca delle varabl aleatore cotue. Come s può vedere ache dagl esemp fatt, oltre che dalla defzoe, la fuzoe d dstrbuzoe può avere dscotutà solo e put cu sa cocetrata ua probabltà fta: l salto della F() corrspode allora alla probabltà che assuma quello specfco valore. S ot che la varable statstca defsce formalmete ua dstrbuzoe d probabltà dscreta, cocetrata su valor:,,,. Basta, fatt, porre: p ( = ) = (.3) f Qud og defzoe, og dmostrazoe, varrà sa per le varabl casual, sa per le varabl statstche, poché soo formalmete detche. I base a questa dettà formale, s può estedere alle varabl statstche l cocetto d fuzoe d dstrbuzoe F(); el caso delle varabl statstche, F() dveta la cosddetta fuzoe cumulatva d frequeza, e rappreseta la percetuale d elemet della popolazoe l cu valore argometale rsulta more o uguale a. S troducoo altresì le frequeze relatve cumulate, così defte: j j= t = f (.4). La fuzoe destà d probabltà Ua varable può essere caratterzzata per mezzo della sua fuzoe d dstrbuzoe F(). Se la v.c. ( ) è cotua, sarà partcolarmete teressate, per ua sua dettaglata descrzoe,cooscere la probabltà d u tervallo del tpo [ 0, 0 + ]; base alla defzoe d F() ( ) sarà: P( ) = F( 0 + ) F( 0 ) (.5) Per abbastaza pccolo, s potrà allora porre a meo d ftesm d orde superore, ammesso che F() sa dfferezable, P( ) = df( 0 ) = F ( 0 ) (.6) ovvero: ( ) d ora po s dcherà la varable casuale co l abbrevazoe v.c. ( ) s ot che pù esattamete sarà: F( 0 + ) F( 0 ) = P( 0 < < 0 + ); poché però è per potes cotua, s ha ache P(= 0 ) = 0 e qud: P( 0 < < 0 + ) = P( ) 3

12 Varabl statstche e varabl casual semplc P(0 0 + ) f( 0 ) = F ( 0 ) = lm. (.7) 0 La fuzoe f() prede l ome d destà d probabltà ed essedo F() ua fuzoe mootoa crescete, s avrà: f() 0. (.8) Per compredere meglo l sgfcato d f() s può rcorrere ad u aaloga. Ua dstrbuzoe d probabltà può essere assmlata ad ua dstrbuzoe d massa o d ua carca utara sull asse reale; questo caso f() cocderebbe col cocetto d destà d massa (o d carca) sulla retta. La fuzoe d destà d probabltà è caratterzzate d ua v.c.: da f() fatt s può rcostrure F() che, teuto coto che F(- )=0, è data da: F() = f(t)dt. (.9) Sccome po deve essere F(+ )=, s deduce che la f() deve sempre soddsfare la codzoe, detta d ormalzzazoe: = + f()d. (.0) Il cocetto d fuzoe destà d probabltà o è drettamete applcable ad ua varable dscreta poché la sua fuzoe d dstrbuzoe è og puto o costate o dscotua: pertato o s può formalmete defre u aalogo della destà d probabltà per ua v.s. Esempo 5 La destà d probabltà, corrspodete all esempo 4, è data da: f() = d d arctg+ = π π + 33

13 Varabl statstche e varabl casual semplc S può otare che base alla (.0) s ha: b a f()d = F(b) - F(a) = P (a b) (.) La (.) forsce u legame dretto tra f() e le dstrbuzo d probabltà della v.c. da questa descrtta. Pù geerale, se A è u qualuque seme msurable sulla retta, s ha: P( A) = A f() d (.).3 Cocetto d cetro La rappresetazoe grafca della varable statstca o sempre è espressva; la varable casuale è d altrode spesso gota, scché a questo scopo soo stat trodott dc che precsao alcue caratterstche essezal, e soo dett statstche el caso della v.s. S premette che s dce mometo k-esmo rspetto al polo θ, d ua dstrbuzoe d probabltà o d frequeza, la seguete espressoe: kθ k ( ) f m = ϑ. (.3) La sere de momet d ua varable, rspetto ad u partcolare polo, per esempo lo 0, basta a rappresetare tutte le caratterstche della dstrbuzoe. S possoo trodurre var valor att a defre pù o meo adeguatamete l cetro d u seme d valor argometal. D seguto s utlzzerao smbol dvers per le varabl statstche e le varabl casual: caratter lat per le prme, grec per la secode; per esempo s userà m per la meda campoara (meda della v.s.) ( ) e µ per l valore atteso (meda della v.c.), s per lo scarto quadratco medo el prmo caso e per la radce della varaza el secodo. D seguto sarao usat modo dfferete, quato gl dc llustrat valgoo per le varabl statstche e per quelle casual. 34

