Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

Transcript

1 La Legge de Grad Numer Cosderata ua sere d prove rpetute co p par alla probabltà d successo ua sgola prova, l rapporto tra l umero d success K ed l umero d prove tede a p quado tede ad fto: K P p per co ua (qualsas) quattà postva. 452

2 Esempo: dat smulat.18 Stma della probabltà che esca "6" el laco d u dado regolare.175 Frequeza relatva * 453

3 Dado NON truccato: Varabltà Uforme Per u dado o truccato l umero d occorreze atteso per og facca, su N prove, è costate e par a N / se N = p " Se" f N " Se" p"se" 454

4 Dmostrazoe: La Legge de Grad Numer (segue) Var X S basa sulla dsuguaglaza d Chebyshev: PX X 2 K co X (frequeza relatva). La v.a. K è ua Bomale d valore atteso p e varaza pq, qud: p Var X X pq K p q P p 2 K lm P p 455

5 Legge de Grad Numer e Frequeza Relatva o La legge de grad umer costtusce u espressoe al lmte dell assuzoe eurstca alla base dell'terpretazoe della frequeza relatva: K p o La varable aleatora K coverge probabltà al umero p: K lm P p per og umero postvo e per og p. 456

6 Itroduzoe al Teorema del Lmte Cetrale La somma Y2 X1 X2 d due v.a. dpedet X 1 e X 2, detcamete dstrbute co legge Y 2 Exp, ha destà: 2 f y yexp y U y Se s cosdera la somma Y 3 X 1 X 2 X 3 d tre v.a. espoezal dpedet ed detche, s ottee per la destà d Y 3 Y 2 X 3 : 3 y fy y exp yuy 3 2 Iterado l procedmeto s ottee per la destà della somma: Y X X X... X Y X fy y y exp y U y 1! (legge Gamma ) 457

7 Esempo: = 2, E[X ] = Gamma = 2 Normale Destà d Probabltà y Y 2 f y yexp y U y, 1 2 2,, 6,

8 Esempo: = 4, E[X ] = Gamma = 4 Normale Destà d Probabltà y 4 3 fy y y exp yu y, ,, 12,

9 Esempo: = 6, E[X ] = Gamma = 6 Normale Destà d Probabltà y 6 5 fy y y exp yu y, ,, 18,

10 Esempo: = 1, E[X ] = Gamma = 1 Normale Destà d Probabltà y 1 9 fy y y exp yu y, 9! 1 2 1,, 3,

11 Esempo: = 2, E[X ] = Gamma = 2 Normale Destà d Probabltà y 2 19 fy y y exp yu y, 19! 1 2 2,, 6,

12 Esempo: = 3, E[X ] = Gamma = 3 Normale Destà d Probabltà y 3 29 fy y y exp yu y, 29! 1 2 3,, 9,

13 Esempo: = 1, E[X ] = Gamma = 1 Normale Destà d Probabltà y 1 99 fy y y exp yu y, 99! 1 2 1,, 3,

14 Somma d 2 uform dpedet tra (,1) Somma Normale

15 Somma d 5 uform dpedet tra (,1).7.6 Somma Normale

16 Somma d 2 uform dpedet tra (,1).35.3 Somma Normale

17 Teorema del Lmte Cetrale Il Teorema del Lmte Cetrale (TLC) mostra che, sotto opportue codzo, molt feome aleator tedoo al modello gaussao. Teorema: Date varabl aleatore dpedet ed detcamete dstrbute co 1,2,..., (d valor atteso e devazoe stadard ), la loro somma (d valore atteso e devazoe stadard ) ormalzzata (rspetto al valore atteso ed alla devazoe stadard): X è ua v.a. la cu dstrbuzoe Y FY 11 X y tede ad ua ormale stadard. 468

18 Teorema del Lmte Cetrale (segue) I forma cocsa, data la sequeza d v.a...d. X co: la v.a. Y : e E X Y X Var X 11 1 X 1 per l TLC Coverge Dstrbuzoe a N,1. Coè: y 2 1 t 2 2 lm F Y y exp dt 469

19 Nel caso partcolare cu: allora: Teorema del Lmte Cetrale (segue) X ~ B p soo v.a. Beroullae: EX p e Var X pq Y 11 X pq p K p pq dove K (par al umero d success su prove) è ua v.a. Bomale (valore atteso p e devazoe stadard pq ) la cu fuzoe d dstrbuzoe tede alla gaussaa stadard per che va ad fto. 47

20 Legge de Grad Numer e TLC La legge de grad umer dca semplcemete l lmte al quale tede l rapporto K quado l umero d prove tede ad fto. Il TLC forsce formazo sulla dstrbuzoe d probabltà del umero d success K. 471

21 Approssmazoe del Modello Bomale Teorema d De Movre - Laplace La probabltà d k success prove rpetute, co p probabltà d successo ua sgola, è data approssmatvamete dalla formula: per k p 2 1 PX k exp 2 pq 2pq pq 1 p pq k p pq 472

22 Approssmazoe del Modello Bomale (segue).25 Modello Bomale: = 1, p = : P(X = k) k 473

23 Approssmazoe del Modello Bomale (segue) = 2, p =.5 Gaussaa B( = 2, p =.5) Destà - Massa d Probabltà X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e gaussaa 474

24 Approssmazoe del Modello Bomale (segue) = 1, p =.7 B( = 1, p.7) Gaussaa Destà - Massa d Probabltà X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e gaussaa 475

25 Approssmazoe del Modello Bomale (segue) o Modello bomale e legge d Posso Teorema d Posso Data la legge bomale d parametr,p, quado: 1 p 1 e rsulta p costate l modello bomale può essere approssmato da u modello d Posso co valore atteso Coè: p. k p k q k exp k, 1, 2,... k k! 476

26 Dmostrazoe: Approssmazoe del Modello Bomale (segue) 1... k 1 k k! k k! per k q 1 p k q p e per p 1 p k p q k k k k k k k p p p pe e e k! k! k! 477

27 Approssmazoe del Modello Bomale (segue).2.18 Posso( = 4) B( = 1, p =.4) Massa d probabltà X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e possoaa 478

28 Approssmazoe del Modello d Posso Per 1 Posso N,.25 Posso( = 4) Gaussaa Massa - Destà d probabltà x = k 479

29 Legam tra le Varabl Aleatore Fodametal Beroullaa Ber(p) Somma (rpetzoe volte) Bomale B(,p), p, p p, p 1 p Normale N(, ) 1 p 1 k dell'orde d p Posso P() Somma Somma 2 2, Normale N(, ), 48