14 Varabl statstche e varabl casual semplc S dce MODA l valore argometale 0 (ν) tale che corrspodeza d esso f() abba u massmo relatvo. Esso o è però adeguato a rappresetare l cetro per tre motv: o è detto che essta ua sola moda; è possble che tutt gl elemet abbao pressappoco la stessa frequeza; la moda può essere collocata u estremo. S dce MEDIANA l valore argometale X (µ e ) tale che rsult: ( < ) 0,5 e ( > ) 0, 5. (.4) f < f I pratca, la medaa è quel valore che dvde due l area sottesa da f() se la dstrbuzoe è cotua: Fgura 4 Nel caso d varabl dscrete, se esste tale che F( )=0.5, µ e è u qualsas valore ell tervallo, + ; altrmet è l valore per cu F( ) >0.5 per la prma volta. La medaa è u buo dce, però è dffcle da calcolare. S dce MEDIA l valore argometale tale che rsult: = µ = f = b a = µ = f() d. (.5) La meda è u ottmo dcatore per la rappresetazoe del cetro. S osserv come la meda sa l mometo d prmo orde rspetto al polo θ = 0. S ot oltre che meda e medaa cocdoo se la dstrbuzoe è smmetrca, metre moda e medaa cocdoo se la dstrbuzoe è smmetrca e se la moda è uca o umero dspar ( tal caso la meda cocde co la moda cetrale). 35

15 Varabl statstche e varabl casual semplc S avrao qud seguet cas: smmetrca Fgura 5 Fuzoe f() smmetrca smmetrca co mode umero par Fgura 6 Fuzoe f() smmetrca co mode umero par smmetrca co mode umero dspar Fgura 7 Fuzoe f() smmetrca co mode umero dspar 36

16 Varabl statstche e varabl casual semplc asmmetrca Fgura 8 Fuzoe f() asmmetrca S troduce l operatore E() che dca l calcolo della meda de valor argometal ; esso è valdo sa per varabl dscrete che per varabl cotue..4 La dspersoe Iterpreta la ecesstà d sapere se ua certa dstrbuzoe dat soo vc al cetro o meo; ache tal caso esstoo dc pù o meo adeguat a rappresetare tale cocetto. S dce AMPIEZZA la quattà: S = ma - m (.6) Questo dce è scadete per due motv: o precsa se l cetro è frequetato; o precsa se le rego del massmo e mmo soo frequetate: massmo e mmo soo valor totalmete arbtrar. S dce VARIANZA la quattà: ( µ ) = f (dstr. dscreta) = = b a ( µ ) f()d (dstr. cotua) (.7) Usado l operatore E s ha: [ ] [ ] M( ) = (dstr. dscreta) M( ) = (dstr. cotua) (.8) Il mometo d secodo orde (k=) della varable rspetto al polo θ = 0: m,0 f (.9) = prede l ome d valore quadratco medo ed è u dce d lotaaza dal polo della meda. 37

17 Varabl statstche e varabl casual semplc La radce quadrata della varaza s dce SCARTO QUADRATICO MEDIO (s.q.m.): S dmostrao ora due propretà della varaza: = E( = M( ) E ) ϖ = s.q.m. = (.30) () = ( µ) f = f µf + µ f = = E( ) E () f + µ f = M( ) µ S defsce fe l seguete dce (MOMENTO DI ORDINE RISPETTO AL POLO θ): + µ = ϕ θ ( θ) = (.3) f j S dmostra che la meda è l polo θ che rede mmo l mometo d secodo orde, coè che la varaza è l mmo de momet d orde rspetto ad u polo: ϕ θ = mϕ 38 ( θ) = ( θ) f ; ( θ)f = 0 ; ( θ)f = 0 ; f θf = 0 f = θ µ = θ c.v.d. Esstoo altr teressat dc d dspersoe. La devazoe assoluta dalla meda, detta δ, è defta da: f δ = µ + f ( ) δ = µ f d (.3)

18 Varabl statstche e varabl casual semplc.5 Popolazo degl scart e degl scart stadardzzat La popolazoe degl scart è costtuta da seguet elemet: v =. (.33) S dmostra che la meda degl scart è ulla ( v = 0 ); fatt: = v = ( )f = f f = 0. S dmostra che la varaza degl scart è uguale a quella della popolazoe zale ( v = ); fatt: v f = ( v v) f = v ( ) f =. La popolazoe degl scart ormalzzat è costtuta da seguet elemet: z v = =. (.34) X S dmostra che la meda degl scart ormalzzat è ulla ( z = 0); fatt: z = f ( )f ( f f ) ( ) = = = = X S dmostra che la varaza degl scart ormalzzat è utara ( ); fatt: X z = v v z = (z z) f ( 0) f f = = = =. X 0..6 Idc d forma U dce adeguato a rappresetare la smmetra, o meo, delle dstrbuzo è l seguete: 3 ( ) f γ = (dstr. dscreta) 3 b a 3 ( ) f()d γ = (dstr. cotua) (.35) 3 39

19 Varabl statstche e varabl casual semplc L dce d smmetra γ può essere dcato ache el modo seguete: 3 [ ) ] E ( γ = (.36) 3 [ ) ] E ( I partcolare s possoo presetare seguet cas: - Smmetra Fgura 9 Dstrbuzoe smmetrca - Asmmetra coda a sstra Fgura 0 Dstrbuzoe asmmetrca, coda a sstra - Asmmetra coda a destra Fgura Dstrbuzoe asmmetrca, coda a destra 40

20 Varabl statstche e varabl casual semplc S troduce l seguete dce detto CURTOSI, per descrvere le aspertà della curva d dstrbuzoe: ( 4 4 µ) f β = (dstr. dscreta) b 4 ( µ) f() d a β = (dstr. cotua) (.37) 4 Itroducedo l operatore E: 4 [( ) ] ( ) β = E (.38) E [ ] Perché ua dstrbuzoe sa cosderata ormale, s deve avere β=3 (codzoe ecessara ma o suffcete). S ha, co γ = 0: 0 < β 3 β = 3 β 3 Fgura -.. 4

21 Varabl statstche e varabl casual semplc.7 Teorema d Čebšev S ordo modo crescete gl scart v modulo: Freq. cum. t Freq. cum. -t L orge della semretta d rappresetazoe degl scart è ovvamete lo zero. S poga su tale retta u umero multplo d par a Λ, dove Λ è ua costate tera postva (presa tal modo per comodtà): Λ =,,3, Prma d Λ la frequeza cumulata de resdu sa t (dopo Λ essa è allora (-t)). S può scrvere allora: t 0 + ( t)λ (.39) Ifatt s approssmao a 0 tutt valor mor d Λ e a Λ tutt valor superor a Λ e qud, teedo presete che: e = e f = s rcava la (.39) e dalla (.40) s deduce: Λ v f + j e+ v j f j t, f = t (.40) j e+ ( t)λ ( t) Λ ( t) Λ t (.4) Λ Pertato s può cooscere la frequeza cumulata mma degl scart mm d u certo valore, per comodtà scelto come multplo d. I modo pù precso s può dre che, preso u qualuque u umero Λ>, per ua qualuque varable casuale vale la dsuguaglaza: Coè, pù pccolo è lo s.q.m. p( µ Λ ) (.4) Λ, pù pccolo è l tervallo [ Λ µ + Λ ] µ cu s è, scur d avere ua probabltà che al mmo vale. Λ 4

22 Varabl statstche e varabl casual semplc S trova: Λ= t 0 Λ= t 3/4 Λ=3 t 8/9 Cò sgfca che u tervallo [ µ, µ + ] tervallo [ µ, µ + 3] varble casuale. s ha almeo l 75% d probabltà e u 3 esso sale all 89% d probabltà, e cò dpedemete dalla 43